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Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T14:30:08Z

Elena Suta: /* Mallado ocupado por el fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==
Se pide dibujar el mallado que represente los puntos interiores del fluido que circula por el canal rectangular dado. Dicho rectángulo ocupa la región [0,4]x[0,1], y se especifica que los ejes estén en el intervalo [0,4]x[-1,2], respectivamente.
Para ello, se ha empleado un sencillo programa en Matlab que nos muestra la malla.
{{matlab|codigo=

%Dibujamos el mallado de los puntos interiores del fluido en el interior
%del canal
[X,Y]=meshgrid([0:0.1:4],[0:0.1:1])
%Hemos dejado un espaciado mínimo de 0.1 en la malla.
mesh(X,Y,0*X)
%A continuación dibujamos la región pedida y visualizamos
grid on
axis([0,4,-1,2])
view(2)

}}

El resultado obtenido de este programa es la siguiente malla:
[[Archivo:Malladomallado.jpg|marco|centro]]

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:
[[Archivo:Temperatura16c.png|marco|ninguna]]

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:
[[Archivo:Cilcar.png|marco|centro]]
[[Archivo:Maxmin16c.png|marco|centro]]

Por lo tanto el dominio con el que trabajaremos en coordenadas cilíndricas ser el siguiente:
[[Archivo:domcil.png|marco|ninguna]]
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T14:29:11Z

Elena Suta: /* Mallado ocupado por el fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==
Se pide dibujar el mallado que represente los puntos interiores del fluido que circula por el canal rectangular dado. Dicho rectángulo ocupa la región [0,4]x[0,1], y se especifica que los ejes estén en el intervalo [0,4]x[-1,2], respectivamente.
Para ello, se ha empleado un sencillo programa en Matlab que nos muestra la malla.
{{matlab|codigo=

% Escribe aquí tu código
%Dibujamos el mallado de los puntos interiores del fluido en el interior
%del canal
[X,Y]=meshgrid([0:0.1:4],[0:0.1:1])
%Hemos dejado un espaciado mínimo de 0.1 en la malla.
mesh(X,Y,0*X)
%A continuación dibujamos la región pedida y visualizamos
grid on
axis([0,4,-1,2])
view(2)

}}

El resultado obtenido de este programa es la siguiente malla:
[[Archivo:Malladomallado.jpg|marco|centro]]

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:
[[Archivo:Temperatura16c.png|marco|ninguna]]

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:
[[Archivo:Cilcar.png|marco|centro]]
[[Archivo:Maxmin16c.png|marco|centro]]

Por lo tanto el dominio con el que trabajaremos en coordenadas cilíndricas ser el siguiente:
[[Archivo:domcil.png|marco|ninguna]]
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Malladomallado.jpg

2015-12-04T14:27:47Z

Elena Suta: Mallado del fluido

Mallado del fluido

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T14:22:30Z

Elena Suta: /* Mallado ocupado por el fluido */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==
Se pide dibujar el mallado que represente los puntos interiores del fluido que circula por el canal rectangular dado. Dicho rectángulo ocupa la región [0,4]x[0,1], y se especifica que los ejes estén en el intervalo [0,4]x[-1,2], respectivamente.
Para ello, se ha empleado un sencillo programa en Matlab que nos muestra la malla.
{{matlab|codigo=

% Escribe aquí tu código
%Dibujamos el mallado de los puntos interiores del fluido en el interior
%del canal
[X,Y]=meshgrid([0:0.1:4],[0:0.1:1])
%Hemos dejado un espaciado mínimo de 0.1 en la malla.
mesh(X,Y,0*X)
%A continuación dibujamos la región pedida y visualizamos
grid on
axis([0,4,-1,2])
view(2)

}}

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==

La temperatura del fluido viene dada por la siguiente expresión:
[[Archivo:Temperatura16c.png|marco|ninguna]]

Como esta función está expresada en coordenadas cilíndricas, para el estudio de la temperatura trabajaremos en estas coordenadas. Para ello se debe establecer el dominio de ro y theta teniendo en cuenta su relación con x e y:
[[Archivo:Cilcar.png|marco|centro]]
[[Archivo:Maxmin16c.png|marco|centro]]

Por lo tanto el dominio con el que trabajaremos en coordenadas cilíndricas ser el siguiente:
[[Archivo:domcil.png|marco|ninguna]]
=== Campo de temperaturas ===

El campo de temperaturas asocia una temperatura a cada punto del fluido. Para su representación gráfica se utilizará el siguiente programa de matlab:
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cff.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cff.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cff.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===

Para el cálculo de la temperatura máxima del fluido, así como la deteterminación del punto donde esta se alcanza se utilizará el sguiente programa de MATLAB:
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[theta,ro]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=((pi/2)/10)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.1571. Al fijarse en los gráficos anteriores, que representaban el campo de temperaturas, se observa que este resultado es completamente coherente, pues ese punto claramente está en el entorno en el que se observan las temperaturas más altas.

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,pi/2,10);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*RO+1).*cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente ro
Ttheta=-sin(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Componente theta
hold on
quiver(RO,THETA,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(RO,THETA,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [pi/2,pi/2];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradienteff16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradienteff16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Estudio de la presión media de los puntos del fluido==

La presión de los puntos del fluido viene dada por el campo escalar. Particularizando en los valores que nos dan para p1 y p2:

[[Archivo:Campo_escalar1.png|marco|centro]]

Una vez tenemos la expresión del campo escalar de las presiones calculamos la integral definida en los limites x[0,4] e y[0,1] y el área de nuestro canal. La presión media de los puntos del fluido será la división entre la integral y el área del canal.

[[Archivo:Integral_campo.png|marco|centro]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T01:38:36Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]
Para terminar, comprobamos que la velocidad del fluido en las paredes y=0, y=1 es nula, para lo cual simplemente sustituimos en la expresión de la velocidad dada:
[[Archivo:Camp0.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp0.jpg

2015-12-04T01:36:11Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T01:31:13Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

Por otro lado, vamos a comprobar la condición de incompresibilidad de un fluido, para lo cual partimos de la expresión facilitada y desarrollamos:
[[Archivo:Camp12.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp12.jpg

2015-12-04T01:29:01Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T01:18:39Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]
Finalmente, basta con sustituir cada uno de estos términos en la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp11.jpg|marco|centro]]
Por lo tanto, queda así demostrado.

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp11.jpg

2015-12-04T01:16:10Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T01:10:52Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
[[Archivo:Camp10.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp10.jpg

2015-12-04T01:09:16Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T01:05:13Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]
Por último, vamos con el segundo sumando de la ecuación a demostrar:
[[Archivo:Camp9.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp9.jpg

2015-12-04T01:03:29Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T00:59:15Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que:
-Se ha de cumplir la expresión que nos dan como resultado del primer sumando de la ecuación, lo que implica que la primera y la tercera derivada parcial del desarrollo anterior sean nulos.

-u2,u3 son 0, ya que la ecuación velocidad que se proporciona está representada en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]
Por otro lado, vamos con otro término de la ecuación:
[[Archivo:Camp7.jpg|marco|centro]]
Desarrollando, se tiene:
[[Archivo:Camp8.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp8.jpg

2015-12-04T00:51:52Z

Elena Suta:

Archivo:Camp7.jpg

2015-12-04T00:51:24Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T00:34:17Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y, y esto se debe a que u2,u3 son 0, ya que el vector velocidad nos lo dan en i.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T00:28:26Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]
Desarrollamos este primer término:
[[Archivo:Camp5.jpg|marco|centro]] donde todos los términos son nulos, excepto la derivada parcial de u1 con respecto a y.
De esta forma nos queda:
[[Archivo:Camp6.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp6.jpg

2015-12-04T00:23:23Z

Elena Suta:

Archivo:Camp5.jpg

2015-12-04T00:14:51Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T00:09:54Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verificar la ecuación de Navier-Stokes:
[[Archivo:Camp3.jpg|marco|centro]]
Para ello vamos a ir parte por parte. En primer lugar, tenemos:
[[Archivo:Camp4.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp4.jpg

2015-12-04T00:06:58Z

Elena Suta:

Archivo:Camp3.jpg

2015-12-04T00:06:22Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-04T00:02:39Z

Elena Suta: /* Comprobación ecuación Navier-Stokes */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==
Partimos de las ecuaciones de la velocidad y la presión de las partículas del fluido, respectivamente:
[[Archivo:Camp1.jpg|marco|centro]]
Con ello se pide verifivar la ecuación de Navier-Stokes:

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de presiones==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja. Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

==Representacion del campo de velocidades==

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

[[Archivo:Helloprogr.png|marco|centro]]

El grafico resultante es el siguiente:

[[Archivo:Helloo.png|marco|centro]]

Las dos conclusiones fundamentales que se pueden apreciar en la representación gráfica son que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Archivo:Camp2.jpg

2015-12-03T23:56:33Z

Elena Suta:

Archivo:Camp1.jpg

2015-12-03T23:55:50Z

Elena Suta:

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-03T23:22:39Z

Elena Suta:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación ecuación Navier-Stokes==

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de velocidades==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

==Conclusiones de las representaciones==

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja.
Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

==Conclusiones==

En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C

2015-12-03T23:19:45Z

Elena Suta:

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. Grupo 16-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC15/16|2015-16]] | Sarah Boufounas, Laura García Pedraz, Isabel Roselló Colom, Ignacio Riesco Fernández , Larisa Elena Suta, Álvaro Valbuena Pámpanas }}

El trabajo que nos ocupa es el del estudio de la visualización de campos escalares y vectoriales en fluidos. La consideración a tomar como fluido ha sido la de un fluido incompresible a traves de un canal con pareces rectas.
La variación del volumen del fluido va a ser por tanto nula.
El canal está compuesto por dos paneles rectos.
Las coordenadas en la que refiramos los apartados serán cartesianas.

==Mallado ocupado por el fluido==

==Comprobación de la ecuación Navier-Stokes==

==Breve introducción a la incompresibilidad de un fluido==
Un fluido incompresible es cualquier fluido cuya densidad siempre permanece constante con el tiempo, y tiene la capacidad de oponerse a la compresión del mismo bajo cualquier condición. Esto quiere decir que ni la masa ni el volumen del fluido puede cambiar. El agua es un fluido casi incompresible, es decir, la cantidad de volumen y la cantidad de masa permanecerán prácticamente iguales, aún bajo presión. De hecho, todos los fluidos son compresibles, algunos más que otros. La compresión de un fluido mide el cambio en el volumen de una cierta cantidad de líquido cuando se somete a una presión exterior.

Por esta razón, para simplificar las ecuaciones de la mecánica de fluidos, se considera que los líquidos son incompresibles. En términos matemáticos, esto significa que la densidad de tal fluido se supone constante.
Se debe prestar atención a todas las propiedades del fluido (aire, agua) para definir las condiciones de flujo. Esto se debe a que todas las propiedades están conectadas entre sí. Si la presión o la temperatura de un fluido cambia, su densidad generalmente también cambia (a menos que se trate de un fluido incompresible, como en el ejercicio que ahora estudiamos).
[[Archivo:Awa.jpg.jpg|marco|centro]]

==Estudio de la velocidad del fluido==
===Método de estudio===
El campo de velocidades realizado en el apartado anterior ha dejado de forma gráfica patente, dónde se desarrollan las velocidades máximas de nuestro fluido; sin embargo y a nivel matemático, para desarrollarlo de forma analítica bastaría con realizar la derivada del campo de velocidades con respecto a Y llegando a la conclusión de que las mayores velocidades se dan en la céntrica línea de Y=1/2
En la siguiente imagen podemos observar las operaciones realizadas para llegar a nuestra conclusión.
[[Archivo:Roti.png|marco|centro]]
===¿Esta solución tiene un sentido físico? ¿Es razonable?===
Sí, en efecto podríamos hablar de un sentido físico dado que en la circulación de fluidos por conductos o tuberías la velocidad máxima siempre tiende a localizarse en el centro. Los extremos siempre conllevan perdidas de carga continuas y fuerzas de rozamiento. Es por el centro donde la circulación es más libre y por tanto la velocidad se incrementa.
[[Archivo:Centri.jpg|marco|centro]]

==Representacion del campo de velocidades==
Para representar el campo de velocidades y presiones vamos a suponer que p1=2 y p2=1 , con mu=1.
Para ello usaremos el programa de Matlab.

El codigo para el campo de presiones es el siguiente:
[[Archivo:Porgramapresion.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Reprpresion.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Representacion3D.png|marco|centro]]

El codigo para el campo de velocidades es el siguiente:
[[Archivo:Programavelocidad.png|marco|centro]]

La representacion en 2D:
[[Archivo:Representacion2Dvel.png|marco|centro]]

La representacion en 3D:
[[Archivo:Repres3D.png|marco|centro]]

==Conclusiones de las representaciones==

En el campo de presiones podemos apreciar que la presion es más alta en las zonas más cálidas (colores como rojo, naranja, amarillo y verde), y en las zonas más frías (colores como verde,celeste y azul), la presión es más baja.
Esto significa que a medida que el fluido va avanzando en el canal la presión va bajando.

En el campo de velocidades podemos observar que todos los vectores apuntan hacia la misma dirección, en sentido paralelo al eje x. También que la velocidad es mayor en el centro del canal que en las paredes porque los vectores tienen mayor módulo ahí, esto ocurre porque no hay barreras en el centro que pueda provocar una disminución en la velocidad.

==Lineas de corriente==

Ahora vamos a dibujar las líneas de corriente des campo u, es decir, las líneas que son tangentes a este en cada punto. Para esto calculamos un campo v, que es ortogonal a u.

[[Archivo:1s.jpg|marco|centro]]

Vamos a calcular el potencial escalar ψ, que se conoce como función de corriente de u :

[[Archivo:2s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:3s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:4s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:5s.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:6s.jpg|marco|centro]]

Calculamos el rotacional:

[[Archivo:7s.jpg|marco|centro]]

Se comprueba que es irrotacional (por ser u de divergencia nula)

[[Archivo:8s.jpg|marco|centro]]

Se mostrara a continuacion la representacion de las lineas de corriente de u (ψ=cte) que el enunciado pide.

Usando el siguiente programa de matlab :

==Conclusiones==

En base a estos cálculos, llegamos a distintas conclusiones que se pueden apreciar en la representación gráfica, donde vemos que las líneas de corriente son efectivamente tangentes al campo de velocidades y, además, que el campo \( \vec v \) es irrotacional debido a que su divergencia es nula.

==Estudio del rotacional de campo==
Usamos el concepto de rotacional de campo en el cálculo vectorial, el rotacional o también denominado a veces rotor es un operador vectorial para mostrar la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto concreto.
Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto, es decir:
[[Archivo:Plapo.png|marco|centro]]
Sin embargo se puede expresar de forma más concisa con ayuda del operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante un determinante:
[[Archivo:Deteret.png|marco|centro]]
y relacionando el operador nabla con nuestro campo,
[[Archivo:Rotixx.png|marco|centro]]

{{matlab|codigo=

x=0:0.05:4;
y=0:0.05:1;
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

rotabs=abs(Y-(1/2)); %Rotacional

surf(X,Y,rotabs)

axis([0,4,-1,2])
}}
[[Archivo:16C-rotabs.png|marco|centro|Representación del rotacional en valor absoluto]]
El dibujo del mallado en Matlab deja patente que el rotacional crece en valor absoluto a medida que nos acercamos a las paredes de la sección. Eso quiere decir que a medida que el rotacional crece, decrecen la velocidad de las partículas.
El rotacional es mayor en los puntos cercanos a las paredes porque estos son más propensos a generar rotación alrededor de puntos en concreto al tener una velocidad más pequeña y una trayectoria menos libre.

== Estudio de la temperatura del fluido ==
=== Campo de temperaturas ===
{{matlab|codigo=

%Mallado coordenadas cilíndricas
ro=linspace(0,4.1231,41);
theta=linspace(0,0.2450,3);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta); % Mallado

T= cos(THETA).*exp(-(RO-(1/2)).^2); %Temperatura
%Superficie
figure(1)
surface(RO,THETA,T)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel
figure(2)
contour(RO,THETA,T,30)
axis equal
hold on
x = [0,4.1231];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4.1231];
y = [0.245,0.245];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

%Curvas de nivel y superficie 3D
figure (3)
surf(RO,THETA,T)
hold on
contour(RO,THETA,T,30)
grid on
axis equal
xlabel('RO')
ylabel('THETA')
zlabel('Temperatura')
colorbar

}}

[[Archivo:Superficie16cf.jpg|marco|centro|Representación gráfica del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvas16cf.jpg||marco|centro|Curvas de nivel del campo de temperaturas]]
[[Archivo:Curvasysuperficie16cf.jpg|marco|centro|Representación del campo de temperaturas y sus curvas de nivel de manera conjunta]]

===Temperatura máxima===
{{matlab|codigo=
%Temperatura máxima
Tmax=max(max(T))
%Coordenadas para Tmax
[ro,theta]=find(T==Tmax);
rom=(4.1231/41)*ro
thetam=(0.245/3)*theta
}}

La temperatura máxima es T=0.9998 y se alcanza en ro=0.6034 y theta=0.0817

=== Gradiente de temperatura ===
La temperatura es una magnitud intensiva que adopta un valor distinto para cada punto del espacio, por lo que puede ser descrito como un campo escalar.
En cálculo vectorial, el gradiente de un campo escalar '''f''' es un campo vectorial. El vector gradiente de '''f''' evaluado en un punto genérico '''x''' del dominio de '''f''' , '''f(x)''', indica la dirección en la cual el campo '''f''' varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de '''f''' en la dirección de dicho vector gradiente.

Si suponemos que '''c : R → R''' n es una curva parametrizada con la propiedad de que '''c(t)''' pertenece al k conjunto de nivel de '''f''' para cualquier '''t ∈ R'''. Esto significa simplemente que '''f ◦ c''' es constantemente igual a k. Por lo tanto: '''d(f ◦ c) dt = 0''', porque es la derivada de una constante. Pero como, por otra parte, tenemos: '''d(f ◦ c) dt = grad f(p) · c’(t)''' , concluimos que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

Por tanto, el gradiente térmico o gradiente de temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia.
Siendo esto así, para cada punto del fluido, el gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual la temperatura aumenta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido aumenta la temperatura en esa dirección.

Mediante Matlab obtenemos la representación gráfica de las curvas de nivel de la temperatura y el gradiente térmico, y podemos comprobar gráficamente que el gradiente es perpendicular a las curvas de nivel.

{{matlab|codigo=

x=linspace(0,4,40);
y=linspace(0,1,10);
[X,Y]=meshgrid(x,y); % Mallado

T= cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Temperatura
Tro=(-2*X+1).*cos(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente ρ
Ttheta=-sin(Y).*exp(-(X-(1/2)).^2); %Componente θ
hold on
quiver(X,Y,Tro,Ttheta); %Representación del gradiente
contour(X,Y,T,30); %Representación de la temperatura

grid on
axis([0,4,-0.5,1.5])
axis equal
xlabel('X')
ylabel('Y')

hold on
x = [0,4];
y = [0,0];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)

hold on
x = [0,4];
y = [1,1];
plot(x,y,'-k','linewidth',1.5)
}}

[[Archivo:gradientef16c.jpg|marco|centro|Representación gráfica de las curvas de nivel y el gradiente de temperatura.]]

[[Archivo:gradientef16czoom.jpg|marco|miniaturadeimagen|centro|Ampliación del gradiente y las curvas de nivel, donde se puede observar con más detalle que son perpendiculares entre sí. ]]

==Caudal==

El caudal es la cantidad flujo volumétrico o volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
Para calcular el caudal, lo hacemos mediante una integral de línea:

[[Archivo:16C-10-1.png|sinmarco|centro]]
En nuestro caso,

[[Archivo:16C-10-2.png|marco|centro]]

donde p1=2, p2=1 y μ=1.
Por tanto

[[Archivo:16C-10-3.png|marco|centro]]

El ancho del canal es 1 y por tanto los límites de nuestra integral serán 0 y 1.

[[Archivo:16C-10-4.png|marco|centro]]

El caudal que lleva el canal es de 0.083 m3/s
=== Porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal===

Para calcular el caudal que pasa por la mitad central del canal lo hacemos con la misma integral empleada para el caudal total, pero en el intervalo 0.25 y 0.75, teniendo el valor medio de y, en el centro de dicho intervalo.

[[Archivo:16C-10.2-1.png|marco|centro]]

Y el porcentaje del caudal que pasa por la mitad central del canal es:

[[Archivo:16C-10.2-2.png|marco|centro]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC15/16]]

Localizacion de central nuclear en Navarra

2015-11-29T18:46:23Z

Elena Suta:

{{ TrabajoSIG | Localización de central nuclear en Navarra | María Salvador Mejías, Elena Suta, Aurora Gómez Alonso, Jaime Chueca Rincón | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción ==
El objeto del trabajo se centra en la localización de una central nuclear, cuya ubicación se ha visto influenciada por el conjunto de factores que indican a continuación. En primer lugar, se ha previsto escoger un emplazamiento cercano a un río, embalse o costa, en una zona preferiblemente no sísmica y de características geológico-geotécnicas adecuadas, para de esta forma evitar cualquier fisuración o fuga dentro de la plataforma. Por otra parte, se ha procurado una buena accesibilidad a la central, sin afectar a la calidad de vida de los pueblos colindantes, respetando los niveles de radiactividad. Además, se ha tenido en cuenta la proximidad de zonas protegidas, manteniendo de esta forma el respeto a la fauna y la flora de su entorno.

Se hizo un estudio geológico-geotécnico del suelo peninsular de forma práctica para acotar el perímetro en el que se iba a situar la central. Así, se descartaron los terrenos del sur, sur-este y centro peninsular, dada la abundancia de rocas que darían lugar a asiento. Con lo cual, centrándose solamente en los terrenos del norte, se descartó Cataluña por abundancia de centrales, y el territorio gallego, asturiano y alrededores por el minifundismo de sus poblaciones y la presencia de un gran número de zonas protegidas dado el clima de la zona. Así, y en vista de factores hidrológicos y de comunicación, la central se situará en la Comunidad Foral de Navarra.

Para realizar el estudio propuesto, se ha hecho uso de la plataforma IDE de las comunidades autónomas españolas, así como de la información proporcionada por el IGME y de las aportaciones necesarias del Ministerio de Fomento e instituciones similares.
Con todo, se espera que los resultados obtenidos sirvan para ubicar de forma lo más precisa posible la central nuclear, mejorando así la aportación energética a la población del entorno de Navarra, complementando así a las centrales de otros tipos ya existentes.

== Metodología ==
Primero, se hizo un estudio geológico-geotécnico a gran escala del suelo de la comunidad, en vista de que el mismo sea capaz de resistir las cargas de la cimentación y la planta del complejo de la central en general. Se pretende con ello evitar asientos considerables que pongan en peligro la estabilidad y con ello persuadir a todos los efectos la aparición de cualquier tipo de fisura que suponga el escape del material radiactivo hacia el exterior.

Por ello con este estudio se pretende localizar un suelo de calidad media-alta, con objeto de no incurrir en un coste excesivamente alto de los elementos de cimentación. El colocar la central en un suelo de baja calidad implica aumentar el coste de forma significativa, y es por ello por lo que se presta especial atención a este aspecto. Para ello se ha empleado el MAGNA, obtenido del IGME y se ha observado las distintas litologías disponibles. Esto se ha empleado para elegir el mejor terreno de cara a la situación de la central.

En vista a los núcleos urbanos, la densidad de población es uno de los principales factores a tener en cuenta en la evaluación del riesgo. El objetivo es obtener la menor densidad alrededor de la central, en un radio de 30km. Hay casos extremos como la planta nuclear de KANUPP en Karachi, Pakistán, tiene la mayor cantidad de personas viviendo dentro de este radio, alrededor de 8,2 millones. Otro ejemplo como la planta de Kuosheng de Taiwán con 5,5 millones de personas dentro de un radio de 30 kilómetros. En nuestra central, la mayor ciudad que se encuentra dentro de esta zona de seguridad es Estella (Navarra), con 14251 habitantes, difícilmente comparable con el anterior caso.

Para ello estudiamos el número concreto de personas que se verán afectadas por la central según la proximidad estableciendo 3 anillos de seguridad, utilizando el Mapa de Núcleos Urbanos de la Comunidad Foral de Navarra, facilitada por el tutor. Las operaciones para analizar la posición respecto a las poblaciones, una vez colocada la central, han sido vectoriales:
Buffer a 5 km de la Parcela en la que se emplazará la central para ver la población directamente afectada.
Buffer de 10 km alrededor de la parcela.
Buffer de 30 km.
Intersección entre el Buffer de 5 km y la capa de Núcleos Urbanos para obtener la población directamente afectada.
Filtro de los Núcleos Urbanos con población mayor que 1000 habitantes.

En el apartado hidrológico, es necesario que la central tenga acceso a grandes cantidades de agua, con objeto de extraer el calor procedente de la fisión del uranio en el reactor nuclear. Para ello, se necesitan una serie de caudales mínimos, utilizando agua procedente de ríos, de lagos o embalses. Para ello se han analizado los datos de los caudales de los ríos de la comunidad autónoma (tablas de atributo de la capa vectorial RIOS), con objeto de conocer si los caudales de aportación a la central serán suficientes para su refrigeración.

En cuanto a las vías de comunicación, resultan de elevada importancia, para un adecuado acceso a la central. Por una parte, lo es durante la fase de construcción, pues el llevar hormigón y los materiales para su realización resulta una ardua tarea. Por otra parte, durante los años de uso que se dará al complejo de la central, también son imprescindibles las adecuadas vías de comunicación, pues resultará de utilidad el acceso para los trabajadores de la misma. Para ello se han analizado las diferentes capas de redes de carreteras de Navarra, una serie vectorial BTN100, donde se reflejan las autovías principales y secundarias de la comunidad. En relación a los espacios protegidos, en la extensión de territorio perteneciente a Navarra, se sitúan dos redes de espacios naturales principales, la Red de Espacios Naturales Protegidos de Navarra (RENA) y la Red Natura 2000. Estas zonas deben estar lo mínimamente afectadas, por ello se ha realizado un buffer de 5km, viendo así las zonas que resultan afectadas.

Además, se ha realizado un estudio del mapa vectorial BTN100 de las principales redes eléctricas de la comunidad, estableciendo las distancias entre las mismas y la central. La importancia de evitar caídas de tensión en la central es muy elevada, con lo cual se intentará que este requisito se cumpla en el mismo grado de prioridad que los demás.

Con objeto además de evitar grietas y fisuraciones, se debe prestar gran atención al mapa de sismicidad de la península ibérica, y en especial de Navarra. Para ello, se ha acudido al IGME, donde se ha obtenido el mapa de sismicidad, analizando de esta forma el nivel de riesgo de terremoto en la zona donde se situará la central.

Asimismo, y de forma complementaria, se ha querido estudiar la ubicación más cercana de una planta de hormigón que facilitará la aportación de material durante la fase de construcción de la central. Esto se ha hecho mediante la consulta de fuentes exteriores sobre la situación de las plantas de hormigón ubicadas en los pueblos colindantes a la plataforma de la central. Una vez esto, se ha analizado la distancia a la misma y se ha obtenido la más cercana.

Por último, se ha de destacar el uso de una serie de diferentes mapas ráster 50 del IGN como fondo a distintas capas de los terrenos en los que se situará la central.

La central que se ha creado mide aproximadamente 5Ha, siendo este un valor cotejado con las diferentes centrales que existen en España, tomándose así un valor medio.

== Resultados ==

'''Geología y geotecnia'''
Desde este punto de vista, se descartaron aquellos terrenos en los que destacaban la presencia de ciertos tipos de roca que podrían dar problemas importantes a largo plazo. Así, se descartaron por un lado las formaciones propias de las terrazas fluviales, tales como limos, arenas y gravas, que podrían dar problemas de asiento a lo largo del tiempo. Por otra parte, se desecharon las arcillas, ya que al tratarse de una zona moderadamente húmeda, podría haber problemas de expansión, lo que daría lugar a la formación de importantes grietas. Asimismo, se evitaron los terrenos yesíferos, en los cuales la anhidrita de la que se componen, al entrar en contacto con el agua, daría lugar a procesos expansivos que de nuevo someterían a altas presiones la cimentación. Con lo cual, dentro de los materiales disponibles en la comunidad, se ha inclinado la ubicación hacia terrenos calizos, de buena resistencia a compresión y meteorización.
Con ello, y según los requisitos impuestos desde el punto de visto geológico, la central se sitúa próxima al municipio de Estella, al suroeste de la comunidad autónoma. El terreno destaca por la presencia de diapiros, formados por sales del Keuper, que han emergido en forma de fracturas. Asimismo, existe una sucesión de depósitos de calizas, margas y dolomías, predominando hacia las sierras de Urbasa y Andía (situadas en el norte de Estella), calcarenitas y conglomerados, junto a los ya mencionados anteriormente.
Realizando un análisis más exhaustivo, y teniendo en cuenta los criterios restantes para la ubicación de la central, se vio precisa la elección de un terreno calcáreo con coluviones, pues a pesar de ser un área de relativa abundancia de calizas, se debe tener en cuenta que muchas de ellas están combinadas con otros materiales arcillosos, limosos, etc., que perjudicarían la calidad de la roca que se busca. La presencia de coluvial implica únicamente su retirada del terreno en el que se quiere trabajar, que es el calizo. Se prevé que el coluvial tenga poca potencia, lo cual implica que los pocos metros de profundidad que tiene, se excavarán sin mayor dificultad. Esto, junto al canto de la losa de cimentación, permitirá el asentamiento de la misma sobre el sustrato calcáreo deseado.

'''Núcleos urbanos'''
Para establecer las zonas de protección, creamos un buffer a la futura parcela, en la que se establecerá la central, de los diferentes radios. Con la capa de núcleos urbanos encontramos la información necesaria a los núcleos de población cercanos, ya que, en atributos tiene el número de habitantes de cada municipio. Mediante la intersección de capas, los buffer y nuc-pob tendremos todas las localidades afectadas y podremos obtener la población afectada (ver imagen de los resultados en el apartado Anejos).
La densidad es bastante baja, algo bueno desde el punto de vista de la seguridad.
Como ventajas de la ubicación, las ciudades de Estella y Pamplona están relativamente cerca dada el buen sistema de carreteras/autovías (10 km y 30 km respectivamente). En ellas, se podría alojar el personal cualificado de la central y dando así empleo a la zona.
Analizando el futuro impacto que supondrá esta central en la economía de la Comunidad, será un supuesto abaratamiento de la energía y una menos independencia de la renovable (principal fuente) y de las centrales térmicas. Se mejora la competitividad de la zona.

'''Hidrografía'''
Una vez obtenido el agua del río o embalse, se devuelve a su procedencia ligeramente más caliente y en una zona lejana de donde se realizó la toma para no alterar las condiciones del curso. Una vez esto, la temperatura máxima que puede alcanzar es de 3ºC superiores a la temperatura que hay habitualmente
Para que esta condición se cumpla, el rio debería ser muy caudaloso, pero sin embargo los cauces más importantes de la zona, el río Urederra y el río Ega tienen un caudal medio anual entre 7 y 11 metros cúbicos, además de que son zonas protegidas.
En este caso se utilizará un embalse próximo a la zona donde el agua se refrigere de forma natural mediante evaporación, así habrá una pequeña pérdida de agua pero a cambio no se realizan vertidos a temperaturas elevadas.
El transporte de agua desde el embalse se realizará mediante un canal de derivación de longitud aproximada de 10 km, que es la distancia existente entre la central nuclear y el embalse más próximo.

'''Fuentes de electricidad'''
La importancia de que no haya caídas ni fluctuaciones en la red se debe a los problemas que surgirían si la maquinaria de la central se paralizara en medio del proceso de fisión dentro del reactor. Por tanto se hará una derivación de la red principal más cercana (que se sitúa aproximadamente a unos 10km, distancia razonablemente cercana) y se hará llegar hasta la central. Hay que garantizar que no se produzcan oscilaciones de potencia eléctrica por lo que debe haber una fuente de energía fiable y que proporcione un suministro eléctrico suficiente.

'''Vías de comunicación'''
En lo que se refiere a las vías de acceso a la zona de ubicación de la central, parte de la Red de Carreteras ya construida se sitúa en las inmediaciones de la misma. En concreto, destacan las vías correspondientes a la Red de Carreteras de competencia Autonómica por su proximidad al emplazamiento de la central; por ejemplo, la NA-718 apenas dista un kilómetro de la infraestructura.
Además, dichas vías autonómicas (NA-178, NA-132 Y NA-120) atraviesan la sierra montañosa cercana a la central de Norte a Sur y poseen conexiones con las vías de alta capacidad de la comunidad navarra, pues conectan directamente con la A-12 y mediante enlace con la A-12 conectan con la AP-15. Por tanto, las condiciones de accesibilidad a la obra y a la futura central se presentan como suficientemente eficientes, favoreciendo la eficacia del transporte de materiales y equipos, y el acceso del personal en general.

'''Zonas protegidas'''
Respecto a la interacción de las instalaciones de la futura central con las zonas protegidas (que en la imagen del anejo se muestran en color burdeos), se observa una proximidad a las mismas inferior a dos kilómetros, si bien el emplazamiento no se proyecta dentro de los límites definidos por los espacios protegidos. De este modo, no existiría un impacto directo de la central sobre el medio, y las correspondientes medidas de seguridad de la instalación para minimizarlo serían tomadas con la suficiente rigurosidad y precaución.
Además, conviene destacar que, para conjugar la ubicación de la central en una superficie de características geológico-geotécnicas adecuadas y suficientemente alejada de núcleos de población, se ha determinado que el emplazamiento óptimo es el mostrado en la figura, sin priorizar, por tanto, la evidente cercanía a las áreas protegidas.

'''Sismicidad'''
Por otra parte, se hizo un estudio a gran escala del mapa de sismicidad de la península, así como de Navarra en concreto. El hecho de que no haya riesgo sísmico resulta muy importante de cara a evitar no solamente fisuras en la cimentación (que derivarían además de la aparición de grietas en el terreno), sino también en toda la planta de la central. Una inestabilidad del suelo, por muy mínima que fuera, podría dar lugar a algún tipo de rotura y al escape de material radiactivo, dando lugar así a un posible accidente en el interior que pondría en peligro el bienestar de las poblaciones colindantes.
La zona en la que se sitúa la central posee un riesgo medio-bajo frente a un posible seísmo, lo cual encaja en esta condición que se impone para la situación de la central. Esto, analizado con un periodo de retorno de 500 años, implica que el riesgo de terremoto es relativamente bajo, además de que en caso de producirse, se sentiría fugazmente por las personas. En el peor de los casos, la estructura de la central no se vería afectada, dada la robustez del hormigón que se emplea para su construcción.
No pasaría esto si la central estuviese situada cerca de la costa, especialmente en el sur, sur-este peninsular, donde el riesgo sísmico es bastante más elevado.

'''Planta de hormigón'''
Dado el gran volumen de hormigón que es necesario emplear para la construcción de la central nuclear, donde se hace uso de hormigón pesado, es adecuado tener situada una planta de hormigón próxima a la localización de la misma. De esta forma, se evita el hecho de emplazar una planta provisional cerca de la zona de obras, ahorrando así más tiempo y dinero.

== Conclusiones==
Tras la metodología aplicada y el análisis de resultados realizado, se concluye que la ubicación escogida para la central nuclear en la Comunidad Foral de Navarra es suficientemente apropiada según los parámetros examinados y teniendo en cuenta el alcance del estudio. Concretamente, se han priorizado las características geológico-geotécnicas del emplazamiento, a favor de alcanzar una óptima seguridad estructural de las instalaciones, así como el alejamiento de los núcleos de población para garantizar la seguridad de los habitantes. Además, lo anterior conjugado con la proximidad de líneas eléctricas y vías de comunicación, junto con las características hidrográficas y la minimización del impacto ambiental sobre las zonas protegidas cercanas, hacen del emplazamiento elegido lógico y adaptado a la región en la que se encuadra.

== Anejos ==

[[Archivo:Mapa_geologico.png|500px|thumb|left|Mapa geológico de la zona]]
[[Archivo:Leyenda_mapa_geologico.png|1500px|thumb|left|leyenda del mapa geolódico de la zona ]]

[[Archivo:buffer_poblacion_1.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]
[[Archivo:buffer_poblacion_2.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]
Como resultados las poblaciones afectadas a 5 km son: 1126 personas con una densidad de 13.79 hab/km²
Poblaciones mayores de 1000 habitantes afectadas por la central:
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_1.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_2.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:riosembalses.png|800px|thumb|left|Vista de la capa vectorial de los distintos ríos y el embalse más próximo a la central nuclear]]
[[Archivo:Vias_de_comunicacion.png|800px|thumb|left|Redes principales de líneas eléctricas cercanas a la central]]
[[Archivo:carrreteras_autonomicas.png|800px|thumb|left|Vista de las carreteras autonómicas más próximas a la central]]
[[Archivo:zonas_protegidas.png|800px|thumb|left|Vista del alcance del buffer de 5km con respecto a las zonas protegidas ]]
[[Archivo:tectonica.png|800px|thumb|left|Vista de las diferentes áreas tectónicas de Navarra y alrededores, en relación a la central y núcleos de población de su entorno]]
[[Archivo:planta_hormigon.png|800px|thumb|left|Cercanía de la planta de hormigón de Estella, en relación al complejo de la central]]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Localizacion de central nuclear en Navarra

2015-11-29T18:42:46Z

Elena Suta:

{{ TrabajoSIG | Localización de central nuclear en Navarra | María Salvador Mejías, Elena Suta, Aurora Gómez Alonso, Jaime Chueca Rincón | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}

== Introducción ==
El objeto del trabajo se centra en la localización de una central nuclear, cuya ubicación se ha visto influenciada por el conjunto de factores que indican a continuación. En primer lugar, se ha previsto escoger un emplazamiento cercano a un río, embalse o costa, en una zona preferiblemente no sísmica y de características geológico-geotécnicas adecuadas, para de esta forma evitar cualquier fisuración o fuga dentro de la plataforma. Por otra parte, se ha procurado una buena accesibilidad a la central, sin afectar a la calidad de vida de los pueblos colindantes, respetando los niveles de radiactividad. Además, se ha tenido en cuenta la proximidad de zonas protegidas, manteniendo de esta forma el respeto a la fauna y la flora de su entorno.
Se hizo un estudio geológico-geotécnico del suelo peninsular de forma práctica para acotar el perímetro en el que se iba a situar la central. Así, se descartaron los terrenos del sur, sur-este y centro peninsular, dada la abundancia de rocas que darían lugar a asiento. Con lo cual, centrándose solamente en los terrenos del norte, se descartó Cataluña por abundancia de centrales, y el territorio gallego, asturiano y alrededores por el minifundismo de sus poblaciones y la presencia de un gran número de zonas protegidas dado el clima de la zona. Así, y en vista de factores hidrológicos y de comunicación, la central se situará en la Comunidad Foral de Navarra.
Para realizar el estudio propuesto, se ha hecho uso de la plataforma IDE de las comunidades autónomas españolas, así como de la información proporcionada por el IGME y de las aportaciones necesarias del Ministerio de Fomento e instituciones similares.
Con todo, se espera que los resultados obtenidos sirvan para ubicar de forma lo más precisa posible la central nuclear, mejorando así la aportación energética a la población del entorno de Navarra, complementando así a las centrales de otros tipos ya existentes.

== Metodología ==
Primero, se hizo un estudio geológico-geotécnico a gran escala del suelo de la comunidad, en vista de que el mismo sea capaz de resistir las cargas de la cimentación y la planta del complejo de la central en general. Se pretende con ello evitar asientos considerables que pongan en peligro la estabilidad y con ello persuadir a todos los efectos la aparición de cualquier tipo de fisura que suponga el escape del material radiactivo hacia el exterior.
Por ello con este estudio se pretende localizar un suelo de calidad media-alta, con objeto de no incurrir en un coste excesivamente alto de los elementos de cimentación. El colocar la central en un suelo de baja calidad implica aumentar el coste de forma significativa, y es por ello por lo que se presta especial atención a este aspecto. Para ello se ha empleado el MAGNA, obtenido del IGME y se ha observado las distintas litologías disponibles. Esto se ha empleado para elegir el mejor terreno de cara a la situación de la central.
En vista a los núcleos urbanos, la densidad de población es uno de los principales factores a tener en cuenta en la evaluación del riesgo. El objetivo es obtener la menor densidad alrededor de la central, en un radio de 30km. Hay casos extremos como la planta nuclear de KANUPP en Karachi, Pakistán, tiene la mayor cantidad de personas viviendo dentro de este radio, alrededor de 8,2 millones. Otro ejemplo como la planta de Kuosheng de Taiwán con 5,5 millones de personas dentro de un radio de 30 kilómetros. En nuestra central, la mayor ciudad que se encuentra dentro de esta zona de seguridad es Estella (Navarra), con 14251 habitantes, difícilmente comparable con el anterior caso.
Para ello estudiamos el número concreto de personas que se verán afectadas por la central según la proximidad estableciendo 3 anillos de seguridad, utilizando el Mapa de Núcleos Urbanos de la Comunidad Foral de Navarra, facilitada por el tutor. Las operaciones para analizar la posición respecto a las poblaciones, una vez colocada la central, han sido vectoriales:
Buffer a 5 km de la Parcela en la que se emplazará la central para ver la población directamente afectada.
Buffer de 10 km alrededor de la parcela.
Buffer de 30 km.
Intersección entre el Buffer de 5 km y la capa de Núcleos Urbanos para obtener la población directamente afectada.
Filtro de los Núcleos Urbanos con población mayor que 1000 habitantes.
En el apartado hidrológico, es necesario que la central tenga acceso a grandes cantidades de agua, con objeto de extraer el calor procedente de la fisión del uranio en el reactor nuclear. Para ello, se necesitan una serie de caudales mínimos, utilizando agua procedente de ríos, de lagos o embalses. Para ello se han analizado los datos de los caudales de los ríos de la comunidad autónoma (tablas de atributo de la capa vectorial RIOS), con objeto de conocer si los caudales de aportación a la central serán suficientes para su refrigeración.
En cuanto a las vías de comunicación, resultan de elevada importancia, para un adecuado acceso a la central. Por una parte, lo es durante la fase de construcción, pues el llevar hormigón y los materiales para su realización resulta una ardua tarea. Por otra parte, durante los años de uso que se dará al complejo de la central, también son imprescindibles las adecuadas vías de comunicación, pues resultará de utilidad el acceso para los trabajadores de la misma. Para ello se han analizado las diferentes capas de redes de carreteras de Navarra, una serie vectorial BTN100, donde se reflejan las autovías principales y secundarias de la comunidad. En relación a los espacios protegidos, en la extensión de territorio perteneciente a Navarra, se sitúan dos redes de espacios naturales principales, la Red de Espacios Naturales Protegidos de Navarra (RENA) y la Red Natura 2000. Estas zonas deben estar lo mínimamente afectadas, por ello se ha realizado un buffer de 5km, viendo así las zonas que resultan afectadas.
Además, se ha realizado un estudio del mapa vectorial BTN100 de las principales redes eléctricas de la comunidad, estableciendo las distancias entre las mismas y la central. La importancia de evitar caídas de tensión en la central es muy elevada, con lo cual se intentará que este requisito se cumpla en el mismo grado de prioridad que los demás.
Con objeto además de evitar grietas y fisuraciones, se debe prestar gran atención al mapa de sismicidad de la península ibérica, y en especial de Navarra. Para ello, se ha acudido al IGME, donde se ha obtenido el mapa de sismicidad, analizando de esta forma el nivel de riesgo de terremoto en la zona donde se situará la central.
Asimismo, y de forma complementaria, se ha querido estudiar la ubicación más cercana de una planta de hormigón que facilitará la aportación de material durante la fase de construcción de la central. Esto se ha hecho mediante la consulta de fuentes exteriores sobre la situación de las plantas de hormigón ubicadas en los pueblos colindantes a la plataforma de la central. Una vez esto, se ha analizado la distancia a la misma y se ha obtenido la más cercana.
Por último, se ha de destacar el uso de una serie de diferentes mapas ráster 50 del IGN como fondo a distintas capas de los terrenos en los que se situará la central.
La central que se ha creado mide aproximadamente 5Ha, siendo este un valor cotejado con las diferentes centrales que existen en España, tomándose así un valor medio.
== Resultados ==

'''Geología y geotecnia'''
Desde este punto de vista, se descartaron aquellos terrenos en los que destacaban la presencia de ciertos tipos de roca que podrían dar problemas importantes a largo plazo. Así, se descartaron por un lado las formaciones propias de las terrazas fluviales, tales como limos, arenas y gravas, que podrían dar problemas de asiento a lo largo del tiempo. Por otra parte, se desecharon las arcillas, ya que al tratarse de una zona moderadamente húmeda, podría haber problemas de expansión, lo que daría lugar a la formación de importantes grietas. Asimismo, se evitaron los terrenos yesíferos, en los cuales la anhidrita de la que se componen, al entrar en contacto con el agua, daría lugar a procesos expansivos que de nuevo someterían a altas presiones la cimentación. Con lo cual, dentro de los materiales disponibles en la comunidad, se ha inclinado la ubicación hacia terrenos calizos, de buena resistencia a compresión y meteorización.
Con ello, y según los requisitos impuestos desde el punto de visto geológico, la central se sitúa próxima al municipio de Estella, al suroeste de la comunidad autónoma. El terreno destaca por la presencia de diapiros, formados por sales del Keuper, que han emergido en forma de fracturas. Asimismo, existe una sucesión de depósitos de calizas, margas y dolomías, predominando hacia las sierras de Urbasa y Andía (situadas en el norte de Estella), calcarenitas y conglomerados, junto a los ya mencionados anteriormente.
Realizando un análisis más exhaustivo, y teniendo en cuenta los criterios restantes para la ubicación de la central, se vio precisa la elección de un terreno calcáreo con coluviones, pues a pesar de ser un área de relativa abundancia de calizas, se debe tener en cuenta que muchas de ellas están combinadas con otros materiales arcillosos, limosos, etc., que perjudicarían la calidad de la roca que se busca. La presencia de coluvial implica únicamente su retirada del terreno en el que se quiere trabajar, que es el calizo. Se prevé que el coluvial tenga poca potencia, lo cual implica que los pocos metros de profundidad que tiene, se excavarán sin mayor dificultad. Esto, junto al canto de la losa de cimentación, permitirá el asentamiento de la misma sobre el sustrato calcáreo deseado.

'''Núcleos urbanos'''
Para establecer las zonas de protección, creamos un buffer a la futura parcela, en la que se establecerá la central, de los diferentes radios. Con la capa de núcleos urbanos encontramos la información necesaria a los núcleos de población cercanos, ya que, en atributos tiene el número de habitantes de cada municipio. Mediante la intersección de capas, los buffer y nuc-pob tendremos todas las localidades afectadas y podremos obtener la población afectada (ver imagen de los resultados en el apartado Anejos).
La densidad es bastante baja, algo bueno desde el punto de vista de la seguridad.
Como ventajas de la ubicación, las ciudades de Estella y Pamplona están relativamente cerca dada el buen sistema de carreteras/autovías (10 km y 30 km respectivamente). En ellas, se podría alojar el personal cualificado de la central y dando así empleo a la zona.
Analizando el futuro impacto que supondrá esta central en la economía de la Comunidad, será un supuesto abaratamiento de la energía y una menos independencia de la renovable (principal fuente) y de las centrales térmicas. Se mejora la competitividad de la zona.

'''Hidrografía'''
Una vez obtenido el agua del río o embalse, se devuelve a su procedencia ligeramente más caliente y en una zona lejana de donde se realizó la toma para no alterar las condiciones del curso. Una vez esto, la temperatura máxima que puede alcanzar es de 3ºC superiores a la temperatura que hay habitualmente
Para que esta condición se cumpla, el rio debería ser muy caudaloso, pero sin embargo los cauces más importantes de la zona, el río Urederra y el río Ega tienen un caudal medio anual entre 7 y 11 metros cúbicos, además de que son zonas protegidas.
En este caso se utilizará un embalse próximo a la zona donde el agua se refrigere de forma natural mediante evaporación, así habrá una pequeña pérdida de agua pero a cambio no se realizan vertidos a temperaturas elevadas.
El transporte de agua desde el embalse se realizará mediante un canal de derivación de longitud aproximada de 10 km, que es la distancia existente entre la central nuclear y el embalse más próximo.

'''Fuentes de electricidad'''
La importancia de que no haya caídas ni fluctuaciones en la red se debe a los problemas que surgirían si la maquinaria de la central se paralizara en medio del proceso de fisión dentro del reactor. Por tanto se hará una derivación de la red principal más cercana (que se sitúa aproximadamente a unos 10km, distancia razonablemente cercana) y se hará llegar hasta la central. Hay que garantizar que no se produzcan oscilaciones de potencia eléctrica por lo que debe haber una fuente de energía fiable y que proporcione un suministro eléctrico suficiente.

'''Vías de comunicación'''
En lo que se refiere a las vías de acceso a la zona de ubicación de la central, parte de la Red de Carreteras ya construida se sitúa en las inmediaciones de la misma. En concreto, destacan las vías correspondientes a la Red de Carreteras de competencia Autonómica por su proximidad al emplazamiento de la central; por ejemplo, la NA-718 apenas dista un kilómetro de la infraestructura.
Además, dichas vías autonómicas (NA-178, NA-132 Y NA-120) atraviesan la sierra montañosa cercana a la central de Norte a Sur y poseen conexiones con las vías de alta capacidad de la comunidad navarra, pues conectan directamente con la A-12 y mediante enlace con la A-12 conectan con la AP-15. Por tanto, las condiciones de accesibilidad a la obra y a la futura central se presentan como suficientemente eficientes, favoreciendo la eficacia del transporte de materiales y equipos, y el acceso del personal en general.

'''Zonas protegidas'''
Respecto a la interacción de las instalaciones de la futura central con las zonas protegidas (que en la imagen del anejo se muestran en color burdeos), se observa una proximidad a las mismas inferior a dos kilómetros, si bien el emplazamiento no se proyecta dentro de los límites definidos por los espacios protegidos. De este modo, no existiría un impacto directo de la central sobre el medio, y las correspondientes medidas de seguridad de la instalación para minimizarlo serían tomadas con la suficiente rigurosidad y precaución.
Además, conviene destacar que, para conjugar la ubicación de la central en una superficie de características geológico-geotécnicas adecuadas y suficientemente alejada de núcleos de población, se ha determinado que el emplazamiento óptimo es el mostrado en la figura, sin priorizar, por tanto, la evidente cercanía a las áreas protegidas.

'''Sismicidad'''
Por otra parte, se hizo un estudio a gran escala del mapa de sismicidad de la península, así como de Navarra en concreto. El hecho de que no haya riesgo sísmico resulta muy importante de cara a evitar no solamente fisuras en la cimentación (que derivarían además de la aparición de grietas en el terreno), sino también en toda la planta de la central. Una inestabilidad del suelo, por muy mínima que fuera, podría dar lugar a algún tipo de rotura y al escape de material radiactivo, dando lugar así a un posible accidente en el interior que pondría en peligro el bienestar de las poblaciones colindantes.
La zona en la que se sitúa la central posee un riesgo medio-bajo frente a un posible seísmo, lo cual encaja en esta condición que se impone para la situación de la central. Esto, analizado con un periodo de retorno de 500 años, implica que el riesgo de terremoto es relativamente bajo, además de que en caso de producirse, se sentiría fugazmente por las personas. En el peor de los casos, la estructura de la central no se vería afectada, dada la robustez del hormigón que se emplea para su construcción.
No pasaría esto si la central estuviese situada cerca de la costa, especialmente en el sur, sur-este peninsular, donde el riesgo sísmico es bastante más elevado.

'''Planta de hormigón'''
Dado el gran volumen de hormigón que es necesario emplear para la construcción de la central nuclear, donde se hace uso de hormigón pesado, es adecuado tener situada una planta de hormigón próxima a la localización de la misma. De esta forma, se evita el hecho de emplazar una planta provisional cerca de la zona de obras, ahorrando así más tiempo y dinero.

== Conclusiones==
Tras la metodología aplicada y el análisis de resultados realizado, se concluye que la ubicación escogida para la central nuclear en la Comunidad Foral de Navarra es suficientemente apropiada según los parámetros examinados y teniendo en cuenta el alcance del estudio. Concretamente, se han priorizado las características geológico-geotécnicas del emplazamiento, a favor de alcanzar una óptima seguridad estructural de las instalaciones, así como el alejamiento de los núcleos de población para garantizar la seguridad de los habitantes. Además, lo anterior conjugado con la proximidad de líneas eléctricas y vías de comunicación, junto con las características hidrográficas y la minimización del impacto ambiental sobre las zonas protegidas cercanas, hacen del emplazamiento elegido lógico y adaptado a la región en la que se encuadra.

== Anejos ==

[[Archivo:Mapa_geologico.png|500px|thumb|left|Mapa geológico de la zona]]
[[Archivo:Leyenda_mapa_geologico.png|1500px|thumb|left|leyenda del mapa geolódico de la zona ]]

Como resultados las poblaciones afectadas a 5 km son: 1126 personas con una densidad de 13.79 hab/km²
[[Archivo:buffer_poblacion_1.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]
[[Archivo:buffer_poblacion_2.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]

Poblaciones mayores de 1000 habitantes afectadas por la central:
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_1.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_2.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:riosembalses.png|800px|thumb|left|Vista de la capa vectorial de los distintos ríos y el embalse más próximo a la central nuclear]]
[[Archivo:Vias_de_comunicacion.png|800px|thumb|left|Redes principales de líneas eléctricas cercanas a la central]]
[[Archivo:carrreteras_autonomicas.png|800px|thumb|left|Vista de las carreteras autonómicas más próximas a la central]]
[[Archivo:zonas_protegidas.png|800px|thumb|left|Vista del alcance del buffer de 5km con respecto a las zonas protegidas ]]
[[Archivo:tectonica.png|800px|thumb|left|Vista de las diferentes áreas tectónicas de Navarra y alrededores, en relación a la central y núcleos de población de su entorno]]
[[Archivo:planta_hormigon.png|800px|thumb|left|Cercanía de la planta de hormigón de Estella, en relación al complejo de la central]]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Localizacion de central nuclear en Navarra

2015-11-29T18:42:24Z

Elena Suta:

{{ TrabajoSIG | Localización de central nuclear en Navarra | María Salvador Mejías, Elena Suta, Aurora Gómez Alonso, Jaime Chueca Rincón | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
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== Introducción ==
El objeto del trabajo se centra en la localización de una central nuclear, cuya ubicación se ha visto influenciada por el conjunto de factores que indican a continuación. En primer lugar, se ha previsto escoger un emplazamiento cercano a un río, embalse o costa, en una zona preferiblemente no sísmica y de características geológico-geotécnicas adecuadas, para de esta forma evitar cualquier fisuración o fuga dentro de la plataforma. Por otra parte, se ha procurado una buena accesibilidad a la central, sin afectar a la calidad de vida de los pueblos colindantes, respetando los niveles de radiactividad. Además, se ha tenido en cuenta la proximidad de zonas protegidas, manteniendo de esta forma el respeto a la fauna y la flora de su entorno.
Se hizo un estudio geológico-geotécnico del suelo peninsular de forma práctica para acotar el perímetro en el que se iba a situar la central. Así, se descartaron los terrenos del sur, sur-este y centro peninsular, dada la abundancia de rocas que darían lugar a asiento. Con lo cual, centrándose solamente en los terrenos del norte, se descartó Cataluña por abundancia de centrales, y el territorio gallego, asturiano y alrededores por el minifundismo de sus poblaciones y la presencia de un gran número de zonas protegidas dado el clima de la zona. Así, y en vista de factores hidrológicos y de comunicación, la central se situará en la Comunidad Foral de Navarra.
Para realizar el estudio propuesto, se ha hecho uso de la plataforma IDE de las comunidades autónomas españolas, así como de la información proporcionada por el IGME y de las aportaciones necesarias del Ministerio de Fomento e instituciones similares.
Con todo, se espera que los resultados obtenidos sirvan para ubicar de forma lo más precisa posible la central nuclear, mejorando así la aportación energética a la población del entorno de Navarra, complementando así a las centrales de otros tipos ya existentes.

== Metodología ==
Primero, se hizo un estudio geológico-geotécnico a gran escala del suelo de la comunidad, en vista de que el mismo sea capaz de resistir las cargas de la cimentación y la planta del complejo de la central en general. Se pretende con ello evitar asientos considerables que pongan en peligro la estabilidad y con ello persuadir a todos los efectos la aparición de cualquier tipo de fisura que suponga el escape del material radiactivo hacia el exterior.
Por ello con este estudio se pretende localizar un suelo de calidad media-alta, con objeto de no incurrir en un coste excesivamente alto de los elementos de cimentación. El colocar la central en un suelo de baja calidad implica aumentar el coste de forma significativa, y es por ello por lo que se presta especial atención a este aspecto. Para ello se ha empleado el MAGNA, obtenido del IGME y se ha observado las distintas litologías disponibles. Esto se ha empleado para elegir el mejor terreno de cara a la situación de la central.
En vista a los núcleos urbanos, la densidad de población es uno de los principales factores a tener en cuenta en la evaluación del riesgo. El objetivo es obtener la menor densidad alrededor de la central, en un radio de 30km. Hay casos extremos como la planta nuclear de KANUPP en Karachi, Pakistán, tiene la mayor cantidad de personas viviendo dentro de este radio, alrededor de 8,2 millones. Otro ejemplo como la planta de Kuosheng de Taiwán con 5,5 millones de personas dentro de un radio de 30 kilómetros. En nuestra central, la mayor ciudad que se encuentra dentro de esta zona de seguridad es Estella (Navarra), con 14251 habitantes, difícilmente comparable con el anterior caso.
Para ello estudiamos el número concreto de personas que se verán afectadas por la central según la proximidad estableciendo 3 anillos de seguridad, utilizando el Mapa de Núcleos Urbanos de la Comunidad Foral de Navarra, facilitada por el tutor. Las operaciones para analizar la posición respecto a las poblaciones, una vez colocada la central, han sido vectoriales:
Buffer a 5 km de la Parcela en la que se emplazará la central para ver la población directamente afectada.
Buffer de 10 km alrededor de la parcela.
Buffer de 30 km.
Intersección entre el Buffer de 5 km y la capa de Núcleos Urbanos para obtener la población directamente afectada.
Filtro de los Núcleos Urbanos con población mayor que 1000 habitantes.
En el apartado hidrológico, es necesario que la central tenga acceso a grandes cantidades de agua, con objeto de extraer el calor procedente de la fisión del uranio en el reactor nuclear. Para ello, se necesitan una serie de caudales mínimos, utilizando agua procedente de ríos, de lagos o embalses. Para ello se han analizado los datos de los caudales de los ríos de la comunidad autónoma (tablas de atributo de la capa vectorial RIOS), con objeto de conocer si los caudales de aportación a la central serán suficientes para su refrigeración.
En cuanto a las vías de comunicación, resultan de elevada importancia, para un adecuado acceso a la central. Por una parte, lo es durante la fase de construcción, pues el llevar hormigón y los materiales para su realización resulta una ardua tarea. Por otra parte, durante los años de uso que se dará al complejo de la central, también son imprescindibles las adecuadas vías de comunicación, pues resultará de utilidad el acceso para los trabajadores de la misma. Para ello se han analizado las diferentes capas de redes de carreteras de Navarra, una serie vectorial BTN100, donde se reflejan las autovías principales y secundarias de la comunidad. En relación a los espacios protegidos, en la extensión de territorio perteneciente a Navarra, se sitúan dos redes de espacios naturales principales, la Red de Espacios Naturales Protegidos de Navarra (RENA) y la Red Natura 2000. Estas zonas deben estar lo mínimamente afectadas, por ello se ha realizado un buffer de 5km, viendo así las zonas que resultan afectadas.
Además, se ha realizado un estudio del mapa vectorial BTN100 de las principales redes eléctricas de la comunidad, estableciendo las distancias entre las mismas y la central. La importancia de evitar caídas de tensión en la central es muy elevada, con lo cual se intentará que este requisito se cumpla en el mismo grado de prioridad que los demás.
Con objeto además de evitar grietas y fisuraciones, se debe prestar gran atención al mapa de sismicidad de la península ibérica, y en especial de Navarra. Para ello, se ha acudido al IGME, donde se ha obtenido el mapa de sismicidad, analizando de esta forma el nivel de riesgo de terremoto en la zona donde se situará la central.
Asimismo, y de forma complementaria, se ha querido estudiar la ubicación más cercana de una planta de hormigón que facilitará la aportación de material durante la fase de construcción de la central. Esto se ha hecho mediante la consulta de fuentes exteriores sobre la situación de las plantas de hormigón ubicadas en los pueblos colindantes a la plataforma de la central. Una vez esto, se ha analizado la distancia a la misma y se ha obtenido la más cercana.
Por último, se ha de destacar el uso de una serie de diferentes mapas ráster 50 del IGN como fondo a distintas capas de los terrenos en los que se situará la central.
La central que se ha creado mide aproximadamente 5Ha, siendo este un valor cotejado con las diferentes centrales que existen en España, tomándose así un valor medio.
== Resultados ==

'''Geología y geotecnia'''
Desde este punto de vista, se descartaron aquellos terrenos en los que destacaban la presencia de ciertos tipos de roca que podrían dar problemas importantes a largo plazo. Así, se descartaron por un lado las formaciones propias de las terrazas fluviales, tales como limos, arenas y gravas, que podrían dar problemas de asiento a lo largo del tiempo. Por otra parte, se desecharon las arcillas, ya que al tratarse de una zona moderadamente húmeda, podría haber problemas de expansión, lo que daría lugar a la formación de importantes grietas. Asimismo, se evitaron los terrenos yesíferos, en los cuales la anhidrita de la que se componen, al entrar en contacto con el agua, daría lugar a procesos expansivos que de nuevo someterían a altas presiones la cimentación. Con lo cual, dentro de los materiales disponibles en la comunidad, se ha inclinado la ubicación hacia terrenos calizos, de buena resistencia a compresión y meteorización.
Con ello, y según los requisitos impuestos desde el punto de visto geológico, la central se sitúa próxima al municipio de Estella, al suroeste de la comunidad autónoma. El terreno destaca por la presencia de diapiros, formados por sales del Keuper, que han emergido en forma de fracturas. Asimismo, existe una sucesión de depósitos de calizas, margas y dolomías, predominando hacia las sierras de Urbasa y Andía (situadas en el norte de Estella), calcarenitas y conglomerados, junto a los ya mencionados anteriormente.
Realizando un análisis más exhaustivo, y teniendo en cuenta los criterios restantes para la ubicación de la central, se vio precisa la elección de un terreno calcáreo con coluviones, pues a pesar de ser un área de relativa abundancia de calizas, se debe tener en cuenta que muchas de ellas están combinadas con otros materiales arcillosos, limosos, etc., que perjudicarían la calidad de la roca que se busca. La presencia de coluvial implica únicamente su retirada del terreno en el que se quiere trabajar, que es el calizo. Se prevé que el coluvial tenga poca potencia, lo cual implica que los pocos metros de profundidad que tiene, se excavarán sin mayor dificultad. Esto, junto al canto de la losa de cimentación, permitirá el asentamiento de la misma sobre el sustrato calcáreo deseado.

'''Núcleos urbanos'''
Para establecer las zonas de protección, creamos un buffer a la futura parcela, en la que se establecerá la central, de los diferentes radios. Con la capa de núcleos urbanos encontramos la información necesaria a los núcleos de población cercanos, ya que, en atributos tiene el número de habitantes de cada municipio. Mediante la intersección de capas, los buffer y nuc-pob tendremos todas las localidades afectadas y podremos obtener la población afectada (ver imagen de los resultados en el apartado Anejos).
La densidad es bastante baja, algo bueno desde el punto de vista de la seguridad.
Como ventajas de la ubicación, las ciudades de Estella y Pamplona están relativamente cerca dada el buen sistema de carreteras/autovías (10 km y 30 km respectivamente). En ellas, se podría alojar el personal cualificado de la central y dando así empleo a la zona.
Analizando el futuro impacto que supondrá esta central en la economía de la Comunidad, será un supuesto abaratamiento de la energía y una menos independencia de la renovable (principal fuente) y de las centrales térmicas. Se mejora la competitividad de la zona.

'''Hidrografía'''
Una vez obtenido el agua del río o embalse, se devuelve a su procedencia ligeramente más caliente y en una zona lejana de donde se realizó la toma para no alterar las condiciones del curso. Una vez esto, la temperatura máxima que puede alcanzar es de 3ºC superiores a la temperatura que hay habitualmente
Para que esta condición se cumpla, el rio debería ser muy caudaloso, pero sin embargo los cauces más importantes de la zona, el río Urederra y el río Ega tienen un caudal medio anual entre 7 y 11 metros cúbicos, además de que son zonas protegidas.
En este caso se utilizará un embalse próximo a la zona donde el agua se refrigere de forma natural mediante evaporación, así habrá una pequeña pérdida de agua pero a cambio no se realizan vertidos a temperaturas elevadas.
El transporte de agua desde el embalse se realizará mediante un canal de derivación de longitud aproximada de 10 km, que es la distancia existente entre la central nuclear y el embalse más próximo.

'''Fuentes de electricidad'''
La importancia de que no haya caídas ni fluctuaciones en la red se debe a los problemas que surgirían si la maquinaria de la central se paralizara en medio del proceso de fisión dentro del reactor. Por tanto se hará una derivación de la red principal más cercana (que se sitúa aproximadamente a unos 10km, distancia razonablemente cercana) y se hará llegar hasta la central. Hay que garantizar que no se produzcan oscilaciones de potencia eléctrica por lo que debe haber una fuente de energía fiable y que proporcione un suministro eléctrico suficiente.

'''Vías de comunicación'''
En lo que se refiere a las vías de acceso a la zona de ubicación de la central, parte de la Red de Carreteras ya construida se sitúa en las inmediaciones de la misma. En concreto, destacan las vías correspondientes a la Red de Carreteras de competencia Autonómica por su proximidad al emplazamiento de la central; por ejemplo, la NA-718 apenas dista un kilómetro de la infraestructura.
Además, dichas vías autonómicas (NA-178, NA-132 Y NA-120) atraviesan la sierra montañosa cercana a la central de Norte a Sur y poseen conexiones con las vías de alta capacidad de la comunidad navarra, pues conectan directamente con la A-12 y mediante enlace con la A-12 conectan con la AP-15. Por tanto, las condiciones de accesibilidad a la obra y a la futura central se presentan como suficientemente eficientes, favoreciendo la eficacia del transporte de materiales y equipos, y el acceso del personal en general.

'''Zonas protegidas'''
Respecto a la interacción de las instalaciones de la futura central con las zonas protegidas (que en la imagen del anejo se muestran en color burdeos), se observa una proximidad a las mismas inferior a dos kilómetros, si bien el emplazamiento no se proyecta dentro de los límites definidos por los espacios protegidos. De este modo, no existiría un impacto directo de la central sobre el medio, y las correspondientes medidas de seguridad de la instalación para minimizarlo serían tomadas con la suficiente rigurosidad y precaución.
Además, conviene destacar que, para conjugar la ubicación de la central en una superficie de características geológico-geotécnicas adecuadas y suficientemente alejada de núcleos de población, se ha determinado que el emplazamiento óptimo es el mostrado en la figura, sin priorizar, por tanto, la evidente cercanía a las áreas protegidas.

'''Sismicidad'''
Por otra parte, se hizo un estudio a gran escala del mapa de sismicidad de la península, así como de Navarra en concreto. El hecho de que no haya riesgo sísmico resulta muy importante de cara a evitar no solamente fisuras en la cimentación (que derivarían además de la aparición de grietas en el terreno), sino también en toda la planta de la central. Una inestabilidad del suelo, por muy mínima que fuera, podría dar lugar a algún tipo de rotura y al escape de material radiactivo, dando lugar así a un posible accidente en el interior que pondría en peligro el bienestar de las poblaciones colindantes.
La zona en la que se sitúa la central posee un riesgo medio-bajo frente a un posible seísmo, lo cual encaja en esta condición que se impone para la situación de la central. Esto, analizado con un periodo de retorno de 500 años, implica que el riesgo de terremoto es relativamente bajo, además de que en caso de producirse, se sentiría fugazmente por las personas. En el peor de los casos, la estructura de la central no se vería afectada, dada la robustez del hormigón que se emplea para su construcción.
No pasaría esto si la central estuviese situada cerca de la costa, especialmente en el sur, sur-este peninsular, donde el riesgo sísmico es bastante más elevado.

'''Planta de hormigón'''
Dado el gran volumen de hormigón que es necesario emplear para la construcción de la central nuclear, donde se hace uso de hormigón pesado, es adecuado tener situada una planta de hormigón próxima a la localización de la misma. De esta forma, se evita el hecho de emplazar una planta provisional cerca de la zona de obras, ahorrando así más tiempo y dinero.

== Conclusiones==
Tras la metodología aplicada y el análisis de resultados realizado, se concluye que la ubicación escogida para la central nuclear en la Comunidad Foral de Navarra es suficientemente apropiada según los parámetros examinados y teniendo en cuenta el alcance del estudio. Concretamente, se han priorizado las características geológico-geotécnicas del emplazamiento, a favor de alcanzar una óptima seguridad estructural de las instalaciones, así como el alejamiento de los núcleos de población para garantizar la seguridad de los habitantes. Además, lo anterior conjugado con la proximidad de líneas eléctricas y vías de comunicación, junto con las características hidrográficas y la minimización del impacto ambiental sobre las zonas protegidas cercanas, hacen del emplazamiento elegido lógico y adaptado a la región en la que se encuadra.

== Anejos ==

[[Archivo:Mapa_geologico.png|500px|thumb|left|Mapa geológico de la zona]]
[[Archivo:Leyenda_mapa_geologico.png|1500px|thumb|left|leyenda del mapa geolódico de la zona ]]

Como resultados las poblaciones afectadas a 5 km son: 1126 personas con una densidad de 13.79 hab/km²
[[Archivo:buffer_poblacion_1.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]
[[Archivo:buffer_poblacion_2.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]

Poblaciones mayores de 1000 habitantes afectadas por la central:
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_1.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_2.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:riosembalses.png|800px|thumb|left|Vista de la capa vectorial de los distintos ríos y el embalse más próximo a la central nuclear]]
[[Archivo:Vias_de_comunicacion.png|800px|thumb|left|Redes principales de líneas eléctricas cercanas a la central]]
[[Archivo:carrreteras_autonomicas.png|800px|thumb|left|Vista de las carreteras autonómicas más próximas a la central]]
[[Archivo:zonas_protegidas.png|800px|thumb|left|Vista del alcance del buffer de 5km con respecto a las zonas protegidas ]]
[[Archivo:tectonica.png|800px|thumb|left|Vista de las diferentes áreas tectónicas de Navarra y alrededores, en relación a la central y núcleos de población de su entorno]]
[[Archivo:planta_hormigon.png|800px|thumb|left|Cercanía de la planta de hormigón de Estella, en relación al complejo de la central]]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Localizacion de central nuclear en Navarra

2015-11-29T18:31:32Z

Elena Suta:

{{ TrabajoSIG | Localización de central nuclear en Navarra | María Salvador Mejías, Elena Suta, Aurora Gómez Alonso, Jaime Chueca Rincón | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Contenido [ocultar]

1 Introducción.
2 Metodología
3 Resultados
4 Conclusiones
5 Anejos

1 Introducción
El objeto del trabajo se centra en la localización de una central nuclear, cuya ubicación se ha visto influenciada por el conjunto de factores que indican a continuación. En primer lugar, se ha previsto escoger un emplazamiento cercano a un río, embalse o costa, en una zona preferiblemente no sísmica y de características geológico-geotécnicas adecuadas, para de esta forma evitar cualquier fisuración o fuga dentro de la plataforma. Por otra parte, se ha procurado una buena accesibilidad a la central, sin afectar a la calidad de vida de los pueblos colindantes, respetando los niveles de radiactividad. Además, se ha tenido en cuenta la proximidad de zonas protegidas, manteniendo de esta forma el respeto a la fauna y la flora de su entorno.
Se hizo un estudio geológico-geotécnico del suelo peninsular de forma práctica para acotar el perímetro en el que se iba a situar la central. Así, se descartaron los terrenos del sur, sur-este y centro peninsular, dada la abundancia de rocas que darían lugar a asiento. Con lo cual, centrándose solamente en los terrenos del norte, se descartó Cataluña por abundancia de centrales, y el territorio gallego, asturiano y alrededores por el minifundismo de sus poblaciones y la presencia de un gran número de zonas protegidas dado el clima de la zona. Así, y en vista de factores hidrológicos y de comunicación, la central se situará en la Comunidad Foral de Navarra.
Para realizar el estudio propuesto, se ha hecho uso de la plataforma IDE de las comunidades autónomas españolas, así como de la información proporcionada por el IGME y de las aportaciones necesarias del Ministerio de Fomento e instituciones similares.
Con todo, se espera que los resultados obtenidos sirvan para ubicar de forma lo más precisa posible la central nuclear, mejorando así la aportación energética a la población del entorno de Navarra, complementando así a las centrales de otros tipos ya existentes.

2 Metodología
Primero, se hizo un estudio geológico-geotécnico a gran escala del suelo de la comunidad, en vista de que el mismo sea capaz de resistir las cargas de la cimentación y la planta del complejo de la central en general. Se pretende con ello evitar asientos considerables que pongan en peligro la estabilidad y con ello persuadir a todos los efectos la aparición de cualquier tipo de fisura que suponga el escape del material radiactivo hacia el exterior.
Por ello con este estudio se pretende localizar un suelo de calidad media-alta, con objeto de no incurrir en un coste excesivamente alto de los elementos de cimentación. El colocar la central en un suelo de baja calidad implica aumentar el coste de forma significativa, y es por ello por lo que se presta especial atención a este aspecto. Para ello se ha empleado el MAGNA, obtenido del IGME y se ha observado las distintas litologías disponibles. Esto se ha empleado para elegir el mejor terreno de cara a la situación de la central.
En vista a los núcleos urbanos, la densidad de población es uno de los principales factores a tener en cuenta en la evaluación del riesgo. El objetivo es obtener la menor densidad alrededor de la central, en un radio de 30km. Hay casos extremos como la planta nuclear de KANUPP en Karachi, Pakistán, tiene la mayor cantidad de personas viviendo dentro de este radio, alrededor de 8,2 millones. Otro ejemplo como la planta de Kuosheng de Taiwán con 5,5 millones de personas dentro de un radio de 30 kilómetros. En nuestra central, la mayor ciudad que se encuentra dentro de esta zona de seguridad es Estella (Navarra), con 14251 habitantes, difícilmente comparable con el anterior caso.
Para ello estudiamos el número concreto de personas que se verán afectadas por la central según la proximidad estableciendo 3 anillos de seguridad, utilizando el Mapa de Núcleos Urbanos de la Comunidad Foral de Navarra, facilitada por el tutor. Las operaciones para analizar la posición respecto a las poblaciones, una vez colocada la central, han sido vectoriales:
Buffer a 5 km de la Parcela en la que se emplazará la central para ver la población directamente afectada.
Buffer de 10 km alrededor de la parcela.
Buffer de 30 km.
Intersección entre el Buffer de 5 km y la capa de Núcleos Urbanos para obtener la población directamente afectada.
Filtro de los Núcleos Urbanos con población mayor que 1000 habitantes.
En el apartado hidrológico, es necesario que la central tenga acceso a grandes cantidades de agua, con objeto de extraer el calor procedente de la fisión del uranio en el reactor nuclear. Para ello, se necesitan una serie de caudales mínimos, utilizando agua procedente de ríos, de lagos o embalses. Para ello se han analizado los datos de los caudales de los ríos de la comunidad autónoma (tablas de atributo de la capa vectorial RIOS), con objeto de conocer si los caudales de aportación a la central serán suficientes para su refrigeración.
En cuanto a las vías de comunicación, resultan de elevada importancia, para un adecuado acceso a la central. Por una parte, lo es durante la fase de construcción, pues el llevar hormigón y los materiales para su realización resulta una ardua tarea. Por otra parte, durante los años de uso que se dará al complejo de la central, también son imprescindibles las adecuadas vías de comunicación, pues resultará de utilidad el acceso para los trabajadores de la misma. Para ello se han analizado las diferentes capas de redes de carreteras de Navarra, una serie vectorial BTN100, donde se reflejan las autovías principales y secundarias de la comunidad. En relación a los espacios protegidos, en la extensión de territorio perteneciente a Navarra, se sitúan dos redes de espacios naturales principales, la Red de Espacios Naturales Protegidos de Navarra (RENA) y la Red Natura 2000. Estas zonas deben estar lo mínimamente afectadas, por ello se ha realizado un buffer de 5km, viendo así las zonas que resultan afectadas.
Además, se ha realizado un estudio del mapa vectorial BTN100 de las principales redes eléctricas de la comunidad, estableciendo las distancias entre las mismas y la central. La importancia de evitar caídas de tensión en la central es muy elevada, con lo cual se intentará que este requisito se cumpla en el mismo grado de prioridad que los demás.
Con objeto además de evitar grietas y fisuraciones, se debe prestar gran atención al mapa de sismicidad de la península ibérica, y en especial de Navarra. Para ello, se ha acudido al IGME, donde se ha obtenido el mapa de sismicidad, analizando de esta forma el nivel de riesgo de terremoto en la zona donde se situará la central.
Asimismo, y de forma complementaria, se ha querido estudiar la ubicación más cercana de una planta de hormigón que facilitará la aportación de material durante la fase de construcción de la central. Esto se ha hecho mediante la consulta de fuentes exteriores sobre la situación de las plantas de hormigón ubicadas en los pueblos colindantes a la plataforma de la central. Una vez esto, se ha analizado la distancia a la misma y se ha obtenido la más cercana.
Por último, se ha de destacar el uso de una serie de diferentes mapas ráster 50 del IGN como fondo a distintas capas de los terrenos en los que se situará la central.
La central que se ha creado mide aproximadamente 5Ha, siendo este un valor cotejado con las diferentes centrales que existen en España, tomándose así un valor medio.
3 Resultados
3.1 Geología y geotecnia

Desde este punto de vista, se descartaron aquellos terrenos en los que destacaban la presencia de ciertos tipos de roca que podrían dar problemas importantes a largo plazo. Así, se descartaron por un lado las formaciones propias de las terrazas fluviales, tales como limos, arenas y gravas, que podrían dar problemas de asiento a lo largo del tiempo. Por otra parte, se desecharon las arcillas, ya que al tratarse de una zona moderadamente húmeda, podría haber problemas de expansión, lo que daría lugar a la formación de importantes grietas. Asimismo, se evitaron los terrenos yesíferos, en los cuales la anhidrita de la que se componen, al entrar en contacto con el agua, daría lugar a procesos expansivos que de nuevo someterían a altas presiones la cimentación. Con lo cual, dentro de los materiales disponibles en la comunidad, se ha inclinado la ubicación hacia terrenos calizos, de buena resistencia a compresión y meteorización.
Con ello, y según los requisitos impuestos desde el punto de visto geológico, la central se sitúa próxima al municipio de Estella, al suroeste de la comunidad autónoma. El terreno destaca por la presencia de diapiros, formados por sales del Keuper, que han emergido en forma de fracturas. Asimismo, existe una sucesión de depósitos de calizas, margas y dolomías, predominando hacia las sierras de Urbasa y Andía (situadas en el norte de Estella), calcarenitas y conglomerados, junto a los ya mencionados anteriormente.
Realizando un análisis más exhaustivo, y teniendo en cuenta los criterios restantes para la ubicación de la central, se vio precisa la elección de un terreno calcáreo con coluviones, pues a pesar de ser un área de relativa abundancia de calizas, se debe tener en cuenta que muchas de ellas están combinadas con otros materiales arcillosos, limosos, etc., que perjudicarían la calidad de la roca que se busca. La presencia de coluvial implica únicamente su retirada del terreno en el que se quiere trabajar, que es el calizo. Se prevé que el coluvial tenga poca potencia, lo cual implica que los pocos metros de profundidad que tiene, se excavarán sin mayor dificultad. Esto, junto al canto de la losa de cimentación, permitirá el asentamiento de la misma sobre el sustrato calcáreo deseado.
3.2 Núcleos urbanos

Para establecer las zonas de protección, creamos un buffer a la futura parcela, en la que se establecerá la central, de los diferentes radios. Con la capa de núcleos urbanos encontramos la información necesaria a los núcleos de población cercanos, ya que, en atributos tiene el número de habitantes de cada municipio. Mediante la intersección de capas, los buffer y nuc-pob tendremos todas las localidades afectadas y podremos obtener la población afectada (ver imagen de los resultados en el apartado Anejos).
La densidad es bastante baja, algo bueno desde el punto de vista de la seguridad.
Como ventajas de la ubicación, las ciudades de Estella y Pamplona están relativamente cerca dada el buen sistema de carreteras/autovías (10 km y 30 km respectivamente). En ellas, se podría alojar el personal cualificado de la central y dando así empleo a la zona.
Analizando el futuro impacto que supondrá esta central en la economía de la Comunidad, será un supuesto abaratamiento de la energía y una menos independencia de la renovable (principal fuente) y de las centrales térmicas. Se mejora la competitividad de la zona.
3.3 Hidrografía

Una vez obtenido el agua del río o embalse, se devuelve a su procedencia ligeramente más caliente y en una zona lejana de donde se realizó la toma para no alterar las condiciones del curso. Una vez esto, la temperatura máxima que puede alcanzar es de 3ºC superiores a la temperatura que hay habitualmente
Para que esta condición se cumpla, el rio debería ser muy caudaloso, pero sin embargo los cauces más importantes de la zona, el río Urederra y el río Ega tienen un caudal medio anual entre 7 y 11 metros cúbicos, además de que son zonas protegidas.
En este caso se utilizará un embalse próximo a la zona donde el agua se refrigere de forma natural mediante evaporación, así habrá una pequeña pérdida de agua pero a cambio no se realizan vertidos a temperaturas elevadas.
El transporte de agua desde el embalse se realizará mediante un canal de derivación de longitud aproximada de 10 km, que es la distancia existente entre la central nuclear y el embalse más próximo.
3.4 Fuentes de electricidad

La importancia de que no haya caídas ni fluctuaciones en la red se debe a los problemas que surgirían si la maquinaria de la central se paralizara en medio del proceso de fisión dentro del reactor. Por tanto se hará una derivación de la red principal más cercana (que se sitúa aproximadamente a unos 10km, distancia razonablemente cercana) y se hará llegar hasta la central. Hay que garantizar que no se produzcan oscilaciones de potencia eléctrica por lo que debe haber una fuente de energía fiable y que proporcione un suministro eléctrico suficiente.
3.5 Vías de comunicación

En lo que se refiere a las vías de acceso a la zona de ubicación de la central, parte de la Red de Carreteras ya construida se sitúa en las inmediaciones de la misma. En concreto, destacan las vías correspondientes a la Red de Carreteras de competencia Autonómica por su proximidad al emplazamiento de la central; por ejemplo, la NA-718 apenas dista un kilómetro de la infraestructura.
Además, dichas vías autonómicas (NA-178, NA-132 Y NA-120) atraviesan la sierra montañosa cercana a la central de Norte a Sur y poseen conexiones con las vías de alta capacidad de la comunidad navarra, pues conectan directamente con la A-12 y mediante enlace con la A-12 conectan con la AP-15. Por tanto, las condiciones de accesibilidad a la obra y a la futura central se presentan como suficientemente eficientes, favoreciendo la eficacia del transporte de materiales y equipos, y el acceso del personal en general.

3.6 Zonas protegidas

Respecto a la interacción de las instalaciones de la futura central con las zonas protegidas (que en la imagen del anejo se muestran en color burdeos), se observa una proximidad a las mismas inferior a dos kilómetros, si bien el emplazamiento no se proyecta dentro de los límites definidos por los espacios protegidos. De este modo, no existiría un impacto directo de la central sobre el medio, y las correspondientes medidas de seguridad de la instalación para minimizarlo serían tomadas con la suficiente rigurosidad y precaución.
Además, conviene destacar que, para conjugar la ubicación de la central en una superficie de características geológico-geotécnicas adecuadas y suficientemente alejada de núcleos de población, se ha determinado que el emplazamiento óptimo es el mostrado en la figura, sin priorizar, por tanto, la evidente cercanía a las áreas protegidas.
3.7 Sismicidad

Por otra parte, se hizo un estudio a gran escala del mapa de sismicidad de la península, así como de Navarra en concreto. El hecho de que no haya riesgo sísmico resulta muy importante de cara a evitar no solamente fisuras en la cimentación (que derivarían además de la aparición de grietas en el terreno), sino también en toda la planta de la central. Una inestabilidad del suelo, por muy mínima que fuera, podría dar lugar a algún tipo de rotura y al escape de material radiactivo, dando lugar así a un posible accidente en el interior que pondría en peligro el bienestar de las poblaciones colindantes.
La zona en la que se sitúa la central posee un riesgo medio-bajo frente a un posible seísmo, lo cual encaja en esta condición que se impone para la situación de la central. Esto, analizado con un periodo de retorno de 500 años, implica que el riesgo de terremoto es relativamente bajo, además de que en caso de producirse, se sentiría fugazmente por las personas. En el peor de los casos, la estructura de la central no se vería afectada, dada la robustez del hormigón que se emplea para su construcción.
No pasaría esto si la central estuviese situada cerca de la costa, especialmente en el sur, sur-este peninsular, donde el riesgo sísmico es bastante más elevado.
3.8 Planta de hormigón

Dado el gran volumen de hormigón que es necesario emplear para la construcción de la central nuclear, donde se hace uso de hormigón pesado, es adecuado tener situada una planta de hormigón próxima a la localización de la misma. De esta forma, se evita el hecho de emplazar una planta provisional cerca de la zona de obras, ahorrando así más tiempo y dinero.

4 Conclusiones
Tras la metodología aplicada y el análisis de resultados realizado, se concluye que la ubicación escogida para la central nuclear en la Comunidad Foral de Navarra es suficientemente apropiada según los parámetros examinados y teniendo en cuenta el alcance del estudio. Concretamente, se han priorizado las características geológico-geotécnicas del emplazamiento, a favor de alcanzar una óptima seguridad estructural de las instalaciones, así como el alejamiento de los núcleos de población para garantizar la seguridad de los habitantes. Además, lo anterior conjugado con la proximidad de líneas eléctricas y vías de comunicación, junto con las características hidrográficas y la minimización del impacto ambiental sobre las zonas protegidas cercanas, hacen del emplazamiento elegido lógico y adaptado a la región en la que se encuadra.

5 Anejos

[[Archivo:Mapa_geologico.png|500px|thumb|left|Mapa geológico de la zona]]
[[Archivo:Leyenda_mapa_geologico.png|1100px|thumb|left|leyenda del mapa geolódico de la zona ]]

Como resultados las poblaciones afectadas a 5 km son: 1126 personas con una densidad de 13.79 hab/km²

[[Archivo:buffer_poblacion_1.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]
[[Archivo:buffer_poblacion_2.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]

Poblaciones mayores de 1000 habitantes afectadas por la central:
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_1.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_2.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:riosembalses.png|800px|thumb|left|Vista de la capa vectorial de los distintos ríos y el embalse más próximo a la central nuclear]]
[[Archivo:Vias_de_comunicacion.png|800px|thumb|left|Redes principales de líneas eléctricas cercanas a la central]]
[[Archivo:carrreteras_autonomicas.png|800px|thumb|left|Vista de las carreteras autonómicas más próximas a la central]]
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[[Archivo:planta_hormigon.png|800px|thumb|left|Cercanía de la planta de hormigón de Estella, en relación al complejo de la central]]

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Localizacion de central nuclear en Navarra

2015-11-29T18:29:54Z

Elena Suta:

{{ TrabajoSIG | Localización de central nuclear en Navarra | María Salvador Mejías, Elena Suta, Aurora Gómez Alonso, Jaime Chueca Rincón | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
Contenido [ocultar]

1 Introducción.
2 Metodología
3 Resultados
4 Conclusiones
5 Anejos

1 Introducción
El objeto del trabajo se centra en la localización de una central nuclear, cuya ubicación se ha visto influenciada por el conjunto de factores que indican a continuación. En primer lugar, se ha previsto escoger un emplazamiento cercano a un río, embalse o costa, en una zona preferiblemente no sísmica y de características geológico-geotécnicas adecuadas, para de esta forma evitar cualquier fisuración o fuga dentro de la plataforma. Por otra parte, se ha procurado una buena accesibilidad a la central, sin afectar a la calidad de vida de los pueblos colindantes, respetando los niveles de radiactividad. Además, se ha tenido en cuenta la proximidad de zonas protegidas, manteniendo de esta forma el respeto a la fauna y la flora de su entorno.
Se hizo un estudio geológico-geotécnico del suelo peninsular de forma práctica para acotar el perímetro en el que se iba a situar la central. Así, se descartaron los terrenos del sur, sur-este y centro peninsular, dada la abundancia de rocas que darían lugar a asiento. Con lo cual, centrándose solamente en los terrenos del norte, se descartó Cataluña por abundancia de centrales, y el territorio gallego, asturiano y alrededores por el minifundismo de sus poblaciones y la presencia de un gran número de zonas protegidas dado el clima de la zona. Así, y en vista de factores hidrológicos y de comunicación, la central se situará en la Comunidad Foral de Navarra.
Para realizar el estudio propuesto, se ha hecho uso de la plataforma IDE de las comunidades autónomas españolas, así como de la información proporcionada por el IGME y de las aportaciones necesarias del Ministerio de Fomento e instituciones similares.
Con todo, se espera que los resultados obtenidos sirvan para ubicar de forma lo más precisa posible la central nuclear, mejorando así la aportación energética a la población del entorno de Navarra, complementando así a las centrales de otros tipos ya existentes.

2 Metodología
Primero, se hizo un estudio geológico-geotécnico a gran escala del suelo de la comunidad, en vista de que el mismo sea capaz de resistir las cargas de la cimentación y la planta del complejo de la central en general. Se pretende con ello evitar asientos considerables que pongan en peligro la estabilidad y con ello persuadir a todos los efectos la aparición de cualquier tipo de fisura que suponga el escape del material radiactivo hacia el exterior.
Por ello con este estudio se pretende localizar un suelo de calidad media-alta, con objeto de no incurrir en un coste excesivamente alto de los elementos de cimentación. El colocar la central en un suelo de baja calidad implica aumentar el coste de forma significativa, y es por ello por lo que se presta especial atención a este aspecto. Para ello se ha empleado el MAGNA, obtenido del IGME y se ha observado las distintas litologías disponibles. Esto se ha empleado para elegir el mejor terreno de cara a la situación de la central.
En vista a los núcleos urbanos, la densidad de población es uno de los principales factores a tener en cuenta en la evaluación del riesgo. El objetivo es obtener la menor densidad alrededor de la central, en un radio de 30km. Hay casos extremos como la planta nuclear de KANUPP en Karachi, Pakistán, tiene la mayor cantidad de personas viviendo dentro de este radio, alrededor de 8,2 millones. Otro ejemplo como la planta de Kuosheng de Taiwán con 5,5 millones de personas dentro de un radio de 30 kilómetros. En nuestra central, la mayor ciudad que se encuentra dentro de esta zona de seguridad es Estella (Navarra), con 14251 habitantes, difícilmente comparable con el anterior caso.
Para ello estudiamos el número concreto de personas que se verán afectadas por la central según la proximidad estableciendo 3 anillos de seguridad, utilizando el Mapa de Núcleos Urbanos de la Comunidad Foral de Navarra, facilitada por el tutor. Las operaciones para analizar la posición respecto a las poblaciones, una vez colocada la central, han sido vectoriales:
Buffer a 5 km de la Parcela en la que se emplazará la central para ver la población directamente afectada.
Buffer de 10 km alrededor de la parcela.
Buffer de 30 km.
Intersección entre el Buffer de 5 km y la capa de Núcleos Urbanos para obtener la población directamente afectada.
Filtro de los Núcleos Urbanos con población mayor que 1000 habitantes.
En el apartado hidrológico, es necesario que la central tenga acceso a grandes cantidades de agua, con objeto de extraer el calor procedente de la fisión del uranio en el reactor nuclear. Para ello, se necesitan una serie de caudales mínimos, utilizando agua procedente de ríos, de lagos o embalses. Para ello se han analizado los datos de los caudales de los ríos de la comunidad autónoma (tablas de atributo de la capa vectorial RIOS), con objeto de conocer si los caudales de aportación a la central serán suficientes para su refrigeración.
En cuanto a las vías de comunicación, resultan de elevada importancia, para un adecuado acceso a la central. Por una parte, lo es durante la fase de construcción, pues el llevar hormigón y los materiales para su realización resulta una ardua tarea. Por otra parte, durante los años de uso que se dará al complejo de la central, también son imprescindibles las adecuadas vías de comunicación, pues resultará de utilidad el acceso para los trabajadores de la misma. Para ello se han analizado las diferentes capas de redes de carreteras de Navarra, una serie vectorial BTN100, donde se reflejan las autovías principales y secundarias de la comunidad. En relación a los espacios protegidos, en la extensión de territorio perteneciente a Navarra, se sitúan dos redes de espacios naturales principales, la Red de Espacios Naturales Protegidos de Navarra (RENA) y la Red Natura 2000. Estas zonas deben estar lo mínimamente afectadas, por ello se ha realizado un buffer de 5km, viendo así las zonas que resultan afectadas.
Además, se ha realizado un estudio del mapa vectorial BTN100 de las principales redes eléctricas de la comunidad, estableciendo las distancias entre las mismas y la central. La importancia de evitar caídas de tensión en la central es muy elevada, con lo cual se intentará que este requisito se cumpla en el mismo grado de prioridad que los demás.
Con objeto además de evitar grietas y fisuraciones, se debe prestar gran atención al mapa de sismicidad de la península ibérica, y en especial de Navarra. Para ello, se ha acudido al IGME, donde se ha obtenido el mapa de sismicidad, analizando de esta forma el nivel de riesgo de terremoto en la zona donde se situará la central.
Asimismo, y de forma complementaria, se ha querido estudiar la ubicación más cercana de una planta de hormigón que facilitará la aportación de material durante la fase de construcción de la central. Esto se ha hecho mediante la consulta de fuentes exteriores sobre la situación de las plantas de hormigón ubicadas en los pueblos colindantes a la plataforma de la central. Una vez esto, se ha analizado la distancia a la misma y se ha obtenido la más cercana.
Por último, se ha de destacar el uso de una serie de diferentes mapas ráster 50 del IGN como fondo a distintas capas de los terrenos en los que se situará la central.
La central que se ha creado mide aproximadamente 5Ha, siendo este un valor cotejado con las diferentes centrales que existen en España, tomándose así un valor medio.
3 Resultados
3.1 Geología y geotecnia

Desde este punto de vista, se descartaron aquellos terrenos en los que destacaban la presencia de ciertos tipos de roca que podrían dar problemas importantes a largo plazo. Así, se descartaron por un lado las formaciones propias de las terrazas fluviales, tales como limos, arenas y gravas, que podrían dar problemas de asiento a lo largo del tiempo. Por otra parte, se desecharon las arcillas, ya que al tratarse de una zona moderadamente húmeda, podría haber problemas de expansión, lo que daría lugar a la formación de importantes grietas. Asimismo, se evitaron los terrenos yesíferos, en los cuales la anhidrita de la que se componen, al entrar en contacto con el agua, daría lugar a procesos expansivos que de nuevo someterían a altas presiones la cimentación. Con lo cual, dentro de los materiales disponibles en la comunidad, se ha inclinado la ubicación hacia terrenos calizos, de buena resistencia a compresión y meteorización.
Con ello, y según los requisitos impuestos desde el punto de visto geológico, la central se sitúa próxima al municipio de Estella, al suroeste de la comunidad autónoma. El terreno destaca por la presencia de diapiros, formados por sales del Keuper, que han emergido en forma de fracturas. Asimismo, existe una sucesión de depósitos de calizas, margas y dolomías, predominando hacia las sierras de Urbasa y Andía (situadas en el norte de Estella), calcarenitas y conglomerados, junto a los ya mencionados anteriormente.
Realizando un análisis más exhaustivo, y teniendo en cuenta los criterios restantes para la ubicación de la central, se vio precisa la elección de un terreno calcáreo con coluviones, pues a pesar de ser un área de relativa abundancia de calizas, se debe tener en cuenta que muchas de ellas están combinadas con otros materiales arcillosos, limosos, etc., que perjudicarían la calidad de la roca que se busca. La presencia de coluvial implica únicamente su retirada del terreno en el que se quiere trabajar, que es el calizo. Se prevé que el coluvial tenga poca potencia, lo cual implica que los pocos metros de profundidad que tiene, se excavarán sin mayor dificultad. Esto, junto al canto de la losa de cimentación, permitirá el asentamiento de la misma sobre el sustrato calcáreo deseado.
3.2 Núcleos urbanos

Para establecer las zonas de protección, creamos un buffer a la futura parcela, en la que se establecerá la central, de los diferentes radios. Con la capa de núcleos urbanos encontramos la información necesaria a los núcleos de población cercanos, ya que, en atributos tiene el número de habitantes de cada municipio. Mediante la intersección de capas, los buffer y nuc-pob tendremos todas las localidades afectadas y podremos obtener la población afectada (ver imagen de los resultados en el apartado Anejos).
La densidad es bastante baja, algo bueno desde el punto de vista de la seguridad.
Como ventajas de la ubicación, las ciudades de Estella y Pamplona están relativamente cerca dada el buen sistema de carreteras/autovías (10 km y 30 km respectivamente). En ellas, se podría alojar el personal cualificado de la central y dando así empleo a la zona.
Analizando el futuro impacto que supondrá esta central en la economía de la Comunidad, será un supuesto abaratamiento de la energía y una menos independencia de la renovable (principal fuente) y de las centrales térmicas. Se mejora la competitividad de la zona.
3.3 Hidrografía

Una vez obtenido el agua del río o embalse, se devuelve a su procedencia ligeramente más caliente y en una zona lejana de donde se realizó la toma para no alterar las condiciones del curso. Una vez esto, la temperatura máxima que puede alcanzar es de 3ºC superiores a la temperatura que hay habitualmente
Para que esta condición se cumpla, el rio debería ser muy caudaloso, pero sin embargo los cauces más importantes de la zona, el río Urederra y el río Ega tienen un caudal medio anual entre 7 y 11 metros cúbicos, además de que son zonas protegidas.
En este caso se utilizará un embalse próximo a la zona donde el agua se refrigere de forma natural mediante evaporación, así habrá una pequeña pérdida de agua pero a cambio no se realizan vertidos a temperaturas elevadas.
El transporte de agua desde el embalse se realizará mediante un canal de derivación de longitud aproximada de 10 km, que es la distancia existente entre la central nuclear y el embalse más próximo.
3.4 Fuentes de electricidad

La importancia de que no haya caídas ni fluctuaciones en la red se debe a los problemas que surgirían si la maquinaria de la central se paralizara en medio del proceso de fisión dentro del reactor. Por tanto se hará una derivación de la red principal más cercana (que se sitúa aproximadamente a unos 10km, distancia razonablemente cercana) y se hará llegar hasta la central. Hay que garantizar que no se produzcan oscilaciones de potencia eléctrica por lo que debe haber una fuente de energía fiable y que proporcione un suministro eléctrico suficiente.
3.5 Vías de comunicación

En lo que se refiere a las vías de acceso a la zona de ubicación de la central, parte de la Red de Carreteras ya construida se sitúa en las inmediaciones de la misma. En concreto, destacan las vías correspondientes a la Red de Carreteras de competencia Autonómica por su proximidad al emplazamiento de la central; por ejemplo, la NA-718 apenas dista un kilómetro de la infraestructura.
Además, dichas vías autonómicas (NA-178, NA-132 Y NA-120) atraviesan la sierra montañosa cercana a la central de Norte a Sur y poseen conexiones con las vías de alta capacidad de la comunidad navarra, pues conectan directamente con la A-12 y mediante enlace con la A-12 conectan con la AP-15. Por tanto, las condiciones de accesibilidad a la obra y a la futura central se presentan como suficientemente eficientes, favoreciendo la eficacia del transporte de materiales y equipos, y el acceso del personal en general.

3.6 Zonas protegidas

Respecto a la interacción de las instalaciones de la futura central con las zonas protegidas (que en la imagen del anejo se muestran en color burdeos), se observa una proximidad a las mismas inferior a dos kilómetros, si bien el emplazamiento no se proyecta dentro de los límites definidos por los espacios protegidos. De este modo, no existiría un impacto directo de la central sobre el medio, y las correspondientes medidas de seguridad de la instalación para minimizarlo serían tomadas con la suficiente rigurosidad y precaución.
Además, conviene destacar que, para conjugar la ubicación de la central en una superficie de características geológico-geotécnicas adecuadas y suficientemente alejada de núcleos de población, se ha determinado que el emplazamiento óptimo es el mostrado en la figura, sin priorizar, por tanto, la evidente cercanía a las áreas protegidas.
3.7 Sismicidad

Por otra parte, se hizo un estudio a gran escala del mapa de sismicidad de la península, así como de Navarra en concreto. El hecho de que no haya riesgo sísmico resulta muy importante de cara a evitar no solamente fisuras en la cimentación (que derivarían además de la aparición de grietas en el terreno), sino también en toda la planta de la central. Una inestabilidad del suelo, por muy mínima que fuera, podría dar lugar a algún tipo de rotura y al escape de material radiactivo, dando lugar así a un posible accidente en el interior que pondría en peligro el bienestar de las poblaciones colindantes.
La zona en la que se sitúa la central posee un riesgo medio-bajo frente a un posible seísmo, lo cual encaja en esta condición que se impone para la situación de la central. Esto, analizado con un periodo de retorno de 500 años, implica que el riesgo de terremoto es relativamente bajo, además de que en caso de producirse, se sentiría fugazmente por las personas. En el peor de los casos, la estructura de la central no se vería afectada, dada la robustez del hormigón que se emplea para su construcción.
No pasaría esto si la central estuviese situada cerca de la costa, especialmente en el sur, sur-este peninsular, donde el riesgo sísmico es bastante más elevado.
3.8 Planta de hormigón

Dado el gran volumen de hormigón que es necesario emplear para la construcción de la central nuclear, donde se hace uso de hormigón pesado, es adecuado tener situada una planta de hormigón próxima a la localización de la misma. De esta forma, se evita el hecho de emplazar una planta provisional cerca de la zona de obras, ahorrando así más tiempo y dinero.

4 Conclusiones
Tras la metodología aplicada y el análisis de resultados realizado, se concluye que la ubicación escogida para la central nuclear en la Comunidad Foral de Navarra es suficientemente apropiada según los parámetros examinados y teniendo en cuenta el alcance del estudio. Concretamente, se han priorizado las características geológico-geotécnicas del emplazamiento, a favor de alcanzar una óptima seguridad estructural de las instalaciones, así como el alejamiento de los núcleos de población para garantizar la seguridad de los habitantes. Además, lo anterior conjugado con la proximidad de líneas eléctricas y vías de comunicación, junto con las características hidrográficas y la minimización del impacto ambiental sobre las zonas protegidas cercanas, hacen del emplazamiento elegido lógico y adaptado a la región en la que se encuadra.

5 Anejos

[[Archivo:Mapa_geologico.png|500px|thumb|left|Mapa geológico de la zona]]
[[Archivo:Leyenda_mapa_geologico.png|1100px|thumb|left|leyenda del mapa geolódico de la zona ]]

Como resultados las poblaciones afectadas a 5 km son: 1126 personas con una densidad de 13.79 hab/km²

[[Archivo:buffer_poblacion_1.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]
[[Archivo:buffer_poblacion_2.png|800px|thumb|left|Buffer de 5 km]]

Poblaciones mayores de 1000 habitantes afectadas por la central:
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_1.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:poblaciones_mayores_de_1000_2.png|800px|thumb|left|Nucleos urbanos de más de 1000 habitantes]]
[[Archivo:riosembalses.png|800px|thumb|left|Vista de la capa vectorial de los distintos ríos y el embalse más próximo a la central nuclear]]
[[Archivo:Vías_de_comunicacion.png|800px|thumb|left|Redes principales de líneas eléctricas cercanas a la central]]
[[Archivo:carreteras_autonomicas.png|800px|thumb|left|Vista de las carreteras autonómicas más próximas a la central]]
[[Archivo:zonas_protegidas.png|800px|thumb|left|Vista del alcance del buffer de 5km con respecto a las zonas protegidas ]]
[[Archivo:tectonica.png|800px|thumb|left|Vista de las diferentes áreas tectónicas de Navarra y alrededores, en relación a la central y núcleos de población de su entorno]]
[[Archivo:planta_hormigon.png|800px|thumb|left|Cercanía de la planta de hormigón de Estella, en relación al complejo de la central]]

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Archivo:Zonas protegidas.png

2015-11-29T18:02:47Z

Elena Suta:

Archivo:Vias de comunicacion.png

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Elena Suta:

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Archivo:Riosembalses.png

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Archivo:Poblaciones mayores de 1000 2.png

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Archivo:Poblaciones mayores de 1000 1.png

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Archivo:Mapa geologico.png

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Archivo:Leyenda mapa geologico.png

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Archivo:Carrreteras autonomicas.png

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Archivo:Buffer poblacion 2.png

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Archivo:Buffer poblacion 1.png

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Elena Suta:

Localizacion de central nuclear en Navarra

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Elena Suta: Página creada con «{{ TrabajoSIG | Localización de central nuclear en Navarra | María Salvador Mejías, Elena Suta, Aurora Gómez Alonso, Jaime Chueca Rincón | :Categoría:SIGAIC_15/...»

{{ TrabajoSIG | Localización de central nuclear en Navarra | María Salvador Mejías, Elena Suta, Aurora Gómez Alonso, Jaime Chueca Rincón | [[:Categoría:SIGAIC_15/16|Curso 15/16]] }}
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1 Introducción.
2 Metodología
3 Resultados
4 Conclusiones
5 Anejos

1 Introducción
El objeto del trabajo se centra en la localización de una central nuclear, cuya ubicación se ha visto influenciada por el conjunto de factores que indican a continuación. En primer lugar, se ha previsto escoger un emplazamiento cercano a un río, embalse o costa, en una zona preferiblemente no sísmica y de características geológico-geotécnicas adecuadas, para de esta forma evitar cualquier fisuración o fuga dentro de la plataforma. Por otra parte, se ha procurado una buena accesibilidad a la central, sin afectar a la calidad de vida de los pueblos colindantes, respetando los niveles de radiactividad. Además, se ha tenido en cuenta la proximidad de zonas protegidas, manteniendo de esta forma el respeto a la fauna y la flora de su entorno.
Se hizo un estudio geológico-geotécnico del suelo peninsular de forma práctica para acotar el perímetro en el que se iba a situar la central. Así, se descartaron los terrenos del sur, sur-este y centro peninsular, dada la abundancia de rocas que darían lugar a asiento. Con lo cual, centrándose solamente en los terrenos del norte, se descartó Cataluña por abundancia de centrales, y el territorio gallego, asturiano y alrededores por el minifundismo de sus poblaciones y la presencia de un gran número de zonas protegidas dado el clima de la zona. Así, y en vista de factores hidrológicos y de comunicación, la central se situará en la Comunidad Foral de Navarra.
Para realizar el estudio propuesto, se ha hecho uso de la plataforma IDE de las comunidades autónomas españolas, así como de la información proporcionada por el IGME y de las aportaciones necesarias del Ministerio de Fomento e instituciones similares.
Con todo, se espera que los resultados obtenidos sirvan para ubicar de forma lo más precisa posible la central nuclear, mejorando así la aportación energética a la población del entorno de Navarra, complementando así a las centrales de otros tipos ya existentes.

2 Metodología
Primero, se hizo un estudio geológico-geotécnico a gran escala del suelo de la comunidad, en vista de que el mismo sea capaz de resistir las cargas de la cimentación y la planta del complejo de la central en general. Se pretende con ello evitar asientos considerables que pongan en peligro la estabilidad y con ello persuadir a todos los efectos la aparición de cualquier tipo de fisura que suponga el escape del material radiactivo hacia el exterior.
Por ello con este estudio se pretende localizar un suelo de calidad media-alta, con objeto de no incurrir en un coste excesivamente alto de los elementos de cimentación. El colocar la central en un suelo de baja calidad implica aumentar el coste de forma significativa, y es por ello por lo que se presta especial atención a este aspecto. Para ello se ha empleado el MAGNA, obtenido del IGME y se ha observado las distintas litologías disponibles. Esto se ha empleado para elegir el mejor terreno de cara a la situación de la central.
En vista a los núcleos urbanos, la densidad de población es uno de los principales factores a tener en cuenta en la evaluación del riesgo. El objetivo es obtener la menor densidad alrededor de la central, en un radio de 30km. Hay casos extremos como la planta nuclear de KANUPP en Karachi, Pakistán, tiene la mayor cantidad de personas viviendo dentro de este radio, alrededor de 8,2 millones. Otro ejemplo como la planta de Kuosheng de Taiwán con 5,5 millones de personas dentro de un radio de 30 kilómetros. En nuestra central, la mayor ciudad que se encuentra dentro de esta zona de seguridad es Estella (Navarra), con 14251 habitantes, difícilmente comparable con el anterior caso.
Para ello estudiamos el número concreto de personas que se verán afectadas por la central según la proximidad estableciendo 3 anillos de seguridad, utilizando el Mapa de Núcleos Urbanos de la Comunidad Foral de Navarra, facilitada por el tutor. Las operaciones para analizar la posición respecto a las poblaciones, una vez colocada la central, han sido vectoriales:
Buffer a 5 km de la Parcela en la que se emplazará la central para ver la población directamente afectada.
Buffer de 10 km alrededor de la parcela.
Buffer de 30 km.
Intersección entre el Buffer de 5 km y la capa de Núcleos Urbanos para obtener la población directamente afectada.
Filtro de los Núcleos Urbanos con población mayor que 1000 habitantes.
En el apartado hidrológico, es necesario que la central tenga acceso a grandes cantidades de agua, con objeto de extraer el calor procedente de la fisión del uranio en el reactor nuclear. Para ello, se necesitan una serie de caudales mínimos, utilizando agua procedente de ríos, de lagos o embalses. Para ello se han analizado los datos de los caudales de los ríos de la comunidad autónoma (tablas de atributo de la capa vectorial RIOS), con objeto de conocer si los caudales de aportación a la central serán suficientes para su refrigeración.
En cuanto a las vías de comunicación, resultan de elevada importancia, para un adecuado acceso a la central. Por una parte, lo es durante la fase de construcción, pues el llevar hormigón y los materiales para su realización resulta una ardua tarea. Por otra parte, durante los años de uso que se dará al complejo de la central, también son imprescindibles las adecuadas vías de comunicación, pues resultará de utilidad el acceso para los trabajadores de la misma. Para ello se han analizado las diferentes capas de redes de carreteras de Navarra, una serie vectorial BTN100, donde se reflejan las autovías principales y secundarias de la comunidad. En relación a los espacios protegidos, en la extensión de territorio perteneciente a Navarra, se sitúan dos redes de espacios naturales principales, la Red de Espacios Naturales Protegidos de Navarra (RENA) y la Red Natura 2000. Estas zonas deben estar lo mínimamente afectadas, por ello se ha realizado un buffer de 5km, viendo así las zonas que resultan afectadas.
Además, se ha realizado un estudio del mapa vectorial BTN100 de las principales redes eléctricas de la comunidad, estableciendo las distancias entre las mismas y la central. La importancia de evitar caídas de tensión en la central es muy elevada, con lo cual se intentará que este requisito se cumpla en el mismo grado de prioridad que los demás.
Con objeto además de evitar grietas y fisuraciones, se debe prestar gran atención al mapa de sismicidad de la península ibérica, y en especial de Navarra. Para ello, se ha acudido al IGME, donde se ha obtenido el mapa de sismicidad, analizando de esta forma el nivel de riesgo de terremoto en la zona donde se situará la central.
Asimismo, y de forma complementaria, se ha querido estudiar la ubicación más cercana de una planta de hormigón que facilitará la aportación de material durante la fase de construcción de la central. Esto se ha hecho mediante la consulta de fuentes exteriores sobre la situación de las plantas de hormigón ubicadas en los pueblos colindantes a la plataforma de la central. Una vez esto, se ha analizado la distancia a la misma y se ha obtenido la más cercana.
Por último, se ha de destacar el uso de una serie de diferentes mapas ráster 50 del IGN como fondo a distintas capas de los terrenos en los que se situará la central.
La central que se ha creado mide aproximadamente 5Ha, siendo este un valor cotejado con las diferentes centrales que existen en España, tomándose así un valor medio.
3 Resultados
3.1 Geología y geotecnia

Desde este punto de vista, se descartaron aquellos terrenos en los que destacaban la presencia de ciertos tipos de roca que podrían dar problemas importantes a largo plazo. Así, se descartaron por un lado las formaciones propias de las terrazas fluviales, tales como limos, arenas y gravas, que podrían dar problemas de asiento a lo largo del tiempo. Por otra parte, se desecharon las arcillas, ya que al tratarse de una zona moderadamente húmeda, podría haber problemas de expansión, lo que daría lugar a la formación de importantes grietas. Asimismo, se evitaron los terrenos yesíferos, en los cuales la anhidrita de la que se componen, al entrar en contacto con el agua, daría lugar a procesos expansivos que de nuevo someterían a altas presiones la cimentación. Con lo cual, dentro de los materiales disponibles en la comunidad, se ha inclinado la ubicación hacia terrenos calizos, de buena resistencia a compresión y meteorización.
Con ello, y según los requisitos impuestos desde el punto de visto geológico, la central se sitúa próxima al municipio de Estella, al suroeste de la comunidad autónoma. El terreno destaca por la presencia de diapiros, formados por sales del Keuper, que han emergido en forma de fracturas. Asimismo, existe una sucesión de depósitos de calizas, margas y dolomías, predominando hacia las sierras de Urbasa y Andía (situadas en el norte de Estella), calcarenitas y conglomerados, junto a los ya mencionados anteriormente.
Realizando un análisis más exhaustivo, y teniendo en cuenta los criterios restantes para la ubicación de la central, se vio precisa la elección de un terreno calcáreo con coluviones, pues a pesar de ser un área de relativa abundancia de calizas, se debe tener en cuenta que muchas de ellas están combinadas con otros materiales arcillosos, limosos, etc., que perjudicarían la calidad de la roca que se busca. La presencia de coluvial implica únicamente su retirada del terreno en el que se quiere trabajar, que es el calizo. Se prevé que el coluvial tenga poca potencia, lo cual implica que los pocos metros de profundidad que tiene, se excavarán sin mayor dificultad. Esto, junto al canto de la losa de cimentación, permitirá el asentamiento de la misma sobre el sustrato calcáreo deseado.
3.2 Núcleos urbanos

Para establecer las zonas de protección, creamos un buffer a la futura parcela, en la que se establecerá la central, de los diferentes radios. Con la capa de núcleos urbanos encontramos la información necesaria a los núcleos de población cercanos, ya que, en atributos tiene el número de habitantes de cada municipio. Mediante la intersección de capas, los buffer y nuc-pob tendremos todas las localidades afectadas y podremos obtener la población afectada (ver imagen de los resultados en el apartado Anejos).
La densidad es bastante baja, algo bueno desde el punto de vista de la seguridad.
Como ventajas de la ubicación, las ciudades de Estella y Pamplona están relativamente cerca dada el buen sistema de carreteras/autovías (10 km y 30 km respectivamente). En ellas, se podría alojar el personal cualificado de la central y dando así empleo a la zona.
Analizando el futuro impacto que supondrá esta central en la economía de la Comunidad, será un supuesto abaratamiento de la energía y una menos independencia de la renovable (principal fuente) y de las centrales térmicas. Se mejora la competitividad de la zona.
3.3 Hidrografía

Una vez obtenido el agua del río o embalse, se devuelve a su procedencia ligeramente más caliente y en una zona lejana de donde se realizó la toma para no alterar las condiciones del curso. Una vez esto, la temperatura máxima que puede alcanzar es de 3ºC superiores a la temperatura que hay habitualmente
Para que esta condición se cumpla, el rio debería ser muy caudaloso, pero sin embargo los cauces más importantes de la zona, el río Urederra y el río Ega tienen un caudal medio anual entre 7 y 11 metros cúbicos, además de que son zonas protegidas.
En este caso se utilizará un embalse próximo a la zona donde el agua se refrigere de forma natural mediante evaporación, así habrá una pequeña pérdida de agua pero a cambio no se realizan vertidos a temperaturas elevadas.
El transporte de agua desde el embalse se realizará mediante un canal de derivación de longitud aproximada de 10 km, que es la distancia existente entre la central nuclear y el embalse más próximo.
3.4 Fuentes de electricidad

La importancia de que no haya caídas ni fluctuaciones en la red se debe a los problemas que surgirían si la maquinaria de la central se paralizara en medio del proceso de fisión dentro del reactor. Por tanto se hará una derivación de la red principal más cercana (que se sitúa aproximadamente a unos 10km, distancia razonablemente cercana) y se hará llegar hasta la central. Hay que garantizar que no se produzcan oscilaciones de potencia eléctrica por lo que debe haber una fuente de energía fiable y que proporcione un suministro eléctrico suficiente.
3.5 Vías de comunicación

En lo que se refiere a las vías de acceso a la zona de ubicación de la central, parte de la Red de Carreteras ya construida se sitúa en las inmediaciones de la misma. En concreto, destacan las vías correspondientes a la Red de Carreteras de competencia Autonómica por su proximidad al emplazamiento de la central; por ejemplo, la NA-718 apenas dista un kilómetro de la infraestructura.
Además, dichas vías autonómicas (NA-178, NA-132 Y NA-120) atraviesan la sierra montañosa cercana a la central de Norte a Sur y poseen conexiones con las vías de alta capacidad de la comunidad navarra, pues conectan directamente con la A-12 y mediante enlace con la A-12 conectan con la AP-15. Por tanto, las condiciones de accesibilidad a la obra y a la futura central se presentan como suficientemente eficientes, favoreciendo la eficacia del transporte de materiales y equipos, y el acceso del personal en general.

3.6 Zonas protegidas

Respecto a la interacción de las instalaciones de la futura central con las zonas protegidas (que en la imagen del anejo se muestran en color burdeos), se observa una proximidad a las mismas inferior a dos kilómetros, si bien el emplazamiento no se proyecta dentro de los límites definidos por los espacios protegidos. De este modo, no existiría un impacto directo de la central sobre el medio, y las correspondientes medidas de seguridad de la instalación para minimizarlo serían tomadas con la suficiente rigurosidad y precaución.
Además, conviene destacar que, para conjugar la ubicación de la central en una superficie de características geológico-geotécnicas adecuadas y suficientemente alejada de núcleos de población, se ha determinado que el emplazamiento óptimo es el mostrado en la figura, sin priorizar, por tanto, la evidente cercanía a las áreas protegidas.
3.7 Sismicidad

Por otra parte, se hizo un estudio a gran escala del mapa de sismicidad de la península, así como de Navarra en concreto. El hecho de que no haya riesgo sísmico resulta muy importante de cara a evitar no solamente fisuras en la cimentación (que derivarían además de la aparición de grietas en el terreno), sino también en toda la planta de la central. Una inestabilidad del suelo, por muy mínima que fuera, podría dar lugar a algún tipo de rotura y al escape de material radiactivo, dando lugar así a un posible accidente en el interior que pondría en peligro el bienestar de las poblaciones colindantes.
La zona en la que se sitúa la central posee un riesgo medio-bajo frente a un posible seísmo, lo cual encaja en esta condición que se impone para la situación de la central. Esto, analizado con un periodo de retorno de 500 años, implica que el riesgo de terremoto es relativamente bajo, además de que en caso de producirse, se sentiría fugazmente por las personas. En el peor de los casos, la estructura de la central no se vería afectada, dada la robustez del hormigón que se emplea para su construcción.
No pasaría esto si la central estuviese situada cerca de la costa, especialmente en el sur, sur-este peninsular, donde el riesgo sísmico es bastante más elevado.
3.8 Planta de hormigón

Dado el gran volumen de hormigón que es necesario emplear para la construcción de la central nuclear, donde se hace uso de hormigón pesado, es adecuado tener situada una planta de hormigón próxima a la localización de la misma. De esta forma, se evita el hecho de emplazar una planta provisional cerca de la zona de obras, ahorrando así más tiempo y dinero.

4 Conclusiones
Tras la metodología aplicada y el análisis de resultados realizado, se concluye que la ubicación escogida para la central nuclear en la Comunidad Foral de Navarra es suficientemente apropiada según los parámetros examinados y teniendo en cuenta el alcance del estudio. Concretamente, se han priorizado las características geológico-geotécnicas del emplazamiento, a favor de alcanzar una óptima seguridad estructural de las instalaciones, así como el alejamiento de los núcleos de población para garantizar la seguridad de los habitantes. Además, lo anterior conjugado con la proximidad de líneas eléctricas y vías de comunicación, junto con las características hidrográficas y la minimización del impacto ambiental sobre las zonas protegidas cercanas, hacen del emplazamiento elegido lógico y adaptado a la región en la que se encuadra.

5 Anejos

[[Categoría:SIGAIC_15/16]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T18:54:52Z

Elena Suta: /* Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:

dQ/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
En este apartado se ha aproximado la cantidad de mineral que se extrae a través de dos métodos mss precisos que el de Euler del apartado anterior, Runge Kutta y Heun. Se aprecia ligeramente la diferencia en cuanto a precisión se refiere entre la gráfica del presente apartado, y la obtenida por el método de Euler.
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
Al buscar la cantidad de mineral cuando t (tiempo) tiende a infinito, se ha creado un programa matlab con la opción de introducir un tiempo grande que se acerque al infinito, de tal forma que la funcion de Q (cantidad de mineral) dependerá de dicho tiempo. La gráfica que se obtiene, presentará, en un tiempo elevado, un valor prácticamente constante hacia el final de la mencionada gráfica, dejando ver que la cantidad de mineral crece durante unos años que coinciden con el principio de la explotación para luego mantenerse constante.
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==

{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraída
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|600px|thumb|centre|Heun]]

Repitiendo los apartados anteriores por aproximación de Heun, obtenemos los siguientes resultados:
· La producción máxima resulta ser 239.9993 ton. y se alcanza en 1578 años.
· Quedarán sin extraer 288.8542 ton.

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

Para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores nobtenidos en los apartados anteriores.

{{matlab|codigo=
clear all
%Aproximacion de Heun en el modelo nuevo
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=2695;
h=1/12;
k=9075;
r=0.0708;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+K1*h)*(log(k)-log(q(i)+K1*h));
q(i+1)=q(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
q
P=zeros(size(q));
for m=1:length(q)
P(m)=r*q(m)*log(k/q(m));
end
P
%Aproximacion de Heun en el modelo antiguo
T0=0;
z0=2695;
K=10875;
b=240;
R=b*exp(1)/K;
T=T0;
z(1)=z0;
w=1;

while 1
K1=R*z(w)*(log(K)-log(z(w)));
K2=R*(z(w)+K1*h)*(log(K)-log(z(w)+K1*h));
z(w+1)=z(w)+h/2*(K1+K2);
T(w+1)=T(w)+h;
if w>1&&abs(R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))-25)<0.1&&R*z(w-1)*(log(K)-log(z(w-1)))>R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))

break
end
w=w+1;
end
z
P2=zeros(size(z));
for s=1:length(z)
P2(s)=R*z(s)*log(K/z(s));
end
P2
subplot(3,1,1)
plot(t,q,'g')
legend('Modelo Gompertz Modificado','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Material extraido (tm)')
subplot(3,1,2)
plot(t,P)
legend('Modelo Gompertz Modificado: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Produccion (tm/años)')
subplot(3,1,3)
plot(z,P2,'r')
legend('Modelo Gompertz Inicial: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('Material Extraido (tm)')
ylabel('Produccion (tm/años)')
%Maximo
max(P)}}

[[Archivo:3graficas.jpg|1000px|thumb|centre|Graficos comparados]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T18:51:34Z

Elena Suta: /* Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:

dQ/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
En este apartado se ha aproximado la cantidad de mineral que se extrae a través de dos métodos mss precisos que el de Euler del apartado anterior, Runge Kutta y Heun.
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
Al buscar la cantidad de mineral cuando t (tiempo) tiende a infinito, se ha creado un programa matlab con la opción de introducir un tiempo grande que se acerque al infinito, de tal forma que la funcion de Q (cantidad de mineral) dependerá de dicho tiempo. La gráfica que se obtiene, presentará, en un tiempo elevado, un valor prácticamente constante hacia el final de la mencionada gráfica, dejando ver que la cantidad de mineral crece durante unos años que coinciden con el principio de la explotación para luego mantenerse constante.
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==

{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraída
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|600px|thumb|centre|Heun]]

Repitiendo los apartados anteriores por aproximación de Heun, obtenemos los siguientes resultados:
· La producción máxima resulta ser 239.9993 ton. y se alcanza en 1578 años.
· Quedarán sin extraer 288.8542 ton.

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

Para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores nobtenidos en los apartados anteriores.

{{matlab|codigo=
clear all
%Aproximacion de Heun en el modelo nuevo
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=2695;
h=1/12;
k=9075;
r=0.0708;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+K1*h)*(log(k)-log(q(i)+K1*h));
q(i+1)=q(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
q
P=zeros(size(q));
for m=1:length(q)
P(m)=r*q(m)*log(k/q(m));
end
P
%Aproximacion de Heun en el modelo antiguo
T0=0;
z0=2695;
K=10875;
b=240;
R=b*exp(1)/K;
T=T0;
z(1)=z0;
w=1;

while 1
K1=R*z(w)*(log(K)-log(z(w)));
K2=R*(z(w)+K1*h)*(log(K)-log(z(w)+K1*h));
z(w+1)=z(w)+h/2*(K1+K2);
T(w+1)=T(w)+h;
if w>1&&abs(R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))-25)<0.1&&R*z(w-1)*(log(K)-log(z(w-1)))>R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))

break
end
w=w+1;
end
z
P2=zeros(size(z));
for s=1:length(z)
P2(s)=R*z(s)*log(K/z(s));
end
P2
subplot(3,1,1)
plot(t,q,'g')
legend('Modelo Gompertz Modificado','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Material extraido (tm)')
subplot(3,1,2)
plot(t,P)
legend('Modelo Gompertz Modificado: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Produccion (tm/años)')
subplot(3,1,3)
plot(z,P2,'r')
legend('Modelo Gompertz Inicial: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('Material Extraido (tm)')
ylabel('Produccion (tm/años)')
%Maximo
max(P)}}

[[Archivo:3graficas.jpg|1000px|thumb|centre|Graficos comparados]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T18:34:30Z

Elena Suta: /* Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==

{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
Al buscar la cantidad de mineral cuando t (tiempo) tiende a infinito, se ha creado un programa matlab con la opción de introducir un tiempo grande que se acerque al infinito, de tal forma que la funcion de Q (cantidad de mineral) dependerá de dicho tiempo. La gráfica que se obtiene, presentará, en un tiempo elevado, un valor prácticamente constante hacia el final de la mencionada gráfica, dejando ver que la cantidad de mineral crece durante unos años que coinciden con el principio de la explotación para luego mantenerse constante.
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==

{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraída
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|600px|thumb|centre|Heun]]

Repitiendo los apartados anteriores por aproximación de Heun, obtenemos los siguientes resultados:
· La producción máxima resulta ser 239.9993 ton. y se alcanza en 1578 años.
· Quedarán sin extraer 288.8542 ton.

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

Para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores nobtenidos en los apartados anteriores.

{{matlab|codigo=
clear all
%Aproximacion de Heun en el modelo nuevo
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=2695;
h=1/12;
k=9075;
r=0.0708;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+K1*h)*(log(k)-log(q(i)+K1*h));
q(i+1)=q(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
q
P=zeros(size(q));
for m=1:length(q)
P(m)=r*q(m)*log(k/q(m));
end
P
%Aproximacion de Heun en el modelo antiguo
T0=0;
z0=2695;
K=10875;
b=240;
R=b*exp(1)/K;
T=T0;
z(1)=z0;
w=1;

while 1
K1=R*z(w)*(log(K)-log(z(w)));
K2=R*(z(w)+K1*h)*(log(K)-log(z(w)+K1*h));
z(w+1)=z(w)+h/2*(K1+K2);
T(w+1)=T(w)+h;
if w>1&&abs(R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))-25)<0.1&&R*z(w-1)*(log(K)-log(z(w-1)))>R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))

break
end
w=w+1;
end
z
P2=zeros(size(z));
for s=1:length(z)
P2(s)=R*z(s)*log(K/z(s));
end
P2
subplot(3,1,1)
plot(t,q,'g')
legend('Modelo Gompertz Modificado','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Material extraido (tm)')
subplot(3,1,2)
plot(t,P)
legend('Modelo Gompertz Modificado: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Produccion (tm/años)')
subplot(3,1,3)
plot(z,P2,'r')
legend('Modelo Gompertz Inicial: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('Material Extraido (tm)')
ylabel('Produccion (tm/años)')
%Maximo
max(P)}}

[[Archivo:3graficas.jpg|1000px|thumb|centre|Graficos comparados]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]