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Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:43:48Z

FelipeDelgado: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

Mediante un cambio en el programa, representamos las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
y=0:0.05:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

[[Archivo:lineasnivelT.gif|400px|miniaturadeimagen|centro| Líneas de nivel del campo T]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
[Dx,Dy] = gradient(Mz,x,y);
figure;
%Combinamos las líneas de nivel con el gradiente
contour(Mx,My,Mz)
hold on
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:ortogT.png|400px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:42:55Z

FelipeDelgado: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

Mediante un cambio en el programa, representamos las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
y=0:0.05:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

[[Archivo:lineasnivelT.gif|400px|miniaturadeimagen|centro| Líneas de nivel del campo T]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:ortogT.png|400px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Archivo:OrtogT.png

2023-12-11T18:42:36Z

FelipeDelgado:

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:42:20Z

FelipeDelgado: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

Mediante un cambio en el programa, representamos las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
y=0:0.05:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

[[Archivo:lineasnivelT.gif|400px|miniaturadeimagen|centro| Líneas de nivel del campo T]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:ortogT.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:41:02Z

FelipeDelgado: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

Mediante un cambio en el programa, representamos las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
y=0:0.05:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

[[Archivo:lineasnivelT.gif|400px|miniaturadeimagen|centro| Líneas de nivel del campo T]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:40:05Z

FelipeDelgado: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

Mediante el siguiente programa, representamos las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
y=0:0.05:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

Quedando de la siguiente manera:
[[Archivo:lineasnivelT.gif|400px|miniaturadeimagen|centro| Líneas de nivel del campo T]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Archivo:LineasnivelT.gif

2023-12-11T18:39:36Z

FelipeDelgado:

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:39:20Z

FelipeDelgado: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

Mediante el siguiente programa, representamos las curvas de nivel:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
y=0:0.05:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

Quedando de la siguiente manera:
[[Archivo:lineasnivelT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Líneas de nivel del campo T]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:37:25Z

FelipeDelgado: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
y=0:0.05:2*pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:35:39Z

FelipeDelgado: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT.gif|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

El código utilizado y la representación del gráfico está expuesto en la representación anterior

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Archivo:CampoT.gif

2023-12-11T18:32:26Z

FelipeDelgado:

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T18:31:13Z

FelipeDelgado: /* Temperatura máxima */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
}}

[[Archivo:campoT|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

El código utilizado y la representación del gráfico está expuesto en la representación anterior

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Archivo:GradienteTt.jpg

2023-12-11T16:32:11Z

FelipeDelgado:

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T16:31:38Z

FelipeDelgado: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
subplot(1,2,2)
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off}}

[[Archivo:campodetemperaturas_G8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor cuando ρ aumenta (la temperatura mayor se representa con colores cálidos y la menor temperatura con colores fríos).

'''CURVAS DE NIVEL'''

El código utilizado para la representación de este gráfico está expuesto en la representación del campo de temperaturas.

[[Archivo:TEMPERATURA1.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torno a los puntos <math>z=1</math> y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradienteTt.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T16:30:21Z

FelipeDelgado: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
subplot(1,2,2)
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off}}

[[Archivo:campodetemperaturas_G8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor en los valores próximos a <math>z=1</math>, este aparece representado con colores cálidos, mientras que si nos alejamos de este punto la temperatura disminuye.

'''CURVAS DE NIVEL'''

El código utilizado para la representación de este gráfico está expuesto en la representación del campo de temperaturas.

[[Archivo:TEMPERATURA1.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos <math>z=1</math> y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciones anteriores permite determinar que en el punto <math>(y,z)= (0,1)</math> la temperatura es máxima.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.1:8;
y=0:0.1:2*pi;
%Seguimos usando los parametros anteriores
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
%Calculamos el gradiente
[Dx,Dy]=gradient(Mz,x,y);
figure;
hold on
axis equal
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off
}}

[[Archivo:gradiente.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Flujo de Couette. Grupo 8. Planos paralelos horizontales

2023-12-11T16:28:16Z

FelipeDelgado: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos planos paralelos horizontales (Grupo 8) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Carlos Reillo González, Carlos Sayalero Gómez, Daniel Portincasa Navarro, Diego Vásquez Peñaloza, Irene Blanes Grau }}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

== Introducción ==

El objetivo principal de este trabajo es analizar el Flujo de Couette, el cual podemos definir como un tipo de flujo viscoso confinado entre dos planos paralelos horizontales, en el que uno de los planos está en movimiento constante mientras que el otro permanece estacionario. El fluido se encuentra entre estos dos planos y se mueve en respuesta al movimiento relativo de los planos. En nuestro caso vamos a considerar un fluido incompresible (aquel fluido cuya densidad no varía significativamente bajo la influencia de cambios de presión), de manera que el plano inferior es el que se mueve con velocidad constante v<math>\vec{j}</math>; v>0. Trabajaremos en el plano con coordenadas cartesianas (y,z). Nos hemos apoyado en el programa informático MATLAB para poder comprender y visualizar el comportamiento del fluido.

