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La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T14:50:09Z

Diego.arroyo: /* Código Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|450 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T14:49:47Z

Diego.arroyo: /* Código Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

Archivo:Imagengrafica5.2.jpg

2025-12-04T14:49:08Z

Diego.arroyo:

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T14:48:44Z

Diego.arroyo: /* Código Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
[[Archivo:imagengrafica5.2.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right| ]]
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T14:46:36Z

Diego.arroyo: /* Código Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
<center>'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} = \frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center> 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
<center>'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''</center>

==Interpretación de los vectores==
[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
Código que se ha empleado para representar la curvatura
{{matlab|codigo =
%Creamos las variables.
n=70;
A = 3;
t = linspace (-1, 1,n);
%Definimos la función.
k = 1./(3*(cosh(t/A).^2));
%La creamos.
figure;
plot (t,k,'LineWidth',3,'Color','g');
axis equal
%Ponemos título a la gráfica.
title ('Curvatura Catenaria.','Color','black');
%Nombramos los ejes.
xlabel('t');
ylabel('k(t)');
%Definimos la cuadrícula de la gráfica.
grid on;}}

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria: '''[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]'''

El punto de estudio que se nos pide es: '''[math]P = \gamma(-0.5).[/math]'''

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:
<center>'''<math>x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>
<center>'''<math>x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).</math>'''</center>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por: '''<math> \kappa(t)= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.</math>'''

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos: '''<math>\kappa(t)= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.</math>''' 
Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda:'''<math>\kappa(t) = \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)} = \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

El radio de curvatura es: '''<math> R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right). </math>'''

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta: '''<math> R = R(t_0) = 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right) = 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right) \approx 3.08. </math>'''

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:
[[Archivo:circunferencia.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la circunferencia osculatriz''']]
<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=

}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:36:48Z

Diego.arroyo: /* Código Matlab */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==
Código que se ha empleado para representar la curvatura

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=

% Cálculo de la masa mediante el Método del Rectángulo

clear; clc;

% 1. Definición de Parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;
thetaMin = 0;
thetaMax = 2*pi;

% Parámetros de discretización (Número de rectángulos)
% Cuantos más puntos, mayor precisión en la aproximación
N_t = 100;
N_theta = 100;

% Pasos del método del rectángulo (Delta t y Delta theta)
dt = (tmax - tmin) / N_t;
dtheta = (thetaMax - thetaMin) / N_theta;

% Inicializamos la masa total
masa_total = 0;

% 2. Bucle para el Método del Rectángulo (Teorema de Fubini)
% Recorremos t y theta para sumar la contribución de cada "parche" de superficie
for i = 1:N_t
% Punto medio del intervalo actual de t
t_val = tmin + (i - 0.5) * dt;

for j = 1:N_theta
% Punto medio del intervalo actual de theta
theta_val = thetaMin + (j - 0.5) * dtheta;

% --- a) Coordenadas en este punto ---
% Radio rho(t) de la catenaria
rho = a * cosh(t_val / a);

% Coordenadas Cartesianas
x1 = rho * cos(theta_val);
x2 = rho * sin(theta_val);
x3 = t_val; % La altura es el parámetro t

% --- b) Valor de la Densidad en el punto ---
% f = |x3| / (1 + x1^2 + x2^2)
% Usamos abs(x3) para evitar masa negativa
densidad = abs(x3) / (1 + x1^2 + x2^2);

% --- c) Elemento de Superficie (dS) ---
% Fórmula simplificada para la catenaria: dS = A * cosh^2(t/A) dt dtheta
% El término Jacobiano es A * cosh(t/A)^2
jacobiano = a * (cosh(t_val / a))^2;

% --- d) Suma a la masa total ---
% Masa = Densidad * Area_Diferencial
% Area_Diferencial = Jacobiano * dt * dtheta
masa_total = masa_total + (densidad * jacobiano * dt * dtheta);
end
end

% 3. Resultados
fprintf('--- Resultados Apartado 11 ---\n');
fprintf('Parámetro A: %d\n', a);
fprintf('Intervalo t: [%d, %d]\n', tmin, tmax);
fprintf('Masa total calculada (aprox): %.4f unidades de masa\n', masa_total);

% 4. Visualización de la distribución de densidad (Opcional pero recomendado)
% Para describir "cómo se distribuye la densidad" como pide el enunciado
figure('Name', 'Trabajo H - Apartado 11: Distribución de Densidad');
t_plot = linspace(tmin, tmax, 100);
rho_plot = a * cosh(t_plot/a);
% Como la densidad es simétrica radialmente, solo depende de t (x3) y rho
densidad_plot = abs(t_plot) ./ (1 + rho_plot.^2);

plot(t_plot, densidad_plot, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Distribución de la Densidad según la altura z (t)');
xlabel('Altura z (t)');
ylabel('Densidad f');
subtitle('Se observa que la densidad es mayor en los extremos (z = +/- 1) y nula en el centro');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:35:47Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3):
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=

% Cálculo de la masa mediante el Método del Rectángulo

clear; clc;

% 1. Definición de Parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;
thetaMin = 0;
thetaMax = 2*pi;

% Parámetros de discretización (Número de rectángulos)
% Cuantos más puntos, mayor precisión en la aproximación
N_t = 100;
N_theta = 100;

% Pasos del método del rectángulo (Delta t y Delta theta)
dt = (tmax - tmin) / N_t;
dtheta = (thetaMax - thetaMin) / N_theta;

% Inicializamos la masa total
masa_total = 0;

% 2. Bucle para el Método del Rectángulo (Teorema de Fubini)
% Recorremos t y theta para sumar la contribución de cada "parche" de superficie
for i = 1:N_t
% Punto medio del intervalo actual de t
t_val = tmin + (i - 0.5) * dt;

for j = 1:N_theta
% Punto medio del intervalo actual de theta
theta_val = thetaMin + (j - 0.5) * dtheta;

% --- a) Coordenadas en este punto ---
% Radio rho(t) de la catenaria
rho = a * cosh(t_val / a);

% Coordenadas Cartesianas
x1 = rho * cos(theta_val);
x2 = rho * sin(theta_val);
x3 = t_val; % La altura es el parámetro t

% --- b) Valor de la Densidad en el punto ---
% f = |x3| / (1 + x1^2 + x2^2)
% Usamos abs(x3) para evitar masa negativa
densidad = abs(x3) / (1 + x1^2 + x2^2);

% --- c) Elemento de Superficie (dS) ---
% Fórmula simplificada para la catenaria: dS = A * cosh^2(t/A) dt dtheta
% El término Jacobiano es A * cosh(t/A)^2
jacobiano = a * (cosh(t_val / a))^2;

% --- d) Suma a la masa total ---
% Masa = Densidad * Area_Diferencial
% Area_Diferencial = Jacobiano * dt * dtheta
masa_total = masa_total + (densidad * jacobiano * dt * dtheta);
end
end

% 3. Resultados
fprintf('--- Resultados Apartado 11 ---\n');
fprintf('Parámetro A: %d\n', a);
fprintf('Intervalo t: [%d, %d]\n', tmin, tmax);
fprintf('Masa total calculada (aprox): %.4f unidades de masa\n', masa_total);

% 4. Visualización de la distribución de densidad (Opcional pero recomendado)
% Para describir "cómo se distribuye la densidad" como pide el enunciado
figure('Name', 'Trabajo H - Apartado 11: Distribución de Densidad');
t_plot = linspace(tmin, tmax, 100);
rho_plot = a * cosh(t_plot/a);
% Como la densidad es simétrica radialmente, solo depende de t (x3) y rho
densidad_plot = abs(t_plot) ./ (1 + rho_plot.^2);

plot(t_plot, densidad_plot, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Distribución de la Densidad según la altura z (t)');
xlabel('Altura z (t)');
ylabel('Densidad f');
subtitle('Se observa que la densidad es mayor en los extremos (z = +/- 1) y nula en el centro');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:35:38Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros (A=3:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

{{matlab|codigo=

% Cálculo de la masa mediante el Método del Rectángulo

clear; clc;

% 1. Definición de Parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;
thetaMin = 0;
thetaMax = 2*pi;

% Parámetros de discretización (Número de rectángulos)
% Cuantos más puntos, mayor precisión en la aproximación
N_t = 100;
N_theta = 100;

% Pasos del método del rectángulo (Delta t y Delta theta)
dt = (tmax - tmin) / N_t;
dtheta = (thetaMax - thetaMin) / N_theta;

% Inicializamos la masa total
masa_total = 0;

