https://mat.caminos.upm.es/w/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Elisa 2026-05-02T05:39:14Z Contribuciones del usuario MediaWiki 1.26.2 https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuaci%C3%B3n_de_Calor_(Grupo_7)c&diff=39384 2017-04-28T15:15:55Z

<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> [[Archivo:1.jpg]]<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> [[Archivo:2.jpg]]<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> [[Archivo:3.jpg]]<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> [[Archivo:4.jpg]]<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> <br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej2TEXTO.jpg]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> <br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> <br /> '''Código programa'''<br /> <br /> [[Archivo: ej3TEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4TEULEREXPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4EULERIMPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4HEUNTEXTO.jpg]]<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej5TEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> <br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej6TEXTO.jpg]]</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> [[Archivo:qwe.jpg]]<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> [[Archivo:2.jpg]]<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> [[Archivo:3.jpg]]<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> [[Archivo:4.jpg]]<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> <br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej2TEXTO.jpg]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> <br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> <br /> '''Código programa'''<br /> <br /> [[Archivo: ej3TEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4TEULEREXPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4EULERIMPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4HEUNTEXTO.jpg]]<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej5TEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> <br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej6TEXTO.jpg]]</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> [[Archivo:1.jpg]]<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> [[Archivo:2.jpg]]<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> [[Archivo:3.jpg]]<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> [[Archivo:4.jpg]]<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> <br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej2TEXTO.jpg]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> <br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> <br /> '''Código programa'''<br /> <br /> [[Archivo: ej3TEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4TEULEREXPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4EULERIMPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4HEUNTEXTO.jpg]]<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej5TEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> <br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej6TEXTO.jpg]]</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> [[Archivo: ej1ECUACIONES.jpg]]<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> <br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej2TEXTO.jpg]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> <br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> <br /> '''Código programa'''<br /> <br /> [[Archivo: ej3TEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4TEULEREXPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4EULERIMPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej4HEUNTEXTO.jpg]]<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej5TEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> <br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo: ej6TEXTO.jpg]]</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> [[Archivo:ej1ECUACIONES.jpg]]<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> <br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> [[Archivo:ej2TEXTO.jpg]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> <br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> <br /> '''Código programa'''<br /> <br /> [[Archivo:ej3TEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo:ej4TEULEREXPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo:ej4EULERIMPTEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo:ej4HEUNTEXTO.jpg]]<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo:ej5TEXTO.jpg]]<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> <br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> [[Archivo:ej6TEXTO.jpg]]</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> <br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> <br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> <br /> '''Código programa'''<br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> <br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> <br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> '''Código programa'''<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ<br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> '''Código programa'''<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.'''<br /> <br /> '''Introducción''':<br /> <br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1''':<br /> <br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.<br /> <br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2''':<br /> <br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> '''Código programa:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> '''Apartado 3''':<br /> <br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> '''Código programa'''<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4''':<br /> <br /> ''Metodo de Euler Explicito''<br /> <br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> '''Codigo de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> <br /> ''Metodo de Euler implícito''<br /> <br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> <br /> ''Metodo de Heun''<br /> <br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> <br /> '''Código de Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> ''Gráfica:''<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5''':<br /> <br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> '''Gráfica:'''<br /> <br /> **grafica<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> '''Grafica:''' <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> <br /> '''Apartado 6''':<br /> <br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Código Matlab:'''<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div></div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.'''<br /> <br /> '''Introducción'''<br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1'''<br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.<br /> <br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2'''<br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> Código programa:<br /> <br /> **codigo<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> '''Apartado 3'''<br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> Código programa<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4'''<br /> Metodo de Euler Explicito<br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> Codigo de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> Metodo de Euler implícito<br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> Código de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> Metodo de Heun<br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> Código de Matlab: <br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5'''<br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> Gráfica:<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> Grafica: <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> '''Apartado 6'''<br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.'''<br /> <br /> '''Introducción'''<br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1'''<br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.<br /> <br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2'''<br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> Código programa:<br /> <br /> **codigo<br /> [[Archivo:Ej2Corr.m]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> '''Apartado 3'''<br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> Código programa<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4'''<br /> Metodo de Euler Explicito<br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> Codigo de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> Metodo de Euler implícito<br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> Código de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> Metodo de Heun<br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> Código de Matlab: <br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5'''<br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> Gráfica:<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> Grafica: <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> '''Apartado 6'''<br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.'''<br /> <br /> '''Introducción'''<br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1'''<br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.<br /> <br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2'''<br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> Código programa:<br /> <br /> **codigo<br /> [[Archivo:Ej2Corr.m|miniaturadeimagen]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> '''Apartado 3'''<br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> Código programa<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4'''<br /> Metodo de Euler Explicito<br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> Codigo de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> Metodo de Euler implícito<br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> Código de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> Metodo de Heun<br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> Código de Matlab: <br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5'''<br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> Gráfica:<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> Grafica: <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> '''Apartado 6'''<br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.'''<br /> <br /> '''Introducción'''<br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1'''<br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.<br /> <br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2'''<br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> Código programa:<br /> <br /> **codigo<br /> [[Archivo:Ej2Corr.m|miniaturadeimagen]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> '''Apartado 3'''<br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> Código programa<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4'''<br /> Metodo de Euler Explicito<br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> Codigo de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> Metodo de Euler implícito<br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> Código de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> Metodo de Heun<br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> Código de Matlab: <br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5'''<br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> Gráfica:<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> Grafica: <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> '''Apartado 6'''<br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> '''Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.'''<br /> <br /> '''Introducción'''<br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> '''Apartado 1'''<br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.<br /> <br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> '''Apartado 2'''<br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> Código programa:<br /> <br /> **codigo<br /> [[Archivo:Ej2Corr.m|miniaturadeimagen]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> '''Apartado 3'''<br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> Código programa<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> '''Apartado 4'''<br /> Metodo de Euler Explicito<br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> Codigo de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> Metodo de Euler implícito<br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> Código de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> Metodo de Heun<br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> Código de Matlab: <br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> '''Apartado 5'''<br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> Gráfica:<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> Grafica: <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> '''Apartado 6'''<br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo</div>

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<p>Elisa: </p> <hr /> <div>[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br /> [[Categoría:ED16/17]]<br /> [[Categoría:Trabajos 2016-17]]<br /> <br /> Ecuación del calor en una placa en forma de anillo.<br /> <br /> Introducción<br /> El trabajo nos muestra una figura de una placa en forma de anillo, entre los radios 1 y 3, sobre la que vamos a trabajar en coordenadas polares. Tendremos en cuenta los radios para la resolución del problema, que vienen definidos por la coordenada ρ (según la dirección radial).<br /> <br /> ** dibujo<br /> <br /> Figura1. Anillo circular entre radios 1 y 3.<br /> <br /> La temperatura inicial de la placa viene definida por la función:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> y la placa está comprendida entre ρ=1 y ρ=3.<br /> <br /> Los extremos de la placa están en contacto con ciertos objetos que les proporcionan una temperatura de 3ºC y de 0ºC para el ρ=1 y ρ=3, respectivamente. Esto es lo que nos marcará las condiciones de frontera que tiene nuestra placa.<br /> <br /> Apartado 1<br /> La temperatura u de la placa sólo va a depender de la coordenada radial y del tiempo, es decir, por u(ρ,0)=e-8(ρ-2)+3–ρ. El enunciado nos indica que hagamos una parametrización con coordenadas polares, y vamos a tomar ρ y θ. Sin embargo, nuestra temperatura únicamente va a tener en cuenta el radio ρ, y no tendremos que tener en cuenta la coordenada que marcará el ángulo de giro θ.<br /> <br /> Como ya hemos dicho, la temperatura vendrá definida por la coordenada radial ρ y por el tiempo t, siendo: u=u(ρ,t)<br /> Y deberá satisfacer la ecuación del calor: ut−∆u = 0<br /> <br /> **Ecuacion<br /> <br /> Y la ecuación del calor quedará de la siguiente forma:<br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> Apartado 2<br /> Vamos a usar el método del trapecio, con un paso de discretización del espacio y tomando una discretización del tiempo en t [0,10]:<br /> Código programa:<br /> <br /> **codigo<br /> [[Archivo:Ej2Corr.m|miniaturadeimagen]]<br /> <br /> Resultando la siguiente gráfica:<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> Debido a que tenemos dos condiciones de frontera, en nuestra placa se unen los extremos de la placa quedando de forma lineal y transmitiendo el calor de forma progresiva, siendo más frío en el extremo inferior .<br /> Apartado 3<br /> Comportamiento de la temperatura en los puntos para los cuales ρ = 2 en una gráfica 2D temperatura/tiempo<br /> Código programa<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> Aquí podemos ver el comportamiento de la temperatura para en un gráfico de 2D. En el gráfico podemos apreciar como la temperatura va enfriándose de una forma radical y se estabiliza a medida que pasa el tiempo hacia un valor 1.45ºC.<br /> <br /> Apartado 4<br /> Metodo de Euler Explicito<br /> Se resuelve el sistema de ecuaciones diferenciales aplicando el método de Euler explicito y con las mismas condiciones que se indican en el apartado 2 del método de diferencias finitas y del trapecio<br /> <br /> Codigo de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> **grafica<br /> <br /> La temperatura máxima se alcanza según puede verse en el grafico entre los radios 1 y 3. Cuando pasa el tiempo la temperatura baja por la tendencia que la placa tiene para estabilizarse. De este modo el calor se trasmite desde las zonas de mayor temperatura a las de menos, hasta conseguir una temperatura equilibrada <br /> Metodo de Euler implícito<br /> Análogamente en este apartado se especifica la aplicación del método de Euler implícito <br /> Código de Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Gráfica:<br /> En esta grafica se cumplen los mismos principios que en el método de Euler implícito y por lo tanto la misma resolución. <br /> Metodo de Heun<br /> Con este método se obtienen aproximaciones más exactas que con Euler o Runge Kutta, pero debido a nuestra discretización no se aprecia notablemente en nuestro gráfico.<br /> Código de Matlab: <br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> <br /> Apartado 5<br /> Vamos a comprobar que para tiempos grandes la temperatura sufre muy poca variación en el tiempo, por lo que podríamos despreciar Ut , obtendríamos valores estacionarios en cada punto de la placa , fijando un radio determinado.<br /> Variacion de la temperatura para tiempos grandes<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente:<br /> <br /> **ecucion<br /> <br /> La temperatura se representa a lo largo de la placa para diferentes tiempos t= 0 , 1 , 2 ,10 y observamos que la temperatura muestra tendencia a equilibrarse a un valor estacionario en cada punto, alcanzándose un aumento de temperatura lineal en el anillo en la dirección del radio. <br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo<br /> **grafica<br /> Gráfica:<br /> Podemos apreciar en las cuatro subventanas la comparación para distintos valores de t (t=0,t=1,t=2, y t=10) y el valor estacionario. Se ve como se va estabilizando con t mayores.<br /> <br /> <br /> COMPARACION h=0.1,0.01<br /> **codigo<br /> <br /> hold off<br /> Grafica: <br /> Como se puede observar no hay prácticamente diferencia entre un paso y el otro<br /> <br /> **grafica<br /> <br /> La oscilación de la temperatura a lo largo del disco no es uniforme pues en el extremo ρ=3 la temperatura es mayor en ρ=1. Esto se debe a la condición inicial de ubicar un aislante en el extremo. <br /> Apartado 6<br /> Variacion en las condiciones de frontera de la temperatura<br /> Situamos ahora en la frontera interior de la placa ρ=1 una pieza aislante (en lugar de un objeto con temperatura constante 3). El aislante impide la pérdida de calor en ese extremo y por ello el flujo de temperatura en la dirección radial es nulo y no entra ni sale calor en ese extremo de la placa. Así, el valor estacionario de la temperatura de la placa será 0ºC.<br /> El sistema en este caso es semejante al anterior. La diferencia es que el flujo de calor en la dirección radial sea nulo en la placa ( Neumann).<br /> El sistema de ecuaciones que cumple U= U (ρ,t) es el siguiente: <br /> <br /> **ecuacion<br /> <br /> Código Matlab:<br /> <br /> **codigo</div>

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Elisa