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Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T19:05:46Z

Dx psd: /* Modelos autoregresivos y de media móvil */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Procesos Aleatorios y Series Temporales==
===Determinación de Trayectorias===

===Proceso Estacionario en Sentido Amplio===

===Matriz de correlación y covarianza===

===PSD de una señal aleatoria===

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso AR-2===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]]

[[Archivo:AR2c.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]] [[Archivo:AR2cc.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T19:05:37Z

Dx psd: /* Modelos autoregresivos y de media móvil */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Procesos Aleatorios y Series Temporales==
===Determinación de Trayectorias===

===Proceso Estacionario en Sentido Amplio===

===Matriz de correlación y covarianza===

===PSD de una señal aleatoria===

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso AR-2o===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]]

[[Archivo:AR2c.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]] [[Archivo:AR2cc.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:57:12Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]]

[[Archivo:AR2c.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]] [[Archivo:AR2cc.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:56:51Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
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if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
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if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
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% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]]

[[Archivo:AR2c.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]] [[Archivo:AR2cc.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:AR2cc.jpg

2015-01-25T16:56:41Z

Dx psd:

Archivo:AR2c.jpg

2015-01-25T16:56:30Z

Dx psd:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:54:38Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|650px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:54:08Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|700px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|700px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:53:37Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|800px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]] [[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|800px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:52:51Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|thumb|izquierda|600px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]]

[[Archivo:AR2bb.jpg|thumb|derecha|600px|Imagen ampliada|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:51:05Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

Repetimos el proceso anterior pero variando los valores de ρ y θ pero manteniendo el mismo N

[[Archivo:AR2b.jpg|marco|izquierda|400px|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.5, θ=π/4 y N=1000]]

[[Archivo:AR2bb.jpg|marco|izquierda|400px|Proceso AR-2 con valores de ρ=0.1, θ=0 y N=1000]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:AR2bb.jpg

2015-01-25T16:48:45Z

Dx psd:

Archivo:AR2b.jpg

2015-01-25T16:48:29Z

Dx psd:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:44:16Z

Dx psd: /* Proceso Autoregresivo */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Archivo:ARtodo.jpg|marco|centro|Procesos autoregresivos para 100, 200, 500 y 1000 valores]]

[[Archivo:ARtodob.jpg|marco|centro|Representación de las PSD del proceso x(t) y sus aproximadas]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:ARtodob.jpg

2015-01-25T16:44:09Z

Dx psd:

Archivo:ARtodo.jpg

2015-01-25T16:42:37Z

Dx psd:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:40:42Z

Dx psd: /* Proceso MA-4 */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:40:12Z

Dx psd: /* Modelos autoregresivos y de media móvil */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

[[Archivo:Ntodob.jpg|marco|centro|1000px|Representación de las PSD de los procesos MA-4]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:Ntodob.jpg

2015-01-25T16:39:06Z

Dx psd:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:37:27Z

Dx psd: /* Modelos autoregresivos y de media móvil */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=w(k)+f1*w(k-1)+f2*w(k-2)+f3*w(k-3)+f4*w(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===
Un proceso aleatorio AR-q se define por:
[[Archivo:Robgh2.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y a1,...,aq son los coeficientes.

Construiremos un proceso x(t) con parámetros ρ=0.95, θ=π/4 y N=100, 200, 500 y 1000. También dibujaremos el periodograma y la aproximación de la PSD de estos procesos.

{{matlab|codigo=
% Construir un proceso AR-2
clear all
ro=0.95;
th=pi/4;
phi1=-2*ro*cos(th);
phi2=ro^2;
N=100;
a=randn(1,N);

H=[1 phi1 phi2];
x=filter(1,H,a);
% Dibujo del filtro
figure(1)
plot(x,'x-')
title('N=100')

% Periodograma
figure(2),
title('N=100')
hold on
PSD1=fftshift(abs(fft(x)));
x1=PSD1.^2/N;
tau1=-1/2:1/length(x):1/2-1/length(x);
plot(tau1,log(x1),'xr-')

% Aproximación de la PSD
PSD=fftshift(abs(fft(H,N))).^2;
PSD=1./PSD;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau2,log(PSD))
legend('Periodograma','Aproximación PSD',0)

}}

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:Robgh2.jpeg

2015-01-25T16:29:56Z

Dx psd:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:28:21Z

Dx psd: /* Aplicar una ventana de Hamming al filtro */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=a(k)+f1*a(k-1)+f2*a(k-2)+f3*a(k-3)+f4*a(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Proceso Autoregresivo===

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:27:20Z

Dx psd: /* Proceso MA-4 */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=a(k)+f1*a(k-1)+f2*a(k-2)+f3*a(k-3)+f4*a(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:25:43Z

Dx psd: /* Proceso MA-4 */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===
Un proceso aleatorio MA-q se define por:
[[Archivo:Robgh1.jpeg|centro]]
donde w es un ruido blanco de varianza δ2 y b1,...,bq son los coeficientes.

En nuestro caso vamos a representar un proceso MA-4 con 4 coeficientes con un valor comprendido entre -2 y 2, con lo que este proceso quedaria definido como:

::::::x(k)=a(k)+f1*a(k-1)+f2*a(k-2)+f3*a(k-3)+f4*a(k-4)

Vamos a realizar este experimento con un diferentes numero de valores (200,300,500 y 1000)

{{matlab|codigo=

% Proceso MA-4
clear all
% Parametros aleatorios entre -2 y 2
a1=randn(1);
if a1<0
a1=-1;
else
a1=1;
end
f1=a1*(2*rand(1))

a2=randn(1);
if a2<0
a2=-1;
else
a2=1;
end
f2=a2*(2*rand(1))

a3=randn(1);
if a3<0
a3=-1;
else
a3=1;
end
f3=a3*(2*rand(1))

a4=randn(1);
if a4<0
a4=-1;
else
a4=1;
end
f4=a4*(2*rand(1))

% Ruido blanco
N=300;
a=rand(1,N);
% Proceso MA4
x(1)=randn(1);
x(2)=randn(1);
x(3)=randn(1);
x(4)=randn(1);

for n=5:N
x(n)=a(n)+f1*a(n-1)+f2*a(n-2)+f3*a(n-3)+f4*a(n-4);
end

% Dibujamos el proceso
figure (1)
plot(a)
hold on
plot(x,'x-r')
title('N=300')

% Reproducir el proceso usando filtros
h=[1 f1 f2 f3 f4];
y=filter(h,1,a);
plot(y,'go')
legend('Ruido Blanco','Proceso MA-4','Filtro','Location','South')

% Calculo de la PSD
PSD2=fftshift(abs(fft(y)));
figure (2)
z2=PSD2.^2/N;
tau3=-1/2:1/N:1/2-1/N;
plot(tau3,log(z2),'rx-')

% Segundo metodo
H1=abs(fftshift(fft(h,N))).^2;
tau2=-1/2:1/N:1/2-1/N;
hold on
plot(tau2,log(H1),'b')
title('N=300')

}}

[[Archivo:Ntodo.jpg|marco|centro|1000px|Proceso de Media Móvil de 4 coeficientes con diferentes valores]]

Si nos fijamos en el principio de las gráficas, se puede apreciar como el filtro tarda 4 puntos en empezar a actuar. A partir de ahí coincide exactamente con el proceso MA-4

[[Archivo:N=20.jpg|marco|centro]]

[[Archivo:Rrg1.jpeg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:N=20.jpg

2015-01-25T16:25:04Z

Dx psd:

Archivo:Ntodo.jpg

2015-01-25T16:17:33Z

Dx psd:

Archivo:Robgh1.jpeg

2015-01-25T16:01:48Z

Dx psd:

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T16:01:33Z

Dx psd: /* Proceso MA-4 */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===

[[Archivo:Robgh1.jpeg|miniaturadeimagen]]

[[Archivo:Rrg1.jpeg|miniaturadeimagen]]

[[Archivo:Rrg1.jpeg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T15:57:00Z

Dx psd: /* Modelos autoregresivos y de media móvil */

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

===Proceso MA-4===

:<math> x(k) = w(k) + b_1 w(k-1) + ... + b_q w(n-q) </math>

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Señales aleatorias y filtrado de imágenes

2015-01-25T15:50:25Z

Dx psd:

{{ Trabajo | Señales aleatorias y filtrado de imágenes. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Procesamiento de imágenes (Oversampling)==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Archivo:ainara500.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

Igual que para el filtro de Low-Pass vemos que en la imagen de la izquierda nos aparecen 15 puntos y en la imagen de la derecha vemos la representación en tres dimensiones. Al aplicarle la ventana de Hamming lo que conseguimos es amortiguar las altas frecuencias y amoldarse mejor a las bajas frecuencias.

[[Archivo:ainara503.jpg|800px|thumb|centro|Ventana Hamming]]

===Realizar un filtro Low-Pass en dos dimensiones tomando variables separadas para (x) e (y)===

La aplicación de un filtro de frecuencia baja tiene el efecto de eliminar frecuencias altas y medias dando como resultado una
imagen que tiene un menor contraste, una apariencia más suave. Es por esto que este proceso es también denominado “suavización de imágenes” (image smoothing) y al filtro de frecuencia baja se le llama filtro de suavizado o de homogeneización
(smoothing filter).

{{matlab|codigo=%N es el número de elementos del filtro
%M es la proporción de frecuencias que queremos eliminar
Nx=7;
Mx=4;
Ny=7;
My=4;
% Filtros para x e y
h1=filtrolp(Nx,Mx);
h2=filtrolp(Ny,My);
% Filtros para x e y (hamming)
h1m=filtrolph(Nx,Mx);
h2m=filtrolph(Ny,My);
% filtro dos dimensiones low pass
subplot(1,2,1)
h=h1'*h2;
surf(h)
title('low pass')
% filtro dos dimensiones Hamming
subplot(1,2,2)
hm=h1m'*h2m;
surf(hm)
title('Hamming')
% dtft con low pass
DTFTh=fftshift(abs(fft2(h,2^6,2^6)));
n1=2^6; n2=2^6; p1=1/n1; p2=1/n2;
tau1=[-1/2:p1:1/2-p1];
tau2=[-1/2:p2:1/2-p2];
[tt1,tt2]=meshgrid(tau1,tau2)
figure(2)
subplot(1,2,1)
surf(tt1,tt2,DTFTh)
title('DTFT low pass')
%dtft con hamming
DTFThm=fftshift(abs(fft2(hm,2^6,2^6)));
subplot(1,2,2)
surf(tt1,tt2,DTFThm)
title('DTFT Hamming')}}

[[Archivo:Ainara504.jpg|thumb|centro|800px|DTFT Low-Pass]]

[[Archivo:Ainara505.jpg|thumb|centro|800px|DTFT ventana Hamming]]

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen===

El primer paso será añadir M-1 ceros entre cada dos valores de la muestra inicial y luego aplicarle el filtro de Low-Pass.

{{matlab|codigo=function z = interM(imagen,N,M)

[a,b]=size(imagen);
%matriz de ceros
imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolp(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara511.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con filtro Low-Pass]]

Vemos que en los pixeles donde añadió un cero esta más oscuro, pero queda mucho más suavizado que antes de aplicarle el filtro.

===Aplicar un factor de ampliación a una imagen, aplicando un filtro con la ventana de Hamming===

{{matlab|codigo=function z=interMh(imagen,N,M)
[a,b]=size(imagen);

imagen2=zeros(a*M,b*M);
imagen2(1:M:a*M,1:M:b*M)=imagen(1:a,1:b);

% Filtros para x e y
h1=filtrolph(N,M);
h=h1'*h1;

imagenfil=filter2(h,imagen2);
imagesc(imagenfil);
colormap('gray');
axis('image');
title('filtrada ')

figure(2)
imagesc(imagen2);
colormap('gray');
axis('image');
title('con ceros ')}}

En la imagen vemos como cada dos pixeles de la imagen original a intercalado un valor nulo, ya que hemos utilizado M=2.

[[Archivo:Ainara512.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros ]]

Después de aplicar el filtro de Low Pass con la ventana de Hamming el resultado es el siguiente:

[[Archivo:Ainara513.jpg|thumb|centro|800px|Imagen con ceros con ventana de Hamming ]]

Para comparar los resultados obtenidos mediante la ventana Hamming y sin ella:

Vemos que mediante la ventana Hamming los resultados son peores, se parecen más a la imagen original.

[[Archivo:Ainara514.jpg|thumb|centro|800px|Comparación ]]

===Multiplicar el tamaño de la imagen lena por cuatro y aplicar un filtro con 2N + 1 valores siendo N=10===

{{matlab|codigo=%leer la imagen
lena=imread('lena.jpg','jpeg');
%multiplicar por 4 la imagen
N=10;
M=4;
figure (1)
h=1/M;
lena4=lena(1:h:512,1:h:512);
imagesc(lena4);
colormap('gray');
axis('image');
title('imagen x 4')
%aplicar un filtro low pass
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
h=[fliplr(h) 1/M h];
h=h/(sum(h))*M;
hb2=h'*h
lenafil=filter2(hb2,lena4);
%anadir ventana Hamming
theta=pi*[1:N];
h=sin(2*theta/(2*M))./theta;
hh=h.*(0.54+0.46*cos(pi*theta/N));
%simetrizamos
hh=[fliplr(hh) 1/M hh];
hh=hh/(sum(hh))*M; % evitamos que el filtro amplifique la senal
z=hh;
hb3=hh'*hh;
lenafil2=filter2(hb3,lena4);
%dibujar
figure(2)
subplot(1,2,1)
imagesc(lenafil);
colormap('gray');
axis('image');
title('low pass')
subplot(1,2,2)
imagesc(lenafil2);
colormap('gray');
axis('image');
title('hamming')}}

En la imagen de la izquierda vemos la imagen ampliada, es decir, que paso de tener (512 x 512) pixeles a tener (2048 x 2048) pixeles. En la imagen de la derecha vemos primero la imagen aplicándole el filtro de Low-Pass y en la segunda imagen aplicándole la ventana de Haming.

[[Archivo:Ainara506.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

En la siguiente imagen hemos ampliado una zona para poder apreciar mejor cuales son los resultados del filtro, y vemos que aplicándole el filtro Low-Pass la imagen se ve mejor y al añadirle la ventana de Hamming que lo que hace es suavizar la imagen.

[[Archivo:Ainara507.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Realizar lo mismo que en el ejercicio anterior pero con N=1===

Vemos que al ser menor el número de elementos del filtro, es decir, el valor de N, la imagen filtrada se parce más a imagen original.

[[Archivo:Ainara508.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

===Ahora ampliamos la imagen por ocho y el número de elementos del filtro lo igualamos a diez===

Al aumentar más el tamaño de la imagen, se vera más pixelada pero vemos que manteniendo el número de elementos del filtro el resultado es similar al que obtuvimos al aumentar la imagen por 4.

[[Archivo:Ainara509.jpg|thumb|centro|800px|Imagen ampliada]]

==Modelos autoregresivos y de media móvil==

El proceso de Oversampling consiste en aumentar el número de pixeles de la imagen original.

===Generar un filtro Low pass que contenga 2N + 1 elementos===

[[Archivo:Ainara501.jpg|thumb|centro|800px|Filtro Low-Pass]]
En la imagen de la izquierda vemos 15 puntos ya que el valor de N introducido a sido de 7 (2N + 1 = 15) y en la imagen de la derecha podemos ver el filtro en tres dimensiones.

[[Archivo:ainara502.jpg|800px|thumb|centro|Filtro Low-Pass]]

===Aplicar una ventana de Hamming al filtro===

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T11:31:21Z

Dx psd: /* Apartado 2 */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

[[Archivo:Ainara42.JPG|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|550px|centro]]

En donde estas son funciones de densidad, definidas de esta manera:

[[Archivo:Robertopsd4.jpg|250px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|430px|centro]]

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

A continuación se han realizado 4 experimentos cada uno con un valor diferente de valores tomados (10,100,1.000 y 10.000) que han sido representados en un gráfico para realizar una comparativa entre ellos. Se puede observar como a medida que se aumenta el número de puntos las medias de cada una de las variables se va estabilizando en torno a un cierto valor, que aproximadamente coincide con el valor anteriormente calculado con las tablas de la distribución normal.

[[Archivo:Robertopsd13.jpg|centro]]

===Apartado 3===

Vamos a elegir el umbral más óptimo de z que nos minimice el error esperado. Para ello tomamos 100 valores equidistribuidos a lo lago del intervalo [-1,2], y a cada uno le asociamos la esperanza obtenido según el anterior apartado. Posteriormente representamos estas esperanzas en una gráfica.

[[Archivo:Robertopsd12.jpg|thumb|derecha|1000px|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]
{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

x=vk
x1=[x x]
y=[-1,2]
plot(x1,y,'r')

gtext(num2str(vk))
gtext(num2str(m))
}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.
En este caso de ejemplo deberíamos coger el punto '''-0.42424''', que le corresponde una esperanza de '''0.59'''.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T11:27:38Z

Dx psd: /* Apartado 1 */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

[[Archivo:Ainara42.JPG|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|550px|centro]]

En donde estas son funciones de densidad, definidas de esta manera:

[[Archivo:Robertopsd4.jpg|250px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|430px|centro]]

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

Vamos a elegir el umbral más óptimo de z que nos minimice el error esperado. Para ello tomamos 100 valores equidistribuidos a lo lago del intervalo [-1,2], y a cada uno le asociamos la esperanza obtenido según el anterior apartado. Posteriormente representamos estas esperanzas en una gráfica.

[[Archivo:Robertopsd12.jpg|thumb|derecha|1000px|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]
{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

x=vk
x1=[x x]
y=[-1,2]
plot(x1,y,'r')

gtext(num2str(vk))
gtext(num2str(m))
}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.
En este caso de ejemplo deberíamos coger el punto '''-0.42424''', que le corresponde una esperanza de '''0.59'''.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:Robertopsd13.jpg

2014-11-18T11:27:23Z

Dx psd:

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T11:12:18Z

Dx psd: /* Apartado 3 */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|550px|centro]]

En donde estas son funciones de densidad, definidas de esta manera:

[[Archivo:Robertopsd4.jpg|250px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|430px|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

Vamos a elegir el umbral más óptimo de z que nos minimice el error esperado. Para ello tomamos 100 valores equidistribuidos a lo lago del intervalo [-1,2], y a cada uno le asociamos la esperanza obtenido según el anterior apartado. Posteriormente representamos estas esperanzas en una gráfica.

[[Archivo:Robertopsd12.jpg|thumb|derecha|1000px|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]
{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

x=vk
x1=[x x]
y=[-1,2]
plot(x1,y,'r')

gtext(num2str(vk))
gtext(num2str(m))
}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.
En este caso de ejemplo deberíamos coger el punto '''-0.42424''', que le corresponde una esperanza de '''0.59'''.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T11:08:20Z

Dx psd: /* Apartado 3 */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|550px|centro]]

En donde estas son funciones de densidad, definidas de esta manera:

[[Archivo:Robertopsd4.jpg|250px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|430px|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

Vamos a elegir el umbral más óptimo de z que nos minimice el error esperado. Para ello tomamos 100 valores equidistribuidos a lo lago del intervalo [-1,2], y a cada uno le asociamos la esperanza obtenido según el anterior apartado. Posteriormente representamos estas esperanzas en una gráfica.

{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

x=vk
x1=[x x]
y=[-1,2]
plot(x1,y,'r')

gtext(num2str(vk))
gtext(num2str(m))
}}

[[Archivo:Robertopsd12.jpg|thumb|derecha|300px|marco|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T11:06:31Z

Dx psd: /* Apartado 3 */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|550px|centro]]

En donde estas son funciones de densidad, definidas de esta manera:

[[Archivo:Robertopsd4.jpg|250px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|430px|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

Vamos a elegir el umbral más óptimo de z que nos minimice el error esperado. Para ello tomamos 100 valores equidistribuidos a lo lago del intervalo [-1,2], y a cada uno le asociamos la esperanza obtenido según el anterior apartado. Posteriormente representamos estas esperanzas en una gráfica.

[[Archivo:Robertopsd12.jpg|thumb|derecha|marco|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]
{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

x=vk
x1=[x x]
y=[-1,2]
plot(x1,y,'r')

gtext(num2str(vk))
gtext(num2str(m))
}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:Robertopsd12.jpg

2014-11-18T11:04:04Z

Dx psd:

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T10:49:10Z

Dx psd: /* Apartado 3 */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|550px|centro]]

En donde estas son funciones de densidad, definidas de esta manera:

[[Archivo:Robertopsd4.jpg|250px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|430px|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

Vamos a elegir el umbral más óptimo de z que nos minimice el error esperado. Para ello tomamos 100 valores equidistribuidos a lo lago del intervalo [-1,2], y a cada uno le asociamos la esperanza obtenido según el anterior apartado. Posteriormente representamos estas esperanzas en una gráfica.

[[Archivo:Robertopsd8.jpg|marco|derecha|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]
{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T10:45:53Z

Dx psd: /* Apartado 1 */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|550px|centro]]

En donde estas son funciones de densidad, definidas de esta manera:

[[Archivo:Robertopsd4.jpg|250px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|430px|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

[[Archivo:Robertopsd8.jpg|marco|derecha|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]
{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-18T10:44:37Z

Dx psd: /* Ejercicio */

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] | David Alejandro Cabrero Sañudo
Ainara Contreras Echebarria
Roberto Rodríguez Gallego
}}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

{{ Beta }}
==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt) con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

{| class="wikitable"
|-
! Señal
! Transformada de Fourier
|-
| eF02Πit
| δF0(Ί)
|-
| cos(F12Πt)
| ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2
|-
| cos(F22Πt)
| ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/2i
|-
|}

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]
Como se puede observar, la Transformada de Fourier de la función son 5 deltas de Dirac situadas en los valores de las frecuencias. En -40, 8, -8.2, 8.2 y 40

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|1000px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 5Hz]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 20Hz]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 40Hz]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 50Hz]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|thumb|900px|Señal muestreada y DFT a 100Hz]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

El código utilizado es el mismo que en el ejercicio 2, únicamente cambiando para cada caso el intervalo temporal (a=1;a=2,a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestreo Fs de 30Hz

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 1 segundo]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 2 segundos]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 10 segundos]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|1000px|thumb|Señal muestreada y DFT en 100 segundos]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing.

Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más, aumentando la precisión del muestreo

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?===

La única manera de aumentar la precisión y la resolución de un muestreo de la DFT es aumentando el tiempo de muestreo y no la frecuencia de muestreo.

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?
[[Archivo:Ainara40.jpg|izquierda|thumb|Reconstrucción de la señal y detalle de la misma|550px]]
::::::::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300. Es decir, ===

[[Archivo:David3.JPG|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''

'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math> f(t)=e^{(-2t/10)} </math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
[[Archivo:David7.jpg|thumb|derecha|300px|Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
a=1;
t=0:1/P:a-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada. Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra. ¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====
[[Archivo:David8.jpg|thumb|derecha|600px|Señal muestreada y Transformada de Fourier]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
a=1;
t=0:1/Fs:a-1/Fs; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente cambiando para cada caso el valor de Fs
[[Archivo:David9.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 5 Hz]]
[[Archivo:David10.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 20 Hz]]
[[Archivo:David11.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 40 Hz]]
[[Archivo:David12.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 50 Hz]]
[[Archivo:David13.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas a 100 Hz]]

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====
El código utilizado es el mismo que en el apartado anterior, únicamente va variando el intervalo temporal (a=1, a=2, a=10 y a=100) y fijando una frecuencia de muestre Fs a 32Hz
[[Archivo:David14.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 1 segundo]]
[[Archivo:David15.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 12 segundos]]
[[Archivo:David16.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 10 segundos]]
[[Archivo:David17.JPG|thumb|centro|700px|Señal a la izquierda y Transformada de Fourier a la derecha muestreadas durante 100 segundos]]

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 3 y 4?====
Esta función, no es banda-limitada pero se puede considerar banda-limitada de F0=27 aproximadamente ya que a partir de ese valor, la función se hace 0.
Con una frecuencia de muestreo de 60Hz se podría recuperar la señal sin producir ningún tipo de error sin embargo, como se comprueba en las imágenes, aumentando el tiempo de muestreo se consigue capturar la DFT de la señal de una manera más precisa y con mayor resolución que aumentando la frecuencia de muestreo.

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===
[[Archivo:David18.jpg|thumb|izquierda|400px|Señal y puntos muestreados]]

:::::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
%dibujamos la señal
Fs=1000;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
hold on
plot(t,f,'r')
%dibujamos el muestreo a 32 Hz
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
f=exp(i*2*pi*F0*t)
plot(t,f,'*')
legend('Señal','Muestreo')
}}

:::::::::::::::::::::::

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

[[Archivo:Ainara28.jpg|derecha|thumb|1200px|DFT a la izquierda y DTFT a la derecha de la función f]]
{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%señal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}
[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|thumb|900px|Ventana de Gauss]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro]]

[[Archivo:Ainara32.jpg|izquierda|thumb|400px|Muestra original, Ventana de Gauss y Resultado Final]]
:::::::::::::::::::::{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia señal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

:::

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===
[[Archivo:Ainara33.jpg|derecha|thumb|1100px|DTFT y DTFT ventaneada]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}
Se puede observar que al realizar la DTFT de la función ventaneada se han eliminado las perturbaciones a sendos lados de la frecuencia F0=-7, por contra el resultado es menos resolutivo.

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===
[[Archivo:Ainara34.jpg|derecha|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=-7]]
{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}
A continuación se muestra el mismo experimento con la frecuencia F0=6.4.
[[Archivo:David19.JPG|centro|thumb|900px|DFT y DFT ventaneada F0=6.4]]
Como se puede observar, las perturbaciones del seno cardinal han sido reducidas a cambio de una pérdida de resolución.

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

[[Archivo:Robertopsd9.jpg|centro]]

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

[[Archivo:Robertopsd10.jpg|centro]]

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

[[Archivo:Robertopsd11.jpg|centro]]

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|400px|centro]]
En donde:
[[Archivo:Robertopsd4.jpg|400px|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|400px|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

[[Archivo:Robertopsd8.jpg|marco|derecha|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]
{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Archivo:Robertopsd11.jpg

2014-11-18T10:42:53Z

Dx psd:

Archivo:Robertopsd10.jpg

2014-11-18T10:42:19Z

Dx psd:

Archivo:Robertopsd9.jpg

2014-11-18T10:42:02Z

Dx psd:

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-16T15:59:51Z

Dx psd:

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] }}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt)

con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

Señal → FT

eF02Πit → δF0(Ί)

cos(F12Πt) → ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2

sen(F22Πt) → ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/(2i)

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|900px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|imagen]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|imagen]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

{{matlab|codigo=

%ejercicio1_ap2
clear all
%frecuencia
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%frecuencia de muestreo
Fs=30;
%intervalo [0,1][0,2][0,10][0,100]
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujar señal muestreada
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada [0,1]')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%dibujar DFT
figure(2), hold on
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'r')
title('DFT [0,1]')
}}

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|imagen]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing. Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más.

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?===

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?

{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

[[Archivo:Ainara40.jpg|centro|imagen|700px]]

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300.Es decir, ===

[[Archivo:Ainara41.jpg|imagen|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''
'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math>f(t) = e^{(-2t/10)}</math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
t=0:1/P:1-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

METER IMAGEN

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?=====

{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
t=0:1/Fs:1; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

METER IMAGEN

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?====

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===

{{matlab|codigo=
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%dibujar
hold on
plot(t,f,'r') %Señal
plot(t,f,'*') %Muestreo
}}

[[Archivo:Ainara27.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

[[Archivo:Ainara28.jpg|centro|imagen]]

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}

[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|imagen]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

[[Archivo:Ainara32.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===

{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibijo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}

[[Archivo:Ainara33.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===

{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}

[[Archivo:Ainara34.jpg|centro|imagen]]

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

: <math>
P(X=0)=P(X=1)=1/2
</math>

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

: <math>
Y|(X=0)=N0
</math>

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

: <math>
Y|(X=1)=1+N1
</math>

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|centro]]
En donde:
[[Archivo:Robertopsd4.jpg|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Archivo:Robertopsd8.jpg|marco|derecha|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-16T15:58:53Z

Dx psd:

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] }}

Trabajo realizado por:
* David Cabrero Sañudo
* Ainara Contreras Echebarria
* Roberto Rodríguez Gallego

==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt)

con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

Señal → FT

eF02Πit → δF0(Ί)

cos(F12Πt) → ((δF1(Ί)+ δ-F1(Ί))/2

sen(F22Πt) → ((δF2(Ί)+ δ-F2(Ί))/(2i)

[[Archivo:Ainara1.jpg|thumb|derecha|800px|Transformadas de Fourier de los elementos de la señal]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1-1/P;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2-1/P];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}
[[Archivo:David4.jpg|thumb|800px|centro|Transformada de Fourier de la Señal]]

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?===
[[Archivo:David5.JPG|900px|derecha|thumb|Señal muestreada a la izquierda y DFT a la derecha]]
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|imagen]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|imagen]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

{{matlab|codigo=

%ejercicio1_ap2
clear all
%frecuencia
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%frecuencia de muestreo
Fs=30;
%intervalo [0,1][0,2][0,10][0,100]
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujar señal muestreada
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada [0,1]')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%dibujar DFT
figure(2), hold on
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'r')
title('DFT [0,1]')
}}

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|imagen]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing. Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más.

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?===

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?

{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

[[Archivo:Ainara40.jpg|centro|imagen|700px]]

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300.Es decir, ===

[[Archivo:Ainara41.jpg|imagen|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''
'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math>f(t) = e^{(-2t/10)}</math>

====Calcular la transformada de Fourier.====
{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_1
clear all
P=100;
t=0:1/P:1-1/P; %Intervalo de representación
f=exp(-2*t/10); %función
N=2^12; %numero de puntos del muestreo
%calculo la DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)));
tau2=[-1/2:1/N:1/2-1/N]; % intervalo de representacion DTFT
%represento la dtft escalada
figure(1)
plot(tau2*N,dtft/N,'k')
}}

METER IMAGEN

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?=====

{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap8_2
clear all
Fs=12; %Frecuencia de muestreo
t=0:1/Fs:1; %intervalo
f=exp(-2*t/10); %función
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,f,'*-')
axis([-0.05 1.05 0.8 1.05])
%Transformada
dft=abs(fftshift(fft(f)));
p=length(t); %longitud de la señal muestreada
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p]; %intervalo de DFT
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'ro-')
}}

METER IMAGEN

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?====

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===

{{matlab|codigo=
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%dibujar
hold on
plot(t,f,'r') %Señal
plot(t,f,'*') %Muestreo
}}

[[Archivo:Ainara27.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

[[Archivo:Ainara28.jpg|centro|imagen]]

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}

[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|imagen]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

[[Archivo:Ainara32.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===

{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibijo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}

[[Archivo:Ainara33.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===

{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}

[[Archivo:Ainara34.jpg|centro|imagen]]

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

: <math>
P(X=0)=P(X=1)=1/2
</math>

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

: <math>
Y|(X=0)=N0
</math>

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

: <math>
Y|(X=1)=1+N1
</math>

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|centro]]
En donde:
[[Archivo:Robertopsd4.jpg|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Archivo:Robertopsd8.jpg|marco|derecha|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-16T12:26:15Z

Dx psd:

{{ Trabajo | Uso de la DTFT. Grupo 1 | [[:Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía|Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]|[[:Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen|Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]] }}

==Ejercicio==
Consideramos la señal:

f(t)= eF02Πit + 1/2 cos(F12Πt) + cos (F22Πt)

con F0=8; F1=8.2 y F2=40.

Se pide:

===Calcular la transformada de Fourier.===

Descomponemos la señal:

Señal → FT

eF02Πit → δ0(Ί)

cos(F12Πt) → (δa(Ί)+ δ-a(Ί))/2

cos (F22Πt) → (δa(Ί)+ δ-a(Ί))/2

{{matlab|codigo=

%ejercicio1
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
P=100;
%Intervalo
t=0:1/P:1;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Transformada de fourier
dft=abs(fftshift(fft(f)))
dft1=abs(fftshift(fft(g)));
dft2=abs(fftshift(fft(h)));
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
%Para reescalar
tau2=[-1/2:1/P:1/2];
%Dibujamos
figure(1)
subplot (1,3,1)
plot(tau2*P,dft/P,'k')
title('exp(F0*2*pi*t*i)')
subplot (1,3,2)
plot(tau2*P,dft1/P,'b')
title('(1/2)*cos(F1*2*pi*t)')
subplot (1,3,3)
plot(tau2*P,dft2/P,'g')
title('cos(F2*2*pi*t)')
figure (2)
plot(tau2*P,dft3/P,'r')
}}

[[Archivo:Ainara1.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara2.jpg|centro|imagen]]

=== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?====

{{matlab|codigo=

%ejercicio1_ap2
clear all
%Frecuencias
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%Frecuencia de muestreo
Fs=12;
%Intervalo
t=0:1/Fs:1;
%Señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujo del muestreo
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
%Reescalar
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%Dibujo de la dft
figure(2)
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'ro-')
title('DFT')
}}

[[Archivo:Ainara3.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara5.jpg|centro|imagen]]

Los picos de la DFT estan aproximadamente en el -4 y en el 3, cuando deberíamos de tener 5 picos. Esto sucede ya que la frecuencia de muestreo es inferior a 2B (Dos veces el ancho de la banda). La frecuencia más alta es de 40 Hz, por lo que la frecuencia de muestreo mínima para obtener los resultados esperados debería de ser de 80 Hz.

===Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ===

Como hemos comentado en el apartado anterior hasta que la frecuencia de muestreo no sea mayor a 80 Hz, los resultados no serán los correctos, como podemos ver en las siguientes imágenes.

[[Archivo:Ainara16.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara17.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara18.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara19.jpg|centro|imagen]]

Esto se debe al aliasing, es decir, al ser las frecuencias de muestreo muy bajas, se meten dentro de manera descolocada (sin ningún tipo de orden).

[[Archivo:Ainara20.jpg|centro|imagen]]

===Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?===

{{matlab|codigo=

%ejercicio1_ap2
clear all
%frecuencia
F0=8; F1=8.2; F2=40;
%frecuencia de muestreo
Fs=30;
%intervalo [0,1][0,2][0,10][0,100]
a=1;
t=0:1/Fs:a;
%señal
f=exp(F0*2*pi*t*i);
g=(1/2)*cos(F1*2*pi*t);
h=cos(F2*2*pi*t);
i=f+g+h;
%Dibujar señal muestreada
figure (1)
plot(t,i,'*-')
title('senal muestreada [0,1]')
%DFT
dft3=abs(fftshift(fft(i)));
p=length(t);
tau2=[-1/2:1/p:1/2-1/p];
%dibujar DFT
figure(2), hold on
plot(tau2*Fs,dft3/Fs,'r')
title('DFT [0,1]')
}}

[[Archivo:Ainara21.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara22.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara23.jpg|centro|imagen]]

[[Archivo:Ainara24.jpg|centro|imagen]]

La frecuencia de muestreo es de 30 Hz, por lo que únicamente podremos ver aquellas frecuencias inferiores a 15 Hz. Debido a ello, las frecuencias de 40 Hz, no se ven en su correspondiente lugar por el efecto del aliasing. Por otro lado, tenemos que mencionar que debido al intervalo de tiempo, a medida que aumentamos el intervalo las campanas se van estrechando cada vez más.

===¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?===

===El Teorema de Shanon nos dice que con un muestreo a 12 Hz es posible reconstruir una señal banda-limitada mediante la siguiente formula.===

[[Archivo:Ainara25.jpg|centro|imagen]]

Dibujar F(t), tomando sumando desde n=-40 hasta n=40. Comparar en la misma gráfica f(t) y su reconstrucción F(t). ¿Qué relación hay entre ellas?

{{matlab|codigo=
%ejercicio1_ap6
clear all
F0=8; F1=8.2; F2=40; %frecuencia de la señal
Fs=12; %frecuencia de muestreo
a=10; %maximo del intervalo
t=0:1/Fs:a; %intervalo de muestreo
f=exp(F0*2*pi*t*i)+(1/2)*cos(F1*2*pi*t)+cos(F2*2*pi*t); %señal
dft3=abs(fftshift(fft(f))); % dft
%Teorema de Shanon
Fa=0
N=2^8;
t1=0:1/N:a;
for n=1:81;
Fa=Fa+f(n).*((sin(12.*pi.*(t1-n./12)))./(pi.*(t1-n./12)));
end
F=(1/Fs)*Fa;
%dibujo de la reconstrucción
plot(t1-1/Fs,F,'r') %se traslada la reconstrucción para que
%coincida con el muestreo
%Dibujo del muestreo
hold on
plot(t,f,'*-')
}}

[[Archivo:Ainara40.jpg|centro|imagen|700px]]

===Calcular con MATLAB el valor de la frecuencia de muestreo Fs y del número de sumandos N que hacen que la diferencia entre la reconstrucción y la señal original sea menor 1/300.Es decir, ===

[[Archivo:Ainara41.jpg|imagen|centro]]

'''''(Para evaluar la parte izquierda de la parte anterior en MATLAT usar un tiempo t muestreado con frecuencia 1000 para que aproxime bien el tiempo continuo.)'''''
'''Interpretar los valores Fs y N en términos de frecuencia de muestreo y tiempos necesarios para conseguir una buena aproximación de la señal.'''

===Repetir los apartados 1-5 anteriores cambiando la señal por una que no sea banda limitada. Tomar por ejemplo,===

<math>f(t) = e^{-2*t/10}</math>

====Calcular la transformada de Fourier.====

==== Muestrearla a 12 Hz en el intervalo [0,1] y representar la señal muestreada.Representar también la aproximación de la Transformada de Fourier (FT) usando la DFT con el mismo número de puntos que la muestra.¿En qué frecuencias están los picos de la DFT y dónde debería estar?=====

====Repetir el caso anterior con un muestreo a 5 Hz, 20 Hz, 40 Hz, 50 Hz y 100 Hz. En todos los casos mantener la ventana temporal t € [0,1]. ¿Mejora el error que cometemos en las frecuencias? ====

====Ahora vamos a aumentar la ventana temporal fijando la frecuencia de muestreo a 30 Hz. Muestrear la señal en los intervalo temporales [0,1],[0,2],[0,10] y [0,100]. ¿ En qué frecuencia están los picos de la FT y donde deberían estar? ¿Qué error se comete?====

====¿Qué diferencias hay entre el apartado 2 y 3?====

==Ejercicio==

En este ejercicio se trata de entender cómo diferentes ventanas afectan a la DTFT. Tomaremos una señal f(t)= e2ΠiF0t con F0=-7. Se pide :

===Dibujar la señal y su muestreo a 32 Hz en el tiempo T=1 en la misma gráfica.===

{{matlab|codigo=
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%dibujar
hold on
plot(t,f,'r') %Señal
plot(t,f,'*') %Muestreo
}}

[[Archivo:Ainara27.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DFT y la DTFT (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.===

{{matlab|codigo=
%Frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1;
%frecuencia de la senal
F0=-7;
%senal
f=exp(i*2*pi*F0*t)
%numero d puntos de la DTFT
N=2^12
%DTFT
dtft=abs(fftshift(fft(f,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
%DFT
dft=abs(fftshift(fft(f)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
hold on
figure (1)
subplot(1,2,1)
plot(tau,dtft)
title('dtft')
subplot(1,2,2)
plot(tau2,dft)
title('dft')
figure (2)
subplot(1,2,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft reescalada')
subplot(1,2,2)
plot(tau2*Fs,dft/Fs,'*-')
title('dft reescalada')
}}

[[Archivo:Ainara28.jpg|centro|imagen]]

===Consideramos ahora la ventana de Gauss, donde P es el número de valores de nuestra muestra. Dubujar la Ventana de Gauss cuando tomamos P=32 valores del intervalo [0,1] (empezando en t=0 y terminando en t=1-1/32).===

[[Archivo:Ainara29.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
%valores de la muestra
P=32;
n=0:1:P-1;
%intervalo
t=0:1/32:1-1/32;
%ventana de gauss
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2)
%dibujar la ventana de gauss
plot(n,wh)
title('ventana de Gauss')
}}

[[Archivo:Ainara30.jpg|centro|imagen]]

===Multiplicar la muestra obtenida en el apartado 1, que llamaremos xs(n) por la ventanda de Gauss, es decir, calcular: ===

[[Archivo:Ainara31.jpg|centro|imagen]]

{{matlab|codigo=
clear all
%frecuencia de muestreo
Fs=32;
%intervalo
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%frecuencia senal
F0=-7;
%senal
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%multiplicacion
ys=xs.*wh
%dibujar
hold on
plot(t,xs,'r')
plot(t1,wh,'g')
plot(t,ys)
legend('xs','wh','ys')
}}

[[Archivo:Ainara32.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DTFT de la muestra original y la DTFT de la muestra ventaneada (con N=212 puntos) en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT.¿Qué se observa?===

{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
N=2^12
dtftg=abs(fftshift(fft(ys,N)))
tau=-(1/2):1/N:1/2-1/N;
% Transformada de la original
dtft=abs(fftshift(fft(xs,N)))
% Dibijo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('dtft de la original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
title('dtft de ys=xs*wh')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau*Fs,dtftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau*Fs,dtft/Fs)
title('original y producto')
}}

[[Archivo:Ainara33.jpg|centro|imagen]]

===Dibujar la DFT de la muestra original y la DFT de la muestra ventaneada en la misma gráfica, reescaladas por la frecuencia de muestreo para que representen las aproximaciones de la FT. ¿Qué se observa?Repetir el experimento con F0=6.4.===

{{matlab|codigo=
clear all
%Funcion original
Fs=32;
t=0:1/Fs:1-1/Fs;
%Frecuencia de la senal (F0=-7 y 6.4)
F0=-7;
xs=exp(i*2*pi*F0*t);
%Ventana de Gauss
P=32;
n=0:1:P-1;
t1=0:1/32:1-1/32;
wh=exp(-0.5*((n-P/2)/(P/4)).^2);
%Producto gauss por original
ys=xs.*wh
%Transformadas del producto
dftg=abs(fftshift(fft(ys)))
p=length(t);
tau2=-1/2:1/p:1/2-1/p;
% Transformada de la original
dft=abs(fftshift(fft(xs)))
% Dibujo de la transformada original
subplot(1,3,1)
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft senal original')
%dibujo de la transformada del producto
subplot(1,3,2)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
title('dft ventana de gauss')
% Dibujo de las dos juntas
subplot(1,3,3)
plot(tau2*Fs,dftg/Fs,'r')
hold on
plot(tau2*Fs,dft/Fs)
title('dft juntas')
}}

[[Archivo:Ainara34.jpg|centro|imagen]]

==Ejercicio==
Partimos de una variable aleatoria discreta '''X''' que representa el símbolo transmitido en un sistema de comunicaciones, y puede tomar valores de 0 y 1. Por lo tanto la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es la misma.

: <math>
P(X=0)=P(X=1)=1/2
</math>

A parte del símbolo transmitido, ha que tener en cuenta un ruido que puede aparecer en el momento de la transmisión de la señal. El valor de este ruido viene determinado por unas variables aleatorias continuas de distribución normal. La variable N0 representa el ruido a la hora de transmitir el símbolo 0, y sigue una distribución normal de media 0 y desviación típica 5. Y la variable N1 es el ruido al transmitir el valor 1, tiene una media de 0 y desviación de 1.

Una vez transmitida la señal, esta le va a llegar al receptor con un cierto valor, que viene definida por la variable aleatoria continua '''Y''', y el receptor tiene que decidir si el símbolo recibido es 0 ó 1 en función de un cierto umbral (z). Si el valor recibido es mayor que el umbral, el receptor decide que el simbolo es 1. En cambio si es menor, el receptor decide que el simbolo enviado es el 0.

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 0 es:

: <math>
Y|(X=0)=N0
</math>

El valor que toma la variable aleatoria Y cuando X tome el valor 1 es:

: <math>
Y|(X=1)=1+N1
</math>

===Apartado 1===

Tenemos que calcular la función f(z) que indica la probabilidad de que el receptor cometa un error al identificar el símbolo transmitido.
[[Archivo:Robertopsd2.jpg|centro]]
En donde:
[[Archivo:Robertopsd4.jpg|centro]]
Por lo tanto la probabilidad total de error sera:
[[Archivo:Robertopsd3.jpg|centro]]
GRAFICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 2===
Ahora vamos a definir una nueva variable aleatoria Wz que sera discreta, ya que tomara el valor 1 si se comete un error al identificar el símbolo, y el valor 0 si lo lee correctamente.
Ahora, para un determinado valor del umbral (z=1/2), tenemos que calcular la esperanza de esta nueva variable:
[[Archivo:Robertopsd5.jpg|centro]]
[[Archivo:Robertopsd6.jpg|centro]]

Ahora vamos a sacar estas probabilidades de manera exacta mediante la estadística, y después haremos la aproximación con MatLab

[[Archivo:Robertopsd7.jpg|centro]]

Para realizar esta aproximación en MatLab usamos el siguiente código:

{{matlab|codigo=
clear all

v=10 % Hacerlo para 10,100,1.000 y 10.000
z=0.5;

% Valores de N0(0,5)
a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v;
if a(n)>z;
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end
end

A;
s=sum(A);
N=length(A);
mediaA=s./N

% Valores de N1(0,1)
b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

B;
s1=sum(B);
N1=length(B);
mediaB=s1./N1

Ew=mediaA+mediaB

}}

GRAFICOS COMPARATIVOS ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

===Apartado 3===

{{matlab|codigo=

clear all

v=100;
z=0.5;

for j=1:100

a=0+5.*randn(1,v) ;
for n=1:v
if a(n)>z
A(n)=1;
else
A(n)=0;
end

end

mediaA(j)=sum(A)/100

b=0+1.*randn(1,v);
for n=1:v;
if b(n)>z;
B(n)=1;
else
B(n)=0;
end
end

mediaB(j)=sum(B)/100

Ex=mediaA+mediaB
end

% Intervalo [-1,2] con 100 puntos
zi=linspace(-1,2,100);

plot(zi,Ex)
axis([-1 2 0 1])

[m,k]=min(Ex)
hold on
xh=@(x)+m
fplot(xh,[-1,2],'r')
vk=zi(k)
plot(vk,m,'ko')

}}

El umbral que debemos elegir para minimizar el error es el que tenga la menor esperanza, ya que cuanta menos esperanza haya, menor sera la probabilidad de error.

[[Archivo:Robertopsd8.jpg|marco|derecha|Representación de las esperanzas obtenidas en un experimento aleatorio, indicando la menor con un círculo ]]

[[Categoría:Máster en Ingeniería Geodésica y Cartografía]]
[[Categoría:Análisis de Series Temporales y Procesamiento Digital de la Imagen]]

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-16T12:14:00Z

Dx psd: /* Apartado 3 */

Archivo:Robertopsd8.jpg

2014-11-16T12:11:49Z

Dx psd:

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-16T12:07:40Z

Dx psd: /* Apartado 2 */

Transformada de Fourier y muestreo de señales

2014-11-16T12:01:17Z

Dx psd: /* Ejercicio */