https://mat.caminos.upm.es/w/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=DpinyanaMateWiki - Contribuciones del usuario [es]2026-05-02T18:21:32ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.26.2https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=61186La Clotoide (Grupo 39)2023-12-13T10:58:41Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Díaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo vamos a exponer la curva y sus múltiples propiedades matematico-físicas en el ámbito civil. Para eso haremos uso de la herramienta MatLab con la que explicaremos todos los puntos de esta curva y representaremos cada uno con imágenes viéndose así toda la información. En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas usadas y desarrolladas.<br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
<br \><br />
='''''La Clotoide'''''=<br />
<br />
==''' Representación de la curva '''==<br />
La curva Clotoide se define:<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
=='''Vectores velocidad y aceleración'''==<br />
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva. Como estamos ante la derivación de integrales, haremos uso del teorema fundamental del cálculo para extraer la información de los vectores velocidad y posteriormente aceleración:<br />
<br \><br />
<br \><br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center> <br />
<br /><br />
*El vector velocidad se define como: <br />
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) </math><br />
<br /><br />
*El vector aceleración se define como: <br />
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) </math><br />
<br \> <br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Longitud de curva''' ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
== '''Vector tangente y normal''' ==<br />
*El vector tangente de la curva se define como:<br />
<br \><br />
<math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a <math> \frac{d}{dt}(૪(t)) </math> que es justamente <math> ૪'(t) </math> y por tanto los vectores tg a cada punto de <math> ૪(t) </math> son iguales en dirección, sentido y módulo que la velocidad.<br />
<br \><br />
<math> t(t)=\frac{૪'(t)}{|૪'(t)|}= \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br />
*Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de π/2 con los vectores tangentes y se definen como:<br />
<br \><br />
<math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos detenidamente, los vectores normales tienen la misma dirección y sentido que los vectores aceleración, pero en cuanto al módulo varían.<br />
<br />
[[Archivo:Curva EJ4.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Curvatura de κ(t)''' ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> ,siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br \><br />
<br \><br />
El desarrollo de la curvatura de la clotoide está dada por esta expresión:<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> \kappa (t)=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t </math> con t∈(0,4)<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej5.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Circunferencia osculatriz''' ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: <math> R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}.→ R(1)=\frac{1}{t}=R(1)=1. </math><br />
<br \><br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : <math> Q(t) = ૪(t)+\frac{1}{κ(t)}*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) </math><br />
<br \><br />
<math> Q(1)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds \vec i \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds \vec j) + \frac{1}{1}*(-sen(\frac{1}{2}) \vec i+cos(\frac{1}{2}) \vec j)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))\vec i + (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))\vec j </math><br />
<br \><br />
<br \><br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización: <math> c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) </math> t∈(0,2π)<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> c(t)=((\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))+1*cos(t), (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))+ 1*sin(t)) </math> t∈(0,2π)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Información de la clotoide''' ==<br />
Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva. <br />
<br />
Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga). <math> F=m*(v^2/r) </math><br />
<br />
NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación.<br />
<br />
Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, y el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número.<br />
<br />
-Ecuación curva clotoide: <math> d*r= C^2 </math><br />
<br />
Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que:<br />
-su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto.<br />
-su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme).<br />
<br />
En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.<br />
<br />
<br />
=== '''Estructuras civiles donde se use la clotoide''' ===<br />
<center> [[Archivo:Imagen1 Ej8.png|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<center> [[Archivo:Imagen2 Ej8.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<br />
= '''''Superficie reglada: la helicoide''''' =<br />
<br />
=='''Dibujado de la superficie helicoidal'''==<br />
[[Archivo:Curva1 Ej9.jpg |400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_9--> Dibujado de la hélice reglada<br />
%Comenzamos discretizando los valores de u,v<br />
n=100;<br />
d=1; %distancia del vector<br />
v=linspace(0,4*pi,n);<br />
u=linspace(0,d,n);<br />
%generamos el mallado<br />
[U,V]=meshgrid(u,v);<br />
%Definimos las componentes del la superficie<br />
x=cos(V)+U.*cos(V);<br />
y=sin(V)+U.*sin(V);<br />
z=V;<br />
%Dibujamos la superficie<br />
axis equal<br />
surf(x,y,z)<br />
colorbar<br />
shading flat<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
zlabel('z')<br />
title('Superficie reglada: Helicoide')<br />
}}<br />
<br />
=='''Cálculo de la Masa de la Helicoide cilíndrico recto'''==<br />
<br />
Suponemos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función: <math> d(x,y,z)=10−x^2−y^2 </math><br />
<br \> <br />
La masa será igual a: <math> \int_{\sigma }f=\int\int f(\sigma(u,v))\left |\sigma_{u} \times \sigma_{v} \right |dvdu </math><br />
<br \> <br />
<br \> <br />
–La parametrización de la superficie <math> \sigma(u,v)</math><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> x=cos(v)+u*cos(v) </math><br />
<br \><br />
<math> y=sin(v)+u*sin(v) </math><br />
<br \><br />
<math> z=v </math><br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Calculo de la integral por metodo de aproximación numérica<br />
f1= @(u) (9-u.^2+2*u).*(1+u) ;<br />
Masa= 4*pi*(integral(f1,0,1));<br />
fprintf('La Masa de la Hélice es: %.3f \n ',Masa)<br />
}}<br />
Ejecutando este código de MatLab obtenemos la masa de la superficie, que es '''183,26''' unidades de masa.<br />
<br />
='''''Bibliografía'''''=</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=61181La Clotoide (Grupo 39)2023-12-13T10:56:41Z<p>Dpinyana: /* Cálculo de la Masa de la Helicoide cilíndrico recto */</p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Díaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo vamos a exponer la curva y sus múltiples propiedades matematico-físicas en el ámbito civil. Para eso haremos uso de la herramienta MatLab con la que explicaremos todos los puntos de esta curva y representaremos cada uno con imágenes viéndose así toda la información. En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas usadas y desarrolladas.<br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
='''''La Clotoide'''''=<br />
<br />
==''' Representación de la curva '''==<br />
La curva Clotoide se define:<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
=='''Vectores velocidad y aceleración'''==<br />
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva. Como estamos ante la derivación de integrales, haremos uso del teorema fundamental del cálculo para extraer la información de los vectores velocidad y posteriormente aceleración:<br />
<br \><br />
<br \><br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center> <br />
<br /><br />
*El vector velocidad se define como: <br />
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) </math><br />
<br /><br />
*El vector aceleración se define como: <br />
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) </math><br />
<br \> <br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Longitud de curva''' ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
== '''Vector tangente y normal''' ==<br />
*El vector tangente de la curva se define como:<br />
<br \><br />
<math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a <math> \frac{d}{dt}(૪(t)) </math> que es justamente <math> ૪'(t) </math> y por tanto los vectores tg a cada punto de <math> ૪(t) </math> son iguales en dirección, sentido y módulo que la velocidad.<br />
<br \><br />
<math> t(t)=\frac{૪'(t)}{|૪'(t)|}= \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br />
*Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes y se definen como:<br />
<br \><br />
<math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos detenidamente, los vectores normales tienen la misma dirección y sentido que los vectores aceleración, pero en cuanto al módulo varían.<br />
<br />
[[Archivo:Curva EJ4.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Curvatura de κ(t)''' ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> ,siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br \><br />
<br \><br />
El desarrollo de la curvatura de la clotoide está dada por esta expresión:<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> \kappa (t)=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t </math> con t∈(0,4)<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej5.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Circunferencia osculatriz''' ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: <math> R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}.→ R(1)=\frac{1}{t}=R(1)=1. </math><br />
<br \><br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : <math> Q(t) = ૪(t)+\frac{1}{κ(t)}*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) </math><br />
<br \><br />
<math> Q(1)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds \vec i \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds \vec j) + \frac{1}{1}*(-sen(\frac{1}{2}) \vec i+cos(\frac{1}{2}) \vec j)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))\vec i + (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))\vec j </math><br />
<br \><br />
<br \><br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización: <math> c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) </math> t∈(0,2ℼ)<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> c(t)=((\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))+1*cos(t), (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))+ 1*sin(t)) </math> t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Información de la clotoide''' ==<br />
Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva. <br />
<br />
Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga). <math> F=m*(v^2/r) </math><br />
<br />
NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación.<br />
<br />
Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, y el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número.<br />
<br />
-Ecuación curva clotoide: <math> d*r= C^2 </math><br />
<br />
Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que:<br />
-su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto.<br />
-su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme).<br />
<br />
En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.<br />
<br />
<br />
=== '''Estructuras civiles donde se use la clotoide''' ===<br />
<center> [[Archivo:Imagen1 Ej8.png|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<center> [[Archivo:Imagen2 Ej8.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<br />
= '''''Superficie reglada: la helicoide''''' =<br />
<br />
=='''Dibujado de la superficie helicoidal'''==<br />
[[Archivo:Curva1 Ej9.jpg |400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_9--> Dibujado de la hélice reglada<br />
%Comenzamos discretizando los valores de u,v<br />
n=100;<br />
d=1; %distancia del vector<br />
v=linspace(0,4*pi,n);<br />
u=linspace(0,d,n);<br />
%generamos el mallado<br />
[U,V]=meshgrid(u,v);<br />
%Definimos las componentes del la superficie<br />
x=cos(V)+U.*cos(V);<br />
y=sin(V)+U.*sin(V);<br />
z=V;<br />
%Dibujamos la superficie<br />
axis equal<br />
surf(x,y,z)<br />
colorbar<br />
shading flat<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
zlabel('z')<br />
title('Superficie reglada: Helicoide')<br />
}}<br />
<br />
=='''Cálculo de la Masa de la Helicoide cilíndrico recto'''==<br />
<br />
Suponemos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función: <math> d(x,y,z)=10−x^2−y^2 </math><br />
<br \> <br />
La masa será igual a: <math> \int_{\sigma }f=\int\int f(\sigma(u,v))\left |\sigma_{u} \times \sigma_{v} \right |dvdu </math><br />
<br \> <br />
<br \> <br />
–La parametrización de la superficie <math> \sigma(u,v)</math><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> x=cos(v)+u*cos(v) </math><br />
<br \><br />
<math> y=sin(v)+u*sin(v) </math><br />
<br \><br />
<math> z=v </math><br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Calculo de la integral por metodo de aproximación numérica<br />
f1= @(u) (9-u.^2+2*u).*(1+u) ;<br />
Masa= 4*pi*(integral(f1,0,1));<br />
fprintf('La Masa de la Hélice es: %.3f \n ',Masa)<br />
}}<br />
Ejecutando este código de MatLab obtenemos la masa de la superficie, que es '''183,26''' unidades de masa.<br />
<br />
='''''Bibliografía'''''=</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=61167La Clotoide (Grupo 39)2023-12-13T10:53:53Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Díaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo vamos a exponer la curva y sus múltiples propiedades matematico-físicas en el ámbito civil. Para eso haremos uso de la herramienta MatLab con la que explicaremos todos los puntos de esta curva y representaremos cada uno con imágenes viéndose así toda la información. En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas usadas y desarrolladas.<br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
='''''La Clotoide'''''=<br />
<br />
==''' Representación de la curva '''==<br />
La curva Clotoide se define:<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
=='''Vectores velocidad y aceleración'''==<br />
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva. Como estamos ante la derivación de integrales, haremos uso del teorema fundamental del cálculo para extraer la información de los vectores velocidad y posteriormente aceleración:<br />
<br \><br />
<br \><br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center> <br />
<br /><br />
*El vector velocidad se define como: <br />
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) </math><br />
<br /><br />
*El vector aceleración se define como: <br />
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) </math><br />
<br \> <br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Longitud de curva''' ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
== '''Vector tangente y normal''' ==<br />
El vector tangente de la curva se define como:<br />
<br \><br />
<math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a <math> \frac{d}{dt}(૪(t)) </math> que es justamente <math> ૪'(t) </math> y por tanto los vectores tg a cada punto de <math> ૪(t) </math> son iguales en dirección, sentido y módulo que la velocidad.<br />
<br \><br />
<math> t(t)=\frac{૪'(t)}{|૪'(t)|}= \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes y se definen como:<br />
<br \><br />
<math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos detenidamente, los vectores normales tienen la misma dirección y sentido que los vectores aceleración, pero en cuanto al módulo varían.<br />
<br />
[[Archivo:Curva EJ4.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Curvatura de κ(t)''' ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> ,siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br \><br />
<br \><br />
El desarrollo de la curvatura de la clotoide está dada por esta expresión:<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> \kappa (t)=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t </math> con t∈(0,4)<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej5.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Circunferencia osculatriz''' ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: <math> R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}.→ R(1)=\frac{1}{t}=R(1)=1. </math><br />
<br \><br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : <math> Q(t) = ૪(t)+\frac{1}{κ(t)}*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) </math><br />
<br \><br />
<math> Q(1)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds \vec i \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds \vec j) + \frac{1}{1}*(-sen(\frac{1}{2}) \vec i+cos(\frac{1}{2}) \vec j)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))\vec i + (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))\vec j </math><br />
<br \><br />
<br \><br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización: <math> c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) </math> t∈(0,2ℼ)<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> c(t)=((\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))+1*cos(t), (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))+ 1*sin(t)) </math> t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Información de la clotoide''' ==<br />
Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva. <br />
<br />
Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga). <math> F=m*(v^2/r) </math><br />
<br />
NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación.<br />
<br />
Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, y el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número.<br />
<br />
-Ecuación curva clotoide: <math> d*r= C^2 </math><br />
<br />
Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que:<br />
-su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto.<br />
-su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme).<br />
<br />
En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.<br />
<br />
<br />
=== '''Estructuras civiles donde se use la clotoide''' ===<br />
<center> [[Archivo:Imagen1 Ej8.png|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<center> [[Archivo:Imagen2 Ej8.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<br />
= '''''Superficie reglada: la helicoide''''' =<br />
<br />
=='''Dibujado de la superficie helicoidal'''==<br />
