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Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T12:34:10Z

Diego.rey: /* Curvas de nivel de la temperatura */

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|250px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|600px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T))}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T12:32:30Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|250px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|500px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T))}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Placa divergencia.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Placarotacional.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T12:27:06Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
Visualización de '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarcampos escalares]''' y '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorial#:~:text=Los%20campos%20vectoriales%20se%20utilizan,gravitatoria%20o%20la%20fuerza%20electromagnética.vectoriales]''' en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Dibujo del mallado que representa los puntos interiores del sólido.=
[[Archivo:Grafico_1.png|250px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
mesh(x2,y2,x2*0);
axis equal
axis([-1,1,0,12]);
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Placa rectangular');
view(2);}}

=Curvas de nivel de la temperatura=

[[Archivo:Grafico_2.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
x1=-1:0.2:1;
y1=0:0.2:12;
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
T= log(1+(x2).^2)+log(1+(y2-4).^2);
axis([-1,1,0,12]);
hold on
U=(2.*x2./(x2.^2+1));
V=(2.*(y2-4))./((y2-4).^2+1);
quiver(x1,y1,U,V);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Gradiente')
contour(x2,y2,T,30)
colorbar
hold off
x=max(max(T))}}

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Divergenciaplaca.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Rotacionalplaca.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-1,1,0,12]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T11:44:51Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Divergenciaplaca.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Rotacionalplaca.png|520px|thumb|right||Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|545px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T11:41:10Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Divergenciaplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Rotacionalplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.png|540px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T11:38:38Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

=Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=Campo de vectores en el sólido=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Divergenciaplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Rotacionalplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}

=Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-\frac{π}{3}t)</math>. Supondremos los coeficientes de Lamé con valor 1 para la presentación del resultado.

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

[[Archivo:12.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1/3;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T11:28:12Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>

= . =
=3. Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=4. Representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en <math>t = 0</math>.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=5. Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=6. Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>.=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Divergenciaplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=7. Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>.=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Rotacionalplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=8. Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=9. Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}
=10. Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=11. Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=12. Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-πvt)</math>.

!!!! tener en cuenta sigma y mua ver

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T11:21:16Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
=Introducción=
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>
= . =
=3. Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=4. Representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en <math>t = 0</math>.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=5. Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=6. Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>.=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Divergenciaplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=7. Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>.=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Rotacionalplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=8. Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=9. Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}
=10. Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=11. Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=12. Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-πvt)</math>.

!!!! tener en cuenta sigma y mua ver

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-14T11:20:36Z

Diego.rey:

{{ TrabajoED | Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] |
*Alberto Barca
*Diego Rey Atienza
*Miguel Fernández de Soto
*Ignacio Lacasa
*Iván García de Pereda }}
= . =
=Introducción=
Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región <math>(x, y) ∈ [-1, 1]×[0, 12]</math>.
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura <math>T(x, y)</math>, que viene dada por:
<center><math>T(x, y) = log(1+x^2)+log(1+(y-4)^2)</math></center> y los desplazamientos <math>\vec{u}(x, y)</math> producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos <math>\vec{r_{0}}(x, y)= x \vec{i} + y \vec{j} </math> el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (x,y) de la placa después de la deformación viene dada por: <center><math>\vec{r_{d}}(x, y)=\vec{r_{0}}(x, y)+\vec{u}(x, y).</math></center>.

