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Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-19T07:19:27Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler implícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

[[Archivo:Tubo1.png|thumb|200px|left|Situación inicial de las concentraciones]]

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid
}}
[[Archivo:Grafica1b|miniaturadeimagen]]

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=U0';
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)
}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-19T07:18:32Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler implícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

[[Archivo:Tubo1.png|thumb|200px|left|Situación inicial de las concentraciones]]

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid
}}
[[Archivo:Grafica1b|miniaturadeimagen]]

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=U0';
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-19T07:11:12Z

Eduardopereiras: /* Planteamiento del problema bien propuesto */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

[[Archivo:Tubo1.png|thumb|200px|left|Situación inicial de las concentraciones]]

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid
}}
[[Archivo:Grafica1b|miniaturadeimagen]]

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-19T07:10:08Z

Eduardopereiras: /* Planteamiento del problema bien propuesto */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

[[Archivo:Tubo1.png|thumb|200px|Representación de las concentraciones del tubo en el estado inicial]]

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid
}}
[[Archivo:Grafica1b|miniaturadeimagen]]

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:Tubo1.png

2014-05-19T07:07:43Z

Eduardopereiras:

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T21:52:28Z

Eduardopereiras: /* Resolución por método del trapecio */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid
}}
[[Archivo:Grafica1b|miniaturadeimagen]]

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T21:52:05Z

Eduardopereiras: /* Resolución por método del trapecio */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid
[[Archivo:Grafica1b|miniaturadeimagen]]
}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T21:51:14Z

Eduardopereiras: /* Resolución por método del trapecio */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Archivo:Grafica1b|miniaturadeimagen]]

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Archivo:Grafica1b.bmp

2014-05-18T21:49:37Z

Eduardopereiras:

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T19:00:17Z

Eduardopereiras: /* Resolución numérica */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T18:59:25Z

Eduardopereiras: /* Método de Euler Modificado */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T18:58:35Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler explícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T17:49:38Z

Eduardopereiras: /* Resolución numérica */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N)+dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T17:44:29Z

Eduardopereiras: /* Método de Euler Modificado = */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T17:44:10Z

Eduardopereiras: /* Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Método de Euler Modificado ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
k1=-K*U;
k2=-K*(U+dt*k1);
U=U+(dt/2)*(k1+k2;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T17:41:57Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler implícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T17:40:29Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler explícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T17:39:42Z

Eduardopereiras: /* Resolución por método del trapecio */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N+1,N)=-2;
K(1,2)=-2;
K=K/dx^2;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt*K)/2)\((eye(N+1)-(K*dt)/2)*U);
sol(j+1,:)=U';
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:30:59Z

Eduardopereiras: /* Resolución numérica */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=10;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[U0',10*sin(0)];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U', 10*sin(t(j+1))];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
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}}

[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:27:56Z

Eduardopereiras: /* Modificación de las condiciones de fronteras */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>.

==== Resolución numérica ====
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:27:03Z

Eduardopereiras: /* Modificación de las condiciones de fronteras */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===

Supondremos una ligera modificación en el problema respecto a las condiciones de contorno, en las que en el extremo izquierdo consideraremos el flujo de salida de la sustancia de forma constante e igual a tres (<math> u_x(0,t)=3</math>).

En el extremo derecho, consideraremos el caso en que se conecta un aparato que extraiga y a la vez introduzca sustancia de forma armónica, en un intervalo que tiene como máximo de entrada <math>u(5,t)=10</math> y como máximo de salida <math>u(5,t)=-10</math>, por lo que seguirá una función de la forma <math>u(5,t)=10sin(t)</math>
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:18:24Z

Eduardopereiras: /* Caso particular 2: Limpiador en un extremo */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}

===Modificación de las condiciones de fronteras ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:16:17Z

Eduardopereiras: /* Resolución numérica */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

==== Resolución numérica ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:12:44Z

Eduardopereiras: /* Conclusión comparativa de los resultados */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:05:04Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de las diferencias finitas */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4</math>.

==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:04:47Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de las diferencias finitas */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1</math> y <math>\Delta t= \Delta x/4 </math>.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:04:20Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de las diferencias finitas */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones. Los datos de la discretización que utilizaremos serán: <math> \Delta x=0.1 </math> y <math> \Delta t= \Delta x/4 </math>.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:00:35Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler modificado */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T14:00:17Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler explícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=U+dt*K*U;
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:59:42Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler explícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
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}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:58:36Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler implícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)-dt*K)\(U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:55:17Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler implícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

==== Resolución por Euler implícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
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figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:54:59Z

Eduardopereiras: /* Resolución por Euler explícito */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:54:22Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

==== Resolución numérica ====

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:43:18Z

Eduardopereiras: /* Resolución numérica */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
xint=dx:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N))-diag(ones(1,N-1),1)-diag(ones(1,N-1),-1);
K(N,N-1)=-2; ;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(xint>3))';
sol(1,:)=[0,U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('t');
grid

}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:40:01Z

Eduardopereiras: /* Comprobación de la conservación de la masa */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla y debe ser nula. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)]^L_0=0</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:38:15Z

Eduardopereiras: /* Comprobación de la conservación de la masa */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx</math>

Esta integral, si se

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:36:00Z

Eduardopereiras: /* Comprobación de la conservación de la masa */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

La propia ley de conservación de materia, en la que se expone la no creación espontánea (en el caso en que las condiciones de fronteras exigen al tubo cerrado), se puede comprobar analíticamente como la suma de todas las variaciones de sustancia en la varilla. Expresado analíticamente:

<math>\frac{d}{dt}\displaystyle\int_{0}^{L}u(x,t)\,dx=\displaystyle\int_{0}^{L}u_{xx}(x,t)\,dx</math>

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:26:04Z

Eduardopereiras: /* Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:25:41Z

Eduardopereiras: /* Planteamiento del problema bien propuesto */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, x\leq 3\\
3,x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:25:10Z

Eduardopereiras: /* Modelización de la ecuación diferencial */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-18T13:24:24Z

Eduardopereiras: /* Modelización de la ecuación diferencial */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T10:00:24Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lambda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T09:59:54Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \lamda_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

Por lo que la solución del problema del tubo, para las condiciones de contorno <math>u(0,t)=0, u_x(L,t)=0</math>, será:

<math> u(x,t)=cos(\frac{\pi x}{L})e^{-\frac{\pi^2k^2}{L^2} t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T09:56:37Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \mu_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(x)e^{-\lambda t}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T09:56:19Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \mu_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces la solución de <math>(P)</math> será: <math> u(x,t)=\phi(X)e^{-\lambdat}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
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[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T09:54:28Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

{{ TrabajoED |Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17) | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | Eduardo Pereiras Navas

Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>:

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi (0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

Cuyas autofunciones y autovalores, respectivamente <math>\phi_k(x)=cos(\frac{\pi x}{L})</math> y <math> \nu_k=\frac{\pi^2k^2}{L^2}</math>

Entonces

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
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[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T09:39:57Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

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Álvaro Ramírez Fernández de la Puente

Jesús Infestas Robles

Miguel Fandiño Álvarez

Rachel L’Hostis}}

El estudio de la difusión de una sustancia en un medio determinado, se considera un problema bastante común dentro de diversas áreas de la ingeniería civil, como puede ser el tratamiento de aguas.

Conocer cómo se distribuye la concentración en un medio cualquiera implica la introducción de muchas variables que pueden afectar a esta. Para obtener soluciones más sencillas, consideraremos el caso particular de un tubo hueco largo (por ejemplo, una tubería), considerando un tramo de este, en el cual se aislarán las superficies laterales.

= Planteamiento y modelización del problema=

Para una modelización más sencilla, tendremos en cuenta varias consideraciones para simplificar el cálculo.

Suponemos que solamente se trata de una sustancia en suspensión, definimos su concentración con la variable <math> u (\frac{mol}{m^2})</math>, por unidad de superficie, constante en cada sección determinada del tubo. De esta forma, <math>u</math> será una variable que exclusivamente dependerá de la sección tomada en el tubo , definida por <math>x \in(0,L)</math>, con <math>L </math> como la longitud del tubo; y el tiempo <math>t \geq 0</math>, en que se encuentre. En este caso, consideraremos la longitud del tubo <math> L=5 </math>.

Además, consideraremos la simplificación de que se trata de un tubo aislado por sus laterales, pero abierto por las bases del cilindro.

== Base física ==

Para poder conocer la concentración en cada instante y punto de la tubería, haremos uso de dos principios físicos: la '''ley de conservación de la masa''', y la '''Ley de Fick'''.

=== Ley de conservación de masa ===

La ley de conservación de masas exige que no haya una generación espontánea de materia. Es decir, si en la región del espacio estudiada, no existe entrada o salida por un punto cualquiera (frontera o interior), la masa en esta región se mantiene constante.
Esta suposición, en términos de variación de masa, puede quedar determinada como:

''Variación de la de masa en el tiempo = flujo de masa a través de la frontera por unidad de tiempo + flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo. ''

=== Ley de Fick ===

Se trata de una ley cuantitativa en forma diferencial que describe la difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente existe equilibrio químico o físico. Esta ley se trata de una generalización de los fenómenos descritos por la '''Ley de Fourier''', ya que esta es una consideración concreta del calor.

La ley de Fick anuncia que en el caso de existir diferencias de concentración en cualquier especie, el paso de estas especies se llevará a cabo desde las regiones con mayor concentración a las de menor. Formulado matemáticamente:

<math>F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}</math>

Donde <math>F</math> es el flujo de la sustancia y <math>D</math> el coeficiente de difusión, que representa la facilidad en que un soluto particular se mueve por un disolvente determinado.

== Modelización de la ecuación diferencial ==

En base a las dos leyes anteriores, se puede definir a partir de la variable <math> u(x,t)</math> en unidades de sustancia por área, es decir, concentración por superficie del tubo.

Consideramos <math> A </math> como variable superficie, y tomamos un pequeño trozo, definido por <math>\Delta x</math>. Entonces, para obtener la variación de la masa en el tiempo:

<math> A u(x,t) \Delta x </math>

Y derivando en el tiempo:

<math> A u_t(x,t) \Delta x </math>

obtenemos el primer término de la igualdad anteriormente enunciada.

En el segundo, consideramos nulo el flujo de masa en los puntos interiores por unidad de tiempo, pues suponemos la tubería perfecta y sin sumideros.

Como la superﬁcie lateral del tubo está aislada, solamente habrá flujo de sustancia en la dirección del eje <math>x</math>. Si <math>F(x,t)> 0</math> pensamos que el ﬂujo va hacia la derecha, si <math>F(x,t)< 0</math>, este va a hacia la izquierda. El ﬂujo de
calor en un intervalo <math>[x, x + ∆x ] </math> viene dado dado por:

<math>F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

Igualando los resultados anteriores:

<math>A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A</math>

y seguidamente pasamos dividiendo <math>A \Delta x</math>:

<math>u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}</math>

Si hacemos <math>\Delta x \rightarrow 0 </math>:

<math>u_t(x,t)= -F_x(x,t)</math>

Aplicando la ley de Fick:

<math>u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) </math>

Y de esta forma podemos obtener la ecuación en derivadas parciales que nos define la concentración de sustancia:

<math>u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 </math>

== Planteamiento del problema bien propuesto ==

Esta ecuación en derivadas parciales exige al menos de tres condiciones para su resolución. Dos de ellas serán de contorno y la restante, condición inicial.

Como ejemplo, suponemos que existe una situación inicial, definida por <math>u_0(x,0)</math>, tal que:

<math> u_0(x,0)=\begin{cases}
0, si x\leq 3\\
3, si x>3
\end{cases}
</math>

En la situación de contorno que utilizaremos, supondremos que existe una tapa en los extremos del tubo, por lo que el flujo de sustancia a través de ello es nulo (y en consecuencia, la variación de este, su derivada, es cero).

Por lo que al final podemos escribir el problema mediante:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

= Resolución numérica =

==Caso particular 1: fronteras aisladas y concentraciones iniciales conocidas==
En el primer caso particular que estudiaremos, trataremos de obtener una resolución numérica del problema anteriormente planteado:

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===
La resolución por el método de las diferencias finitas se basa en expresar el problema continuo a un sistema discreto de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Particularizando para nuestro caso con las condiciones dadas, el problema planteado sería:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
\frac{u_1(t)-u_-1(t)}{2h} \rightarrow u_1(t)=u_-1(t) \\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N+1</math> ecuaciones.
==== Resolución por método del trapecio ====
{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}

==== Resolución por Euler explícito ====

{{matlab|codigo=
clear all
%%Problema de difusión de barrera
%Datos
L=5;
T=6;
%Discretización temporal y espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
dt=dx^2/2;
x=0:dx:L;
t=0:dt:T;
%Matriz de coeficientes
K=2*diag(ones(1,N+1))-diag(ones(1,N),1)-diag(ones(1,N),-1);
K(N,N-1)=-2;
K(1,2)=-2;
K=(1/dx^2)*K;
%Condición inicial
U0=(3.*(x>3))';
sol(1,:)=[U0'];
U=U0;
%Bucle iterativo aplicando método de diferencias finitas con método del trapecio
for j=length(t)-1
U=(eye(N+1)+(dt/2)*K)\(U-(dt/2)*K*U);
sol(j+1,:)=[U'];
end
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
figure(1)
mesh(xx,tt,sol);
xlabel('x');
ylabel('y');
grid

}}
==== Resolución por Euler implícito ====
==== Resolución por Euler modificado ====
==== Conclusión comparativa de los resultados====

=== Resolución por el método de Fourier ===

<math>(P)=\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u_x(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}</math>

El método de Fourier se basa en buscar soluciones del tipo:

<math> u(x,t)= \phi (x) T(t)</math>

Si consideramos <math> \phi(x) </math> solución del problema de autovalores <math>(PA)</math> asociado a <math>(P)</math>

<math>(PA)=\begin{cases}
\phi''(x)- \lambda \phi(x)= 0 \\
\phi '(0)=0, \phi '(L)=0
\end{cases}</math>

=== Comprobación de la conservación de la masa===

== Caso particular 2: Limpiador en un extremo ==

Consideramos ahora en el problema que, con las mismas condiciones que antes, se modifica la condición de contorno en el extremo <math> x=0 </math> donde se coloca un limpiador. Esto matemáticamente se traduce como que en ese punto la concentración es en todo instante nula. Podemos reescribir el problema como

<math>\begin{cases}
u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 \\
u_0(x,0), x\in (0,L) \\
u(0,t)=0, u_x(L,t)=0, t\geq 0
\end{cases}
</math>

=== Resolución por el método de las diferencias finitas ===

Esta vez, podemos reescribir el problema de la forma:

<math>\begin{cases}
u'_n(t)+\frac{-u_{n-1}(t)+2u_n(t)+u_{n+1}(t)}{h^2} \\
u_0(t)=0\\
\frac{u_{N+1}(t)-u_{N-1}(t)}{2h} \rightarrow u_{N+1}(t)=u_{N-1}\\
u_n(0)=u^0(x)
\end{cases}
</math>

Por lo que tenemos un sistema de la forma:

<math>\begin{cases}
U'(t)+KU(t)=F(t)=0\\
U(0)=U^0
\end{cases}
</math>

Con <math>N</math> ecuaciones.

=== Resolución numérica ===
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED13/14]]
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T09:36:20Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */

Difusión de una sustancia contaminante en un tubo (grupo B17)

2014-05-16T09:36:07Z

Eduardopereiras: /* Resolución por el método de Fourier */