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Flujo de Couette (Grupo 26A)

2022-12-08T17:54:09Z

Estela Serrano Briz: /* Representación del gradiente de T */

{{ TrabajoED | Flujo de Cohuette entre dos cilindros coaxiales | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Ana Alejandra Rodríguez Falla, Estela Serrano Briz, Héctor Sánchez Sánchez, Ignacio Garrido Brito, Paula Ábalos Esteban }}
Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje en OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la la circunferencia ρ = 2 y el interior sobre la circunferencia ρ = 1. La velocidad angular cilindro exterior es ω > 0

== Representación de la sección trasversal ==

En primer lugar, con el fin de visualizar el flujo, cortamos los dos cilindros con el plano <math>x_3=0</math>, de forma que resulta la siguiente sección trasversal.

[[Archivo:SeccionTrasversal.jpeg|400px|miniaturadeimagen|centro|Sección trasversal de los dos cilindros]]

Para hallar esta figura, hemos ejecutado en MatLab el siguiente programa.
{{matlab|codigo=
h=30; % definicion del intervalo
u=linspace(1,2,h); % pertenencia del parametro u [1,2]
v=linspace(0,2*pi,2*h); % pertenencia del parametro v [0,2*pi]
[U,V]=meshgrid(u,v); % Matrices de coordenadas de U y V
figure(1)
X=U.*cos(V); % parametrizacion
Y=U.*sin(V);
mesh(X,Y,0*X); % Dibujo de la matriz
axis([-3,3,-3,3]) % Selección de los ejes del dibujo
view(2) % Elección de perspectiva
}}

== Cálculo velocidades ==
=== Definición del campo de velocidades ===
Conocemos por la física del problema, que la velocidad de las partículas viene dada por <math>\vec{u}(ρ, θ) = f(ρ) \vec{e_θ} </math>, además de que su presión (p) es constante. Por otro lado, el campo de velocidades tiene que cumplir la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>

===Cálculo del gradiente de la presión y de la parte convectiva===
Al ser la presión constante, su gradiente es nulo: ∇p=0; y si despreciamos la parte convectiva <math>(\vec{u} · ∇)\vec{u}=0 </math> tendremos:

<center><math>µ∆\vec{u} =\vec{0}</math></center>

Siendo µ el coeficiente de viscosidad del fluido y <math>∆\vec{u}</math> el laplaciano vectorial del campo de velocidades.

===Cálculo del laplaciano vectorial del capo de velocidades===

El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo de calcular, ya que:

<center><math>∆\vec{u} = ∆(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}+ u_3\vec{k}) = ∆u_1\vec{i} + ∆u_2\vec{j}+ ∆u_3\vec{k}</math></center>

Pero como el campo de velocidades está dado en coordenadas cilindricas, resulta más sencillo calcularlo con la siguiente fórmula:

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>

====Gradiente de la divergencia====

En el primer sumando, aparece el gradiente de la divergencia, luego, en primer lugar, calculamos la divergencia. A modo de hipótesis, la divergencia ha de ser nula, ya que el fluido es incompresible.

<center><math> ∇ · \vec{u} = \frac{1}{ρ}[\frac{ \partial}{\partial ρ}(0) + \frac{ \partial}{\partial θ}(f(ρ)) + \frac{ \partial}{\partial z}(0) = 0 </math></center>
Por lo tanto, se confirma la hiótesis, y tenemos la certeza de que se trata de un fluido incompresible. Además de esto:

<center><math> ∇(∇ · \vec{u})= ∇(0)= \vec{0} </math></center>

, lo que concluye que el primer término en el calculo del laplaciano es nulo.

====Rotacional del campo de velocidades====
<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & ρf(ρ) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{ρ}\frac{ \partial (ρf(ρ)) }{\partial ρ}\vec{e_z} = [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}]\vec{e_z}</math></center>

====Rotacional del rotacional del campo de velocidades====

Una vez hallado el rotacional del campo de velocidades, seguimos el procedimiento calculando el rotacional del vector hallado:

<center> <math>\nabla\times(\nabla\times\vec{u})= \frac{1}{ρ}\begin{vmatrix} \vec{e_ρ} & ρ\vec{e_θ} & \vec{e_z} \\ \frac{ \partial}{\partial ρ} & \frac{\partial }{\partial θ} & \frac{\partial }{\partial z}\\ 0 & 0 & [\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}] \end{vmatrix} = -\frac{1}{ρ}\frac{ \partial }{\partial ρ}(\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) ρ\vec{e_θ} = \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

====Calculo final de Laplaciano vectorial====
Una vez hallados todos los sumandos, sustituimos en la definición de laplaciano vectorial

<center><math>\Delta\vec{u} = \nabla(\nabla \cdot \vec{u}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{u})</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \vec{0} - \frac{1}{ρ}[\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}-ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>
<center><math>\Delta\vec{u} = \frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ}</math></center>

===Calculo final de la ecuación de Navier-Stocks===

Conocidas ya todas los partes de la ecuación inicial, procedemos a resolverla, para hallar así el campo de velocidades:

<center><math>(\vec{u} · ∇)\vec{u} + ∇p = µ∆\vec{u} </math></center>
<center><math> \vec{0} + {0}µ∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>∆\vec{u} = \vec{0}</math></center>
<center><math>\frac{1}{ρ}[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
<center><math>[-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
====Obtención de una ecuación diferencial====

Si tratamos de reducir la ecuación diferencial obtenida, llegamos a la siguiente conclusión:

<center><math> [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = [-\frac{f(ρ)}{ρ}+\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})]\vec{e_θ} = \vec{0} </math></center>
Este paso es sencillo de comprobar, ya que si hacemos la derivada del segundo sumando, inmediatamente resulta en la expresión anterior:
<center><math>\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = \frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}+ρ\frac{\partial}{\partial ρ}(\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ})</math></center>

Luego, reordenamos para conseguir una ecuación diferencial de segundo orden
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ}-\frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) = 0 </math></center>
<center><math>\frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}) </math></center>

====Comprobación de una solución conocida====
Tras despejar y reordenar los términos, resulta una compleja ecuación diferencial de la cual conocemos una solución:

<center><math>f(ρ) = aρ +\frac{b}{ρ},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

Para comprobar que esta solución es valida, es necesario derivar la expresión de forma que dichas derivadas aparezcan en la ecuación diferencial obtenida.

<center><math>\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ} = a -\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>
<center><math>\frac{\partial }{\partial ρ}(ρ\frac{\partial f(ρ)}{\partial ρ}) = \frac{\partial }{\partial ρ}(ρ(a -\frac{b}{ρ^2})) = \frac{\partial }{\partial ρ}(aρ -\frac{b}{ρ})) = a +\frac{b}{ρ^2},\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R}</math></center>

Una vez halladas dichas derivadas, las introducimos en la ecuación y verificamos que:
<center><math> \frac{1}{ρ}(aρ +\frac{b}{ρ}) = a +\frac{b}{ρ^2} \Longrightarrow \frac{f(ρ)}{ρ} = \frac{\partial}{\partial ρ}(ρ\frac{\partial(f(ρ))}{\partial ρ}),\hspace{20pt}a,b \in \mathbb{R} </math></center>

====Búsqueda de las constantes "a" y "b"====

Por ultimo, para hallar el campo de velocidades concreto, tenemos que imponer las condiciones que conocemos, ya que al resolver la ecuación diferencial de segundo orden han aparecido dos constantes desconocidas.

Condición 1: Si <math>ρ=1 \Longrightarrow \vec{u}=\vec{0} \Longrightarrow f(1)\vec{e_θ}=\vec{0} \Longrightarrow (a+b)\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow
a+b=0 </math>

Condición 2: Si <math>ρ=2 \Longrightarrow \vec{u}= \omega \vec{e_θ} \Longrightarrow f(2)\vec{e_θ}=\omega \vec{e_θ} \Longrightarrow (2a+\frac{b}{2})\vec{e_θ}=\vec{0}\Longrightarrow 2a+\frac{b}{2}= 2\omega </math>

Una vez impuestas estas dos condiciones, resulta un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas donde

<center><math> a = \frac{4}{3}\omega </math></center> <center><math> b = -\frac{4}{3}\omega</math></center>

concluyendo por lo tanto que:
<center><math>f(ρ) = \frac{4}{3}\omega ρ -\frac{4}{3ρ}</math></center>

==Graficación del campo de velocidades==

Suponiendo que, <math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
<center><math> a = \frac{4}{3} </math> y <math> b = -\frac{4}{3} </math></center>
Sustituimos en la función:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) </math></center>
De manera que nuestro campo es:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\theta </math></center>
Representamos:

[[Archivo:Gráfica3bien.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial de las velocidades]]

{{matlab|codigo=
n=30; % Longitud de los intervalos
u=linspace(1,2,n); % Definición del parámetro u (rho)
v=linspace(0,2*pi,n); % Definición del parámetro v (theta)
[U,V] = meshgrid(u,v); % Matriz de los parámetros
x = U.*cos(V); % Coordenada x (cartesiana)
y = U.*sin(V); % Coordenada y (cartesiana)
fx = -sin(V)* (4/3*(U-1./U)); % Campo vectorial en la dirección de x
fy = cos(V)*(4/3*(U-1./U)); % Campo vectorial en la dirección de y
quiver(x,y,fx,fy); % Dibujo del campo vectorial
}}

==Representación de las líneas de corriente del campo ==

Para ello, necesitamos calcular el campo <math> \vec{v} </math> que en cada punto es ortogonal a <math> \vec{u} </math>.
<center><math> \vec{v} = {e_z}\times\vec{u} \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (\vec{e_z}\times\vec{e_\theta}) \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (-\vec{e_\rho}) \Longrightarrow \vec{v} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e_\rho} </math></center>
=== Comprobación de irrotacionalidad de <math> \vec{v} </math> ===
Comprobamos que, como dice el enunciado, el campo <math> \vec{v} </math> es irrotacional debido a que la divergencia de <math> \vec{u} </math> es nula, cosa que ya hemos calculado con anterioridad.
<center><math> \nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{e_\rho} & \rho\vec{e_\theta} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) & 0 & 0 \end{vmatrix} \Longrightarrow \nabla\times\vec{v} = \vec{0} </math></center>
Se comprueba la irrotacionalidad de <math> \vec{v} </math>.
=== Cálculo de <math> \psi </math> ===
Conocemos que:
<center><math> \vec{v} = \nabla\psi \Longrightarrow -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho = \frac{\partial\psi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial\psi}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>
Despejamos <math> \psi </math>:
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \Longrightarrow \psi = \int -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \partial\rho </math></center>
Calculamos la integral:
<center><math> \psi = \frac{4}{3} \left ( ln(\rho) - \frac{\rho^2}{2} \right ) </math></center>

=== Representación de las líneas de corriente de <math> \vec{u} </math> ===

Se representan las líneas de corriente.

[[Archivo:Gráfica 4.3bien.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo <math> \vec{u} </math>]]

{{matlab|codigo=

h=30; % Definicion del intervalo
u=linspace(1,2,h); % Pertenencia del parametro u [1,2]
v=linspace(0,2*pi,h); % Pertenencia del parametro v [0,2*pi]
[U,V]=meshgrid(u,v); % Matrices de coordenadas de U y V
f = 4/3*(log(U)-(U.^2)./2); % Campo escalar
X=U.*cos(V); % Parametrización
Y=U.*sin(V);
axis([-3,3,-3,3]) % Elección de los ejes
view(2) % Ver la figura desde arriba
contour(X,Y,f,15); % Dibujo de las líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Definición de los ejes del dibujo
colormap(summer)

}}

== Velocidad en función del radio==
Para hallar cuándo el módulo de la velocidad del fluido es máximo debemos maximizar el módulo del campo de velocidades. El módulo del campo de velocidades es:

<center><math> |\vec{u}(\rho)| = \left | \left ( \frac{4}{3}\rho\omega - \frac{4}{3\rho}\omega \right ) \vec{e_\theta} \right | = \frac{4}{3}\omega \left ( \rho - \frac{1}{ρ} \right ) </math></center>

Derivamos <math> |\vec{u}(\rho)| </math> e igualamos a 0:

<center><math> \frac{\partial |\vec{u}(\rho)|}{\partial\rho} = \frac{4}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math></center>

Observamos que esta función no posee máximos ni mínimos, de manera que procedemos a analizar en el intervalo en el cual se encuentran nuestros radios [1,2]. Observamos además, que es continua en dicho intervalo, por lo que analizamos en los extremos de este:

<center><math> |\vec{u}(1)| = 0 </math></center>
<center><math> |\vec{u}(2)| = 2 </math></center>

Obtenemos que el máximo de dicho intervalo se encuentra en <math> \rho = 2 </math>, lo cuál tiene sentido ya que el módulo de la velocidad será mayor cuanto más cerca nos encontremos del cilindro exterior que se encuentra en movimiento.

[[Archivo:GRADVEL3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo escalar del módulo de la velocidad del fluido]]

Esto ha sido dibujado en MatLab con el siguiente programa. Comprobamos que el dibujo es independiente de ω desde esta perspectiva. En este dibujo, hemos definido ω= w=1.
{{matlab|codigo=
w=1; % Velocidad angular dada
a=4/3*w; % Definicion del parámetro a en función de la velocidad angular
b=-a; % Definicion del parámetro b en función de la velocidad angular
n=30; % Longitud de los intervalos
u=linspace(1,2,n); % Definicioón del parametro u (rho)
v=linspace(0,2*pi,n); % Definición del parametro v (theta)
[U,V] = meshgrid(u,v); % Matriz de los parámetros
x = U.*cos(V); % Coordenada x (cartesiana)
y = U.*sin(V); % Coordenada y (cartesiana)
f = a*U+b./U % Módulo de la velocidad es función del radio
surf(x,y,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Definición de los ejes
view(2); % Vista en 2D
}}

En el gráfico siguiente observaremos el comportamiento del módulo de la velocidad en función de ρ.

[[Archivo:graficomódulo.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico del módulo de la velocidad]]

Para ello, hemos utilizado este programa en MatLab.

{{matlab||codigo =
x=-10:0.1:10; % Definición de la x (rho)
y= ((4.*x)./3) - (4./(3.*x)); % Ecuación en función de x
plot(x,y); % Dibujo gráfica
ax = gca; % Dibujo de los ejes x e y
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
}}
Siendo, como hemos previsto, máxima cuando ρ=2 y mínima cuando ρ=2.

== Calculo y graficación del rotacional de <math> \vec{u} </math>==

El calculo del rotacional de <math> \vec{u} </math> lo hemos calculado previamente para conseguir el laplaciano. Concluyendo que:

<center> <math>(\nabla\times\vec{u}) = [\frac{\frac{4}{3}\omega ρ -\frac{4}{3ρ}}{ρ}+\frac{\partial(\frac{4}{3}\omega ρ -\frac{4}{3ρ})}{\partial ρ}]\vec{e_z} = \frac{8}{3}\omega\vec{e_z}</math></center>

Calculamos la norma del rotacional para saber cuales son los puntos con mayor rotacional.

<center> <math> |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{8}{3}\vec{e_z}| = \frac{8}{3}\omega</math></center>

Como <math> |\nabla\times\vec{u}| = cte \hspace{5pt} \forall ρ,θ </math>. Todos los puntos tienen igual rotacional. Por lo tanto, el campo del rotacional es constante y se ve de la siguiente forma:

[[Archivo:CampoRotacional3.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial del rotacional de la velocidad]]

Este gráfico tiene una perspectiva diferente al resto ya que el rotacional es perpendicular al plano XOY, y por lo tanto, con la perspectiva anterior, el campo no se ve.

{{matlab|codigo=
w=1; % Velocidad angular dada
n=30; % Longitud de los intervalos
u=linspace(1,2,n); % Definición del parámetro u (rho)
v=linspace(0,2*pi,n); % Definición del parámetro v (theta)
[U,V] = meshgrid(u,v); % Matriz de los parámetros
x = U.*cos(V); % Coordenada x (cartesiana)
y = U.*sin(V); % Coordenada y (cartesiana)
z = zeros(n);
fz = ones(n).*(8*w/3); % Campo vectorial en la dirección de y
quiver3(x,y,z,zeros(n),zeros(n),fz); % Dibujo del campo vectorial
axis([-3,3,-3,3,-3,3]) %Definición de los ejes del dibujo
}}

== Representación de la temperatura ==

Sabiendo que la temperatura del fluido viene dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel:

[[Archivo:temperaturaycurvas.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de temperaturas (izquierda) y curvas de nivel (derecha)]]

En Matlab hemos utilizado el siguiente programa.
{{matlab|codigo=

x=1:0.05:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.05:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
subplot(1,2,1); %Ventanas
surf(Mx,My,Mz); %Dibujo de la superficie
shading flat %Difuminado
subplot(1,2,2) %Ventana 2
pcolor(Mx,My,Mz); %Proyección en planta
hold on %Mantener ventana
contour(Mx,My,Mz,7,'k') %7 curvas de nivel
hold off

}}

Por último, representamos en una gráfica donde se observa en que punto la temperatura es máxima.

[[Archivo:graftemp1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico de la temperatura]]

En Matlab hemos utilizado el siguiente programa.

{{matlab|codigo=

x=1:0.05:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.05:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
plot3(Mx,My,Mz); %Dibujo en líneas del campo

}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente ecuación:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>

Y <math> T(\rho,\theta) </math> es:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math></center>

De manera que:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \left [ \rho sen^2 \theta\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \cdot (-2\rho^2 + 3\rho + 2) \right ] \vec{e}_\rho + \left [ \rho sen(2\theta)\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \right ] \vec{e}_\theta </math></center>

=== Representación del gradiente de T ===

[[Archivo:gradiente23.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Representación del gradiente]]

{{matlab|codigo=
x=1:0.1:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.1:2*pi; %Definición de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
[Dx,Dy] = gradient(Mz,x,y); %Gradiente
figure;
%gradiente
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off;
}}

=== Comprobación de la ortogonalidad del gradiente ===

[[Archivo: curvasdenivel.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
x=1:0.1:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.1:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
[Dx,Dy] = gradient(Mz,x,y); %Gradiente
figure;
%curvas de nivel
contour(Mx,My,Mz) %Curvas de nivel
hold on
%gradiente
quiver(Mx,My,Dx,Dy); %Dibujar gradiente
hold off;

}}

== Caudal que circula por la sección longitudinal ==
===Definición del Caudal===
Conocemos que el caudal que circula por una superficie cumple la siguiente expresión:

Caudal: <center><math> C = \int\int_S \vec{u}\cdot\vec{dS} </math></center>

Del cual conocemos el campo de velocidades <math> \vec{u} </math>:

<center><math>\vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho}\right ) \vec{e}_\theta </math></center>
Además de que:

<center><math> \vec{dS} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}</math></center>

Siendo <math>\vec{r}(u,v)</math> una parametrización de la superficie S, que en este caso es la sección trasversal del cilindro, suponiendo que este tiene altura 1.

=== Parametrización de la superficie===
La superficie S la podemos dividir en dos subsuperficies, <math> S_1 \hspace{5pt} y\hspace{5pt} S_2 \hspace{5pt}/\hspace{5pt} S_1 + S_2 = S. </math> La integral sobre la superficie total será igual a la suma de las integrales sobre las subsuperficies.

Procedemos a parametrizar la superficie:

<center><math>S_1:\hspace{10pt} \vec{r}_1 = s \vec{e_\rho} + \frac{\pi}{2} \vec{e_\theta} + t\vec{e_v} \hspace{10pt} s \in[1,2]\hspace{5pt}t \in [0,1] </math></center>
<center><math>S_2:\hspace{10pt} \vec{r}_2 = s \vec{e_\rho} + \frac{3\pi}{2} \vec{e_\theta} + t\vec{e_v}\hspace{10pt} s \in[1,2] \hspace{5pt}t \in [0,1] </math></center>

=== Cálculo de el vector <math> \vec{dS} </math>===

Tras esto, calculamos dicho vector según la definición vista anteriormente. Y para ello, calculamos:

<center><math>\frac{\partial \vec{r_1}}{\partial s} =\frac{\partial \vec{r_2}}{\partial s} = \vec{e_\rho} </math></center>
<center><math> \frac{\partial \vec{r_1}}{\partial t} =\frac{\partial \vec{r_2}}{\partial t} = \vec{e_z} </math></center>

<center><math> \vec{dS_1} = \vec{dS_2} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial s} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial t} = \vec{e_\rho} \times \vec{e_z} = -\vec{e_\theta }</math></center>

=== Establecimiento del campo en función de la parametrización ===

Para Poder calcular el caudal, es necesario poner el campo <math>\vec{u}</math> en función de <math>\vec{r}(s,t)</math>

<center><math>\vec{u}(\vec{r}(s,t)) = \frac{4}{3}(s-\frac{1}{s}) \vec{e_\theta}</math></center>

=== Calculo final del caudal ===

<center><math> C= \int\int_S \vec{u}\cdot\vec{dS} = \int\int_{S_1} \vec{u}\cdot\vec{dS_1} + \int\int_{S_2} \vec{u}\cdot\vec{dS_2}=\int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\frac{4}{3}(s-\frac{1}{s}) \vec{e_\theta} \cdot (-\vec{e_\theta })dt \hspace{1pt} ds + \int_{1}^{2}\int_{0}^{1}\frac{4}{3}(s-\frac{1}{s}) \vec{e_\theta} \cdot (-\vec{e_\theta })dt \hspace{1pt} ds = -\frac{8}{3} \int_{1}^{2}\int_{0}^{1} \frac{4}{3}(s-\frac{1}{s})dt \hspace{1pt} ds </math></center>

<center><math> C = \frac{8}{3} log2 - 4 </math></center>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Tubos Concéntricos

2022-12-07T18:06:43Z

Estela Serrano Briz: /* Representación del campo de velocidades */

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la circunferencia <math> \rho = 2 </math> y el interior sobre la circunferencia <math> \rho = 1 </math>. La velocidad angular del cilindro exterior es <math> \omega > 0 </math>.

== Representación de la sección transversal ==
Al cortar los cilindros por el plano <math>x_3=0</math>, se dibuja la siguiente sección:
[[Archivo:secciontransversal.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Sección transversal]]

{{matlab|codigo=

h=0.05; % intervalo
u=1:h:2; % definir u [1,2]
v=0:h:2*pi; % definir v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % ver figura
}}

== Cálculo de Velocidades ==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por <math> \vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\vec{e}_\theta </math> y su presión p es constante. Sabemos que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

=== Interpretación física del problema ===
La ecuación de Navier-Stokes que satisface nuestro fluido es la siguiente:
<center><math> \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu\Delta\vec{u} </math></center>
Donde p es la presión y <math> \mu </math> es la viscosidad del fluido.

Ahora bien, conocemos lo siguiente:
# Que es estacionario, por lo cual el diferencial de densidad en función del tiempo es igual a cero.
# Que su presión es constante, por lo que el campo de presiones, <math> \nabla p </math>, es cero.
# Que debemos despreciar el segundo término, <math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} </math>, que es la parte convectiva, por lo que podemos suponer que la viscosidad es mucho mayor.

Teniendo todo esto en cuenta, la ecuación de Navier-Stokes queda de la siguiente manera:
<center><math> \mu\Delta\vec{u} = \vec{0} \Longrightarrow \Delta\vec{u} = \vec{0} </math></center>

=== Cálculo del laplaciano vectorial del campo de velocidades ===
El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo y se describe de la siguiente manera:
<center><math> \Delta\vec{u} = \Delta (u_1\vec{\imath} + u_2\vec{\jmath} + u_3\vec{k}) = \Delta u_1\vec{\imath} + \Delta u_2\vec{\jmath} + \Delta u_3\vec{k} </math></center>
Sin embargo, en este caso nos encontramos en coordenadas cilíndricas, lo cual complica los cálculos. Para calcular el laplaciano vectorial podemos escribir el campo en la base cartesiana pero las componentes se pueden quedar en coordenadas cilíndricas y realizar el laplaciano en dichas coordenadas. Sabemos que:
<center><math> \vec{e}_\theta = -sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath} </math></center>
Por lo que el campo queda de la siguiente manera:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\cdot(-sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath}) \Longrightarrow \vec{u} = -f(\rho)sen\theta\vec{\imath} + f(\rho)cos\theta\vec{\jmath} </math></center>
Aplicamos el laplaciano según la fórmula descrita anteriormente. Para ello debemos calcular el laplaciano de u1 y u2 en coordenadas cilíndricas:
<center><math> \Delta u = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left ( \rho\frac{\partial u}{\partial\rho} \right ) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial\theta^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2} </math></center>
<center><math> \Delta u_1 = -\frac{sen\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) + \frac{sen\theta}{\rho^2}f(\rho) </math></center>
<center><math> \Delta u_2 = \frac{cos\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) -\frac{cos\theta}{\rho^2}f(\rho) </math></center>
Por lo que:
<center><math> \Delta\vec{u} = \left [ -\frac{sen\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) + \frac{sen\theta}{\rho^2}f(\rho) \right ] \vec{\imath} + \left [ \frac{cos\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) -\frac{cos\theta}{\rho^2}f(\rho) \right ] \vec{\jmath} = \vec{0} </math></center>
Cambiamos las componentes a coordenadas cilíndricas:
<center><math> \Delta\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left [ \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2}\right ] (-sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath}) \Longrightarrow \Delta\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left [ \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2}\right ] \vec{e}_\theta </math></center>

=== Obtención de la ecuación diferencial ===
Igualamos cada componente del vector a cero, y simplificamos, obteniendo así una ecuación diferencial:
<center><math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2} = 0 \Longrightarrow \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho} = 0 </math></center>

=== Comprobaciones ===
El enunciado exige que comprobemos si la ecuación diferencial satisface ciertas condiciones:
* Comprobar que <math> f(\rho) </math> satisface la siguiente ecuación diferencial:

<center><math> \frac{\partial}{\partial\rho}\left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) = \frac{f(\rho)}{\rho} </math></center>

Nos damos cuenta de que esta ecuación es igual a la que hemos obtenido nosotros, por lo que podemos afirmar que satisface la ecuación diferencial.
* Comprobar que <math> f(\rho) </math> es solución, siendo <math> f(\rho) </math>:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} </math></center>

Sustituimos <math> f(\rho) </math> en la ecuación diferencial:
<center><math> \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial \left ( a\rho + \frac{b}{\rho} \right ) }{\partial\rho} \right ) -\frac{a\rho + \frac{b}{\rho}}{\rho} = 0 \Longrightarrow \frac{\partial}{\partial\rho}\left ( a\rho - \frac{b}{\rho}\right ) - a - \frac{b}{\rho^2} = 0 \Longrightarrow a + \frac{b}{\rho^2} - a -\frac{b}{\rho} = 0 </math></center>
Simplificando resulta <math> 0 = 0 </math>, por lo que <math> f(\rho) </math> es solución.
=== Determinación de a y b en función de la velocidad ===
Se nos pide determinar a y b de manera que la velocidad en la frontera del fluido coincida con la de los cilindros interior y exterior. De esta manera, podemos determinar que:
<center><math> f(1) = 0 \Longrightarrow a + b = 0 </math></center>
<center><math> f(2) = \omega\cdot\rho \Longrightarrow 2a + \frac{b}{2} = 2\omega </math></center>
Resolvemos el sistema, resultando:
<center><math> a = \frac{4\omega}{3} </math></center>
<center><math> b = -\frac{4\omega}{3} </math></center>
=== Comprobación de la condición de incompresibilidad ===
Se nos pide que comprobemos la condición de incompresibilidad, es decir, que el agua siempre ocupa el mismo volumen, la cual es:
<center><math> \nabla\cdot\vec{u} = 0 </math></center>
La divergencia de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas viene dada por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\} </math></center>
Operamos:
<center><math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(0) + \frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho)) + \frac{\partial}{\partial z}(0)\right\} \Longrightarrow \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}(0 + 0 + 0) \Longrightarrow \nabla\cdot\vec{u} = 0 </math></center>
Se cumple la condición de incompresibilidad.

== Representación del campo de velocidades ==
Suponiendo que, <math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
<center><math> a = \frac{4}{3} </math> y <math> b = -\frac{4}{3} </math></center>
Sustituimos en la función:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) </math></center>
De manera que nuestro campo es:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\theta </math></center>
Representamos:

[[Archivo:Gráfica3bien.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo vectorial de las velocidades]]

{{matlab|codigo=
n=30; % Longitud de los intervalos
u=linspace(1,2,n); % Definición del parámetro u (rho)
v=linspace(0,2*pi,n); % Definición del parámetro v (theta)
[U,V] = meshgrid(u,v); % Matriz de los parámetros
x = U.*cos(V); % Coordenada x (cartesiana)
y = U.*sin(V); % Coordenada y (cartesiana)
fx = -sin(V)* (4/3*(U-1./U)); % Campo vectorial en la dirección de x
fy = cos(V)*(4/3*(U-1./U)); % Campo vectorial en la dirección de y
quiver(x,y,fx,fy); % Dibujo del campo vectorial
}}

== Representación de las líneas de corriente del campo ==
Para ello, necesitamos calcular el campo <math> \vec{v} </math> que en cada punto es ortogonal a <math> \vec{u} </math>.
<center><math> \vec{v} = \vec{k}\times\vec{u} \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (\vec{e}_z\times\vec{e}_\theta) \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (-\vec{e}_\rho) \Longrightarrow \vec{v} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho </math></center>
=== Comprobación de irrotacionalidad de <math> \vec{v} </math> ===
Comprobamos que, como dice el enunciado, el campo <math> \vec{v} </math> es irrotacional debido a que la divergencia de <math> \vec{u} </math> es nula, cosa que ya hemos calculado con anterioridad.
<center><math> \nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) & 0 & 0 \end{vmatrix} \Longrightarrow \nabla\times\vec{v} = \vec{0} </math></center>
Se comprueba la irrotacionalidad de <math> \vec{v} </math>.
=== Cálculo de <math> \psi </math> ===
Conocemos que:
<center><math> \vec{v} = \nabla\psi \Longrightarrow -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho = \frac{\partial\psi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial\psi}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>
Despejamos <math> \psi </math>:
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \Longrightarrow \psi = \int -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \partial\rho </math></center>
Calculamos la integral:
<center><math> \psi = \frac{4}{3} \left ( ln(\rho) - \frac{\rho^2}{2} \right ) </math></center>

=== Representación de las líneas de corriente de <math> \vec{u} </math> ===

Se representan las líneas de corriente.

[[Archivo:Gráfica 4.3bien.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Líneas de corriente del campo <math> \vec{u} </math>]]

{{matlab|codigo=

h=30; % Definicion del intervalo
u=linspace(1,2,h); % Pertenencia del parametro u [1,2]
v=linspace(0,2*pi,h); % Pertenencia del parametro v [0,2*pi]
[U,V]=meshgrid(u,v); % Matrices de coordenadas de U y V
f = 4/3*(log(U)-(U.^2)./2); % Campo escalar
X=U.*cos(V); % Parametrización
Y=U.*sin(V);
axis([-3,3,-3,3]) % Elección de los ejes
view(2) % Ver la figura desde arriba
contour(X,Y,f,15); % Dibujo de las líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Definición de los ejes del dibujo
colormap(summer)

}}

== Cálculo de la velocidad de fluido máxima ==
Para hallar cuándo el módulo de la velocidad del fluido es máximo debemos maximizar el módulo del campo de velocidades. El módulo del campo de velocidades es:

<center><math> |\vec{u}(\rho)| = \left | \left ( \frac{4}{3}\rho - \frac{4}{3\rho} \right ) \vec{e}_\theta \right | = \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{ρ} \right ) </math></center>

Derivamos <math> |\vec{u}(\rho)| </math> e igualamos a 0:

<center><math> \frac{\partial |\vec{u}(\rho)|}{\partial\rho} = \frac{4}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math></center>

Observamos que esta función no posee máximos ni mínimos, de manera que procedemos a analizar en el intervalo en el cual se encuentran nuestros radios [1,2]. Observamos además, que es continua en dicho intervalo, por lo que analizamos en los extremos de este:

<center><math> |\vec{u}(1)| = 0 </math></center>
<center><math> |\vec{u}(2)| = 2 </math></center>

Obtenemos que el máximo de dicho intervalo se encuentra en <math> \rho = 2 </math>, lo cuál tiene sentido ya que el módulo de la velocidad será mayor cuanto más cerca nos encontremos del cilindro exterior que se encuentra en movimiento.

[[Archivo:campovel.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo del módulo de la velocidad del fluido]]

{{matlab|codigo=

a=4/3; % Definición del parámetro a en función de la velocidad angular
b=-a; % Definición del parámetro b en función de la velocidad angular
u=1:0.05:2; % Definición del parámetro u (rho)
v=0:0.05:2*pi; % Definición del parámetro v (theta)
[U,V] = meshgrid(u,v); % Matriz de los parámetros
x = U.*cos(V); % Coordenada x (cartesiana)
y = U.*sin(V); % Coordenada y (cartesiana)
f = a*U+b./U; % Módulo de la velocidad es función del radio
surf(x,y,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Definición de los ejes
view(2); % Vista en 2D

}}

En el gráfico siguiente observaremos el comportamiento del módulo de la velocidad en función de ρ.

[[Archivo:graficomódulo.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico del módulo de la velocidad]]

Para ello, hemos utilizado este programa en MatLab.

{{matlab||codigo =
x=-10:0.1:10; % Definición de la x (rho)
y= ((4.*x)./3) - (4./(3.*x)); % Ecuación en función de x
plot(x,y); % Dibujo gráfica
ax = gca; % Dibujo de los ejes x e y
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional de <math> \vec{u} </math> ==

=== Cálculo de <math> \nabla\times\vec{u} </math> ===
El cálculo del rotacional de <math> \vec{u} </math> viene dado por la siguiente expresión:

<center><math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho f(\rho) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{\rho} \left [ \vec {e}_z \left ( \frac{\partial \left ( \rho f(\rho) \right ) }{\partial\rho} \right ) \right ] = \frac{1}{\rho} \left [ f(\rho) + \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ] \vec{e}_z = \left ( \frac{f(\rho)}{\rho} + \frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) \vec{e}_z </math></center>

Sustituimos la función <math> f(\rho) = \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) </math> en la expresión que acabamos de calcular:

<math>\ (\frac{\frac{4}{3} \cdot (\rho -\frac{1}{\rho})}{\rho} + \frac{\partial(\frac{4}{3} \cdot (\rho -\frac{1}{\rho})}{\partial \rho})\vec{e_z} = [\frac{4}{3} \cdot (1 - \frac{1}{\rho^2}) + \frac{4}{3} \cdot (1 + \frac{1}{\rho^2})] \vec {e_z} = [\frac{4}{3} - \frac{4}{3\rho^2} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3\rho^2}] \vec {e_z} = \frac{8}{3} \vec {e_z} </math>

=== Cálculo de <math> |\nabla\times\vec{u}| </math> ===

<math> |\nabla\times\vec{u}| = |(\frac{8}{3})\vec {e_z}| = \frac{8}{3} </math>

=== Representación de <math> |\nabla\times\vec{u}| </math> ===
En la siguiente imagen se muestra el campo del rotacional calculado junto con el correspondiente programa hecho en MatLab.
[[Archivo:rotacionalcampo.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo del rotacional]]

{{matlab|codigo =

h=30; % Longitud de los intervalos
x=linspace(1,2,h); % Definición del parámetro x (rho)
y=linspace(0,2*pi,h); % Definición del parámetro y (theta)
[Mx,My] = meshgrid(x,y); % Matriz de los parámetros
x = Mx.*cos(My); % Coordenada x (cartesiana)
y = Mx.*sin(My); % Coordenada y (cartesiana)
z= zeros(h);
W = ones(n).*(8*w/3); % Campo vectorial en la dirección de y
quiver3(x,y,z,zeros(h),zeros(h),W); % Dibujo del campo vectorial
axis([-3,3,-3,3,-3,3]) % Definición ejes del dibujo
}}

=== Máximo de <math> |\nabla\times\vec{u}| </math> ===
Por último, para saber en qué puntos el rotacional se utilizará la la norma del rotacional ya calculado.
<center> <math> |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{8}{3}\vec{e_z}| = \frac{8}{3}\vec{e_z} </math></center>
Llegamos a la conclusión de que debido a que el campo del rotacional es constante, el rotacional será el mismo en todos los puntos.

== Representación de la temperatura ==

Sabiendo que la temperatura del fluido viene dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel:

[[Archivo:temperaturaycurvas.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de temperaturas (izquierda) y curvas de nivel (derecha)]]

En Matlab hemos utilizado el siguiente programa.
{{matlab|codigo=

x=1:0.05:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.05:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
subplot(1,2,1); %Ventanas
surf(Mx,My,Mz); %Dibujo de la superficie
shading flat %Difuminado
subplot(1,2,2) %Ventana 2
pcolor(Mx,My,Mz); %Proyección en planta
hold on %Mantener ventana
contour(Mx,My,Mz,7,'k') %7 curvas de nivel
hold off

}}

Por último, representamos en una gráfica donde se observa en que punto la temperatura es máxima.

[[Archivo:graftemp1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico de la temperatura]]

En Matlab hemos utilizado el siguiente programa.

{{matlab|codigo=

x=1:0.05:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.05:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
plot3(Mx,My,Mz); %Dibujo en líneas del campo

}}

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente ecuación:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>

Y <math> T(\rho,\theta) </math> es:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math></center>

De manera que:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \left [ \rho sen^2 \theta\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \cdot (-2\rho^2 + 3\rho + 2) \right ] \vec{e}_\rho + \left [ \rho sen(2\theta)\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \right ] \vec{e}_\theta </math></center>

=== Representación del gradiente de T ===

[[Archivo:gradiente23.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Representación del gradiente]]

{{matlab|codigo=
x=1:0.1:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.1:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
[Dx,Dy] = gradient(Mz,x,y); %Gradiente
figure;
%gradiente
quiver(Mx,My,Dx,Dy);
hold off;
}}

=== Comprobación de la ortogonalidad del gradiente ===

[[Archivo: curvasdenivel.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Ortogonalidad gradiente y curvas de nivel]]

{{matlab|codigo=
x=1:0.1:2; %Definición de la x (rho)
y=0:0.1:2*pi; %Definicón de la y (teta)
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Matriz de los parámetros
Mz= 1+Mx.^2.*(sin(My.*exp((-(Mx-3/2).^2)))).^2; %Matriz de la z
[Dx,Dy] = gradient(Mz,x,y); %Gradiente
figure;
%curvas de nivel
contour(Mx,My,Mz) %Curvas de nivel
hold on
%gradiente
quiver(Mx,My,Dx,Dy); %Dibujar gradiente
hold off;

}}

Estela Serrano Briz: /* Representación de las líneas de corriente de \vec{u} */

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Vamos a considerar el flujo de un fluido incompresible a través de dos cilindros concéntricos de manera que el exterior se mueve con velocidad angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Si suponemos que ambos cilindros tienen su eje OX3 y pintamos la sección transversal (x3 = 0) el cilindro exterior queda proyectado sobre la circunferencia <math> \rho = 2 </math> y el interior sobre la circunferencia <math> \rho = 1 </math>. La velocidad angular del cilindro exterior es <math> \omega > 0 </math>.

== Representación de la sección transversal ==
Al cortar los cilindros por el plano <math>x_3=0</math>, se dibuja la siguiente sección:
[[Archivo:secciontransversal.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Sección transversal]]

{{matlab|codigo=

h=0.05; % intervalo
u=1:h:2; % definir u [1,2]
v=0:h:2*pi; % definir v [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrices de u y v
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrización
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % dibujar el mallado
axis([-3,3,-3,3]) % ejes del dibujo
view(2) % ver figura
}}

== Cálculo de Velocidades ==
La velocidad de las partículas del fluido viene dada por <math> \vec{u}(\rho,\theta) = f(\rho)\vec{e}_\theta </math> y su presión p es constante. Sabemos que <math> (\vec{u},p) </math> satisface la ecuación de Navier-Stokes estacionaria.

=== Interpretación física del problema ===
La ecuación de Navier-Stokes que satisface nuestro fluido es la siguiente:
<center><math> \frac{\partial\vec{u}}{\partial t} + (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} + \nabla p = \mu\Delta\vec{u} </math></center>
Donde p es la presión y <math> \mu </math> es la viscosidad del fluido.

Ahora bien, conocemos lo siguiente:
# Que es estacionario, por lo cual el diferencial de densidad en función del tiempo es igual a cero.
# Que su presión es constante, por lo que el campo de presiones, <math> \nabla p </math>, es cero.
# Que debemos despreciar el segundo término, <math> (\vec{u}\cdot\nabla)\vec{u} </math>, que es la parte convectiva, por lo que podemos suponer que la viscosidad es mucho mayor.

Teniendo todo esto en cuenta, la ecuación de Navier-Stokes queda de la siguiente manera:
<center><math> \mu\Delta\vec{u} = \vec{0} \Longrightarrow \Delta\vec{u} = \vec{0} </math></center>

=== Cálculo del laplaciano vectorial del campo de velocidades ===
El cálculo del laplaciano vectorial en coordenadas cartesianas es relativamente sencillo y se describe de la siguiente manera:
<center><math> \Delta\vec{u} = \Delta (u_1\vec{\imath} + u_2\vec{\jmath} + u_3\vec{k}) = \Delta u_1\vec{\imath} + \Delta u_2\vec{\jmath} + \Delta u_3\vec{k} </math></center>
Sin embargo, en este caso nos encontramos en coordenadas cilíndricas, lo cual complica los cálculos. Para calcular el laplaciano vectorial podemos escribir el campo en la base cartesiana pero las componentes se pueden quedar en coordenadas cilíndricas y realizar el laplaciano en dichas coordenadas. Sabemos que:
<center><math> \vec{e}_\theta = -sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath} </math></center>
Por lo que el campo queda de la siguiente manera:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\cdot(-sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath}) \Longrightarrow \vec{u} = -f(\rho)sen\theta\vec{\imath} + f(\rho)cos\theta\vec{\jmath} </math></center>
Aplicamos el laplaciano según la fórmula descrita anteriormente. Para ello debemos calcular el laplaciano de u1 y u2 en coordenadas cilíndricas:
<center><math> \Delta u = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left ( \rho\frac{\partial u}{\partial\rho} \right ) + \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial\theta^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2} </math></center>
<center><math> \Delta u_1 = -\frac{sen\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) + \frac{sen\theta}{\rho^2}f(\rho) </math></center>
<center><math> \Delta u_2 = \frac{cos\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) -\frac{cos\theta}{\rho^2}f(\rho) </math></center>
Por lo que:
<center><math> \Delta\vec{u} = \left [ -\frac{sen\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) + \frac{sen\theta}{\rho^2}f(\rho) \right ] \vec{\imath} + \left [ \frac{cos\theta}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) -\frac{cos\theta}{\rho^2}f(\rho) \right ] \vec{\jmath} = \vec{0} </math></center>
Cambiamos las componentes a coordenadas cilíndricas:
<center><math> \Delta\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left [ \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2}\right ] (-sen\theta\vec{\imath} + cos\theta\vec{\jmath}) \Longrightarrow \Delta\vec{u} = \frac{1}{\rho} \left [ \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2}\right ] \vec{e}_\theta </math></center>

=== Obtención de la ecuación diferencial ===
Igualamos cada componente del vector a cero, y simplificamos, obteniendo así una ecuación diferencial:
<center><math> \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho^2} = 0 \Longrightarrow \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} \right ) -\frac{f(\rho)}{\rho} = 0 </math></center>

=== Comprobaciones ===
El enunciado exige que comprobemos si la ecuación diferencial satisface ciertas condiciones:
* Comprobar que <math> f(\rho) </math> satisface la siguiente ecuación diferencial:

<center><math> \frac{\partial}{\partial\rho}\left ( \rho\frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho}\right ) = \frac{f(\rho)}{\rho} </math></center>

Nos damos cuenta de que esta ecuación es igual a la que hemos obtenido nosotros, por lo que podemos afirmar que satisface la ecuación diferencial.
* Comprobar que <math> f(\rho) </math> es solución, siendo <math> f(\rho) </math>:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} </math></center>

Sustituimos <math> f(\rho) </math> en la ecuación diferencial:
<center><math> \frac{\partial}{\partial\rho} \left ( \rho\frac{\partial \left ( a\rho + \frac{b}{\rho} \right ) }{\partial\rho} \right ) -\frac{a\rho + \frac{b}{\rho}}{\rho} = 0 \Longrightarrow \frac{\partial}{\partial\rho}\left ( a\rho - \frac{b}{\rho}\right ) - a - \frac{b}{\rho^2} = 0 \Longrightarrow a + \frac{b}{\rho^2} - a -\frac{b}{\rho} = 0 </math></center>
Simplificando resulta <math> 0 = 0 </math>, por lo que <math> f(\rho) </math> es solución.
=== Determinación de a y b en función de la velocidad ===
Se nos pide determinar a y b de manera que la velocidad en la frontera del fluido coincida con la de los cilindros interior y exterior. De esta manera, podemos determinar que:
<center><math> f(1) = 0 \Longrightarrow a + b = 0 </math></center>
<center><math> f(2) = \omega\cdot\rho \Longrightarrow 2a + \frac{b}{2} = 2\omega </math></center>
Resolvemos el sistema, resultando:
<center><math> a = \frac{4\omega}{3} </math></center>
<center><math> b = -\frac{4\omega}{3} </math></center>
=== Comprobación de la condición de incompresibilidad ===
Se nos pide que comprobemos la condición de incompresibilidad, es decir, que el agua siempre ocupa el mismo volumen, la cual es:
<center><math> \nabla\cdot\vec{u} = 0 </math></center>
La divergencia de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas viene dada por la siguiente expresión:
<center><math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho u_\rho) + \frac{\partial}{\partial\theta}(u_\theta) + \frac{\partial}{\partial z}(\rho u_z)\right\} </math></center>
Operamos:
<center><math> \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}\left\{\frac{\partial}{\partial\rho}(0) + \frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho)) + \frac{\partial}{\partial z}(0)\right\} \Longrightarrow \nabla\cdot\vec{u} = \frac{1}{\rho}(0 + 0 + 0) \Longrightarrow \nabla\cdot\vec{u} = 0 </math></center>
Se cumple la condición de incompresibilidad.

== Representación del campo de velocidades ==
Suponiendo que, <math> \omega = 1 </math> y <math> \mu = 1 </math>:
<center><math> a = \frac{4}{3} </math> y <math> b = -\frac{4}{3} </math></center>
Sustituimos en la función:
<center><math> f(\rho) = a\rho + \frac{b}{\rho} \Longrightarrow f(\rho) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) </math></center>
De manera que nuestro campo es:
<center><math> \vec{u} = f(\rho)\vec{e}_\theta \Longrightarrow \vec{u} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\theta </math></center>
Representamos:

== Representación de las líneas de corriente del campo ==
Para ello, necesitamos calcular el campo <math> \vec{v} </math> que en cada punto es ortogonal a <math> \vec{u} </math>.
<center><math> \vec{v} = \vec{k}\times\vec{u} \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (\vec{e}_z\times\vec{e}_\theta) \Longrightarrow \vec{v} = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) (-\vec{e}_\rho) \Longrightarrow \vec{v} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho </math></center>
=== Comprobación de irrotacionalidad de <math> \vec{v} </math> ===
Comprobamos que, como dice el enunciado, el campo <math> \vec{v} </math> es irrotacional debido a que la divergencia de <math> \vec{u} </math> es nula, cosa que ya hemos calculado con anterioridad.
<center><math> \nabla\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) & 0 & 0 \end{vmatrix} \Longrightarrow \nabla\times\vec{v} = \vec{0} </math></center>
Se comprueba la irrotacionalidad de <math> \vec{v} </math>.
=== Cálculo de <math> \psi </math> ===
Conocemos que:
<center><math> \vec{v} = \nabla\psi \Longrightarrow -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right )\cdot\vec{e}_\rho = \frac{\partial\psi}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial\psi}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>
Despejamos <math> \psi </math>:
<center><math> \frac{\partial\psi}{\partial\rho} = -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \Longrightarrow \psi = \int -\frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) \partial\rho </math></center>
Calculamos la integral:
<center><math> \psi = \frac{4}{3} \left ( ln(\rho) - \frac{\rho^2}{2} \right ) </math></center>

=== Representación de las líneas de corriente de <math> \vec{u} </math> ===

[[Archivo:Gráfica 4.3.png|200px|thumb|center|líneas de corriente del campo <math> \vec{u} </math> ]]

{{matlab|codigo=

h=30; % Definicion del intervalo
u=linspace(1,2,h); % Pertenencia del parametro u [1,2]
v=linspace(0,2*pi,h); % Pertenencia del parametro v [0,2*pi]
[U,V]=meshgrid(u,v); % Matrices de coordenadas de U y V
f = 4/3*(log(U)-(U.^2)./2); % Campo escalar
X=U.*cos(V); % Parametrización
Y=U.*sin(V);
axis([-3,3,-3,3]) % Elección de los ejes
contour(X,Y,f,15); % Dibujo de las líneas de nivel
axis([-3,3,-3,3]) % Definición de los ejes del dibujo
colormap(summer)

}}

== Cálculo de la velocidad de fluido máxima ==
Para hallar cuándo el módulo de la velocidad del fluido es máximo debemos maximizar el módulo del campo de velocidades. El módulo del campo de velocidades es:

<center><math> |\vec{u}(\rho)| = \left | \left ( \frac{4}{3}\rho - \frac{4}{3\rho} \right ) \vec{e}_\theta \right | = \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{ρ} \right ) </math></center>

Derivamos <math> |\vec{u}(\rho)| </math> e igualamos a 0:

<center><math> \frac{\partial |\vec{u}(\rho)|}{\partial\rho} = \frac{4}{3} \left ( 1 + \frac{1}{\rho^2} \right ) = 0 </math></center>

Observamos que esta función no posee máximos ni mínimos, de manera que procedemos a analizar en el intervalo en el cual se encuentran nuestros radios [1,2]. Observamos además, que es continua en dicho intervalo, por lo que analizamos en los extremos de este:

<center><math> |\vec{u}(1)| = 0 </math></center>
<center><math> |\vec{u}(2)| = 2 </math></center>

Obtenemos que el máximo de dicho intervalo se encuentra en <math> \rho = 2 </math>, lo cuál tiene sentido ya que el módulo de la velocidad será mayor cuanto más cerca nos encontremos del cilindro exterior que se encuentra en movimiento.

[[Archivo:campovel.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo del módulo de la velocidad del fluido]]

{{matlab|codigo=

a=4/3; % Definición del parámetro a en función de la velocidad angular
b=-a; % Definición del parámetro b en función de la velocidad angular
u=1:0.05:2; % Definición del parámetro u (rho)
v=0:0.05:2*pi; % Definición del parámetro v (theta)
[U,V] = meshgrid(u,v); % Matriz de los parámetros
x = U.*cos(V); % Coordenada x (cartesiana)
y = U.*sin(V); % Coordenada y (cartesiana)
f = a*U+b./U; % Módulo de la velocidad es función del radio
surf(x,y,f); % Dibujo del campo escalar
axis([-3,3,-3,3]) % Definición de los ejes
view(2); % Vista en 2D

}}

En el gráfico siguiente observaremos el comportamiento del módulo de la velocidad en función de ρ.

[[Archivo:graficomódulo.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico del módulo de la velocidad]]

Para ello, hemos utilizado este programa en MatLab.

{{matlab||codigo =
x=-10:0.1:10; % Definición de la x (rho)
y= ((4.*x)./3) - (4./(3.*x)); % Ecuación en función de x
plot(x,y); % Dibujo gráfica
ax = gca; % Dibujo de los ejes x e y
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';
}}

== Cálculo y dibujo del rotacional de <math> \vec{u} </math> ==

=== Cálculo de <math> \nabla\times\vec{u} </math> ===
El cálculo del rotacional de <math> \vec{u} </math> viene dado por la siguiente expresión:

<center><math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix} \vec {e}_\rho & \rho\vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\ \frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho f(\rho) & 0 \end{vmatrix} = \frac{1}{\rho} \cdot\left [ \vec {e}_z \left ( \frac{\partial \left ( \rho f(\rho) \right ) }{\partial\rho} \right ) \right ] = \frac{1}{\rho} \cdot ( f(\rho) + \rho \cdot \frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho} ) \vec {e_z} = (\frac{f(\rho )}{\rho} + \frac{\partial f(\rho)}{\partial\rho})\vec {e_z} </math></center>

Sustituimos la función <math> f(\rho) = \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho} \right ) </math> en la expresión que acabamos de calcular:

<math>\ (\frac{\frac{4}{3} \cdot (\rho -\frac{1}{\rho})}{\rho} + \frac{\partial(\frac{4}{3} \cdot (\rho -\frac{1}{\rho})}{\partial \rho})\vec{e_z} = [\frac{4}{3} \cdot (1 - \frac{1}{\rho^2}) + \frac{4}{3} \cdot (1 + \frac{1}{\rho^2})] \vec {e_z} = [\frac{4}{3} - \frac{4}{3\rho^2} + \frac{4}{3} + \frac{4}{3\rho^2}] \vec {e_z} = \frac{8}{3} \vec {e_z} </math>

=== Cálculo de <math> |\nabla\times\vec{u}| </math> ===

<math> |\nabla\times\vec{u}| = |(\frac{8}{3})\vec {e_z}| = \frac{8}{3} </math>

=== Representación de <math> |\nabla\times\vec{u}| </math> ===
En la siguiente imagen se muestra el campo del rotacional calculado junto con el correspondiente programa hecho en MatLab.
[[Archivo:rotacionalcampo.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo del rotacional]]

{{matlab|codigo =

h=30; % Longitud de los intervalos
x=linspace(1,2,h); % Definición del parámetro x (rho)
y=linspace(0,2*pi,h); % Definición del parámetro y (theta)
[Mx,My] = meshgrid(x,y); % Matriz de los parámetros
x = Mx.*cos(My); % Coordenada x (cartesiana)
y = Mx.*sin(My); % Coordenada y (cartesiana)
z= zeros(h);
W = ones(n).*(8*w/3); % Campo vectorial en la dirección de y
quiver3(x,y,z,zeros(h),zeros(h),W); % Dibujo del campo vectorial
axis([-3,3,-3,3,-3,3]) % Definición ejes del dibujo
}}

=== Máximo de <math> |\nabla\times\vec{u}| </math> ===
Por último, para saber en qué puntos el rotacional se utilizará la la norma del rotacional ya calculado.
<center> <math> |\nabla\times\vec{u}| = |\frac{8}{3}\vec{e_z}| = \frac{8}{3}\vec{e_z} </math></center>
Llegamos a la conclusión de que debido a que el campo del rotacional es constante, el rotacional será el mismo en todos los puntos.

== Representación de la temperatura ==

Sabiendo que la temperatura del fluido viene dada por la expresión <math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math> se dibuja el campo de temperaturas y las curvas de nivel:

[[Archivo:temperaturaycurvas.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de temperaturas (izquierda) y curvas de nivel (derecha)]]

Por último, representamos en una gráfica donde se observa en que punto la temperatura es máxima,

[[Archivo:graftemp1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Gráfico de la temperatura]]

==Gradiente de la temperatura==
=== Cálculo del gradiente de T ===

El gradiente de la temperatura se define mediante la siguiente ecuación:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \frac{\partial T}{\partial\rho}\vec{e}_\rho + \frac{1}{ρ}\frac{\partial T}{\partial\theta}\vec{e}_\theta + \frac{\partial T}{\partial z}\vec{e}_z </math></center>

Y <math> T(\rho,\theta) </math> es:
<center><math> T(\rho,\theta) = 1 + \rho^2 sin^2 \theta\cdot e^{−\left ( \rho − \frac{3}{2} \right ) ^2} </math></center>

De manera que:
<center><math> \nabla T(\rho,\theta) = \left [ \rho sen^2 \theta\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \cdot (-2\rho^2 + 3\rho + 2) \right ] \vec{e}_\rho + \left [ \rho sen(2\theta)\cdot e^{-\left ( \rho - \frac{3}{2}\right ) ^2} \right ] \vec{e}_\theta </math></center>

=== Representación del gradiente de T ===
a
=== Comprobación de la ortogonalidad del gradiente ===
a

Tubos Concéntricos

2022-12-06T18:05:56Z

Estela Serrano Briz: /* Representación de la temperatura */