== Mallado del fluido ==

En la siguiente figura representamos la superficie que ocupa el fluido en los puntos interiores del rectángulo de dimensiones [0,8] x [0,1], y con ejes (y,z) definidos en los intervalos [0,8] x [-1,2]:

[[Archivo:malladoG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado]]

Para la obtención de esta gráfica hemos usado MATLAB, con un paso de muestreo de 0.1. Adjunto el código utilizado:

{{matlab|codigo=
y=0:0.1:8;
z=0:0.1:1;
[yy,zz]=meshgrid(y,z);
figure(1)
mesh(yy,zz,0*yy)
axis([0,8,-1,2])
view(2)}}

(Falta poner comentarios)

== Ecuación de Navier-Stokes estacionaria ==

La ecuación de Navier-Stokes estacionaria es fundamental en la mecánica de fluidos, describe el comportamiento de fluidos estables o en movimiento constante. Se elimina la dependencia temporal esto nos resulta útil en los sistemas en equilibrio. Para nuestro caso en particular la vamos a aplicar para modelar el flujo de fluidos viscosos entre dos placas sólidas, proporcionando detalles sobre la distribución de velocidad y presión en el sistema. Ejemplos de su aplicación en el campo de la ingeniería son muy diversos, en la ingeniería mecánica, en los sistemas de lubricación e incluso en la rama de medicina es crucial, en la industria de micro fluidos para el diseño de dispositivos médicos, donde la manipulación precisa de fluidos es esencial.

Sabiendo que la ecuación estacionaria de Navier-Stokes es la siguiente:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u} + \nabla p=μ \Delta\vec{u} </math> </center>

Y siendo la representación de un fluido viscoso en sus componentes. Su descripción se hara de la siguiente forma:

<center><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\vec{e_i} </math> ;
<math>\Delta\vec {u}=u_i\vec{e_i}</math> ; <math>\vec{u}=u_i\vec{e_i}</math></center>

Sabiendo que <math>(\vec{u},p)</math>, satisface la ecuación de Navier-Stokes y que en este caso en concreto, trabajaremos con: <math>\vec{u}(y,z)=f(z)\vec{j} </math>, que es el campo vectorial de la velocidad de las partículas del fluido ; <math>\ p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math> es el campo de presiones del fluido y <math>μ</math> es la viscosidad del fluido. Calcularemos la ecuación diferencial que satisfaga <math> f(z)</math>.

1.) Vamos a resolver cada término de la ecuación por separado:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix}{\frac{\partial u_1}{\partial y}}&{\frac{\partial u_1}{\partial z}}\\{\frac{\partial u_2}{\partial y}}&{\frac{\partial u_2}{\partial z}}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} </math></big></center>

y sustituyendo con nuestros datos:

<center><big><math>(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}=\begin{pmatrix} 0 & f'(z) \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f(z)\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math></big></center>

2.) Gradiente del campo de presiones:

<center><math>\nabla p=\begin{pmatrix} \frac{\partial p}{\partial y}\\ \frac{\partial p}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}= (p2-p1)\vec{j}</math></center>

3.) Laplaciano <math>\Delta\vec{u} </math> , del campo de velocidades. El cual calculamos con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

Calculamos la divergergencia:

<center><math>\nabla \cdot \vec{u}=\frac{\partial u_1}{\partial y}+\frac{\partial u_2}{\partial z} =0</math></center>

Así <math>\nabla(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>

La divergencia de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> describe el comportamiento del fluido en diferentes regiones. Divergencia positiva <math>(\nabla \cdot \vec{u})>0</math> implica expansión local, mientras que divergencia negativa <math>(\nabla \cdot \vec{u})<0</math> indica contracción. Con divergencia cero <math>(\nabla \cdot \vec{u})=0</math>, el fluido es incompresible y conserva la masa. Estos conceptos son esenciales en la dinámica de fluidos y se aplican en el modelado fluidodinámico, donde la divergencia se utiliza para analizar flujos y evaluar la variación local de la densidad del fluido.

*Calculamos el rotacional:

<center> <math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix}=-f'(z)\vec{i}</math></center>

*Y finalmente calculamos <math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)</math>:

<center><math>\nabla\times(\nabla\times\vec u)= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ -f'(z) & 0 & 0 \end{vmatrix}= -f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en <math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math>, obtenemos:

<center><math>\Delta\vec{u}=f''(z)\vec{j}</math></center>

Sustituyendo en la ecuación de Navier-Stokes obtenemos:

<center><math>\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_2-p_1 \\ 0 \end{pmatrix}=μ\begin{pmatrix} f''(z)\\ 0 \end{pmatrix}</math></center>

<center><math> p2-p1=μ\cdot f''(z)</math></center>

<center><math> f''(z)= \frac{(p_2-p_1)}{μ}\vec{j} </math></center>

Teniendo ya calculada la segunda derivada del campo vectorial de velocidades, podemos calcular <math>f'(z)</math> y <math>f(z)</math> facilmente integrando. Obteniendo:

<center><math> f'(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z}{μ} </math></center>

<center><math> f(z)= \frac{(p_2-p_1)\cdot z^2}{2\cdotμ}</math></center>

Suponemos que la velocidad del fluido en <math>y=0,1</math> coincide con los planos inferior y superior respectivamente; y aplicamos las condiciones de contorno f(z=0)=v y f(z=1)=0 lo que finalmente hace que lleguemos al campo vectorial de velocidades:

<center><math>f(z)=(1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ})</math></center>

== Campo de presiones y campo de velocidades ==

Suponiendo que <math>\ p_1=1 ; p_2=2 ; v=1 ; μ=1</math>, dibujaremos los respectivos campos de presiones y de velocidades.

'''CAMPO DE VELOCIDADES:'''

Para la expresión del campo de velocidades, hemos obtenido:

<center><math>(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})</math></center>

De la fórmula anterior, podemos interpretar que la velocidad va a cambiar en función de z ,es decir, que variará en función de la altura.
Los vectores del campo de velocidades son paralelos a las paredes del canal,dado que el campo cambia únicamente en la dirección j.

Mediante MATLAB, hemos logrado representarlo usando el siguiente código:

{{matlab|codigo=
[Y,Z] = meshgrid([0:0.25:8],[0:0.1:1]);
uy=inline('((1-z./2-z.^2./2))','y','z');
uz=inline('0.*y','y','z');
U=uy(Y,Z);
V=uz(Y,Z);
quiver(Y,Z,U,V)
axis([0,8,-1,2])
}}

[[Archivo:apartado4G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Analizando la figura, podemos observar que la velocidad es nula en la pared del canal en z=1. También, observamos que la velocidad máxima se alcanza z=0 y como habíamos deducido anteriormente,la velocidad es paralela a las paredes del canal.

'''CAMPO DE PRESIONES:'''

Utilizando la fórmula del campo de presiones:
<center><math> p(x,y,z)=p_1+(p_2-p_1)(y-1)</math></center>

hemos obtenido:

<center><math> p(x,y)=y</math></center>

Logrando representarlo mediante el siguiente código:
{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
figure (1);
p=Y;
surf(Y,Z,p);
view(2);
axis([0,8,-1,2]);
}}

[[Archivo:apartado4.2G8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro| Campo de velocidad del fluido]]

''Interpretación de la figura''

Como podemos observar en la figura a medida que el fluido avanza por el canal la presión va aumentando. Las presiones altas están representadas en amarillo y las más bajas en azul. El aumento de presión en una tubería o canal es el aumento de energía dinámica del fluido debido al uso de dispositivos específicos diseñados para este propósito (como por ejemplo: bombas o compresores).

== Líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> ==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math>\vec{u}</math> (las líneas que son tangentes a <math>\vec{u}</math> en cada punto). Para esto calculamos el campo <math>\vec{v}</math> que en cada punto es ortogonal a <math>\vec{u}</math>, utilizando:

<center><math>\vec{v}=\vec{i}\times\vec{u}</math></center>

Que al sustituir en nuestro campo de velocidades, nos queda:

<center><math>\vec{i}\times\vec u=\vec{i}\times\ f(z)\vec{j}=\ f(z)\vec{k}</math></center>

Ahora vamos a demostrar que <math>\vec{v}</math> es irrotacional:

<center> <big> <math>\nabla\times\vec v= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & \ f(z)\end{vmatrix}</math></big></center>

Operando obtenemos, que: <math>\nabla\times\vec{v}=0</math>, por lo que podemos confirmar que el campo es irrotacional.

Ya que sabemos que es irrotacional, vamos a calcular <math>\psi</math>, el cual es un potencial escalar que se conoce como función de corriente de <math>\vec{u}</math>

*Aplicamos la definición:

<center> <math> \nabla \psi (y,z)= \vec{v} \longleftrightarrow \frac{\partial \psi }{\partial y}=\ v_1 \ {,} \ \frac{\partial \psi}{\partial z}=\ v_2 </math></center>

*Operamos:

<center><math>\psi (y,z)=\int 0 \ dy=0+f(z)</math></center>

*Derivamos con respecto a <math>z</math>, y teniendo en cuenta <math>p1=1,p2=2,μ=1,v=1</math>

<center> <math> \frac{\partial \psi}{\partial z}=(1-z)(1+\frac{z}{2})=(1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}) \rightarrow\frac{\partial }{\partial z}(0+f(z))\rightarrow f'(z)=1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2}</math></center>

*Integrando:

<center> <math>f(z)=\int (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})dz = z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}+C \ {,} \ C\in\mathbb{R}</math></center>

*Simplificando:

<center> <math> \psi (y,z)=z -\frac{z^2}{4}-\frac{z^3}{6}</math></center>

Representando las líneas de corriente a través del siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z); % Mallado
figure (1);
lineas=Z-(Z.^2)/4-(Z.^3)/6;
contour (Y,Z,lineas);
axis([0,8,-1,2]);
view (2);
}}

[[Archivo:lineasdecorrienteG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente de <math>\vec{u}</math>]]

''Interpretación de la figura:''

Podemos ver que las líneas de corriente de <math>\vec{u}</math> son tangentes a la velocidad del fluido. En régimen estacionario las líneas de corriente están fijas y nos indican la trayectoria seguida por los elementos del fluido. El hecho de que las lineas de corriente no se corten, nos indica que nos encontramos ante un flujo que no tiene puntos singulares, es decir, no existen fuentes o sumideros.

== Velocidad máxima del fluido ==

Ahora vamos a obtener los puntos de máxima velocidad, mediante el cálculo de las derivadas parciales del campo:

<center><math>\vec{u}(y,z) = (1-\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2})\vec{j}</math></center>

<center><math>\frac{\partial \vec{u}} {\partial y}=0 \ {,} \ \frac{\partial \vec{u} }{\partial z}=-\frac{1}{2}-z=0 </math></center>

Procedemos a igualar dichas derivadas parciales a 0, obteniendo así que los puntos de la recta donde la velocidad es máxima es <math>z=-\frac{1}{2}</math>

Con los resultados obtenidos nos hemos percatado que la velocidad máxima que el fluido es capaz de alcanzar es en z=-0.5, debido a este resultado es normal que aparezcan nuevas interrogantes al respecto: ¿Es posible que la velocidad máxima esté fuera del recinto? ; Esto cobra sentido ya que si el recinto fuera más amplio sería z=-0.5 la velocidad máxima, pero como el recinto está acotado en z=0, damos por sentado que la velocidad máxima dentro del espacio confinado entre las dos placas se encuentra en z=0.

== Rotacional de <math>\vec{u}</math> ==

En el contexto de un fluido viscoso entre dos placas contenidas en el plano '''YZ''', el rotacional del campo de velocidad \(\nabla \times \mathbf{\vec{u}}\) resalta la rotación local del fluido. Para un movimiento bidimensional dentro del plano \(\mathbf{\vec{u}} = \langle 0, u_y, u_z \rangle\) y el rotacional se simplifica a \(\langle \frac{\partial u_z}{\partial y} - \frac{\partial u_y}{\partial z}, 0, 0 \rangle\). La componente '''X''' describe la rotación alrededor del eje de propagación, indicando la generación de esfuerzos cortantes y la deformación del fluido entre las placas. Este concepto es crucial en la mecánica de fluidos para analizar fluidos viscosos en el plano '''YZ'''.

De acuerdo con lo anterior nos preguntamos '''¿Cuáles son los puntos que poseen mayor rotacional?'''

Recordando que:
<center><big><math>f(z)\vec{j} = (1-z)(v+ \frac{(p_2-p_1)z}{2μ}) \vec{j} </math></big></center>

Pasamos al calculo del rotacional utilizando la siguiente expresión:

<center><big><math>\nabla\times\vec u= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & f(z) & 0 \end{vmatrix} = - \frac{\partial }{\partial z}(f(z))\vec{i} </math></big></center>

Operando, obtenemos:
<center><big><math>\nabla\times\vec{u}= v-\frac{(p_2-p_1)(1/2-z)}{μ}\vec{i}</math></big></center>

Y sustituyendo los valores <math> p_1=1, p_2=2, μ=1, v=1 </math>. Tenemos que <math>\nabla\times\vec u= z +\frac{1}{2}\ \vec{i}</math>, siendo su módulo <math>\left | \nabla\times\vec u \right |=z+\frac{1}{2}</math>. Como podemos obervar solo depende del parámetro <math>z</math>.

Con el siguiente código de MATLAB,

{{matlab|codigo=
y=0:0.05:8;
z=0:0.05:1;
[Y,Z]=meshgrid(y,z);
rota=abs(1/2+Z);
surf(Y,Z,rota)
axis([0,8,-1,2])
view(2)
}}

[[Archivo:rotacionalG8.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional del campo velocidad]]

Como podemos ver en la gráfica el máximo del rotacional se alcanza en el punto <math>z=0</math>, alcanzando el mínimo en el punto <math>z=1</math>. Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto, en nuestro caso alrededor del mínimo <math>z=0</math>, que a su vez en ese punto, ya se ha demostrado que la velocidad es máxima. El punto con menor tendencia a la rotación es <math>z=0</math>.Para el valor z=−1/2 (valor fuera del recinto), el rotacional es nulo y este punto coincide con la velocidad máxima.
En el gráfico los puntos con mayor tendencia a la rotación están representados con colores cálidos (amarillo) y los puntos con menor tendencia a la rotación aparecen representados con colores fríos (azules).

== Temperatura máxima ==

La temperatura a la que está sometido el fluido viene determinada por el campo escalar:
<center><math> T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math></center>

La expresión del campo está en coordenadas cilíndricas. Trabajaremos a partir de ahora en coordenadas cilíndricas:

'''CAMPO DE TEMPERATURA '''

El campo de temperatura describe la distribución espacial de las temperaturas en un sistema físico y éste depende de la posición del punto, y del tiempo (t). En nuestro caso, el campo de temperaturas como ya se a expuesto viene dado por la expresión:<math>T(ρ{,}θ)=log(1+ρ)*cos^2θ</math>, por lo tanto no depende del tiempo (es estacionario) y depende exclusivamente de las componentes espaciales <math>(ρ{,}z)</math>

Logrando representar el campo, mediante el siguiente código de MATLAB:

{{matlab|codigo=
x=0:0.25:8; %Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi; %Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
subplot(1,2,2)
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off}}

[[Archivo:campodetemperaturas_G8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro| Campo de temperaturas del fluido]]

''Interpretación de la figura:''

Observamos que la temperatura es mayor en los valores próximos a <math>z=1</math>, este aparece representado con colores cálidos, mientras que si nos alejamos de este punto la temperatura disminuye.

'''CURVAS DE NIVEL'''

El código utilizado para la representación de este gráfico está expuesto en la representación del campo de temperaturas.

[[Archivo:TEMPERATURA1.PNG|400px|miniaturadeimagen|centro| Curvas de nivel de campo]]

''Interpretación de la figura:''

En el gráfico aparecen representadas las curvas de nivel, las curvas de nivel varían de manera geométrica estando más próximas entre sí cuando la temperatura aumenta, en torono a los puntos <math>z=1</math> y más alejadas cuando la temperatura disminuya.

La representaciones anteriores permite determinar que en el punto <math>(y,z)= (0,1)</math> la temperatura es máxima.

== Gradiente de la temperatura ==

''¿Es el gradiente ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura?''

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente <math>\nabla T</math>.

''' GRÁFICA DEL GRADIENTE'''

Mediante el siguiente código, hemos logrado representar el gráfico del gradiente de la temperatura:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.25:8;
%Tomamos la x como rho
y=0:0.05:2*pi;
%Tomamos la y como theta
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%Matriz del campo
Mz= log(1+Mx).*(cos(My)).^2;
subplot(1,2,1);
surf(Mx,My,Mz);
shading flat
subplot(1,2,2)
pcolor(Mx,My,Mz);
hold on
contour(Mx,My,Mz,8,'w')
hold off
}}

[[Archivo:hgfd.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial gradiente]]

<center>''En el gráfico se puede observar que hemos representado el gradiente como un campo vectorial''</center>

'''REPRESENTACIÓN DEL GRADIENTE Y LAS CURVAS DE NIVEL'''

Código MATLAB utilizado:
{{Matlab|codigo=
x=0:0.05:8;
y=-1:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
figure (1)
Z=1+((Y.^2).*exp(-((X.^2)+(Y.^2)-1/2).^2));
[ZX,ZY]=gradient(Z);
hold on
quiver(X,Y,ZX,ZY)
contour(X,Y,Z,'k');
axis([0,8,-2,2]);
shading flat
grid on
hold off
}}

[[Archivo:Gradiente123.png|600px|thumb|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel]]

Con este gráfico demostramos que las curvas de nivel son ortogonales al gradiente de la temperatura, es el mismo gráfico que el anterior pero se ha representado con otros ejes para poder observar mejor la ortogonalidad.

[[Archivo:graddmd.JPG|400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente ortogonal a las curvas de nivel.]]

<center>'''INTERPRETACIÓN''' </center>

El análisis de la variación de la temperatura a lo largo del canal se realiza analizando el gradiente que indica la dirección de crecimiento de la función temperatura en cada punto. En el gráfico aparece el gradiente como un campo vectorial, como ya se ha mencionado, junto con las curvas de nivel. Se observa que en torno a los puntos <math>y=1</math> e <math>y=-1</math> el módulo del gradiente aumenta por lo que la temperatura varía más rapidamente, en torno a esos puntos. Por otra parte, se observa que el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel, la razón de esta ortogonalidad se duduce de la definición de gradiente y curvas de nivel, el gradiente indica la dirección de crecimiento y sentido de los valores del campo en cada punto, y las curvas de nivel son el lugar geométrico de los puntos equipotenciales. Si el gradiente tuviera componentes paralelas a las curvas las definiciones anteriores serían contradictorias.

== Caudal del canal ==

''Suponiendo que la velocidad está dada en m/s y que el canal tiene una profundidad de 1 metro, ¿qué caudal lleva el canal?''

El caudal es el volumen de fluido que pasa a través del canal por unidad de tiempo y se calcula mediante la integral de superficie siguiente:

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}</math></center>

donde <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidades. Al tratarse de una integral de superficie hay que tener en cuenta el vector normal que es perpendicular a la superficie.

En nuestro caso, el campo de velocidades es:

<center><math>\vec{u}(y,z)=\frac{z^2-z}{-2}\vec{j}</math></center>,

Esa expresión resulta de sustituir los valores siguientes en la expresión incial del campo:

<center><math>p_1=2 \ {,} \ p_2=1 \ {,} \ μ=1</math></center>

La profundidad del caudal es de 1 metro, por lo que al parametrizar nos da:
: <math>x=u </math> <math>u</math>[0,1]
: <math>y=8</math>
: <math>z=v </math> <math>v</math>[-1,0]
Por lo que:
: <math>ru=(1,0,0)</math>
: <math>rv=(0,0,1)</math>
: <math>|ru\times rv|=(0,-1,0)</math>

'''CÁLCULO DEL CAUDAL'''

<center><math>\int_{S}\vec{v} \cdot d\vec{S}=\int_{S}\vec{u} \cdot |ru\times rv|=\int_{-1}^{0} \int_{0}^{1} \frac{z^2-z}{2}dzdx=-0.08\frac{m^3}{s}</math></center>

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T17:28:19Z

FelipeDelgado: /* Campo de fuerzas \vec F . */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel22022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional22022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Archivo:Fuerzaf2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación del campo de fuerzas]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de los valores de rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
i=((2.*(log(RR)-1).*sin(2.*TT))./(RR.^2))-(log(RR).*(sin(TT)-9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2)); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j=-((4.*cos(2.*TT).*log(RR))./(RR.^2))-(log(RR).*(cos(TT)+9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2));
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T17:25:36Z

FelipeDelgado: /* Campo de fuerzas \vec F . */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel22022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional22022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Archivo:Fuerzaf2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación del campo de fuerzas F]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de los valores de rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
i=((2.*(log(RR)-1).*sin(2.*TT))./(RR.^2))-(log(RR).*(sin(TT)-9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2)); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j=-((4.*cos(2.*TT).*log(RR))./(RR.^2))-(log(RR).*(cos(TT)+9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2));
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Fuerzaf2022.png

2022-12-09T17:24:36Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T11:57:49Z

FelipeDelgado: /* Campo de fuerzas \vec F . */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel22022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional22022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de los valores de rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
i=((2.*(log(RR)-1).*sin(2.*TT))./(RR.^2))-(log(RR).*(sin(TT)-9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2)); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j=-((4.*cos(2.*TT).*log(RR))./(RR.^2))-(log(RR).*(cos(TT)+9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2));
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T11:57:27Z

FelipeDelgado: /* Campo de fuerzas \vec F . */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel22022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional22022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

{{matlab=codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de los valores de rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
i=((2.*(log(RR)-1).*sin(2.*TT))./(RR.^2))-(log(RR).*(sin(TT)-9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2)); %Fórmulas de la Fuerza en i, j
j=-((4.*cos(2.*TT).*log(RR))./(RR.^2))-(log(RR).*(cos(TT)+9.*sin(3.*TT))./((2.*RR).^2));
hold on
mesh(x,y,0.*x)
quiver(x,y,i,j)
axis ([-2,2,-0,3])
title('Campo de fuerzas')
hold off
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:54:45Z

FelipeDelgado: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel22022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional22022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Curvasnivel22022.png

2022-12-09T10:54:34Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:53:55Z

FelipeDelgado: /* Gradiente de la temperatura */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional22022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Gradiente22022.png

2022-12-09T10:53:42Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:52:28Z

FelipeDelgado: /* Rotacional */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional22022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Rotacional22022.png

2022-12-09T10:52:12Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:50:59Z

FelipeDelgado: /* Divergencia */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
[[Archivo:Divergencia12022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de la divergencia del campo vectorial]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Divergencia12022.png

2022-12-09T10:49:46Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:47:03Z

FelipeDelgado: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:46:51Z

FelipeDelgado: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Mises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor
[[Archivo:Vonmises12022.png|500px|miniatura|derecha|Representación de la tensión de Von Mises]]

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Vonmises12022.png

2022-12-09T10:45:08Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:42:52Z

FelipeDelgado: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial22022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones de las tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Tangencial22022.png

2022-12-09T10:41:43Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:39:26Z

FelipeDelgado: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:39:13Z

FelipeDelgado: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

[[Archivo:Tangencial2022|700px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:38:30Z

FelipeDelgado: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

[[Archivo:Tangencial2022|500px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:37:45Z

FelipeDelgado: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial2022|500px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:37:25Z

FelipeDelgado: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tangencial2022|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Tangencial2022.png

2022-12-09T10:37:06Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:33:29Z

FelipeDelgado: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|centro|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|centro|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tenstang22022|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:32:55Z

FelipeDelgado: /* Desplazamiento producido por \vec u~ */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|centro|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tenstang22022|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:32:38Z

FelipeDelgado: /* Desplazamiento producido por \vec u~ */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|centro|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tenstang22022|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:32:33Z

FelipeDelgado: /* Tensiones tangenciales */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|izquierda|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>
[[Archivo:Tenstang22022|450px|miniatura|derecha|Tensiones tangenciales.]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:32:19Z

FelipeDelgado: /* Desplazamiento producido por \vec u~ */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|izquierda|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Tenstang22022.png

2022-12-09T10:31:47Z

FelipeDelgado:

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:28:50Z

FelipeDelgado: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|derecha|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}
Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:28:28Z

FelipeDelgado: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|derecha|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}
Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:
[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|izquierda|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:27:53Z

FelipeDelgado: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|derecha|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}
Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')

[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|izquierda|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]
}}

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las transformaciones de un cuarto de anillo (Grupo 13B)

2022-12-09T10:27:28Z

FelipeDelgado: /* Tensor de tensiones */

{{ TrabajoED | Deformaciones en un cuarto de anillo. | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Felipe Delgado Rubio, Carlos Reillo González, Jorge Granadino Aranda, Diego de la Flor Bravo }}

Consideramos una placa plana definida por un anillo centrado en el origen comprendido entre los radios 1 y 2, y por el plano \(y≥|x|\). Para realizar el estudio dispondremos de la función de temperatura, dada en coordenadas cartesianas:
 
<math>T(x,y)=log((x-3)^2+2)</math>.

A su vez, también dispondremos de la función de campo, dada en coordenadas cilíndricas:
 
<math>\vec u(ρ,θ)=\frac{log(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2}) ~</math>\(\vec e_θ\).

==Mallado==
Nuestro anillo esta regido por varias condiciones; el radio debe estar contenido entre 1 y 2, y el anillo está comprendido en el plano \(y≥|x|\). Estas condiciones en coordenadas cilíndricas se representan como; (ρ,θ) ∈ [1,2]×[<math>\frac{π}{4}</math>,<math>\frac{3π}{4}</math>]. Tomando como ejes para la representación del mallado del anillo, \((x, y) ∈ [-3; 3] × [−1; 3]\) y tomando el paso de muestreo h=<math>\frac{2}{10}</math> en los ejes x e y, permitirá realizar una representación exacta de la placa en el espacio 2-D.

[[Archivo:Mallado12022.png|275px|miniatura|derecha|Representación del mallado]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
mesh(x,y,0.*x)
view(2)
axis([-3,3,-1,3]) %Asignación del eje
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Representación placa en 2D')
}}

==Curvas de nivel de la temperatura==
Las curvas de nivel son la representación de la temperatura sobre la placa, sabiendo que la función temperatura es;

<math>T(x,y)=ln((x−3)^2 +2)</math>

[[Archivo:Curvasnivel2022.png|400px|miniatura|derecha|Representación de las curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
T=log((x-3).^2+2); %Función de temperaturas
hold on
subplot(1,2,1)
surf(x,y,T) %Representación el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
subplot(1,2,2)
contour(x,y,T,20/h)
title('Curvas de Nivel')
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off
}}
La temperatura máxima es 3,0674ºC,
{{matlab|codigo=
Maximo=max(max(T)); %Asigna el numero máximo de la función T a la variable 'Maximo'
}}

==Gradiente de la temperatura==
El gradiente de la temperatura representa la dirección en la que varía más rápido. El gradiente se obtiene mediante la siguiente fórmula; <math>\nabla T(x,y)=\frac{∂T}{∂x}\vec i +\frac{∂T}{∂y}\vec j</math>.

Lo que hace que el gradiente de <math>T(x, y)=ln((x−3)^2 +2)</math>, sea:

<math>\nabla T(x,y)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2+2} \vec i</math>

Para una mejor interpretación, el gradiente será representado en 2D y en 3D

[[Archivo:Gradiente2022.png|400px|miniatura|derecha|Representaciones del gradiente de la temperatura]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]= meshgrid(rho,tt); %Creación del mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
G=(2.*(x-3)./((x-3).^2)+2); %Gradiente de la temperatura
T=log((x-3).^2 + 2); %Función de temperatura
subplot(1,2,2) %Gráfica en 3D
hold on
surf(x,y,T)
quiver3(x,y,T,G,0*y,0*T)
axis vis3d
view(3)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
title('Gradiente 3D')
hold off
subplot(1,2,1) %Gráfica en 2D
view(2)
hold on
contour(x,y,T,60)
ti=inline('(2.*(x-3))./(((x-3).^2)+2)','x','y');
tj=inline('0.*x','x','y');
Tx=ti(x,y);
Ty=tj(x,y);
quiver(x,y,Tx,Ty)
axis([-3,3,-1,3])
title('Gradiente de la temperatura en 2D')
hold off
}}

==Desplazamiento producido por <math>\vec u~</math>==
El desplazamiento que se produce en la placa es el que ejerce <math>\vec u(ρ,θ)</math> sobre la placa.

[[Archivo:Desplazamiento12022.png|400px|miniatura|derecha|La placa antes y después de la acción del campo]]
[[Archivo:Desplazamiento22022.png|400px|miniatura|derecha|Comparación entre antes (rojo) y después del desplazamiento (azul)]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
subplot(1,2,1) %Placa en el inicio
m=mesh(x,y,0*x);
view(2)
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa no desplazada')
subplot(1,2,2) %Placa desplazada
A=(sin(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
B=(-cos(TT).*cos(2.*TT).*log(RR))./2;
X=x+A;
Y=y+B;
n=mesh(X,Y,0*X);
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
axis([-3,3,-1,3])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Placa desplazada')
figure %Comparación de ambas placas
n=mesh(X,Y,0*X);
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
set(n,'EdgeColor','b') %Color de la placa desplazada
title('Desplazamiento de la placa')
hold on
m=mesh(x,y,0*x);
set(m,'EdgeColor','r') %Color de la placa de inicio
hold off
}}
Se puede observar que la superficie de la placa no cambia de forma significativa; sin embargo, se puede apreciar como actúa el campo sobre ella.

==Divergencia==
La divergencia es un operador vectorial que opera sobre un campo vectorial, produciendo un campo escalar. Representa los cambios de volumen local originados por el vector velocidad, en nuestro caso el vector velocidad es; <math>\vec u(ρ,θ)=\frac{ln(ρ)}{2}sin(2θ-\frac{π}{2})\vec e_θ </math>.

La divergencia en cilíndricas se calcula;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial{\rho}}({\rho·u_ρ})+\frac{\partial}{\partial{\theta}}(u_θ))] </math>

Por lo tanto, la divergencia de nuestro campo vectorial es;

<math>\nabla\cdot\vec u=\frac{ln(ρ)}{ρ}sin(2θ)</math>

Para entender de mejor manera la divergencia, se graficara en 2D y 3D
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
DIVu=(1./RR).*(log(RR).*sin(2.*(TT))); %Divergencia de u
subplot(1,2,1) %Gráfica 2D
surf(x,y,DIVu)
shading interp
view(2)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
title('Divergencia 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Gráfica 3D
view(2)
surf(x,y,DIVu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
axis vis3d
title('Divergencia 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
La divergencia es máxima en el punto (<math>\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale 0.3466, mínima en el punto (<math>-\sqrt{2}</math>,<math>\sqrt{2}</math>); donde vale -0.3466, y nula en (0,0). Estos puntos se pueden apreciar en la gráfica.

==Rotacional==
El rotacional es un operador vectorial que actúa sobre campos vectoriales, muestra la tendencia de un campo vectorial a producir rotación en un punto. La expresión del rotacional calculada en coordenadas cilíndricas se define por la siguiente expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ) = \frac{1}{ρ}\left|\begin{matrix} \vec e_ρ & ρ\vec e_θ & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \vec v_ρ & \vec ρv_θ & \vec v_z \end{matrix}\right|</math>.

Aplicándola sobre el campo conocido, <math>\vec u(ρ,θ) </math>, devuelve la expresión;

<math>\nabla×\vec u(ρ,θ)=-\frac{cos(2θ)(ln(ρ)+1)}{2ρ} \vec e_z</math>

[[Archivo:Rotacional2022.png|400px|miniatura|derecha|Rotacional]]

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
ROTu=(-cos(2.*TT).*(log(RR)+1))./(2.*RR) ; %Rotacional de u
subplot(1,2,1) %Representación en 2D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
title('Rotacional en 2D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2) %Representación en 3D
surf(x,y,ROTu)
shading interp
colorbar
title('Rotacional en 3D')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
}}
El punto que sufre mayor rotacional es el punto (0,1).

