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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo A1

2021-12-04T18:43:23Z

Facundo Perez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo A1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Héctor Alcañiz Poyatos Iván Calle Rodríguez Facundo Pérez Cristina Ye Wang }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-3)^2+(10y)^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{yf(x)}{20}\vec{i}-\frac{y^2}{40}\vec{j}</math></center>
donde <math>f(x)</math> es una cierta función que no conocemos.

== Ejercicio 1 ==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = 1/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:E1_A1.png|500px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
close all
% Definimos el paso de muestreo h para las variables x e y
h=1/10;
% Definimos los parámetros que definen la placa sólida: x e y
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];
% Creamos el mallado con las matrices X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Dibujamos la malla de puntos. mesh () es un comando que requiere de 3 elementos de entrada, por lo que la matriz Z será nula: 0 veces la matriz Y, por ejemplo
mesh(X,Y,0*Y)
% Utilizamos el comando axis (), pues queremos que el eje de abscisas vaya desde el -0.5 hasta el 10.5 y el eje Y desde el -1.5 hasta el 1.5
% Establecemos los límites de los ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
% Escribimos el título del gráfico y los nombres de los ejes
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view (2), visuaizamos el mallado en 2 dimensiones
view(2);
}}

== Ejercicio 2 ==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando ''contour'') y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

[[Archivo:.png|500px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 3 ==
Calcular <math>∇T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>∇T</math> es ortogonal a dichas curvas. ''(Nota: es muy importante que la escala de los ejes sea la misma para apreciar el que forman las curvas de nivel y el gradiente)''.

[[Archivo:.png|500px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 4 ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math>\vec{u}</math>. Calcularlo sabiendo:
* Los puntos situados en el eje <math>x = 0</math> no sufren desplazamiento en la dirección <math>\vec{i}</math>.
* <math>∇ · \vec{u} = 0</math>.

[[Archivo:.png|500px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 5 ==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:.png|500px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math>. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando ''subplot''.

[[Archivo:DesIni_A6.png|500px|thumb|right|Situación antes del desplazamiento]]
[[Archivo:DesFin_A6.png|500px|thumb|right|Situación después del desplazamiento]]
[[Archivo:DesComp_A6.png|500px|thumb|right|Comparación entre ambas situaciones]]

{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Vector desplazamiento
Ux=Mx.*My./20;
Uy=-(My.^2)./40;

figure

%Antes del desplazamiento
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*My)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+Ux,My+Uy,0*Uy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparación
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,0*My)
hold on
plot3(Mx+Ux,My+Uy,0*Uy)
hold off
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
title('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y')
}}

== Divergencia del campo vectorial sobre la placa ==
Dibujar <math>∇ · \vec{u}</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

En el apartado 4 se indica que la divergencia del desplazamiento es nula, por lo que ésta será nula en todos los puntos. En la representación la placa tendrá un color uniforme y no habrá cambio de volumen debido al desplazamiento en ningún punto.

[[Archivo:Div_A6.png|500px|thumb|right|Divergencia del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Según lo indicado en el apartado 4, la divergencia es nula
div=Mx.*0+My.*0;

%Se puede representar la divergencia, pero la placa tendrá un color uniforme porque es nula
surf(Mx,My,div)
shading flat
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2);
title('Divergencia del vector desplazamiento (nula)');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

=== Cálculo del rotacional ===
<math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{z}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ \frac{yf(x)}{20} & -\frac{y^2}{40} & 0\end{vmatrix} = -\frac{f(x)}{20}\vec{k} </math>.

=== Cálculo del módulo del rotacional ===
<math>|∇ × \vec{u}|=\frac{f(x)}{20}</math>

=== Representación del módulo del rotacional ===
Mientras que el rotacional se representa como un campo escalar, el módulo del rotacional se trata de un campo escalar. Como puede verse en la imagen adjunta, los puntos incrementan su módulo del rotacional según avanzan positivamente en el eje x. Así, los puntos de la placa con mayor módulo del rotacional será los situados en <math>x = 10</math>.

[[Archivo:ModRot_A1.png|500px|thumb|right|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Cálculo del módulo del rotacional
rot=Mx./20;

%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y')
}}

== Tensor de tensiones ==
Definamos <math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σ_{ij}</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2 μԐ</math>,
donde λ y μ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = μ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i}·σ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j}·σ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k}·σ·\vec{k}</math>.

[[Archivo:.png|500px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Tensiones tangenciales ==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ·\vec{i} − (\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>.

[[Archivo:.png|500px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Tensión de Von Mises ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σ_{VM}=\sqrt{\frac{(σ_{1}-σ_{2})^2+(σ_{2}-σ_{3})^2+(σ_{3}-σ_{1})^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ_{1}</math>, <math>σ_{2}</math> y <math>σ_{3}</math> son los autovalores de <math>σ</math> (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).

Sus valores aumentan una cantidad considerable al alejarse del eje Y y del eje X. Dado esto sus valores maximos son los que se dan en las esquinas de la derecha de la placa. Ambas tienen el mismo valor de 0.88318.
A continuacion se muestra su calculo en Octave/MatLab.

[[Archivo:Mises.png|500px|thumb|right|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clear
clc
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*X;

%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(X);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[Y(i,j)/10;X(i,j)/20;0],[X(i,j)/20;-Y(i,j)/10;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
colorbar
}}

== Campo de fuerzas que actúa sobre la placa ==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.

=== Cálculo del campo de fuerzas ===

<math> \vec F = -\frac{∂σji}{∂xj}\vec e = \frac{\frac{∂y}{10}}{∂x}\vec i+ \frac{\frac{∂x}{20}}{∂y}\vec i+ \frac{∂0}{∂z}\vec i+ \frac{\frac{∂x}{20}}{∂x}\vec j+ \frac{\frac{∂-y}{10}}{∂y}\vec j+ \frac{∂0}{∂z}\vec j + \frac{∂0}{∂x}\vec k + \frac{∂0}{∂y}\vec k + \frac{∂0}{∂z}\vec k = - \frac{1}{20}\vec j + \frac{1}{10}\vec j</math>

<math>\vec F = \frac{1}{20}\vec j </math>

En este caso el campo de fuerzas es uniforme en toda la placa, tiene un valor de 1/20 en la direccion de Y.

=== Representación del campo de fuerzas ===
[[Archivo:FuerzasVerti.png|500px|thumb|right|Campo de fuerzas]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clear
clc
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Valor del campo de fuerzas para todos los puntos
F=1/20+Y.*0;

%Graficamos
quiver(x,y,0.*X,F)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Campo de Fuerzas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

[[Categoría:TC21/22]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo A1

2021-12-04T17:50:32Z

Facundo Perez:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad - Grupo A1 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC21/22|2021-22]] | Héctor Alcañiz Poyatos Iván Calle Rodríguez Facundo Pérez Cristina Ye Wang }}
Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [0, 10] × [−1, 1]</math>. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por,
<center><math>T(x, y)=(x-3)^2+(10y)^2</math></center>
y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{ro}(x, y)</math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto <math>(x, y)</math> de la placa después de la deformación viene dada por
<center><math>\vec{r}(x, y)=\vec{ro}(x, y)+\vec{u}(x, y)</math></center>
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos
<center><math>\vec{u}(x, y)=\frac{yf(x)}{20}\vec{i}-\frac{y^2}{40}\vec{j}</math></center>
donde <math>f(x)</math> es una cierta función que no conocemos.

== Ejercicio 1 ==
Dibujar un mallado que represente los puntos interiores del sólido. Tomar los ejes (comando axis) en el rectángulo <math>(x, y) ∈ [−0.5; 10.5] × [−1.5; 1.5]</math> y como paso de muestreo <math>h = 1/10</math> para las variables <math>x</math> e <math>y</math>.

