La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-08T23:10:07Z

Felipe.ylopez: /* Poster Cicloide Grupo 65 */

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);

</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]

<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');

</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
clear;clc;
N=10000;
h=(2*pi)/N;
t=0:h:(2*pi-h);

dx=R*(1-cos(t));
dy=R*sin(t);
ds=sqrt(dx.^2+dy.^2);

Longitud=sum(ds*h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===
El vector tangente es un vector de magnitud uno que apunta en la misma dirección que la velocidad. Su función es mostrar la dirección instantánea del movimiento a lo largo de la curva.
* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
El vector normal es el vector perpendicular (ortogonal) al vector tangente. Este vector señala la concavidad de la curva, es decir, hacia dónde está girando en ese punto.
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).
[[Archivo:Curva_Tangente_Normal2.png|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, tangente y normal generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,12);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
T1=R*(1-cos(t));
T2=R*(sin(t));
norma= sqrt(T1.^2+T2.^2);
N1=T1./norma;
N2=T2./norma;

figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,N1,N2,'r');
quiver(x,y,N2,-N1,'b');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','`Tangente','Normal');
title('Curva, tangente y normal');
</source>

=== Curvatura ===
[[Archivo:Kappawacho.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]
La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math>, simplificando mediante reglas trigonométricas viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{\gamma'(t)\times\gamma''(t)}{|\gamma'(t)|^3}= \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
t=linspace(0.1,2*pi-0.1,100);
kappa=1./(12*sin(t/2));

plot(t,kappa,'r-','LineWidth',2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
grid on;
</source>

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = \frac {1} {|κ(t)|} = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.
[[Archivo:Osculatrizbro.jpg|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]
<source lang="matlab">
R=3;
t=4;
P=[R*(t-sin(t)),R*(1-cos(t))];
rho=12*sin(t/2);
N=[cos(t/2),-sin(t/2)];
Centro=P+rho*N;
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
figure(4);
plot(x,y,'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc=Centro(1)+rho*cos(theta);
yc=Centro(2)+rho*sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P(1), P(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:Cicloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal (suelo), conocida como el eje directriz, abarcando una longitud de 2πr (perímetro de la circunferencia generadora), donde r es el radio de la circunferencia generadora.
 
Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
-Circunferencia Generadora: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto de la circunferencia generadora en cualquier instante, respectivamente.
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.

[[Archivo:Rafajarillopillo.gif|thumb|250px|Visualización de la tautócrona]]
 
La cicloide posee varias propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).
 

[[Archivo:Evolutacicloide.png|250px|thumb|left|texto alternativo]]
La evoluta de una curva se consigue al unir los centros de la circunferencia osculatriz a lo largo de la curva.

Para el caso especifico de la cicloide, otra propiedad de la curva es que su evoluta forma otra cicloide desplazada medio periodo.
 
Sobre la circunferencia osculatriz, el las cúspides (donde toca el eje generador) el giro es instantaneo, por lo que el radio de la osculatriz es teoricamente 0, en la cima de la cicloide el radio de curvatura es 4 veces mayor que el de la circunferencia generadora (4r)

=== Estructura civil ===
[[Archivo:Kimbell.jpg|thumb|center|800px|Museo de arte Kimbell]]

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el "Museo de Arte Kimbell" en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La cubierta del Kimbell está constituida por un conjunto de bóvedas-cascarón cuya sección transversal sigue una forma de cicloide.
La altura del techo pudo reducirse de los 9 metros de altura empleando un arco de circunferencia, a los 6 metros utilizando la cicloide, haciendo los espacios altos pero a la vez proporcionados y cómodos.

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>
[[Archivo:3Dhola.jpg|thumb|center|400px|Cicloide parametrizada en dimensión 3]]
<source lang="matlab">
u=0:0.1:1;
t=0:0.1:2*pi;
[U,T]=meshgrid(u,t);

X1=U;
X2=R*(T-sin(T));
X3=R*(1+cos(T));

surf(X1,X2,X3);
colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis equal
</source>

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
densidad=@(u,t)(1 + u).*(1+R*(t-sin(t))).*(R*(1+cos(t))).*(2*R*sin(t/2));
Masa=integral2(densidad,0,1,0,2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n',Masa);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

=== Poster Cicloide Grupo 65 ===
[[Archivo:Cicloide-1.png|thumb|center|250px|Poster Cicloide Grupo 65]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-08T23:09:32Z

Felipe.ylopez:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);

</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]

<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');

</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
clear;clc;
N=10000;
h=(2*pi)/N;
t=0:h:(2*pi-h);

dx=R*(1-cos(t));
dy=R*sin(t);
ds=sqrt(dx.^2+dy.^2);

Longitud=sum(ds*h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===
El vector tangente es un vector de magnitud uno que apunta en la misma dirección que la velocidad. Su función es mostrar la dirección instantánea del movimiento a lo largo de la curva.
* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
El vector normal es el vector perpendicular (ortogonal) al vector tangente. Este vector señala la concavidad de la curva, es decir, hacia dónde está girando en ese punto.
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).
[[Archivo:Curva_Tangente_Normal2.png|thumb|center|500px|Gráfica de la curva, tangente y normal generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,12);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
T1=R*(1-cos(t));
T2=R*(sin(t));
norma= sqrt(T1.^2+T2.^2);
N1=T1./norma;
N2=T2./norma;

figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,N1,N2,'r');
quiver(x,y,N2,-N1,'b');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','`Tangente','Normal');
title('Curva, tangente y normal');
</source>

=== Curvatura ===
[[Archivo:Kappawacho.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]
La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math>, simplificando mediante reglas trigonométricas viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{\gamma'(t)\times\gamma''(t)}{|\gamma'(t)|^3}= \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
t=linspace(0.1,2*pi-0.1,100);
kappa=1./(12*sin(t/2));

plot(t,kappa,'r-','LineWidth',2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
grid on;
</source>

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = \frac {1} {|κ(t)|} = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.
[[Archivo:Osculatrizbro.jpg|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]
<source lang="matlab">
R=3;
t=4;
P=[R*(t-sin(t)),R*(1-cos(t))];
rho=12*sin(t/2);
N=[cos(t/2),-sin(t/2)];
Centro=P+rho*N;
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
figure(4);
plot(x,y,'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc=Centro(1)+rho*cos(theta);
yc=Centro(2)+rho*sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P(1), P(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:Cicloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal (suelo), conocida como el eje directriz, abarcando una longitud de 2πr (perímetro de la circunferencia generadora), donde r es el radio de la circunferencia generadora.
 
Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
-Circunferencia Generadora: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto de la circunferencia generadora en cualquier instante, respectivamente.
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.

[[Archivo:Rafajarillopillo.gif|thumb|250px|Visualización de la tautócrona]]
 
La cicloide posee varias propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).
 

[[Archivo:Evolutacicloide.png|250px|thumb|left|texto alternativo]]
La evoluta de una curva se consigue al unir los centros de la circunferencia osculatriz a lo largo de la curva.

Para el caso especifico de la cicloide, otra propiedad de la curva es que su evoluta forma otra cicloide desplazada medio periodo.
 
Sobre la circunferencia osculatriz, el las cúspides (donde toca el eje generador) el giro es instantaneo, por lo que el radio de la osculatriz es teoricamente 0, en la cima de la cicloide el radio de curvatura es 4 veces mayor que el de la circunferencia generadora (4r)

=== Estructura civil ===
[[Archivo:Kimbell.jpg|thumb|center|800px|Museo de arte Kimbell]]

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el "Museo de Arte Kimbell" en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La cubierta del Kimbell está constituida por un conjunto de bóvedas-cascarón cuya sección transversal sigue una forma de cicloide.
La altura del techo pudo reducirse de los 9 metros de altura empleando un arco de circunferencia, a los 6 metros utilizando la cicloide, haciendo los espacios altos pero a la vez proporcionados y cómodos.

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>
[[Archivo:3Dhola.jpg|thumb|center|400px|Cicloide parametrizada en dimensión 3]]
<source lang="matlab">
u=0:0.1:1;
t=0:0.1:2*pi;
[U,T]=meshgrid(u,t);

X1=U;
X2=R*(T-sin(T));
X3=R*(1+cos(T));

surf(X1,X2,X3);
colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis equal
</source>

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
densidad=@(u,t)(1 + u).*(1+R*(t-sin(t))).*(R*(1+cos(t))).*(2*R*sin(t/2));
Masa=integral2(densidad,0,1,0,2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n',Masa);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

=== Poster Cicloide Grupo 65 ===
[[Archivo:Cicloide-1.png|thumb|center|500px|Poster Cicloide Grupo 65]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

2025-12-03T14:34:38Z

Felipe.ylopez:

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T14:28:19Z

Felipe.ylopez:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:Cicloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz, abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador.

Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
 
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
 
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
 
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
 
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
 

La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Cicloide (GRUPO 65)

2025-12-03T14:27:08Z

Felipe.ylopez:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

% Dibujo
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
</source>

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===
[[Archivo:icloide-rotacionchino.gif|thumb|333px|Generación de la trayectoria cicloidal]]
 
La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz, abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador.

Las propiedades y definiciones importantes de la cicloide son:
 
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
 
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
 
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
 
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
 

La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

2025-12-03T14:05:50Z

Felipe.ylopez:

{{ TrabajoED | La cicloide. Grupo 65 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Rafael Jarillo Cabezas Miguel Tao, Tentor Gonzalez de Eiris Felipe Yagüe López Tomas Young Christiansen Luca Raffin Barrios}}
Se considera una curva en un plano de dimensión 2 dada por la parametrización:
 
<math> 𝛾(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π) </math>
 
Siendo R un número positivo fijo. En este caso R=3

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

:<math>\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (R(t - \sin t), R(1 - \cos t)), \quad t \in (0, 2\pi)</math>

donde <math>R</math> es un número positivo fijado. En este trabajo tomamos '''<math>R = 3</math>'''.

=== Dibujar la curva ===

La curva representa el trayecto de un punto en el borde de una rueda de radio <math>R=3</math> que gira sin deslizar.
[[Archivo:felipeyluca.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la Cicloide (R=3) generada en MATLAB]]
 
<source lang="matlab">
% --- 1. Gráfica de la Cicloide ---

R = 3;
t = linspace(0, 2*pi, 1000);

% Parametrización
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));

figure(1);
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Cicloide (R=3)');
xlabel('x'); ylabel('y');
axis equal; grid on; xlim([0, 2*pi*R]);
</source>

 

=== Vectores velocidad y aceleración ===

Calculamos analíticamente los vectores derivando la parametrización:
El vector velocidad corresponde a la primera derivada del vector inicial con respecto al parámetro t. La parametrización se muestra a continuación:
* '''Velocidad:''' <math>\gamma'(t) = (3(1 - \cos t), 3\sin t)</math>
El vector aceleración viene dado por la segunda derivada de la cicloide con respecto al parámetro t. El vector calculado es el siguiente:
* '''Aceleración:''' <math>\gamma''(t) = (3\sin t, 3\cos t)</math>

A continuación, el código para dibujarlos en un punto arbitrario (por ejemplo, <math>t = \pi/2</math>):
[[Archivo:VEL.ACEL.jpg|thumb|center|400px|Gráfica de la curva, velocidad y aceleración generada en MATLAB]]
<source lang="matlab">
clear;clc;
R=3;
t=linspace(0,2*pi,20);
x=R*(t-sin(t));y=R*(1-cos(t));
%vectores
Vx=R*(1-cos(t));Vy=R*(sin(t));
Ax=R*(sin(t)); Ay=R*(cos(t));
figure
%Dibujo
plot(x,y,'k')
hold on
quiver(x,y,Vx,Vy,'b');
quiver(x,y,Ax,Ay,'g');
hold off
grid on
%Etiquetas
axis equal
legend('Curva','Velocidad','Aceleración');
title('Curva, velocidad y aceleración');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Vectores.png|thumb|center|400px|Vectores velocidad y aceleración sobre la curva]]

=== Longitud de la curva ===

La longitud de la curva se calcula mediante la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} \|\gamma'(t)\| dt = \int_0^{2\pi} 3\sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} \, dt</math>

Simplificando el integrando obtenemos <math>6\sin(t/2)</math>. Resolviendo la integral:
:<math>L = \int_0^{2\pi} 6\sin(t/2) dt = [-12\cos(t/2)]_0^{2\pi} = 24</math>

'''Cálculo numérico (Método del Rectángulo):'''

<source lang="matlab">
% --- 3. Longitud de Arco (Método Rectángulo) ---
N = 10000;
h = (2*pi) / N;
t_rect = 0:h:(2*pi-h);

dx = R * (1 - cos(t_rect));
dy = R * sin(t_rect);
ds = sqrt(dx.^2 + dy.^2);

Longitud_Aprox = sum(ds * h);
fprintf('Longitud Aproximada: %.5f\n', Longitud_Aprox);
fprintf('Longitud Teórica: 24\n');
</source>

=== Vectores tangente y normal ===

* '''Tangente unitario:''' <math>\vec{t}(t) = (\sin(t/2), \cos(t/2))</math>
* '''Normal unitario:''' <math>\vec{n}(t) = (\cos(t/2), -\sin(t/2))</math> (apuntando hacia el centro de curvatura).

<source lang="matlab">
% --- 4. Vectores Tangente y Normal ---
figure(2);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
title('Vectores Tangente (Magenta) y Normal (Cian)');

t_vals = 1:1:5;
for k = 1:length(t_vals)
tk = t_vals(k);
Pk = [R*(tk - sin(tk)), R*(1 - cos(tk))];

vk = [R*(1 - cos(tk)), R*sin(tk)];
Tk = vk / norm(vk); % Tangente
Nk = [Tk(2), -Tk(1)]; % Normal

quiver(Pk(1), Pk(2), Tk(1), Tk(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2);
quiver(Pk(1), Pk(2), Nk(1), Nk(2), 0.5, 'c', 'LineWidth', 2);
end
</source>

[[Archivo:Cicloide_Frenet.png|thumb|center|400px|Diedro de Frenet a lo largo de la curva]]

=== Curvatura ===

La curvatura <math>\kappa(t)</math> para <math>R=3</math> viene dada por:
:<math>\kappa(t) = \frac{1}{4R\sin(t/2)} = \frac{1}{12\sin(t/2)}</math>

<source lang="matlab">
% --- 5. Gráfica de la Curvatura ---
t_k = linspace(0.1, 2*pi-0.1, 100);
kappa = 1 ./ (12 * sin(t_k / 2));

figure(3);
plot(t_k, kappa, 'r-', 'LineWidth', 2);
title('Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t'); grid on;
</source>

[[Archivo:Cicloide_Curvatura.png|thumb|center|400px|Gráfica de la curvatura en función de t]]

=== Circunferencia osculatriz en t=4 ===

Para el punto <math>P = \gamma(4)</math>:
* Radio de curvatura: <math>\rho = 12\sin(2) \approx 10.91</math>
* Centro de curvatura: Se calcula numéricamente desplazando <math>P</math> en dirección normal.

<source lang="matlab">
% --- 6. Circunferencia Osculatriz (t=4) ---
t0 = 4;
P0 = [R*(t0 - sin(t0)), R*(1 - cos(t0))];
rho = 12 * sin(t0/2);
N0 = [cos(t0/2), -sin(t0/2)];
Centro = P0 + rho * N0;

figure(4);
plot(x, y, 'b'); hold on; axis equal; grid on;
theta = linspace(0, 2*pi, 200);
xc = Centro(1) + rho * cos(theta);
yc = Centro(2) + rho * sin(theta);
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
plot(P0(1), P0(2), 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');
title('Circunferencia Osculatriz en t=4');
</source>

[[Archivo:Cicloide_Osculatriz.png|thumb|center|400px|Circunferencia osculatriz en t=4]]

=== Información sobre la curva ===

La cicloide es una curva plana generada por la trayectoria de un punto fijo en el borde de una circunferencia generadora que rueda sin deslizar sobre una recta horizontal. Un ciclo completo de la curva se forma cuando el punto regresa a la recta horizontal, conocida como el eje horizontal o directriz. abarcando una longitud de 2πr, donde r es el radio del círculo generador
-Círculo Generador: La circunferencia que gira y en cuyo borde se sitúa el punto que traza la curva.
-Directriz (Eje Horizontal): La recta fija sobre la que rueda el círculo.
-Punto Inferior y Superior: Los puntos más bajo (de contacto con la directriz) y más alto del círculo generador en cualquier instante, respectivamente.
-Ángulo Principal: El ángulo entre la tangente a la cicloide en un punto dado y el eje horizontal.
La cicloide posee notables propiedades matemáticas, como que toda normal a la cicloide pasa por el punto inferior del círculo generador, y la tangente pasa por el punto superior. También existe una relación angular entre el ángulo que forman la normal a la cicloide y la directriz, que será la mitad del ángulo principal.
La cicloide es la solución a dos de los problemas más importantes de la mecánica clásica
Es fundamental en problemas de minimización del tiempo de descenso bajo gravedad, ya que es la curva de descenso más rápido entre dos puntos únicamente por la acción de la gravedad y partiendo de reposo (Braquistócrona). También es la curva donde el tiempo de descenso a el punto más bajo es independiente del punto de partida (Tautócrona).

=== Estructura civil ===

Un ejemplo destacado del uso de arcos cicloidales es el **Museo de Arte Kimbell** en Texas, diseñado por el arquitecto Louis Kahn. La estructura de la cubierta está formada por bóvedas con perfil de cicloide que optimizan la distribución de la luz natural.

[[Archivo:Kimbell_Art_Museum.jpg|thumb|center|400px|Bóvedas cicloidales del Museo de Arte Kimbell]]

=== Superficie reglada en R3 ===

Consideramos la superficie:
:<math>\gamma(u, t) = (u, 3(t - \sin t), 3(1 + \cos t))</math>

<source lang="matlab">
% --- 9. Superficie Reglada ---
u = 0:0.1:1;
t_surf = 0:0.1:2*pi;
[U, T] = meshgrid(u, t_surf);

X1 = U;
X2 = R * (T - sin(T));
X3 = R * (1 + cos(T));

figure(5);
surf(X1, X2, X3);
shading interp; colormap jet;
title('Superficie Reglada Cicloidal');
axis tight; view(45, 30);
</source>

[[Archivo:Cicloide_Superficie.png|thumb|center|400px|Superficie reglada generada en MATLAB]]

=== Cálculo de la masa ===

Dada la densidad <math>f(x_1, x_2, x_3) = (1 + x_1)(1 + x_2)x_3</math>, calculamos la masa mediante la integral de superficie. El elemento de área diferencial es <math>dS = 6\sin(t/2) dt du</math>.

<source lang="matlab">
% --- 10. Cálculo de Masa ---
fun_densidad = @(u, t) (1 + u) .* (1 + R*(t - sin(t))) .* (R*(1 + cos(t))) .* (2*R*sin(t/2));
Masa_Total = integral2(fun_densidad, 0, 1, 0, 2*pi);
fprintf('Masa total: %.4f\n', Masa_Total);
</source>

'''Resultado aproximado:''' La masa calculada es <math>750.58</math> unidades.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]