==Tensor de tensiones==
El objeto del apartado es determinar σ. Una vez definida la parte simétrica del tensor gradiente de u conocido como tensor de deformaciones. siendo este ε(u). Entonces conoceremos el tensor de tensiones definido como σ. Sabemos que σ se puede obtener a partir de la fórmula:

[[Archivo:Fórmulasigma.JPG|150px|miniatura|centro]]

Tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos como iguales a 1, y el tensor de deformaciones como la suma del gradiente de \(\vec u\) con su matriz traspuesta divididos por 2. EL resultado de sigma lo podemos ver incluido en el código del programa.

Después podremos representar las tensiones normales en la dirección que marca el eje i, es decir <math>\vec i </math> = \(\vec g_{i}\) * σ * \(\vec g_{i}\), las tensiones normales en la dirección que marca el eje j, es decir <math>\vec j </math> = \(\vec g_{j}\) * σ * \(\vec g_{j}\) y las correspondientes al eje k, es decir <math>\vec k</math> = \(\vec g_{k}\) * σ * \(\vec g_{k}\). Resultan las siguientes gráficas:

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de Muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
a=log(RR).*sin(2.*TT)./RR; %Elemento (1,1) y (3,3) de la matriz
b=(1./2.*RR).*(RR.*log(RR).*cos(2.*TT)-cos(2.*TT)); %Elemento (1,2) y (2,1) de la matriz
c=2.*log(RR).*sin(2.*TT)./RR;
d=a+c %Elemento (2,2) de la matriz
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
view(2)
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
figure
subplot(1,3,1) %Tensión normal en e_rho
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub rho')
subplot(1,3,2) %Tensión normal en e_theta
surf(x,y,d)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e sub theta')
subplot(1,3,3) %Tensión normal en e_z
surf(x,y,a)
axis equal
shading interp
colorbar
title('Tensión normal eje e_z')
}}

[[Archivo:Pruebaxy2022.png|400px|miniatura|izquierda|Representación de las tensiones normales a los ejes]]
[[Archivo:Tensionnormal.png|400px|miniatura|derecha|Vista plano XY]]

==Tensiones tangenciales==
Habiendo calculado σ en el apartado anterior, se determinan las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec e_ρ\). Únicamente quedan representadas aquellas tensiones que no son nulas. Se presenta el módulo de la tensión tangencial como:

<math>|σ·\vec e_ρ-(\vec e_ρ·(σ·\vec e_ρ))\vec e_ρ|</math>

{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Mallado
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
tang=((-cos(2.*TT)./2.*RR).*(1-log(RR))); %Función de la tensión tangencial
subplot(2,1,1) %Representación en 2D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(2)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
subplot(2,1,2) %Representación en 3D
surf(x,y,tang)
shading interp
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
view(3)
colorbar
title('Tensión tangencial a la dirección del eje e sub rho')
}}

==Tensión de Von Mises==

Para este apartado tratamos la Tensión de Von Mises. Se presenta como una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuándo un material
inicia un comportamiento plástico. Emplearemos la siguiente fórmula, que toma como valores de σ(1), σ(2) y σ(3) los autovalores de la matriz σ (también conocidos como tensiones principales). Para completar el apartado se pinta la Tensión de Von Moises y se señala el punto en el que alcanza el mayor valor

[[Archivo: TVONMISES.png]]
{{matlab|codigo=
h=2/10; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
tt=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[RR,TT]=meshgrid(rho,tt); %Malldo
x=RR.*cos(TT); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=RR.*sin(TT);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(tt),length(rho));
a = @(R,T) (log(R)./R).*sin(2.*T); %Fórmulas de las componentes de sigma
b = @(R,T) (-cos(2.*T)./(2.*R)).*(1-log(R));
c = @(R,T) (3.*log(R)./R).*sin(2.*T);

for i=1:length(tt) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,2)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,2)= c(RR(i,j),TT(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(RR(i,j),TT(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end
subplot(1,3,1) %Representación en 2D en el eje XOY
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')
subplot(1,3,2) %Representación en 3D
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')
subplot(1,3,3) %Representación en 2D en el eje XOZ
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
endif
endfor
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

==Campo de fuerzas <math> \vec F </math>.==
Las fuerzas que actuan sobre la placa y que causan el desplazamiento observado, se calculan con la ecuacion de la elasticidad lineal <math>\vec F </math>:
 
<math> \vec{F}=\frac{\partial^2\vec{u} }{\partial t^2}-\mu \Delta \vec{u} -(\lambda +\mu )\nabla(\nabla\cdot\vec{u})</math>
 
La ecuación añadida nos da como resultado un campo vectorial que representa unas fuerzas aplicadas sobre la placa. Para cada punto del campo vectorial, <math>\vec F </math> devuelve un vector que representa la fuerza aplicada en dicho punto.
 
El Laplaciano de un campo vectorial, operación que aparece en la ecuación, se calcula mediante la siguiente fórmula:
 
<math>\Delta \vec{u}=\Delta (u_1\vec{i}+u_2\vec{j}+u_3\vec{k})=\Delta u_1\vec{i}+\Delta u_2\vec{j}+\Delta u_3\vec{k}</math>
 
También, tomamos los coeficientes de Lamé (λ y μ) ambos iguales a 1.
 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]