[[Archivo:E1_A1.png|400px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
close all
% Definimos el paso de muestreo h para las variables x e y
h=1/10;
% Definimos los parámetros que definen la placa sólida: x e y
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];
% Creamos el mallado con las matrices X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
% Dibujamos la malla de puntos. mesh () es un comando que requiere de 3 elementos de entrada, por lo que la matriz Z será nula: 0 veces la matriz Y, por ejemplo
mesh(X,Y,0*Y)
% Utilizamos el comando axis (), pues queremos que el eje de abscisas vaya desde el -0.5 hasta el 10.5 y el eje Y desde el -1.5 hasta el 1.5
% Establecemos los límites de los ejes
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
% Escribimos el título del gráfico y los nombres de los ejes
title('Mallado');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Con el comando view (2), visuaizamos el mallado en 2 dimensiones
view(2);
}}

== Ejercicio 2 ==
Dibujar las curvas de nivel de la temperatura (comando ''contour'') y decidir en qué punto la temperatura es máxima a partir de la gráfica.

[[Archivo:.png|400px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 3 ==
Calcular <math>∇T</math> y dibujarlo como campo vectorial. Observar gráficamente que <math>∇T</math> es ortogonal a dichas curvas. ''(Nota: es muy importante que la escala de los ejes sea la misma para apreciar el que forman las curvas de nivel y el gradiente)''.

[[Archivo:.png|400px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 4 ==
Consideramos ahora el campo de desplazamientos <math>\vec{u}</math>. Calcularlo sabiendo:
* Los puntos situados en el eje <math>x = 0</math> no sufren desplazamiento en la dirección <math>\vec{i}</math>.
* <math>∇ · \vec{u} = 0</math>.

[[Archivo:.png|400px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 5 ==
Dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado del sólido.

[[Archivo:.png|400px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Sólido antes y después del desplazamiento ==
Dibujar el sólido antes y después del desplazamiento dado por el campo de vectores <math>u</math>. Dibujar ambos en la misma figura usando el comando ''subplot''.

[[Archivo:DesIni_A6.png|500px|thumb|right|Situación antes del desplazamiento]]
[[Archivo:DesFin_A6.png|500px|thumb|right|Situación después del desplazamiento]]
[[Archivo:DesComp_A6.png|500px|thumb|right|Comparación entre ambas situaciones]]

{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=0:h:10;
y=-1:h:1;

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Vector desplazamiento
Ux=Mx.*My./20;
Uy=-(My.^2)./40;

figure

%Antes del desplazamiento
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,0*My)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
title('Situación inicial');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Después del desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+Ux,My+Uy,0*Uy)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
title('Situación final');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');

%Comparación
subplot(2,2,3)
plot3(Mx,My,0*My)
hold on
plot3(Mx+Ux,My+Uy,0*Uy)
hold off
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2)
title('Comparación');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y')
}}

== Divergencia del campo vectorial sobre la placa ==
Dibujar <math>∇ · \vec{u}</math>. Determinar analíticamente los puntos en los que la divergencia de <math>\vec{u}</math> es máxima, mínima y nula. La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento. ¿Se puede apreciar esto en la gráfica?

En el apartado 4 se indica que la divergencia del desplazamiento es nula, por lo que ésta será nula en todos los puntos. En la representación la placa tendrá un color uniforme y no habrá cambio de volumen debido al desplazamiento en ningún punto.

[[Archivo:Div_A6.png|400px|thumb|right|Divergencia del desplazamiento]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Según lo indicado en el apartado 4, la divergencia es nula
div=Mx.*0+My.*0;

%Se puede representar la divergencia, pero la placa tendrá un color uniforme porque es nula
surf(Mx,My,div)
shading flat
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
view(2);
title('Divergencia del vector desplazamiento (nula)');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
colorbar
}}

== Rotacional del sólido ==
Calcular <math>|∇ × \vec{u}|</math> en todos los puntos del sólido y dibujarlo. ¿Qué puntos sufren un mayor rotacional?