[[Archivo:Curva1 Ej9.jpg |400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_9--> Dibujado de la hélice reglada<br />
%Comenzamos discretizando los valores de u,v<br />
n=100;<br />
d=1; %distancia del vector<br />
v=linspace(0,4*pi,n);<br />
u=linspace(0,d,n);<br />
%generamos el mallado<br />
[U,V]=meshgrid(u,v);<br />
%Definimos las componentes del la superficie<br />
x=cos(V)+U.*cos(V);<br />
y=sin(V)+U.*sin(V);<br />
z=V;<br />
%Dibujamos la superficie<br />
axis equal<br />
surf(x,y,z)<br />
colorbar<br />
shading flat<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
zlabel('z')<br />
title('Superficie reglada: Helicoide')<br />
}}<br />
<br />
=='''Cálculo de la Masa de la Helicoide cilíndrico recto'''==<br />
<br />
Suponemos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función: <math> d(x,y,z)=10−x^2−y^2 </math><br />
<br \> <br />
La masa será igual a: <math> \int_{\sigma }f=\int\int f(\sigma(u,v))\left |\sigma_{u} \times \sigma_{v} \right |dvdu </math><br />
<br \> <br />
<br \> <br />
-La parametrización de la superficie <math> \sigma(u,v)</math><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> x=cos(v)+u*cos(v) </math><br />
<br \><br />
<math> y=sin(v)+u*sin(v) </math><br />
<br \><br />
<math> z=v </math><br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Calculo de la integral por metodo de aproximación numérica<br />
f1= @(u) (9-u.^2+2*u).*(1+u) ;<br />
Masa= 4*pi*(integral(f1,0,1));<br />
fprintf('La Masa de la Hélice es: %.3f \n ',Masa)<br />
}}<br />
Ejecutando este código de MatLab obtenemos la masa de la superficie, que es '''183,26''' unidades de masa.<br />
<br />
='''''Bibliografía'''''=</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=61138La Clotoide (Grupo 39)2023-12-13T10:47:12Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Díaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo vamos a exponer la curva y sus múltiples propiedades matematico-físicas en el ámbito civil. Para eso haremos uso de la herramienta MatLab con la que explicaremos todos los puntos de esta curva y representaremos cada uno con imágenes viéndose así toda la información. En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas usadas y desarrolladas.<br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
='''''La Clotoide'''''=<br />
<br />
==''' Representación de la curva '''==<br />
La curva Clotoide se define:<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
=='''Vectores velocidad y aceleración'''==<br />
Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva. Como estamos ante la derivación de integrales, haremos uso del teorema fundamental del cálculo para extraer la información de los vectores velocidad y posteriormente aceleración:<br />
<br \><br />
Para ello usaremos las siguientes fórmulas:<br />
<br /><br />
*Para el vector velocidad: <br />
<math> {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br /><br />
*Para el vector aceleración: <br />
<math> {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j \rightarrow {\gamma }'(t)=-t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \> <br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Longitud de curva''' ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
== '''Vector tangente y normal''' ==<br />
El vector tangente de la curva se define como:<br />
<br \><br />
<math> \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a <math> \frac{d}{dt}(૪(t)) </math> que es justamente <math> ૪'(t) </math> y por tanto los vectores tg a cada punto de <math> ૪(t) </math> son iguales en dirección, sentido y módulo que la velocidad.<br />
<br \><br />
<math> t(t)=\frac{૪'(t)}{|૪'(t)|}= \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes y se definen como:<br />
<br \><br />
<math> \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j </math><br />
<br \><br />
Si observamos detenidamente, los vectores normales tienen la misma dirección y sentido que los vectores aceleración, pero en cuanto al módulo varían.<br />
<br />
[[Archivo:Curva EJ4.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Curvatura de κ(t)''' ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math> ,siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br \><br />
<br \><br />
El desarrollo de la curvatura de la clotoide está dada por esta expresión:<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> \kappa (t)=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t </math> con t∈(0,4)<br />
<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej5.jpg|300px|miniaturadeimagen|derecha]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Circunferencia osculatriz''' ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: <math> R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}.→ R(1)=\frac{1}{t}=R(1)=1. </math><br />
<br \><br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : <math> Q(t) = ૪(t)+\frac{1}{κ(t)}*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) </math><br />
<br \><br />
<math> Q(1)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds \vec i \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds \vec j) + \frac{1}{1}*(-sen(\frac{1}{2}) \vec i+cos(\frac{1}{2}) \vec j)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))\vec i + (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))\vec j </math><br />
<br \><br />
<br \><br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización: <math> c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) </math> t∈(0,2ℼ)<br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> c(t)=((\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))+1*cos(t), (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))+ 1*sin(t)) </math> t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== '''Información de la clotoide''' ==<br />
Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva. <br />
<br />
Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga). <math> F=m*(v^2/r) </math><br />
<br />
NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación.<br />
<br />
Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, y el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número.<br />
<br />
-Ecuación curva clotoide: <math> d*r= C^2 </math><br />
<br />
Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que:<br />
-su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto.<br />
-su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme).<br />
<br />
En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.<br />
<br />
<br />
=== '''Estructuras civiles donde se use la clotoide''' ===<br />
<center> [[Archivo:Imagen1 Ej8.png|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<center> [[Archivo:Imagen2 Ej8.png|300px|miniaturadeimagen|centro|Clotoide en el ámbito civil]] </center><br />
<br />
= '''''Superficie reglada: la helicoide''''' =<br />
<br />
=='''Dibujado de la superficie helicoidal'''==<br />
[[Archivo:Curva1 Ej9.jpg |400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_9--> Dibujado de la hélice reglada<br />
%Comenzamos discretizando los valores de u,v<br />
n=100;<br />
d=1; %distancia del vector<br />
v=linspace(0,4*pi,n);<br />
u=linspace(0,d,n);<br />
%generamos el mallado<br />
[U,V]=meshgrid(u,v);<br />
%Definimos las componentes del la superficie<br />
x=cos(V)+U.*cos(V);<br />
y=sin(V)+U.*sin(V);<br />
z=V;<br />
%Dibujamos la superficie<br />
axis equal<br />
surf(x,y,z)<br />
colorbar<br />
shading flat<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
zlabel('z')<br />
title('Superficie reglada: Helicoide')<br />
}}<br />
<br />
=='''Cálculo de la Masa de la Helicoide cilíndrico recto'''==<br />
<br />
Suponemos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función: <math> d(x,y,z)=10−x^2−y^2 </math><br />
<br \> <br />
La masa será igual a: <math> \int_{\sigma }f=\int\int f(\sigma(u,v))\left |\sigma_{u} \times \sigma_{v} \right |dvdu </math><br />
<br \> <br />
<br \> <br />
-La parametrización de la superficie <math> \sigma(u,v)</math><br />
<br \><br />
<br \><br />
<math> x=cos(v)+u*cos(v) </math><br />
<br \><br />
<math> y=sin(v)+u*sin(v) </math><br />
<br \><br />
<math> z=v </math><br />
<br />
='''''Bibliografía'''''=</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59928La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:50:02Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo vamos a exponer la curva y sus múltiples propiedades matemáticas que en el ámbito civil son muy beneficiarias<br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
|{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math>, siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3.<br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy)<br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Información de la clotoide ==<br />
Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva. <br />
Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga).<br />
NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación.<br />
Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, y el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número.<br />
-Ecuación curva clotoide:<br />
Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que:<br />
-su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto.<br />
-su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme).<br />
En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59914La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:42:28Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math>, siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3.<br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy)<br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Información de la clotoide ==<br />
Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva. <br />
Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga). <br />
NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación.<br />
Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, y el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número.<br />
-Ecuación curva clotoide:<br />
Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que:<br />
-su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto.<br />
-su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme).<br />
.<br />
En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59912La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:41:22Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math>, siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3.<br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy)<br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59908La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:40:54Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math>, siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3.<br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy)<br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59905La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:40:16Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math>, siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3.<br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy)<br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
[[Archivo:Imagen12345.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Imagen12345.png&diff=59903Archivo:Imagen12345.png2023-12-12T10:39:29Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div></div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59899La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:38:39Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
<math> \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} </math>, siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3.<br />
El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy)<br />
La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ)<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
n=100;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Calculamos las integrales para t=1:<br />
X1=integral(f1,0,1);<br />
Y1=integral(f2,0,1);<br />
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:<br />
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal<br />
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal<br />
% siendo k=t=1<br />
Qx=X1-sin(1/2);<br />
Qy=Y1+cos(1/2);<br />
t2=linspace(0,2*pi,n);<br />
k=@(t) t;<br />
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)<br />
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):<br />
Cx=Qx+R.*cos(t2);<br />
Cy=Qy+R.*sin(t2);<br />
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'r')<br />
plot(Cx,Cy,'b')<br />
hold off<br />
title('Curva y circunferencia osculatriz')<br />
axis equal<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59890La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:36:57Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:<br />
<br />
[[Archivo:Imagen123.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59883La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:35:16Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
En papel <br />
{{matlab|codigo=<br />
v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad <br />
a(t) =x''(t) +y''(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleración<br />
}}<br />
<br />
[[Archivo:Imagen123.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
Calculado en papel→ κ(t) = t La curvatura κ(t) se define por una recta de m=1 y n=0 siendo m la pendiente y n el punto donde corta en las ordenadas, es decir, el origen. Esto sugiere que la curvatura de la cicloide va aumentando linealmente.<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)<br />
clc,clear,clf<br />
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar<br />
%discretizamos t <br />
t=linspace(0,4);<br />
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.<br />
k=@(t) t ;<br />
x=t; %Coordenadas abscisas<br />
y=k(t); %Coordenadas ordenadas<br />
plot(x,y,'b')<br />
title('Curvatura De La Clotoide')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59867La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:30:23Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
En papel <br />
{{matlab|codigo=<br />
v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad <br />
a(t) =x''(t) +y''(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleración<br />
}}<br />
<br />
[[Archivo:Imagen123.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
<br /><br />
<br />
<br />
<br />== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la helicoide =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59866La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:28:42Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
En papel <br />
{{matlab|codigo=<br />
v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad <br />
a(t) =x''(t) +y''(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleración<br />
}}<br />
<br />
[[Archivo:Imagen123.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la hélice =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59863La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:27:19Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
\left |{\gamma }'(t) \right |=<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
En papel <br />
v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad <br />
a(t) =x''(t) +y''(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleración<br />
<br />
[[Archivo:Imagen123.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la hélice =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Imagen123.jpg&diff=59855Archivo:Imagen123.jpg2023-12-12T10:24:39Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div></div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59854La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:23:25Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
En papel→ v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad <br />
a(t) =x''(t) +y''(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleración<br />
<br />
[[Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la hélice =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59853La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:21:27Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
En papel→ v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad <br />
a(t) =x''(t) +y''(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleración<br />
<br />
[[Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la hélice =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59851La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:19:22Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.<br />
<br />
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.<br />
<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
%Pregunta_4-->Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
En papel→ v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad <br />
a(t) =x''(t) +y''(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleración<br />
<br />
[[Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Representacion grafica]] siendo κ(t) la curvatura de ૪(t)<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la hélice =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59850La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:15:30Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
%Pregunta_4-->Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la hélice =<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59849La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:12:09Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
%Pregunta_4-->Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59848La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:10:58Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
[[Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
%Pregunta_4-->Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
= Superficie reglada: la hélice =<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59847La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:08:44Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
=La Clotoide=<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
%Pregunta_4-->Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59844La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:04:37Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.<br />
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:<br />
clc,clear,clf<br />
%Discretizamos los valores de t en n:<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):<br />
Vx=cos(t.^2/2);<br />
Vy=sin(t.^2/2);<br />
Ax=-sin(t.^2/2).*t;<br />
Ay=cos(t.^2/2).*t;<br />
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,Vx,Vy)<br />
quiver(X,Y,Ax,Ay)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, velocidad y aceleración')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
[[Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion grafica]]<br />
%Pregunta_4-->Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=50;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la<br />
%curva<br />
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que<br />
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki<br />
tx=cos(t.^2/2);<br />
ty=sin(t.^2/2);<br />
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)<br />
nx=-sin(t.^2/2);<br />
ny=cos(t.^2/2);<br />
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:<br />
hold on<br />
plot(X,Y,'b')<br />
quiver(X,Y,tx,ty)<br />
quiver(X,Y,nx,ny)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
hold off<br />
title('Curva, tangente y normal.')<br />
xlabel('x')<br />
ylabel('y')<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59842La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T10:01:30Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
<br />
En este trabajo <br />
<center> <math> γ(t) = (x(t),y(t)) = (\int_{0}^{t}cos(\frac{s^2}{2})ds, \int_{0}^{t}sin(\frac{s^2}{2})ds), t∈(0,4) </math> </center><br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores <br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:<br />
<br /><br />
<br />
<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \left | {\gamma }' (t)\right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math><br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59834La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T09:46:09Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
<br />
== Introducción ==<br />
<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Representacion de la curva]]<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
<br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curva Ej4.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
[[ Archivo:Curvak(t).png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59830La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T09:38:47Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Introducción ==<br />
<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}} [[ Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion de la curva]]<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica===<br />
[[ Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
<br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59828La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T09:33:25Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana Rodríguez <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Introducción ==<br />
<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
[[ Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion de la curva]]<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica===<br />
[[ Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
<br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59827La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T09:31:32Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
== Introducción ==<br />
<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
[[ Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion de la curva]]<br />
<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica===<br />
[[ Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
<br />
<br />
<br />
== Longitud de curva ==<br />
<br />
<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación de la curva ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59825La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T09:26:57Z<p>Dpinyana: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.<br />
clc,clear,clf<br />
%Comezamos discretizando los valores<br />
n=300;<br />
t=linspace(0,4,n);<br />
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.<br />
f1= @(s) cos(s.^2/2);<br />
f2= @(s) sin(s.^2/2);<br />
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán<br />
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.<br />
for i=1:n<br />
j=t(i);<br />
X(i)=integral(f1,0,j);<br />
Y(i)=integral(f2,0,j);<br />
end<br />
plot(X,Y)<br />
axis([0,2,0,2])<br />
}}<br />
== Introducción ==<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[ Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion de la curva]]<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
<br />
=== Representación grafica===<br />
[[ Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
== Longitud de curva ==<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
=== Representación de la curva ===<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=La_Clotoide_(Grupo_39)&diff=59824La Clotoide (Grupo 39)2023-12-12T09:23:14Z<p>Dpinyana: </p>
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<div>{{ TrabajoED | La Clotoide. Grupo 39 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Luis Relaño Rodríguez <br />Daniel Pinyana <br />Carlos Puebla Diaz <br /> Pau Vives Segui}}<br />
<br />
<br />
<br />
== Introducción ==<br />
<br />
== Representación de la curva ==<br />
[[ Archivo:Curva ej-1.jpg|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion de la curva]]<br />
<br />
== Vectores velocidad y aceleración ==<br />
<br />
=== Vector posición, velocidad y aceleración ===<br />
<br />
=== Representación grafica===<br />
[[ Archivo:Curva Ej2.png|400px|miniaturadeimagen|centro|Representacion grafica]]<br />
== Longitud de curva ==<br />
<br />
== Vector tangente y normal ==<br />
<br />
=== Calculo del vector tangente y normal ===<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
== Curvatura de κ(t) ==<br />
<br />
=== Calculo de la curva ===<br />
<br />
=== Representación de la curva ===<br />
<br />
== Circunferencia osculatriz ==<br />
<br />
=== Definición ===<br />
<br />
=== Radio y centro de la circunferencia ===<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
== La clotoide ==<br />
<br />
=== Información ===<br />
<br />
=== Aplicación en la ingeniería ===<br />
<br />
== Imagen de la clotoide ==<br />
<br />
== La clotoide parametrizada en coordenadas cartesianas ==<br />
<br />
=== Representación grafica ===<br />
<br />
=== Estructuras civiles donde se use la clotoide ===<br />
<br />
== Calculo de la densidad definido por la función ==</div>Dpinyanahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Curva_ej-1.jpg&diff=59811Archivo:Curva ej-1.jpg2023-12-12T09:08:40Z<p>Dpinyana: </p>
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