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Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:41:07Z

Eperem00: /* Conclusiones */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes:

[[Archivo:Formulae.jpg|125px|sinmarco|centro]]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenida anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
La partícula, a medida que se aproxima al obstáculo, describe una línea de corriente en la que, según avanza, sigue el contorno del objeto rodeándolo para volver a su dirección original una vez superado.

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Es decir, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad mientras que, a su vez, la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión mientras su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y a la velocidad de éste. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, '''el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo''', en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:40:16Z

Eperem00: /* Conclusiones */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes:

[[Archivo:Formulae.jpg|125px|sinmarco|centro]]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenida anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
La partícula, a medida que se aproxima al obstáculo, describe una línea de corriente en la que, según avanza, sigue el contorno del objeto rodeándolo para volver a su dirección original una vez superado.

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Es decir, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad mientras que, a su vez, la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión mientras su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:39:27Z

Eperem00: /* Movimiento de las partículas en el fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes:

[[Archivo:Formulae.jpg|125px|sinmarco|centro]]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenida anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
La partícula, a medida que se aproxima al obstáculo, describe una línea de corriente en la que, según avanza, sigue el contorno del objeto rodeándolo para volver a su dirección original una vez superado.

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Es decir, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad mientras que, a su vez, la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión mientras su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:34:31Z

Eperem00: /* Cálculo numérico de la presión media */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes:

[[Archivo:Formulae.jpg|125px|sinmarco|centro]]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenida anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:33:47Z

Eperem00: /* Representación gráfica */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes:

[[Archivo:Formulae.jpg|125px|sinmarco|centro]]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:33:14Z

Eperem00: /* Ecuación de Bernouilli */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes:

[[Archivo:Formulae.jpg|125px|sinmarco|centro]]

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Formulae.jpg

2014-12-05T14:31:39Z

Eperem00:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:30:17Z

Eperem00: /* Representación gráfica */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes::

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:30:02Z

Eperem00: /* Ecuación de Bernouilli */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes::

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: presión estática a la que está sometido el fluido debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene. Esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli, se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: cuando el fluido sufre un aumento de la velocidad del flujo, esto implica un decrecimiento de la presión estática.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20_C19.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22_C19.jpg|320px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Formula22 C19.jpg

2014-12-05T14:28:34Z

Eperem00:

Archivo:Formula20 C19.jpg

2014-12-05T14:28:14Z

Eperem00:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:20:06Z

Eperem00: /* Velocidad máxima y mínima del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>:
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:19:08Z

Eperem00: /* Líneas de corriente de la velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en las derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:17:52Z

Eperem00: /* Líneas de corriente de la velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math>, es decir, las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math>, que es ortogonal a <math> \vec u </math> en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irrotacional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:16:19Z

Eperem00: /* Incompresibilidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible, debemos calcular su rotacional y su divergencia y, en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotacional y de la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido, hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general, este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula, significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo ni gira ni se expande, concluyendo que se trata de un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:14:07Z

Eperem00: /* Campo de velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto <math>\vec u=\nabla \varphi</math>.

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida <math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math> procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math> da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto y apunta desde la equipotencial de más alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo, podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math>, pudiendo aproximarse el campo <math>\vec u </math> a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
Y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:10:12Z

Eperem00: /* Campo de velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' <math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>, cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:09:36Z

Eperem00: /* Concepto de fluido incompresible */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:06:27Z

Eperem00:

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona y Elisa Pérez Marsilla|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:05:52Z

Eperem00: /* Cálculo numérico de la presión media */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando la gráfica de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T14:05:27Z

Eperem00: /* Cálculo numérico de la presión media */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante. 
[[Archivo:Waterproof.jpg|300px|miniaturadeimagen|centro|El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión]]

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Para el cálculo de la presión media del fluido, realizaremos una aproximación de la integral de la presión en todo el fluido y la dividiremos por el área del anillo en el que lo estamos estudiando, es decir, <math>2<\rho<6</math>:
[[Archivo:Programa7.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para hallar la presión media del fluido]]
Como resultado, obtendremos que la '''presión media es igual a 13.574''', resultado que corresponde con el valor que se puede estimar observando las gráficas de la presión obtenidas anteriormente.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Programa7.jpg

2014-12-05T13:59:23Z

Eperem00:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T10:16:19Z

Eperem00:

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T10:14:26Z

Eperem00: /* Conclusiones */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 
Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T10:14:10Z

Eperem00: /* Fuerza ejercida por el fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula24.jpg|450px|sinmarco|centro]]

[[Archivo:Formula25.jpg|550px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math>l=\rho v Γ</math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

<math>\rho</math>: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:55:06Z

Eperem00: /* Líneas de corriente de la velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Concepto de fluido incompresible==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulad.jpg|900px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Formulad.jpg

2014-12-05T09:50:44Z

Eperem00:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:44:57Z

Eperem00: /* Movimiento de las partículas en el fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar dos gráficos donde comparar la velocidad y la presión del fluido]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Gráficas de la velocidad y presión del fluido. Se puede comprobar que se alcanzan los máximos de presión (y por tanto, mínimos de velocidad) para <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3\pi}{2}</math> y los mínimos de presión (y por tanto, máximos de velocidad) para <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:37:42Z

Eperem00: /* Representación gráfica */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión <math>p</math> del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:37:01Z

Eperem00: /* Campo de velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión p del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:35:05Z

Eperem00: /* Conclusiones */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero. Esto es: 
[[Archivo:Formulac.jpg|400px|sinmarco|centro]]
Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión p del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:Formulac.jpg

2014-12-05T09:33:54Z

Eperem00:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:24:36Z

Eperem00: /* Representación gráfica */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
Cálculo de la presión:
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la presión p del fluido]]

Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (gráfica en 3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión <math>p</math> del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:20:27Z

Eperem00: /* Ecuación de Bernouilli */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 

<math>p</math>: es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 

<math>\rho</math> : densidad del fluido, que en nuestro caso es 2. 

<math> \vec u </math>: velocidad de flujo del fluido.

Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:- El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:- Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión:
[[Archivo:Formula20.jpg|100px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula21.jpg|600px|sinmarco|centro]] 

[[Archivo:Formula22.jpg|350px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:08:35Z

Eperem00: /* Velocidad máxima y mínima del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1050px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:07:03Z

Eperem00: /* Conclusiones */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T09:06:49Z

Eperem00: /* Líneas de corriente de la velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|850px|sinmarco|centro]]
Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|550px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|350px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|450px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|140px|sinmarco|centro]]
Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|175px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|480px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función <math>\psi</math>]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\psi</math>. Como se puede ver, las curvas de <math>\psi</math> son tangentes al campo de velocidades <math>\vec u</math> y, por tanto, serán ortogonales a las curvas equipotenciales ]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:39:10Z

Eperem00: /* Incompresibilidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|280px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|900px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1100px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:36:35Z

Eperem00: /* Incompresibilidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|180px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|250px|sinmarco|centro]]
Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:33:29Z

Eperem00: /* Conclusiones */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|150px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|250px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:31:14Z

Eperem00: /* Conclusiones */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 

Además, si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a:
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo:
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:30:23Z

Eperem00: /* Representación de la región ocupada por el fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:29:33Z

Eperem00: /* Representación gráfica */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar la función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar el campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido junto con las curvas de nivel de la función potencial <math>\varphi</math>]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial <math>\varphi</math> del fluido]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades <math>\vec u</math> del fluido sobre las curvas de nivel de <math>\varphi</math>]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle del campo de velocidades del fluido, donde se puede ver que <math>\vec u=\nabla \varphi</math> es, efectivamente, perpendicular a la función potencial <math>\varphi</math>]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:17:17Z

Eperem00: /* Representación de la región ocupada por el fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Programa para dibujar un mallado que represente la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle campo de velocidades]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:14:23Z

Eperem00: /* Campo de velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Dibujar la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram: 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal: 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle campo de velocidades]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:13:53Z

Eperem00: /* Campo de velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Dibujar la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial <math>\varphi</math> antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector <math>\vec u</math> definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle campo de velocidades]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:12:17Z

Eperem00: /* Campo de velocidad del fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Dibujar la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

Dada la función potencial phi (<math>\varphi</math>) antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector u (<math>\vec u</math>) definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle campo de velocidades]]

=== Conclusiones ===
Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:11:43Z

Eperem00: /* Representación de la región ocupada por el fluido */

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5].

Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular:

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Dibujar la región ocupada por el fluido]]

Y aquí la representación gráfica del mallado:
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
:Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
:Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

:Dada la función potencial phi (<math>\varphi</math>) antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector u (<math>\vec u</math>) definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle campo de velocidades]]

=== Conclusiones ===
:Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
:Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
:Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-05T08:08:33Z

Eperem00:

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==Representación de la región ocupada por el fluido==
:En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5]

:Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Dibujar la región ocupada por el fluido]]

:Y aquí la representación gráfica del mallado
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==Campo de velocidad del fluido==
:Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
:Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

:Dada la función potencial phi (<math>\varphi</math>) antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector u (<math>\vec u</math>) definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle campo de velocidades]]

=== Conclusiones ===
:Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
:Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
:Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==Incompresibilidad del fluido==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==Líneas de corriente de la velocidad del fluido==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Velocidad máxima y mínima del fluido==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==Presión del fluido==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
[[Archivo:Formula20.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula21.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula22.jpg|400px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==Movimiento de las partículas en el fluido==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
[[Archivo:Programa6.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico8.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro]]

==Fuerza ejercida por el fluido==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
[[Archivo:Formula23.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula24.jpg|500px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula25.jpg|600px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)

2014-12-03T18:53:00Z

Eperem00:

En este artículo vamos a analizar el flujo de un fluido incompresible alrededor de un obstáculo sólido con forma circular en el sistema plano. Para trabajar con mayor comodidad vamos a utilizar las coordenadas cilíndricas (polares ya que estamos en el plano), debido a la forma del objeto y a la región de estudio. 
Todas las gráficas aquí publicadas han sido obtenidas a través del programa [[MATLAB]]. 
{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos (C-19)|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]] [[:Categoría:TC14/15|Trabajos 2014-15]]|2014-15|Ana Martínez Lorente, Argimiro Martínez López, Alfredo Pazos Arjona, Elisa Pérez Marsilla e Isaac Rebollo Palos|}}

==REPRESENTACIÓN DE LA REGIÓN OCUPADA POR EL FLUIDO==
:En primer lugar, vamos a representar la región ocupada por el fluido a través de un mallado circular, acotando a la región de estudio por el cuadrado [-5,5] x [-5,5]

:Recogemos aquí los comando empleados en el programa MATLAB para realizar el mallado circular

[[Archivo:Programa1.jpg|800px|miniaturadeimagen|centro|Dibujar la región ocupada por el fluido]]

:Y aquí la representación gráfica del mallado
[[Archivo:Región ocupada oor el fluido.jpg|600px|miniaturadeimagen|centro|Región ocupada por el fluido]]

==CAMPO DE VELOCIDAD DEL FLUIDO==
:Tras haber observado la región que ocupa el fluido vamos a proceder a analizar la velocidad de las partículas de dicho fluido. Obtendremos por tanto un campo vectorial al que denominaremos <math>\vec u</math>. 
:Para lograr la visualización de dicho campo se recurrirá a la representación de la '''función potencial phi''' (<math>\varphi(\rho,\theta)=2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>), cuyo gradiente son las componentes de la velocidad en cada punto (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).

:Dada la función potencial phi (<math>\varphi</math>) antes definida (<math>\varphi(\rho,\theta)=(2cos \theta(\rho+\frac{4}{\rho}) </math>) procedemos a su derivación para encontrar el vector u (<math>\vec u</math>) definido como el gradiente de dicha función potencial (<math>\vec u=\nabla \varphi</math>).
[[Archivo:Formula1_C19.jpg|450px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a coordenadas contravariantes utilizando el cambio en base a la matriz de Gram 
[[Archivo:Formula2.jpg|130px|sinmarco|centro]] 
[[Archivo:Formula3.jpg|300px|sinmarco|centro]] 
Lo pasamos a ortonormal 
[[Archivo:Formula4.jpg|300px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa2 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Programa3 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]

[[Archivo:Grafico2 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Función potencial]]
[[Archivo:Grafico3 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Campo de velocidades]]
[[Archivo:Zoom.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Detalle campo de velocidades]]

=== Conclusiones ===
:Se observa que la velocidad es ortogonal en todo momento a las curvas de nivel de la función potencial.
:Por otra parte al ser <math>\vec u</math> un campo definido solo en el plano y no en el espacio, al multiplicar <math>\nabla u·\vec n=0</math>, da cero debido que el vector normal a la superficie es <math>\vec n=\vec k</math>, y como nuestro campo está en dos dimensiones, esto va a ser siempre cero.Nótese que la dirección del campo vectorial es siempre perpendicular a la superficie equipotencial en cada punto, y apunta desde la equipotencial de mas alto potencial a la de más bajo potencial. 
:Además si nos situásemos muy lejos del obstáculo podríamos considerar <math>\frac{1}{\rho}=0 </math> el campo <math>\vec u </math> podría aproximarse a
[[Archivo:Formula5.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:y por tanto su módulo
[[Archivo:Formula6.jpg|300px|sinmarco|centro]]

==INCOMPRESIBILIDAD DEL FLUIDO==
:Para comprobar que realmente se trata de un fluido incompresible debemos calcular su rotacional y su divergencia y en base a eso, podremos determinarlo.
:Al estar en coordenadas cilíndricas (o polares por estar trabajando en el plano), las fórmulas del rotaciones y la divergencia respectivamente son:
[[Archivo:Formula7.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula9.jpg|300px|sinmarco|centro]]
:Procedemos a calcular:
[[Archivo:Formula8FINAL.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula10_2.jpg|1200px|sinmarco|centro]]

===Conclusiones===
:Sabiendo que <math>\vec u </math> es el campo de velocidades de nuestro fluido hemos calculado que su rotacional es nulo, por lo que las partículas no giran. En general este rotacional indica la cantidad neta de giro del fluido en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de nuestra superficie. Indica por tanto su circulación, que como ya hemos indicado es nula.
:La divergencia del campo vectorial <math>\vec u </math> en un punto P es el flujo que sale del punto por unidad de volumen. En este caso la divergencia representa la razón de expansión por unidad de volumen bajo el flujo del fluido. Como la divergencia también nos da nula significa que el fluido no varía, se mantiene constante.
:Todo esto nos lleva a afirmar que nuestro campo no gira ni se expande, es un fluido incompresible.

==LÍNEAS DE CORRIENTE DE LA VELOCIDAD DEL FLUIDO==

:Vamos a dibujar las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> es decir las líneas que son tangentes al campo de velocidad del fluido en cada punto. Para ello calcularemos el campo <math> \vec v </math> que es ortogonal en cada punto. Por otra parte veremos por qué <math> \vec v </math> es irracional y calcularemos su función potencial asociada para comprobar que sus líneas efectivamente son ortogonales a <math> \vec u </math>.

:Calculamos <math> \vec v </math> como <math> \vec v =\vec k × \vec u </math> y lo dejamos en coordenadas covariantes:
[[Archivo:Formula11_C19.jpg|1000px|sinmarco|centro]]
:Calculamos la función potencial de <math> \vec v </math> basándonos en derivadas parciales:
[[Archivo:Formula12.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula13.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula14.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula15.jpg|800px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula16.jpg|800px|sinmarco|centro]]
:Y además calculamos el rotacional de <math> \vec v </math>:
[[Archivo:Formulaa.jpg|200px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formulab.jpg|500px|sinmarco|centro]]

=== Representación gráfica ===
[[Archivo:Programa4 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Grafico4 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro]]
===Conclusiones===
:En base a estos cálculos llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, ya que vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades, y además que el campo <math> \vec v </math> es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==VELOCIDAD MÁXIMA Y MÍNIMA DEL FLUIDO==
:Una vez calculado el campo de velocidades y sus líneas de corriente, procederemos a estudiar los puntos de este campo en los que la velocidad es máxima y mínima, así como la representación de los puntos de remanso, en los cuales la velocidad es nula.
:Calculamos el modulo del vector <math> \vec v </math> en coordenadas contravariantes, fijando <math> \rho=2 </math>, quedando en función del seno <math> \theta </math>
[[Archivo:Formula17.jpg|300px|sinmarco|centro]]
[[Archivo:Formula18_C19.jpg|1100px|sinmarco|centro]]
===Conclusiones===
:Los valores máximos y mínimos se darán en los valores correspondientes a <math>sin\theta=1</math> y <math>sin\theta=-1</math>, mientras que los valores nulos se encontrarán en <math>sin\theta=0</math>.
:De aquí se obtiene que la velocidad máxima corresponderá a los valores de <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> y <math>\theta=\frac{3 \pi}{2}</math>, mientras que los valores mínimos (y asimismo puntos de remanso) se obtendrán en los valores de <math>\theta=0</math> y <math>\theta=\pi</math>.

==PRESIÓN DEL FLUIDO==
===Ecuación de Bernouilli===
:La ecuación de Bernoulli describe el comportamiento de un fluido bajo condiciones variantes y tiene la forma siguiente:

<math> \frac{1}{2}ρ (|\vec{u}|)^2 + p = cte </math>

:En la ecuación de Bernoulli intervienen los parámetros siguientes: 
:p: Es la presión estática a la que está sometido el fluido, debida a las moléculas que lo rodean. 
:ρ : Densidad del fluido, que en nuestro caso es 2.
:(<math> \vec u </math>): Velocidad de flujo del fluido.

:Esta ecuación se aplica en la dinámica de fluidos. Un fluido se caracteriza por carecer de elasticidad de forma, es decir, adopta la forma del recipiente que la contiene, esto se debe a que las moléculas de los fluidos no están rígidamente unidas, como en el caso de los sólidos. Fluidos son tanto gases como líquidos.

:Para llegar a la ecuación de Bernoulli se han de hacer ciertas suposiciones que nos limitan el nivel de aplicabilidad: 
:-El fluido se mueve en un régimen estacionario, o sea, la velocidad del flujo en un punto no varía con el tiempo.
:-Se desprecia la viscosidad del fluido (que es una fuerza de rozamiento interna).
:El efecto Bernoulli es una consecuencia directa que surge a partir de la ecuación de Bernoulli: en el caso de que el fluido sufra un aumento de la velocidad del flujo implica que la presión estática decrecerá.
:Aplicando esto a nuestros datos para obtener la ecuación de la presión
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=== Representación gráfica ===
:Cálculo de la presión
[[Archivo:Programa5 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión]]

:Representamos la función de la presión obteniendo lo siguiente:
[[Archivo:Grafico5 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (2D)]]
[[Archivo:Grafico6 C19.jpg|1000px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (3D)]]
[[Archivo:Grafico7 C19.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Presión del fluido (curvas de nivel)]]

===Cálculo numérico de la presión media===
Aquí hay que meter el apartado 12 del trabajo, que es la integral de la presión.

==MOVIMIENTO DE LAS PARTÍCULAS EN EL FLUIDO==
:Si nosotros fuésemos una partícula a medida que nos acercamos al objeto, la línea de corriente en la que avanzamos sigue el contorno del objeto, rodeándolo, volviendo a su dirección original al pasarlo

:Suponiendo que la densidad del fluido es constante, se observa que la presión aumenta cuando la velocidad del fluido disminuye y viceversa. Así, se verifica la ecuación de Bernouilli. Conforme una partícula va acercándose al obstáculo, su velocidad va disminuyendo hasta alcanzar la mínima velocidad y a su vez la presión irá aumentando. Una vez la partícula llega al obstáculo, después de haber alcanzado su mínima velocidad, va disminuyendo la presión a la vez que la velocidad va aumentando hasta llegar a la velocidad máxima. De nuevo, experimenta una subida de presión cuando su velocidad vuelve a disminuir hasta anularse.
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==FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO==
:Ilustraremos la paradoja de D’Alembert calculando la circulación del campo de velocidades.
:Según el teorema Kutta-Joukowski la fuerza es proporcional a la circulación y dado que ésta (como demuestra el desarrollo matemático) es nula, teóricamente la fuerza que aplica el fluido sobre el obstáculo es igualmente nula, lo cual resulta ilógico, derivando así en la paradoja antes citada.
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===Conclusiones===
:Se comprueba asi el teorema de Kutta-Joukowski, que establece que la fuerza que ejerce el fluido sobre el obstáculo (en nuestro caso el círculo unidad) es proporcional a la circulación y también a la densidad del fluido y la velocidad de este. La ecuación tiene la siguiente forma: <math> l=ρvΓ </math>
 

Siendo: 

l: la fuerza de sustentación 

ρ: densidad del fluido 

v: velocidad del fluido 

Γ: la circulación 

Al ser nula, el fluido no ejerce ninguna fuerza sobre el obstáculo, en contra de la intuición.
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]