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la misma dado por el vector:
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y)-vt)),</math></center>donde <math>\vec{a}</math> se conoce como amplitud, k>0 es el número de onda, <math>\vec{d}</math> es un vector unitario que marca la dirección de propagación y v es la velocidad de propagación.
La variable t representa el tiempo que congelaremos en t=0 en los primeros apartados de este trabajo de manera que supondremos, para los primeros apartados,
<center><math>\vec{u}(x, y, t)=\vec{a}sin(k\pi(\vec{d}·\vec{r_{0}}(x,y))).</math></center>
Supondremos que se trata de una onda transversal en la que la dirección de propagación es ortogonal a la amplitud. Tomaremos en particular:
<center><math>\vec{a}= 1/3 \vec{i}, k=1, \vec{d}= 1/3 \vec{j}</math></center>
= . =
=3. Cálculo de energía calorífica con la Ley de Fourier=
De acuerdo a la Ley de Fourier la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> viaja de acuerdo a la fórmula <math> \vec{Q}=−κ∇T </math>, donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos <math> κ=1 </math>. Para poder calcular la energía calorífica, primero debemos de calcular el gradiente de la temperatura, que viene dada por: <center> <math> T(x,y)=\log(1+x^2)+\log(1+(y-4)^2) </math> </center>
El gradiente un campo escalar se obtiene derivando parcialmente respecto de cada coordenada, por lo que el gradiente del campo es: <center> <math> ∇T(x,y)= \frac{2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} + \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>, y por lo tanto, la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> es:
<center> <math> \vec{Q}= \frac{-2x}{ln10(1+x^2)} \vec{i} - \frac{2(y-4)}{ln10 ((1+(y-4)^2))} \vec{j}</math> </center>
Una vez calculado, se procede a dibujarlo utilizando Matlab:
[[Archivo:Representaciongradiente.png|570px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=0.2;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
T=(log10(1+Mx.^2)+log10(1+(My-4).^2));
% Derivada parcial respecto de Mx.
Fx=((-2.*Mx)./(log(10).*(1+Mx.^2)));
% Derivada parcial respecto de My.
Fy=((-2.*(My-4))./(log(10).*(1+(My-4).^2)));
figure(3)
% Curvas de nivel.
contour(Mx,My,T,30);
hold on
% Gradiente.
quiver(Mx,My,Fx,Fy);
hold off
% Título a la gráfica.
title('Gradiente');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
}}

=4. Representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en <math>t = 0</math>.=
Se utilizarán los datos obtenidos en apartados anteriores, así como en el enunciado, y por lo tanto, se tiene que <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. A continuación se adjunta el resultado gráfico, así como el código utilizado en Matlab:
[[Archivo:Campoent0.png|520px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin(/pi/3).*My);
figure(4)
mesh(Mx,My,0.*My)
hold on
% Campo de vectores.
quiver(Mx,My,ux,uy);
hold off
% Título de la gráfica.
title('Campo de vectores en t=0');
% Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
}}

=5. Representación gráfica del desplazamiento del sólido=
A continuación se incluye la representación del sólido previa al movimiento y después del movimiento (en <math>t = 0</math>), así como una figura que contiene la representación del sólido previa y tras el desplazamiento, para lo que se ha utilizado el comando subplot. Se han utilizado datos definidos en el apartado anterior, en concreto, <math> ux=\frac{1}{3}sin(\frac{π}{3}y) </math> y <math> uy=0 </math>. También se adjunta el programa de Matlab utilizado para la representación.
[[Archivo:Desplazamientodefinitivo.png|1000px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Se establecen las variables.
h=2/10;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
uy=0.*Mx;
ux=(1/3).*sin((pi/3).*My);
figure(5)
% Situación inicial
subplot(2,2,1)
mesh(Mx,My,Mx*0);
% Título de la gráfica.
title('Antes del desplazamiento');
% Se da nombre a los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
% Equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Situación tras el desplazamiento
subplot(2,2,2)
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
% Título de la gráfica.
title('Después del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia a los ejes.
axis equal;
%Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
%Comparación de las dos situaciones
subplot(2,2,3)
%Antes del desplazamiento de color rojo
mesh(Mx,My,Mx*0,'EdgeColor','red');
hold on
mesh(Mx+ux,My+uy,0*My);
hold off
%Título de la gráfica.
title('Comparación del desplazamiento');
%Nombre de los ejes.
xlabel('Eje de las X');
ylabel('Eje de las Y');
%Equidistancia de los ejes.
axis equal;
% Rango de visión de la gráfica.
axis([-1.5,1.5,-0.5,12.5]);
view(2)
}}