[[Archivo:ModRot_A1.png|400px|thumb|right|Módulo del rotacional (campo escalar)]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clc
clear
close all

%Definición de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de x e y
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%Cálculo del módulo del rotacional
rot=Mx./20;

%Representación gráfica
surf(Mx,My,rot)
shading flat
axis equal
colorbar
view(2);
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
title('Módulo del rotacional');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y')
}}

== Ejercicio 9 ==
Definamos <math>ɛ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math>, la parte simétrica del tensor gradiente de <math>\vec{u}</math> conocido como tensor de deformaciones. En un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo los desplazamientos
permiten escribir el tensor de tensiones <math>σij</math> a través de la fórmula <math>σ = λ∇ · \vec{u} 1 + 2µɛ</math>,
donde λ y µ son los conocidos como coeficientes de Lamé que dependen de las propiedades elásticas de cada material. A pesar de que los desplazamientos son planos (es decir <math>\vec{u}</math> no tiene componente en la dirección de <math>\vec{k}</math>) las tensiones no tienen por qué ser planas y puede haber tensiones en la dirección ortogonal al plano de la placa. Tomando <math>λ = µ = 1</math>, dibujar las tensiones normales en la dirección que marca el eje <math>\vec{i}</math>, es decir <math>\vec{i} · σ ·\vec{i}</math>, las tensiones normales en
la dirección que marca el eje <math>\vec{j}</math>, es decir <math>\vec{j} · σ ·\vec{j}</math> y las correspondientes al eje <math>\vec{k}</math>, es decir <math>\vec{k} · σ · \vec{k}</math>.

[[Archivo:.png|400px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 10 ==
Calcular las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, es decir <math>|σ · \vec{i} − (\vec{i} · σ · \vec{i})\vec{i}|</math>.

[[Archivo:.png|400px|thumb|right|Mallado]]
{{matlab|codigo=

}}

== Ejercicio 11 ==
La tensión de Von Mises se define por la fórmula
<center><math>σVM=\sqrt{\frac{(σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2}{2}}</math></center>
donde <math>σ1</math>, <math>σ2</math> y <math>σ3</math> son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se trata de una magnitud escalar que se suele usar como indicador para saber cuando un material inicia un comportamiento plástico (y no elástico puro).
A continuacion se muestra su calculo en Octave/MatLab.

[[Archivo:Mises.png|400px|thumb|right|Tension de Von Mises]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clear
clc
close all

%Definiicon de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);
MVonM=0.*X;
%Definimos la funcion de Von mises donde tp1,2,3 son las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(X);

%Le asignamos a la matriz MVonM los valores de la tension de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[Y(i,j)/10;X(i,j)/20;0],[X(i,j)/20;-Y(i,j)/10;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%Graficamos
surf(X,Y,MVonM)
shading flat
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Tension de Von Mises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
colorbar
}}

== Ejercicio 12 ==
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>. Dibujar <math>\vec{F}</math> e interpretar la gráfica.
En este caso el campo de fuerzas solo tiene componente en la direccion de Y.

<math> - \frac{∂σji}{∂xj}\vec e= \vec F= \frac{\frac{∂y}{10}}{∂x}\vec i+ \frac{\frac{∂x}{20}}{∂y}\vec i+ \frac{∂0}{∂z}\vec i+ \frac{\frac{∂x}{20}}{∂x}\vec j+ \frac{\frac{∂-y}{10}}{∂y}\vec j+ \frac{∂0}{∂z}\vec j + \frac{∂0}{∂x}\vec k + \frac{∂0}{∂y}\vec k + \frac{∂0}{∂z}\vec k = - \frac{1}{20}\vec j + \frac{1}{10}\vec j = F = \frac{1}{20}\vec j </math>

[[Archivo:FuerzasVerti.png|400px|thumb|right|Campo de fuerzas]]
{{matlab|codigo=
%Limpieza de programas anteriores
clear
clc
close all

%Definiicon de regiones
h=1/10;
x=[0:h:10];
y=[-1:h:1];

%Matriz de X e Y
[X,Y]=meshgrid(x,y);

%Valor del campo de fuerzas para todos los puntos
F=1/20+Y.*0;

%Graficamos
quiver(x,y,0.*X,F)
axis([-0.5,10.5,-1.5,1.5]);
axis equal
title('Campo de Fuerzas');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
view(2);
}}

[[Categoría:TC21/22]]
[[Categoría:Teoría de Campos]]

Archivo:Mises.png

2021-12-04T17:27:53Z

Facundo Perez:

Archivo:FuerzasVerti.png

2021-12-04T17:27:02Z

Facundo Perez: