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Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-11T10:03:59Z

Edulopez: /* Puntos de mayor y menor curvatura */

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

Para calcular los diferentes campos de velocidad derivaremos la parametrización calculada anteriormente respecto a cada variable $q, \psi$ y $z$.

Cálculo de $\gamma_q' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial q},
\frac{\partial x_2}{\partial q},
\frac{\partial x_3}{\partial q}
\right) = \left( 2 \cos \psi, 3 \sin \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_\psi' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial \psi},
\frac{\partial x_2}{\partial \psi},
\frac{\partial x_3}{\partial \psi}
\right) = \left( -2q \sin \psi, 3q \cos \psi, 0 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}
</math>

Cálculo de $\gamma_z' \Longrightarrow$
<math>
\left(
\frac{\partial x_1}{\partial z},
\frac{\partial x_2}{\partial z},
\frac{\partial x_3}{\partial z}
\right) = \left( 0, 0, 1 \right)
\quad \Rightarrow \quad
\boxed{\gamma'_z = \vec{k}}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad $\gamma'_q, \gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$.

Para calcular $|\gamma'_q| \Longrightarrow$
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_q = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_\psi| \Longrightarrow$
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi} \Rightarrow \boxed{h_\psi = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para calcular $|\gamma'_z| \Longrightarrow$
<math>
\boxed{h_z = 1}
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como $ \vec{t} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} $, aunque cambiaremos la notación.

Para $\vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q} = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi} = \frac{(-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
</math>

Para $\vec{e}_z\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z} = \vec{k}
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

Para que la base $\{\vec{e}_q, \vec{e}_\psi, \vec{e}_z\}$ sea ortonormal, tienen que ser ortogonales entre sí. Comprobaremos si son ortogonales.

Cálculo de $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}=0 \Rightarrow\ \psi = n \frac{\pi}{2}, \; n \in \mathbb{Z}

</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

Cálculo de $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_\psi$ y $\vec{e}_z \cdot \vec{e}_q\ \Longrightarrow$
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:Grupo7121.jpg|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Vectores para generar líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

% Línea γ_q: ψ = ψ0, q variable
x1_q = a * q * cos(psi0);
x2_q = b * q * sin(psi0);

% Línea γ_ψ: q = q0, ψ variable
x1_psi = a * q0 * cos(psi);
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (parcial respecto a q con ψ fijo)
tangente_q = [a*cos(psi0); b*sin(psi0)];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q);

% Tangente a γ_ψ (parcial respecto a ψ con q fijo)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi);

% Rango para centrar el punto en la gráfica
x_range = 1.5;
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside');
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]);
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]);
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada (con t∈R3) y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[0,3] (que sucede cuando t=π/2), en donde la curvatura es máxima.

[[Archivo:Elipse 7.jpg|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[0,3];
%Calculamos el vector normal
n=[0,-1];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

Las superficies regladas son aquellas que pueden formarse arrastrando una línea recta a través del espacio, manteniéndola siempre sobre la superficie. Ejemplos clásicos son los planos, los cilindros o los conos, que pueden visualizarse como el desplazamiento de una recta generatriz.

En ingeniería, las superficies regladas se utilizan por su simplicidad geométrica y facilidad de fabricación. Por ejemplo, en el diseño de cascos de barcos, alas de aviones, o cubiertas de puentes, las superficies regladas permiten modelar formas con propiedades aerodinámicas u óptimas en cuanto a la resistencia de materiales, reduciendo la complejidad de la construcción y el análisis estructural.

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinita]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane.jpg|350px|thumb|right|Iglesia de San Carlo alle Quattro Fontane]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-04T22:50:41Z

Edulopez:

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
=== Curvatura ===
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

=== Puntos de mayor y menor curvatura ===
Analizando la función <math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>
podemos identificar que la curvatura de la función depende de $cos^2(t)$, el cual varía entre 0 y 1:

Cuando $cos^2(t) = 1$, $k(t)$ es máxima. Esto ocurre en $ t = 0,π,2π$

Cuando $cos^2(t) = 0$, $k(t)$ es mínima. Esto ocurre en $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

Como resultado tenemos:

Los puntos de mayor curvatura de $k(t)$ son $ t = 0,π,2π$

Los puntos de menor curvatura de $k(t)$ son $ t = \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==
La osculatriz (también conocida como circulo osculador) de una curva en un punto dado de esta, es una circunferencia, cuyo centro pertenece a la recta normal a la curva en dicho punto y tiene la misma curvatura y es tangente a la curva en ese punto.

* El centro y radio de la circunferencia osculatriz se les conoce como: centro de curvatura y radio de curvatura respectivamente.
* El plano que contiene a la circunferencia es el plano osculador.

En el caso de nuestra curva, esta tiene múltiples puntos donde su curvatura es máxima, por lo que utilizaremos uno cualquiera como el punto P[2,0], en donde la curvatura

[[Archivo:Figura.7.png|500px|thumb|right|miniaturadeimagen|Circunferencua Osculatriz]]
{{matlab|codigo=
%Definimos la parametrización
t=linspace(0,2*pi,70);
x=2*cos(t);
y=3*sin(t);
%Definimos el punto de curvatura máxima
P=[2,0];
%Calculamos el vector normal
n=[-1,0];
%Curvatura y el radio de curvatura
curv=0.75;
R=1/curv;
disp(R)
%Centro de curvatura
Q=P+R*n;
disp(Q)
%Parametrización de la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,70);
xx=R*cos(tt)+Q(1);
yy=R*sin(tt)+Q(2);
%Graficas
figure
hold on
plot(x,y,'b','linewidth',2);%Curva
plot(xx,yy,'r','linewidth',3);%Circunferencia osculatriz
plot(P(1),P(2),'og','linewidth',5);%Punto
axis equal
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold off
title('Circunferencia osculatriz')
}}

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==
La elipse es una curva plana y cerrada que representa el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

En la ingeniería, y más concretamente en la ingeniería civil, se utiliza por sus propiedades geométricas y estructurales únicas. Por ejemplo, debido a su buena resistencia y su capacidad para distribuir cargas, muchos puentes, arcos y bóvedas tienen forma de elipse. Esto se debe a que su curvatura minimiza las tensiones concentradas y mejora la estabilidad estructural.
[[Archivo:Puente santa trinita.jpg|miniaturadeimagen|Puente Santa Trinila]]

* Esta forma también resulta útil en los túneles, los cuales están sometidos a presiones heterogéneas por la forma desigual del terreno.
* La forma elipsoidal permite optimizar el flujo de fluidos ya que reduce la resistencia y mejora la eficiencia, por eso es común su uso en tuberías, puertos y presas.
* Además, la elipse es una forma que optimiza el espacio, maximizando el área utilizable en lugares con espacio limitado, como en túneles ferroviarios.
* Las propiedades geométricas de la elipse facilitan en gran cantidad el análisis estructural y la predicción del comportamiento bajo carga.
* Sin embargo, su uso más conocido está relacionado con la estética. La elipse es una forma agradable y poco agresiva para la vista. Combinada con otras formas, puede crear conjuntos visualmente atractivos, siendo habitual su utilización en fachadas de iglesias o como elemento decorativo en puentes.

En conclusión, la elipse se ha convertido en una forma esencial en la ingeniería civil, gracias a su combinación de funcionalidad, capacidad para optimizar estructuras y por su estética agradable para la vista.
[[Archivo:Tunel de chamartin.jpg|400px|thumb|left||Túnel de Chamartín]]
[[Archivo:Mezquita-Cordoba-1.jpg|400px|thumb|right|Mezquita de Cordoba]]
[[Archivo:Presa eliptica.jpg|miniaturadeimagen|400px|thumb|center|Presa de gravedad con forma elíptica]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-12-01T12:13:17Z

Edulopez:

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|450px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 = aq \cos \psi \\
x_2 = bq \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|400px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

Los puntos máximos de la curvatura son el conjunto de puntos de valor $k(t)= 0,75$ y $t = n + 1,7$ aproximadamente.

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|450px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}

== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

== La elipse y su uso en la ingeniería ==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-28T11:40:16Z

Edulopez:

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|500px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|500px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==
Teniendo la parametrización de la curva:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>
cuyas componentes son $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

Para poder calcular su curvatura necesitamos utilizar su fórmula:
<math>
\kappa(t) = \frac{\|\gamma'(t) \times \gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}
</math>

Calculando las derivadas y sustituyendo en la fórmula su curvatura nos queda:

<math>
\kappa(t) = \frac{6}{\left(4 + 5 \cos^2(t)\right)^{3/2}}
</math>

[[Archivo:Curvaturafin.jpg|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}
== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Curvaturafin.jpg

2024-11-28T11:19:58Z

Edulopez:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-28T11:18:14Z

Edulopez:

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|500px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|500px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==

[[Archivo:Curvatura88.png|500px|thumb|right|Figura 4: Curvatura k(t).]]

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}
== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Curvatura88.jpg

2024-11-28T11:16:52Z

Edulopez:

Archivo:Curvatura777.jpg

2024-11-28T11:13:09Z

Edulopez:

Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

2024-11-28T11:11:52Z

Edulopez:

{{ TrabajoED | Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Rubén Maleno Ayala Javier Aparicio Ramos Sergio Alves Flores Eduardo López Rodríguez}}

== Parametrizaciones de las líneas coordenadas $\gamma_q$, $\gamma_\psi$ y $\gamma_z$ ==

[[Archivo:Figura1 grupo7.png|500px|thumb|right|''Figura 1: Líneas coordendas.'']]

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
donde $a = 2$ y $b = 3$, las líneas coordenadas son:

* '''Línea coordenada''' $\gamma_q$: Manteniendo $\psi$ y $z$ constantes, y variando $q$:
<math>
\gamma_q(t): \begin{cases}
x_1 = 2t \cos \psi \\
x_2 = 3t \sin \psi \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_\psi$: Manteniendo $q$ y $z$ constantes, y variando $\psi$:
<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos t \\
x_2 = 3q \sin t \\
x_3 = z
\end{cases}
</math>

* '''Línea coordenada''' $\gamma_z$: Manteniendo $q$ y $\psi$ constantes, y variando $z$:
<math>
\gamma_z(t): \begin{cases}
x_1 = 2q \cos \psi \\
x_2 = 3q \sin \psi \\
x_3 = t
\end{cases}
</math>

En el plano $x_3=0$, las líneas coordenadas asociadas a $q$ son segmentos de recta que pasan por el centro de la elipse. Las líneas coordenadas asociadas a $\psi$ son elipses parametrizadas por $(q,\psi)$.

Las líneas coordenadas $\gamma_q$ y $\gamma_\psi$ quedan representadas en el siguiente gráfico elaborado con MATLAB:

{{matlab|codigo=
% Definir parámetros
q = linspace(0, 5, 100); % rango de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % rango de psi
z = 0; % plano z = 0

% Dibujar líneas gamma_q
hold on;
for psi_val = linspace(0, 2*pi, 15) % 15 líneas coordenadas gamma_q
x = 2*q .* cos(psi_val);
y = 3*q .* sin(psi_val);
plot(x, y, 'r', 'LineWidth', 1.5); % rojo para gamma_q
end

% Dibujar líneas gamma_psi
for q_val = linspace(1, 5, 7) %7 líneas coordenadas gamma_psi
x = 2*q_val * cos(psi);
y = 3*q_val * sin(psi);
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); %azul para gamma_psi
end

% Formatear gráfica
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Líneas coordenadas \gamma_q y \gamma_\psi');
hold off;
}}

== Cálculo teórico de $\gamma'_q$, $\gamma'_\psi$ y $\gamma'_z$ ==

=== Campos velocidad ===

1. ''Derivada respecto a $q$'':
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_q = (2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

2. ''Derivada respecto a $\psi$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2q \sin \psi, \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3q \cos \psi, \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi = (-2q \sin \psi) \vec{i} + (3q \cos \psi) \vec{j}.
\end{aligned}
</math>

3. ''Derivada respecto a $z$:''
<math>
\begin{aligned}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0, \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1,
\end{array}
\right.
\quad \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}.
\end{aligned}
</math>

=== Factores de escala $h_q$, $h_\psi$, $h_z$ ===

Los factores de escala se calculan como las normas de los campos velocidad:

1. Para $\gamma'_q$:
<math>
h_q = |\gamma'_q| = \sqrt{(2 \cos \psi)^2 + (3 \sin \psi)^2} = \sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}.
</math>

2. Para $\gamma'_\psi$:
<math>
h_\psi = |\gamma'_\psi| = \sqrt{(-2q \sin \psi)^2 + (3q \cos \psi)^2} = q \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}.
</math>

3. Para $\gamma'_z$:
<math>
h_z = |\gamma'_z| = 1.
</math>

=== Vectores tangentes normalizados ===

Los vectores tangentes normalizados se calculan como:
<math>
\vec{e}_q = \frac{\gamma'_q}{h_q}, \quad \vec{e}_\psi = \frac{\gamma'_\psi}{h_\psi}, \quad \vec{e}_z = \frac{\gamma'_z}{h_z}.
</math>

1. Para $\vec{e}_q$:
<math>
\gamma'_q \Rightarrow \vec{e}_q = \frac{(2 \cos \psi) \vec{i} + (3 \sin \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi}}.
</math>

2. Para $\vec{e}_\psi$:
<math>
\gamma'_\psi \Rightarrow \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \sin \psi) \vec{i} + (3 \cos \psi) \vec{j}}{\sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}.
</math>

3. Para $\vec{e}_z$:
<math>
\gamma'_z \Rightarrow \vec{e}_z = \vec{k}.
</math>

=== Comprobación de ortonormalidad ===

1. ''Producto escalar'' $\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(-2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{\frac{13}{2} \sin(2\psi)}{\sqrt{9 - 5 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{5 \sin^2 \psi + 4}}.
</math>

El producto escalar no se anula, por lo que los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ '''no son ortogonales'''.

2. ''Producto escalar con'' $\vec{e}_z$:
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

Por lo tanto, los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$ son perpendiculares a $\vec{e}_z$, '''pero no son ortogonales entre sí'''.

=== Código y gráfica ===

En esta sección se muestra una gráfica ampliada en un punto arbitrario que representa:

1. Línea $\gamma_q$ (en rojo): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $q$ varía y $\psi$ permanece constante en $\psi_0 = \pi/4$. La línea representa cómo las coordenadas varían con $q$ en un espacio fijo de ángulo.

2. Línea $\gamma_\psi$ (en azul): Esta línea corresponde al caso en el que el parámetro $\psi$ varía y $q$ permanece constante en $q_0 = 1$. La línea muestra cómo las coordenadas cambian al recorrer ángulos en la elipse.

3. Punto arbitrario (en negro): El punto $(q_0, \psi_0)$ se destaca en la gráfica como el punto donde se calculan los vectores tangente.

4. Vectores tangente:
*$\vec{e}_q$ (en verde): Es el vector tangente a la línea $\gamma_q$ en el punto específico, paralelo al eje $q$.
*$\vec{e}_\psi$ (en magenta): Es el vector tangente a la línea $\gamma_\psi$ en el punto específico, paralelo al eje $\psi$.

[[Archivo:TrabajoCCE.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Ampliación en un punto específico para estudio de los vectores $\vec{e}_q$ y $\vec{e}_\psi$.'']]

{{matlab|codigo=
% Constantes y punto para graficar
a = 2; b = 3;
q0 = 1; psi0 = pi/4; % Punto específico

% Líneas coordenadas
q = linspace(0, 2, 100); % Valores de q
psi = linspace(0, 2*pi, 100); % Valores de ψ

x1_q = a * q; % Línea γ_q (q variable, ψ fijo)
x2_q = b * q * sin(psi0); % x2 es constante para ψ fijo

x1_psi = a * q0 * cos(psi); % Línea γ_ψ (ψ variable, q fijo)
x2_psi = b * q0 * sin(psi);

% Coordenadas del punto específico en cartesianas
x1_p = a * q0 * cos(psi0);
x2_p = b * q0 * sin(psi0);

% Tangente a γ_q (paralela a eje q)
tangente_q = [a; 0];
e_q = tangente_q / norm(tangente_q); % Normalización

% Tangente a γ_ψ (paralela a eje ψ)
tangente_psi = [-a*q0*sin(psi0); b*q0*cos(psi0)];
e_psi = tangente_psi / norm(tangente_psi); % Normalización

% Rango para centrar el punto
x_range = 1.5; % Valor para tamaño deseado del rango
y_range = 1.5;

figure;
hold on;

% Dibujar líneas coordenadas
plot(x1_q, x2_q, 'r-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_q en rojo
plot(x1_psi, x2_psi, 'b-', 'LineWidth', 2); % Línea γ_ψ en azul

% Dibujar el punto de arbitrario
plot(x1_p, x2_p, 'ko', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'k'); % Punto de referencia

% Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_p, x2_p, e_q(1), e_q(2), 0.5, 'g', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_q en verde
quiver(x1_p, x2_p, e_psi(1), e_psi(2), 0.5, 'm', 'LineWidth', 2, 'MaxHeadSize', 2); % e_ψ en magenta

% Configuración de la gráfica
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Líneas coordenadas y vectores tangentes');
legend({'Línea \gamma_q (q variable)', 'Línea \gamma_\psi (\psi variable)', ...
'Punto (q_0, \psi_0)', 'Vector e_q', 'Vector e_\psi'}, 'Location', 'bestoutside'); % Leyenda
grid on;
axis equal;
xlim([x1_p - x_range, x1_p + x_range]); % Centrar x_1 en el punto
ylim([x2_p - y_range, x2_p + y_range]); % Centrar x_2 en el punto
hold off;
}}

== Punto P en coordenadas elípticas ==
Conociendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q, \psi, z)$ y las coordenadas cartesianas $(x_1, x_2, x_3)$:
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
y dado el punto en cartesianas P=$(x_1, x_2, x_3)$=$(2, 0, 0)$

Para poder expresar el punto P en en coordenadas elípticas debemos invertir las expresiones para hallar $q$ y $ψ$:
<math>
\begin{cases}
q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} \\
ψ= arctan(\frac{3x_2}{2x_1})
\end{cases}
</math>

Sustituyendo el punto P en las expresiones anteriores nos queda:

\begin{cases}
q= 1 \\
ψ= 0 \\
z= 0
\end{cases}

Por lo que en coordenadas elípticas P= $(q,ψ,z)$=$(1, 0, 0)$

== Parametrización de la curva en coordenadas cartesianas ==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas $(q,ψ,z)$ y las coordenadas cartesianas $(x1,x2,x3)$:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

donde $a = 2$ y $b = 3$,
y siendo la curva $(γ_ψ(t))$ ya parametrizada y con sus componentes $q = 1$ $z = 0$ y $ψ = t$ $(t ∈ [0,2π])$:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:figura7_grupo7.png|thumb|right|500px|Curva parametrizada.]]

{{matlab|codigo=
%Definir los parámetros
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2*pi,70);
x=a*cos(t);
y=b*sin(t);

% Graficar la curva
figure
plot(x,y,'b','LineWidth',3)
axis equal
title('Curva Parametrizada')
xlabel('X')
ylabel('Y')
grid on
}}

== Curvatura y puntos máximos y mínimos ==

{{matlab|codigo=
% Definir el intervalo de t
t = linspace(0, 2*pi, 70);

% Definir la función de curvatura
k = @(t) 6 ./ (4 + 5 * cos(t).^2).^(3/2);

% Evaluar la curvatura en los puntos del intervalo
valoresk = k(t);

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t, valoresk, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Curvatura k(t)', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('$t$', 'Interpreter', 'latex');
ylabel('$\kappa(t)$', 'Interpreter', 'latex');
set(gca, 'FontSize', 12);
}}
== Vectores tangente y normal a la curva ==

En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los vectores tangente y normal en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones $x_1 = a \cos(t)$ y $x_2 = b \sin(t)$, donde $a = 2$ y $b = 3$.

El cálculo se realiza derivando las ecuaciones de la curva con respecto al parámetro $t$ para obtener los vectores tangente y normal. Posteriormente, se normalizan para representar sus componentes unitarias con mayor claridad.

En la gráfica, se muestra la curva $\gamma(t)$ junto con los vectores tangente (en rojo) y normal (en verde) en varios puntos seleccionados sobre la curva. La Figura 5 ilustra el resultado.

[[Archivo:Grafica_A6_Grupo7.png|700px|thumb|right|''Figura 5: Vectores tangente y normal'']]

{{matlab|codigo=
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Puntos seleccionados en la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 10);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);

% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1_dt = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2_dt = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tangente = sqrt(dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2); % Módulo del vector tangente

% Componentes unitarias del vector tangente
tangente_unitaria_x = dx1_dt ./ modulo_tangente;
tangente_unitaria_y = dx2_dt ./ modulo_tangente;

% Componentes unitarias del vector normal
normal_unitaria_x = -tangente_unitaria_y;
normal_unitaria_y = tangente_unitaria_x;

% Curva completa
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);

% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la curva
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tangente_unitaria_x, tangente_unitaria_y, 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'g', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma', 'Tangente', 'Normal');
}}

== Circunferencia osculatriz ==

== Superficies de nivel de campos escalares ==

Dados los siguientes campos escalares: $f_1(q,\psi,z)=q$, $f_2(q,\psi,z)=\psi$ y $f_3(q,\psi,z)=z$. Se define superficie de nivel, como el conjunto de puntos $S_c=\{(q,\psi,z):f(q,\psi,z)=c\}$. De manera que, para los campos escalares dados:

* $f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}$
* $f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}$
* $f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}$

Que en cartesianas son:

* $f_1: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_1(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_1^2}{2^2}+\frac{x_2^2}{3^2}=c^2\}$
* $f_2: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_2(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):\frac{x_2}{x_1}=\tan(c)\}$
* $f_3: S_c=\{(x_1,x_2,x_3): f_3(x_1,x_2,x_3)=c\}=\{(x_1,x_2,x_3):x_3=c\}$

Gráficamente, las superficies de nivel del campo escalar $f_1$ representan elipses centradas en el origen, las de $f_2$ representan planos inclinados que pasan por el eje $x_3$, y las de $f_3$ representan planos horizontales a "cota" $c$.

En los siguientes gráficos, elaborados con MATLAB, están representadas las superficies de nivel de los campos escalares $f_1, f_2$ y $f_3$:

[[Archivo:figura8_grupo7nuevo.png|thumb|center|1000px|Superficies de nivel.]]

{{matlab|codigo=
% Rango de variables
q = linspace(0, 2, 50);
psi = linspace(0, 2*pi, 50);
z= linspace(-1, 1, 50);

% Creación de mallas
[q_malla, psi_malla] = meshgrid(q, psi);

% Superficie de nivel para f1
x1_f1 = 2 * q_malla .* cos(psi_malla);
x2_f1 = 3 * q_malla .* sin(psi_malla);
x3_f1 = 0;

figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 * ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_1');
axis equal;

% Superficie de nivel para f2
psi_const= pi / 4; % fijamos psi

x1_f2 = 2 * q_malla .* cos(psi_const);
x2_f2 = 3 * q_malla .* sin(psi_const);
x3_f2 = z;

subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2' .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel de f_2');
axis equal;

% Superficie de nivel para f3
x1_f3 = linspace(-5, 5, 50);
x2_f3 = linspace(-5, 5, 50);

% Crear malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);

z_const = 1; % Fijamos z
z_malla = z_const * ones(size(x1_malla));

subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
title('Superficie de nivel de f_3');
axis equal;
grid on;
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Curvatura.jpg

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Estudio de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 7)

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