=6. Divergencia <math>∇·\vec{u}</math>.=
Para calcular la divergencia usaremos la siguiente formula:
<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} </math> usada para calcular la divergencia en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}</math>

<math>\ \nabla \cdot \vec u = 0</math>

La divergencia da 0, por lo tanto, como se puede observar en la grafica, no hay cambio de volumen debido al desplazamiento, al ser este nulo en todos sus puntos.
[[Archivo:Divergenciaplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos la divergencia que da cero.
D=0.*Mx+0.*My;
surf(Mx,My,D)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación de la divergencia en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=7. Rotacional <math>\left | ∇ \times \vec{u} \right |</math>.=
Para calcular el rotacional usaremos la siguiente formula: <math>∇ × \vec{u}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j}& \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ u_{1}& u_{2}& u_{3} \end{vmatrix}</math> Usada para calcular el rotacional en campos escalares.

Siendo en <math>t=0</math>: <math>\vec u = \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k};

</math> <math>∇ × \vec{u}</math> = <math>\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} &\frac{\partial }{\partial z} \\ 0 & \frac{1}{3}\sin \left ( \frac{π}{3} y\right ) & 0\end{vmatrix} = \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )\vec{k}; </math>

Buscamos el modulo:
<math>|∇ × \vec{u}|= \frac{π}{9}\cos \left ( \frac{π}{3} y\right )</math>

En la grafica se puede apreciar que los puntos de mayor rotacional son los pertenecientes a las rectas <math> y=0; y=6; y=12 </math>, representadas en amarillo.
[[Archivo:Rotacionalplaca.png|520px|thumb|right|]]

{{matlab|codigo=
clear;clc;
% Definimos las variables x e y.
h=2/10;
x=-1:h:1;
y=0:h:12;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Introducimos el rotacional.
R=pi/9*cos(pi*My/3);
surf(Mx,My,R)
shading flat
% Damos un título a la gráfica.
title('Representación del modulo del rotacional en la placa');
% Nombramos los ejes.
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Se da equidistancia a los ejes.
axis equal;
% Fijamos el rango de visión.
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
% Aplicamos una escala de colores.
colorbar;
view(2)
h=2/10;
}}

=8. Tensor de tensiones=
Para la realización de este apartado introduciremos dos nuevos conceptos: el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_deformación tensor de deformaciones, Ԑ]''', y el '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensión tensor de tensiones, σ]''', definidos a continuación, <center><math>Ԑ(\vec{u}) = (∇\vec{u} + ∇\vec{u}t)/2</math> </center>
<center><math>σ=λ∇·\vec{u}1 + 2μԐ</math>,</center>

donde Ԑ será la parte simétrica del tensor <math>∇·\vec{u}</math>; 1 es el tensor identidad en <math>R^3</math>, y (<math>λ</math>, <math>µ</math>) son los llamados coeficientes de Lamé, que determinan las características elásticas de cada material. Para este caso tomaremos que <math>λ=µ=1</math>. Se hallaran las tensiones normales en la dirección de los ejes cartesianos, y se graficarán en caso de ser no nulas.

Recordando el vector <math>\vec{u}=(\frac{1}{3}sen(\frac{π}{3}y) , 0 , 0)</math> previamente definido, el primer paso será calcular su gradiente:

<center><math> ∇\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x} & \frac{\partial u_{1}}{\partial y} & \frac{\partial u_{1}}{\partial t} \\ \frac{\partial u_{2}}{\partial x} & \frac{\partial u_{2}}{\partial y} & \frac{\partial u_{2}}{\partial t}\\ \frac{\partial u_{3}}{\partial x} & \frac{\partial u_{3}}{\partial y} & \frac{\partial u_{3}}{\partial t}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math>; <math> ∇\vec{u}t=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} </math></center> 

Con estos resultados, calculamos el tensor de deformaciones: <center><math>Ԑ(\vec{u}) = \frac{∇\vec{u} + ∇\vec{u}t}{2}=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{18}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math></center> 

Con la divergencia del campo hallada previamente, <math>∇·\vec{u}=0</math>, definimos el tensor de tensores, para luego calcular las tensiones normales a los ejes.

<center><math>σ = 2 μԐ=\begin{pmatrix}0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}</math> 

<math>\vec{i}·σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{j}·σ·\vec{j}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0</math> 
<math>\vec{k}·σ·\vec{k}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=0</math>
</center> 
Atendiendo al resultado observamos como el valor de las tensiones obtenidas es cero. Esto implica la inexistencia de dichas tensiones, y la imposibilidad de trazarlas en un gráfico.

=9. Tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>=
Buscaremos analizar las tensiones que sufre la placa con respecto a la dirección especificada, en t = 0. Para ello, definiremos esta tensión como <math> |σ·\vec{i}−(\vec{i}·σ·\vec{i})\vec{i}|</math>. Recordando el resultado obtenido anteriormente, <math>\vec{i}·σ·\vec{i}=0</math>, concluimos que la tensión buscada es igual a <math>σ·\vec{i}</math>. Continuando el desarrollo, 

<center><math>σ·\vec{i}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0\\ \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y) & 0 \end{pmatrix}=\frac{π}{9}cos(\frac{π}{3}y)</math></center>

A continuación presentamos una representación gráfica del resultado hallado.

[[Archivo:9.1.2023.jpg|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/5;
Pi=3.1415;
x=[-1:h:1];
y=[0:h:12];
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
% Establecemos los campos a representar
Tg=(Pi/9)*cos((Pi/3)*My);
quiver(Mx,My,Tg,Tg.*0);
% Le damos formato a la gráfica
title('Tensiones tangenciales al eje i');
axis equal;
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-5,5,-1,13]);
%proyectamos la gráfica
view(2)
}}
=10. Tensión de Von Mises=
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

Repetimos el código como en anteriores apartados, añadiendo esta vez la función de Von Mises (<math>VonMises</math>). Asimismo añadimos un bucle donde asignamos los valores de la tensión en cada punto, y finalmente representamos la gráfica.
[[Archivo:TENSIONDEVONMISES.png|400px|thumb|right|Resultado de ejecución]]
{{matlab|codigo=
clear
clc
close all
%definición de las variables
h= 2/10;
x=-1:h:1;
y= 0:h:12;

%matriz de X e Y y de Von Mises
[Mx,My]=meshgrid(x,y);

%definimos la función de Von mises siendo tp1,2,3 las tensiones principales
VonMises=inline('(((tp1-tp2)^2+(tp2-tp3)^2+(tp3-tp1)^2)/2)^(1/2)','tp1','tp2','tp3');
[f,c]=size(Mx);

%asignamos a la matriz MVonM los valores de la tensión
%de Von Mises en cada punto
for i=1:f
for j=1:c
deformaciones=[[0;(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0],[(pi/9).*cos((pi/3).*My(i,j));0;0],[0;0;0]];
lamdas=eig(deformaciones);
tp1=lamdas(1,1);
tp2=lamdas(2,1);
tp3=lamdas(3,1);
MVonM(i,j)=VonMises(tp1,tp2,tp3);
end
end

%graficamos
surf(Mx,My,MVonM)
shading interp
axis([-5,5,-0.5,13.5]);
axis equal
title('TensióndeVonMises');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
zlabel('Eje Z');
view(3);
colorbar;
}}

=11. Campo de fuerzas que actúa sobre la placa=
El campo de fuerzas <math>\vec{F}</math> que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal
<center><math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math></center>
donde <math>∇ · σ</math> es el campo vectorial que se obtiene al hacer la divergencia de los vectores cuyas componentes son las filas de la matriz <math>σ</math>.
Calcular la velocidad de propagación de las ondas <math>v</math> en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que <math>\vec{F} = 0</math>. Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando <math>\vec{a} = 1/3\vec{j}</math>, ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.

Nuestro vector <math>\vec{u}</math> es <math>\vec{u}=\vec{a}·sin(k(d·\vec{r0}(x, y)−vt))</math> Utilizandon los siguients valores: <math>\vec{a}=1/3 \vec{i} </math>, <math>\vec{d}=1/3 \vec{j}</math> y <math>k=1</math>.
Sustituyendo las componentes dadas quedaría <math>\vec{u}=1/3·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i})</math>

Calculando <math>∇ · σ</math> queda <math>∇ · σ = \frac{\pi ^2}{27} · sen(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Derivando:

<math>\frac{∂\vec{u}}{∂t}= -\frac{\pi v}{3}·cos(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i} </math>

<math>\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}= -\frac{\pi ^2 v^2}{3}·sin(\frac{\pi y}{3}-\pi vt)\vec{i}</math>

Sustituyendo en la ecuación de la elasticidad lineal y despejando la velocidad:
<math>\vec{F}=\frac{∂^2\vec{u}}{∂t^2}-∇· σ</math>, con la cual metiendo los datos obtenidos, suponiendo que <math>\vec{F}=0</math>, obtenemos una velocidad de propagación de las ondas de, <math>\vec{v}=\frac{1}{3}\vec{i}</math>.

Utilizando <math>\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{j}</math>, repetiríamos el proceso, obteniendo una velocidad de onda longitudinal de <math>\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{3}}\vec{j}.</math>.Es decir, estando en el mismo medio las ondas transversales y longitudinales tienen una velocidad diferente.

=12. Módulo del desplazamiento transversal=

Para este último apartado se estudiará la trayectoria de un único punto <math> P( \frac{1}{2} , 1) </math> en los primeros 10 segundos del estudio, <math>t ∈ [0, 10]</math>. Consideraremos la velocidad de propagación definida en el apartado anterior, de forma de que la ecuación <math> \vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}·y-πvt) </math> se convierte en <math>\vec{u}(x,y,t) = \frac{1}{3}·sen(\frac{π}{3}-πvt)</math>.

!!!! tener en cuenta sigma y mua ver

Estudiaremos el el movimiento de P con una gráfica posición-tiempo en Matlab a continuación.

{{matlab|codigo=
% Definimos las variables
h=1/200;
v=1;
Pi=3.1415;
t=0:h:10;
tiledlayout(1,2)
nexttile
%Creamos una primera gráfica
x=(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x,t)
title('Desplazamiento relativo - tiempo');
grid on
xlabel('Desplazamiento');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
nexttile
%Graficamos teniendo ahora en cuenta P
x2=0.5+(1/3)*sin(((Pi/3)-Pi*v*t));
plot(x2,t)
title('Desplazamiento absoluto - tiempo');
grid on
axis equal
xlabel('Posición (x)');
ylabel('>>> Tiempo >>>');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T18:38:14Z

Diego.rey: /* 5. Representación gráfica del desplazamiento del sólido */

Archivo:Desplazamientodefinitivo.png

2023-12-10T18:37:43Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T18:37:19Z

Diego.rey: /* 5. Representación gráfica del desplazamiento del sólido */

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T17:19:36Z

Diego.rey:

Archivo:Representaciondesplazamiento.png

2023-12-10T17:17:24Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T17:16:22Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T16:38:53Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T16:38:19Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T16:30:48Z

Diego.rey:

Archivo:Campoent0.png

2023-12-10T16:29:50Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-10T16:28:54Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-07T16:20:10Z

Diego.rey:

Archivo:Campot0.png

2023-12-07T16:17:16Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-07T14:53:28Z

Diego.rey:

Archivo:Representaciongradiente.png

2023-12-07T14:49:33Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-07T14:40:16Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-07T14:39:13Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-07T14:32:41Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-07T14:32:05Z

Diego.rey:

Representación de campos de temperatura y deformaciones en una placa 2D (Grupo 1)

2023-12-07T14:30:52Z

Diego.rey: