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T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:26:02Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

Con un parámetro dependiente de t, <math>a(t)=\frac{\mathrm{0.003} }{\mathrm{(1+t)} }</math> y con una población inicial total de <math>P=1640</math> encontramos que tenemos infectados por la epidemia a <math>40</math> individuos. Así la población susceptible a ser infectada asciende hasta <math>S0=1640</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas. Se aprecia como ambas poblaciones acaban por desaparecer con el tiempo. ]]

El parámetro <math>a</math> como se ha indicado anteriormente es el parámetro que se encarga de la interacción entre ambas poblaciones, la de infectados y la susceptible a ser infectada. Ahora nos encontramos con un coeficiente <math>a(t)</math> dependiente de la variable tiempo lo interpretamos como que el parámetro que interacciona las diferentes poblaciones se reduce en el tiempo, trasladándolo a nuestra situación con la epidemia podemos decir que la enfermedad va perdiendo capacidad de expansión o de ser trasmitida a lo largo del tiempo y que a tiempo infinito ésta está condenada a la desaparición puesto que el parámetro tiende a 0.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:25:40Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

Con un parámetro dependiente de t, <math>\frac{\mathrm{0.003} }{\mathrm{(1+t)} }</math> y con una población inicial total de <math>P=1640</math> encontramos que tenemos infectados por la epidemia a <math>40</math> individuos. Así la población susceptible a ser infectada asciende hasta <math>S0=1640</math>.
{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas. Se aprecia como ambas poblaciones acaban por desaparecer con el tiempo. ]]

El parámetro <math>a</math> como se ha indicado anteriormente es el parámetro que se encarga de la interacción entre ambas poblaciones, la de infectados y la susceptible a ser infectada. Ahora nos encontramos con un coeficiente <math>a(t)</math> dependiente de la variable tiempo lo interpretamos como que el parámetro que interacciona las diferentes poblaciones se reduce en el tiempo, trasladándolo a nuestra situación con la epidemia podemos decir que la enfermedad va perdiendo capacidad de expansión o de ser trasmitida a lo largo del tiempo y que a tiempo infinito ésta está condenada a la desaparición puesto que el parámetro tiende a 0.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:19:44Z

Enrique941: /* Runge-Kutta 4º Orden */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas. Se aprecia como ambas poblaciones acaban por desaparecer con el tiempo. ]]

El parámetro <math>a</math> como se ha indicado anteriormente es el parámetro que se encarga de la interacción entre ambas poblaciones, la de infectados y la susceptible a ser infectada. Ahora nos encontramos con un coeficiente <math>a(t)</math> dependiente de la variable tiempo lo interpretamos como que el parámetro que interacciona las diferentes poblaciones se reduce en el tiempo, trasladándolo a nuestra situación con la epidemia podemos decir que la enfermedad va perdiendo capacidad de expansión o de ser trasmitida a lo largo del tiempo y que a tiempo infinito ésta está condenada a la desaparición puesto que el parámetro tiende a 0.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:18:41Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas. Se aprecia como ambas poblaciones acaban por desaparecer con el tiempo. ]]

El parámetro <math>a</math> como se ha indicado anteriormente es el parámetro que se encarga de la interacción entre ambas poblaciones, la de infectados y la susceptible a ser infectada. Ahora nos encontramos con un coeficiente <math>a(t)</math> dependiente de la variable tiempo lo interpretamos como que el parámetro que interacciona las diferentes poblaciones se reduce en el tiempo, trasladándolo a nuestra situación con la epidemia podemos decir que la enfermedad va perdiendo capacidad de expansión o de ser trasmitida a lo largo del tiempo y que a tiempo infinito ésta está condenada a la desaparición puesto que el parámetro tiende a 0.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:17:53Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas.]]

El parámetro <math>a</math> como se ha indicado anteriormente es el parámetro que se encarga de la interacción entre ambas poblaciones, la de infectados y la susceptible a ser infectada. Ahora nos encontramos con un coeficiente <math>a(t)</math> dependiente de la variable tiempo lo interpretamos como que el parámetro que interacciona las diferentes poblaciones se reduce en el tiempo, trasladándolo a nuestra situación con la epidemia podemos decir que la enfermedad va perdiendo capacidad de expansión o de ser trasmitida a lo largo del tiempo y que a tiempo infinito ésta está condenada a la desaparición puesto que el parámetro tiende a 0.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:13:04Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas.]]

El coeficiente <math>a(t)</math>, función respecto de la variable tiempo lo interpretamos como que el parámetro que interacciona las diferentes poblaciones se reduce en el tiempo, de esta forma podemos decir que la epidemia en tiempo infinito esta condenada a la desaparición puesto que el parámetro tiende a 0.

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:10:28Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
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K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
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S(1)=1600;
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b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
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k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
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l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
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%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas.]]

El coeficiente a(t), función respecto de la variable tiempo lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:08:51Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|Evolución según el método de Heun de las poblaciones I y S estudiadas.]]

El coeficiente de variable a(t) lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:07:20Z

Enrique941:

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
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%Gráfica
figure(1)
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%R-k
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K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|]]

El coeficiente de variable a(t) lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:06:41Z

Enrique941: /* Runge-Kutta 4º Orden */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|]]

El coeficiente de variable a(t) lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:05:55Z

Enrique941: /* Dificultad Método del Trapecio */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
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b=0.3;
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N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

[[Archivo:Apt50.1euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]
[[Archivo:Apt50.1rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.1. Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso mayor.]]

[[Archivo:Apt50.0001euler.jpg|300px|thumb|left|h=0.0001. Gráfica de euler con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
[[Archivo:Apt50.0001rk.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.Gráfica de Runge-Kutta 4º con S0=800 y I0=20 con el paso menor.]]
GRAFICAS FALTA SACAR

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|]]

El coeficiente de variable a(t) lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-06T17:01:44Z

Enrique941: /* Dificultad Método del Trapecio */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I'];
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>517.44</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>19</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>506.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.3</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>505.2</math> y se va a producir transcurridos <math>2</math> días y <math>17</math> horas.]]

Por tanto en esta primera simulación de poblaciones observamos que cuando reducimos el paso <math>h</math> obtenemos mayor precisión en la población así pues podemos indicar que el máximo alcanzado será entonces de <math>505</math>, obtenido a los <math>2</math> días y <math>17</math> horas aproximadamente.

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>12680.8</math> y se va a producir transcurridas <math>12</math> horas.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9521.1</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>24</math> minutos.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001. El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9469.6</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>12</math> minutos.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.El máximo de enfermos esperado en este caso es de <math>9464.7</math> y se va a producir transcurridas <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.]]

El máximo de enfermos esperado será en esta ocasión de <math>9465</math> y se va a producir al cabo de <math>8</math> horas y <math>11</math> minutos.

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
%Parámetros
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
%Euler
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(1)
hold on
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off
%R-k
for i=1:N
K1=-a*S(i)*I(i);
K2=-a*(S(i)+(1/2)*K1*h)*(I(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-a*(S(i)+(1/2)*K2*h)*(I(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-a*(S(i)+K3*h)*(I(i)+K3*h);
S(i+1)=S(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
K5=a*S(i)*I(i)-b*I(i)-c*I(i);
K6=a*(S(i)+(1/2)*K5*h)*(I(i)+(1/2)*K5*h)-b*(I(i)+(1/2)*K5*h)-c*(I(i)+(1/2)*K5*h);
K7=a*(S(i)+(1/2)*K6*h)*(I(i)+(1/2)*K6*h)-b*(I(i)+(1/2)*K6*h)-c*(I(i)+(1/2)*K6*h);
K8=a*(S(i)+K7*h)*(I(i)+K7*h)-b*(I(i)+K7*h)-c*(I(i)+K7*h);
I(i+1)=I(i)+(h/6)*(K5+2*K6+2*K7+K8);
end
hold on
figure(2)
plot(t,S,'g')
plot(t,I,'r')
legend('Susceptible','Infectados','Location','best')
hold off

}}

GRAFICAS FALTA SACAR

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1)=0.003/(1+t(i));
k1=-a(i)*S(i)*I(i);
k2=-a(i)*S(i)*I(i)+k1*h;
S(i+1)=S(i)+h/2*(k1+k2);
l1=a(i)*S(i)*I(i)-I(i)*(b+c);
l2 =(a(i)*S(i)*I(i))-I(i)*(b+c)+l1*h;
I(i+1)=I(i)+h/2*(l1+l2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|]]

El coeficiente de variable a(t) lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:Apt50.0001euler.jpg

2015-03-06T17:01:33Z

Enrique941: euler 0.0001

euler 0.0001

Archivo:Apt50.0001rk.jpg

2015-03-06T17:01:14Z

Enrique941: rk 0.0001

rk 0.0001

Archivo:Apt50.1rk.jpg

2015-03-06T17:00:58Z

Enrique941: rk 0.1

rk 0.1

Archivo:Apt50.1euler.jpg

2015-03-06T17:00:38Z

Enrique941: Euler 0.1

Euler 0.1

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:42:13Z

Enrique941: /* Runge-Kutta 4º Orden */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I']
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.]]

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.]]

El maximo de enfermos esperado y cuando se va a producir es................

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
a=0.003; b=0.3; c=0.01; % Valores de los parámetros
%Resolución Runge Kutta
for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
hold on
figure(1)
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

}}

GRAFICAS FALTA SACAR

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));
K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
L1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
L2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + L1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(L1+L2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|]]

El coeficiente de variable a(t) lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:41:47Z

Enrique941: /* Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I']
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
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%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
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maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.]]

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.]]

El maximo de enfermos esperado y cuando se va a producir es................

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
a=0.003; b=0.3; c=0.01; % Valores de los parámetros
%Resolución Runge Kutta
for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
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t=t0:h:tN;
hold on
figure(1)
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

}}

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));
K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
L1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
L2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + L1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(L1+L2);
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%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|]]

El coeficiente de variable a(t) lo interpretamos.....

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:34:59Z

Enrique941:

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
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t0=0; tN=40;
I0=2000;
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t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
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end
%Gráficas
[t',I']
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
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t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
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I(n+1)=A(2);
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%Gráfica
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figure(1)
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plot(t,I,'b')
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}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
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%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
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%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1.]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01.]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.]]

=== S0=10000 y I0=40===
[[Archivo:Apt4 2 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1.]]
[[Archivo:Apt4 2 2.jpg|300px|thumb|centro|h=0.01.]]

[[Archivo:Apt4 2 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001.]]
[[Archivo:Apt4 2 4.jpg|300px|thumb|centro|h=0.0001.]]

El maximo de enfermos esperado y cuando se va a producir es................

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
a=0.003; b=0.3; c=0.01; % Valores de los parámetros
%Resolución Runge Kutta
for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
hold on
figure(1)
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

}}

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));
K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
L1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
L2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + L1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(L1+L2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Archivo:Apt6.jpg|300px|thumb|centro|]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:28:09Z

Enrique941: /* S0=800, I0=20 */

{{ TrabajoED | Modelos Epidemiológicos, desarrollo de una epidemia. Grupo 28 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] |Luis Doreste Henríquez 127 Luis López Díaz 239 Enrique Martínez Mur 271}}

== Interpretación de los diferentes parámetros ==
En el desarrollo de la epidemia encontramos dos tipos distintos de población que influyen a la evolución de la misma y que se rigen por las siguientes ecuaciones

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>

Identificando primero las variables y luego los parámetros diferenciamos:
* T: tiempo
* S: población que puede ser infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* I: población infectada por la enfermedad. Parámetro en función del tiempo.
* a: interacción entre el número de individuos infectados y no infectados.
* b: fallecimientos a causa de la enfermedad.
* c: población que consigue recuperarse de la enfermedad.

Además, en el desarrollo de la epidemia consideraremos que la tasa de cambio depende tanto de los fallecimientos como de la población curada y que la tasa de población susceptible a ser infectada es proporcional a la interacción entre ambas poblaciones.

Si queremos entender las ecuaciones por las que se rige nuestra epidemia:

:<math>\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} T}=-aSI </math>
Representa la exposición a la que se encuentra la población frente a la epidemia, es decir, la variación de la población susceptible a ser infectada, <math>S</math>, a causa de la interacción directa de ésta con la población ya infectada, <math>I</math>, en función del paramtro <math>a</math> antes descrito. Así observamos que es una función no lineal (producto de las variables <math>S</math> y <math>I</math>) y decreciente en el tiempo.

:<math>\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} T}=aSI-bI-cI </math>
En este caso se representa la variación de la población infectada con un primer término similar a la primera ecuación pero de signo contrario lo que significa que este término hace crecer el número de infectados por la epidemia y otro posterior ya únicamente dependiente de la población infectada, <math>I</math>, que esta acompañado por <math>-(b+c)</math> que representas las muertes y curas a causa de la enfermedad.

==Método de Euler y Trapecio ==
Consideramos que los parámetros del problema en el desarrollo de los metodos de Euler y del Trapecio son
<math>I0 = 2000</math>, <math>b = 0.3</math> y <math>c = 0.01</math> y lo resolveremos en ambos casos para una discretización <math>h = 0.1</math>
===S=0===

{{matlab|codigo=
%Apartado2
clear all
t0=0; tN=40;
I0=2000;
h=0.01;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1);
I(1)=I0;
for i=1:N
I(i+1)=I(i)-h*(0.3+0.001)*I(i);
end
%Gráficas
[t',I']
[minimo,indice]=min(abs(I-500))
f=I(indice)
p=t(find(I==(500-minimo)))
hold on
plot(p,I,'r')
plot(t,f,'b')
plot(t,I)
hold off
sprintf('Los 500 enfermos se alcanza al cabo de %d días', p)
}}
[[Archivo:Apt2.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados con ausencia de población susceptible a ser infectada. Se observa claramente la desaparición de la población al completo con el paso del tiempo.]]
La población de infectados se reduce hasta un cuarto del total inicial, siendo ese valor igual a <math>500</math>, en un tiempo en torno a <math>5</math> segundos, información sacada directamente de la interpretación de la gráfica aportada.
<math>5</math>

===S=100===
En este segundo caso necesitamos también el valor del parametro <math>a=0.003</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 3
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=100;
I0=2000;
%Valores iniciales I y S
h=0.1;
t=t0:h:tN;
a=0.003; %Dato problema
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S0;I(n)]+h*[-a*S0*I(n);a*S0*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=S0;
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
}}
 
[[Archivo:Apt3.jpg|300px|thumb|left|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=100). Se observa que la población susceptible se mantiene constante en el tiempo mientras que la población de infectados desciende linealmente en el tiempo.]]
[[Archivo:Apt3b.jpg|300px|thumb|centro|Evolución de la población de los Infectados en presencia de población susceptible a ser infectada (S=200). En este caso se observa que la población susceptible acaba por desaparecer mientras que la poblacion infectada crece de forma exponencial.]]
 

== Euler Completo ==
En el modelo de Euler completo consideramos ahora los datos iniciales <math>S0=800</math>, <math>I0=20</math> y <math>S0=10000</math> y <math>I0=40</math> para tiempos menores de <math>40</math> días y discretización temporal <math>h=0.1, h=0.01,h=0.001,h=0.0001</math>.

{{matlab|codigo=
%Apartado 4
clear all
t0=0; tN=40; %Intervalo t
S0=input('N población susceptible: ');
I0=input('N infectados: ');
%Valores iniciales I y S
h=input('Valor del paso: ');
t=t0:h:tN;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
N=(tN-t0)/h;
S(1)=S0;
I(1)=I0;
%Resolucion forma matricial
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
hold on
figure(1)
plot(t,S,'r')
plot(t,I,'b')
hold off
maxi=max(I);
pos=find(I==maxi);
tiempo=t(pos);
t1=sprintf('El número máximo de infectados será %d',maxi);
t2=sprintf(' y se dará transcurridos %d días',tiempo);
t3=[t1 t2];
disp(t3)

}}
=== S0=800, I0=20 ===
 

[[Archivo:Apt4 1 1.jpg|300px|thumb|left|h=0.1]]
[[Archivo:Apt4 1 2.jpg|300px|thumb|right|h=0.01]]

[[Archivo:Apt4 1 3.jpg|300px|thumb|left|h=0.001]]
[[Archivo:Apt4 1 4.jpg|300px|thumb|right|h=0.0001]]
 

El maximo de enfermos esperado y cuando se va a producir es................

== Runge-Kutta 4º Orden ==

=== Comparativa con Euler ===
Si realizamos una comparativa entre ambos métodos, encontramos la similitud de que ambos métodos están basados en iteraciones. El método de Euler busca la pendiente de la recta tangente empleando un paso muy pequeño. Por su parte, el método de Runge Kutta emplea cuatro parámetros, que son las pendientes de las cuatro tangentes a la curva integral, y empleando un paso mayor. Podemos concluir, por tanto, que el método de Runge Kutta supone una mejora con respecto al de Euler.

=== Dificultad Método del Trapecio ===

Cuando se emplea un método implícito, como podría ser el método trapezoidal, para resolver un problema, la mayor dificultad que podemos encontrar es el hecho de que deberemos despejar de una forma manual aquellos parámetros necesarios para poder posteriormente programar la solución. Puede que, en algún caso, el proceso sea bastante complicado, llegando incluso a ser imposible despejar.

{{matlab|codigo=

%Apartado5
clear all
t0=0; tN=30; %Intervalo t
y1=input('N población susceptible: ');
y2=input('N infectados de inicio: ');
y0=[y1;y2]; %Valores iniciales S e I
h=input('valor del paso: ');
N=(tN-t0)/h;
y=y0;
S(1)=y(1);
I(1)=y(2);
a=0.003; b=0.3; c=0.01; % Valores de los parámetros
%Resolución Runge Kutta
for n=1:N
k1=[-a*y(1)*y(2);a*y(1)*y(2)-(b+c)*y(2)];
k2=[-a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2));a*(y(1)+1/2*h*k1(1))*(y(2)+1/2*h*k1(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k1(2)))];
k3=[-a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2));a*(y(1)+1/2*h*k2(1))*(y(2)+1/2*h*k2(2)-(b+c)*(y(2)+1/2*h*k2(2)))];
k4=[-a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2));a*(y(1)+h*k3(1))*(y(2)+h*k3(2)-(b+c)*(y(2)+h*k3(2)))];
y=y+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
S(n+1)=y(1);
I(n+1)=y(2);
end
t=t0:h:tN;
hold on
figure(1)
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off
for n=1:N
A=[S(n);I(n)]+h*[-a*S(n)*I(n);a*S(n)*I(n)-(b+c)*I(n)];
S(n+1)=A(1);
I(n+1)=A(2);
end
%Gráfica
figure(2)
hold on
plot(t,S,'b')
plot(t,I,'r')
hold off

}}

== Método Heun, Variable a dependiente de t, a(t) ==

{{matlab|codigo=
%Apartado6
t0=0; tN=40;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
t=t0:h:tN;
S=zeros(1,N+1);
I=zeros(1,N+1);
S(1)=1600;
I(1)=40;
a=zeros(1,N+1);
a(1)=0.003/(1+t0); %a(t)
b=0.3; c=0.01;
for i=1:N
a(i+1) = 0.003/(1+t(i));
K1 = -a(i)*S(i)*I(i);
K2 = -a(i)*S(i)*I(i) + K1*h;
S(i+1) = S(i) + h/2*(K1+K2);
L1 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c);
L2 = (a(i)*S(i)*I(i)) -I(i)*(b+c) + L1*h;
I(i+1) = I(i) + h/2*(L1+L2);
end
%Gráficas
hold on
plot (t,S,'b')
plot (t,I,'r')
hold off
}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]

[[Categoría:ED14/15]]

[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:27:24Z

Enrique941: /* S0=800, I0=20 */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:24:47Z

Enrique941: /* Euler Completo */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:23:54Z

Enrique941: /* S0=800, I0=20 */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:23:34Z

Enrique941: /* S0=800, I0=20 */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:22:57Z

Enrique941: /* Euler Completo */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:17:57Z

Enrique941: /* S=100 */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:08:54Z

Enrique941: /* S=0 */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T22:06:47Z

Enrique941: /* S=0 */

Archivo:Apt6.jpg

2015-03-05T21:57:08Z

Enrique941: Heun parametro variable

Heun parametro variable

Archivo:Apt4 2 4.jpg

2015-03-05T21:54:51Z

Enrique941: S0= 10000, I0=400 h=0.0001 Evolucion de la poblacion

S0= 10000, I0=400 h=0.0001 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt4 2 3.jpg

2015-03-05T21:54:33Z

Enrique941: S0= 10000, I0=400 h=0.001 Evolucion de la poblacion

S0= 10000, I0=400 h=0.001 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt4 2 2.jpg

2015-03-05T21:54:13Z

Enrique941: S0= 10000, I0=400 h=0.01 Evolucion de la poblacion

S0= 10000, I0=400 h=0.01 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt4 2 1.jpg

2015-03-05T21:53:52Z

Enrique941: S0= 10000, I0=400 h=0.1 Evolucion de la poblacion

S0= 10000, I0=400 h=0.1 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt4 1 4.jpg

2015-03-05T21:52:57Z

Enrique941: S0= 800, I0=20 h=0.0001 Evolucion de la poblacion

S0= 800, I0=20 h=0.0001 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt4 1 3.jpg

2015-03-05T21:52:38Z

Enrique941: S0= 800, I0=20 h=0.001 Evolucion de la poblacion

S0= 800, I0=20 h=0.001 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt4 1 2.jpg

2015-03-05T21:52:15Z

Enrique941: S0= 800, I0=20 h=0.01 Evolucion de la poblacion

S0= 800, I0=20 h=0.01 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt4 1 1.jpg

2015-03-05T21:51:50Z

Enrique941: S0= 800, I0=20 h=0.1 Evolucion de la poblacion

S0= 800, I0=20 h=0.1 Evolucion de la poblacion

Archivo:Apt2.jpg

2015-03-05T21:50:20Z

Enrique941: Evolucion de los Infectados sin poblacion S

Evolucion de los Infectados sin poblacion S

Archivo:Apt3.jpg

2015-03-05T21:41:25Z

Enrique941: Evolución de población de Infectados (azul) y de población Susceptible a ser infectada (roja)

Evolución de población de Infectados (azul) y de población Susceptible a ser infectada (roja)

Archivo:Apt3b.jpg

2015-03-05T21:40:54Z

Enrique941: Evolución de población de Infectados (azul) y de población Susceptible mayor a ser infectada (roja)

Evolución de población de Infectados (azul) y de población Susceptible mayor a ser infectada (roja)

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T21:39:17Z

Enrique941: /* Runge-Kutta 4º Orden */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T21:35:01Z

Enrique941:

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T21:32:09Z

Enrique941: /* Método de Euler y Trapecio */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T20:22:56Z

Enrique941: /* Comparativa con Euler */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T20:21:51Z

Enrique941: /* Dificultad Método del Trapecio */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T19:26:38Z

Enrique941: /* Runge-Kutta 4º Orden */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T19:25:53Z

Enrique941: /* S=100 */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T19:25:24Z

Enrique941: /* S=100 */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T19:23:18Z

Enrique941: /* Euler Completo */

T4. Modelos Epidemiológicos

2015-03-05T19:22:55Z

Enrique941: /* Runge-Kutta 4º Orden */