% 2. Bucle para el Método del Rectángulo (Teorema de Fubini)
% Recorremos t y theta para sumar la contribución de cada "parche" de superficie
for i = 1:N_t
% Punto medio del intervalo actual de t
t_val = tmin + (i - 0.5) * dt;

for j = 1:N_theta
% Punto medio del intervalo actual de theta
theta_val = thetaMin + (j - 0.5) * dtheta;

% --- a) Coordenadas en este punto ---
% Radio rho(t) de la catenaria
rho = a * cosh(t_val / a);

% Coordenadas Cartesianas
x1 = rho * cos(theta_val);
x2 = rho * sin(theta_val);
x3 = t_val; % La altura es el parámetro t

% --- b) Valor de la Densidad en el punto ---
% f = |x3| / (1 + x1^2 + x2^2)
% Usamos abs(x3) para evitar masa negativa
densidad = abs(x3) / (1 + x1^2 + x2^2);

% --- c) Elemento de Superficie (dS) ---
% Fórmula simplificada para la catenaria: dS = A * cosh^2(t/A) dt dtheta
% El término Jacobiano es A * cosh(t/A)^2
jacobiano = a * (cosh(t_val / a))^2;

% --- d) Suma a la masa total ---
% Masa = Densidad * Area_Diferencial
% Area_Diferencial = Jacobiano * dt * dtheta
masa_total = masa_total + (densidad * jacobiano * dt * dtheta);
end
end

% 3. Resultados
fprintf('--- Resultados Apartado 11 ---\n');
fprintf('Parámetro A: %d\n', a);
fprintf('Intervalo t: [%d, %d]\n', tmin, tmax);
fprintf('Masa total calculada (aprox): %.4f unidades de masa\n', masa_total);

% 4. Visualización de la distribución de densidad (Opcional pero recomendado)
% Para describir "cómo se distribuye la densidad" como pide el enunciado
figure('Name', 'Trabajo H - Apartado 11: Distribución de Densidad');
t_plot = linspace(tmin, tmax, 100);
rho_plot = a * cosh(t_plot/a);
% Como la densidad es simétrica radialmente, solo depende de t (x3) y rho
densidad_plot = abs(t_plot) ./ (1 + rho_plot.^2);

plot(t_plot, densidad_plot, 'LineWidth', 2);
grid on;
title('Distribución de la Densidad según la altura z (t)');
xlabel('Altura z (t)');
ylabel('Densidad f');
subtitle('Se observa que la densidad es mayor en los extremos (z = +/- 1) y nula en el centro');
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:35:10Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>=<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center> 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:34:28Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros:
 <math><center>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>='''<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math></center>''' 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:33:22Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros:
 <math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>='''<math>\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math>''' 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:32:53Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación, sustituyendo los datos que tenemos nosotros:
 <math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math>='''<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math>''' 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

Dada la parametrización de la superficie en coordenadas cilíndricas, donde el radio es <math>ρ(t) = A \cosh(t/A)</math> y la altura es <math>z=t</math>, con <math>t ∈(-1, 1)</math> y <math>\theta ∈ [0, 2\pi]</math>.

Elemento de superficie <math>dS</math>: Para una superficie de revolución generada por una curva <math>ρ(t)</math>, el elemento diferencial se calcula como <math>dS = ρ(t) \sqrt{1 + (\rho'(t))^2} \, dt \, d\theta</math>. Al aplicar esto a la ecuación de la catenaria, la expresión se simplifica a:<math>dS = A \cosh^2\left(\frac{t}{A}\right) \, dt \, d\theta</math>

Sustituyendo las coordenadas de la superficie en la función de densidad dada, obtenemos la expresión en función de los parámetros <math>t</math> y <math>\theta</math>:

<math>(t, \theta) = \frac{|t|}{1 + \left( A \cosh(t/A) \right)^2}</math>

== Código de Matlab==

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:26:45Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math> Sustituimos los datos que tenemos nosotros, tanto el valor de A como las derivadas correspondientes: '''<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math>''' 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:20:20Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}</math> Sustituimos los datos que tenemos nosotros, tanto el valor de A como las derivadas correspondientes: '''<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math>''' 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:19:35Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)} </math> Sustituimos los datos que tenemos nosotros: '''<math> κ(t)=\frac{\frac{1}{3}cosh(\frac{t}{3})-0senh(\frac{t}{3})}{(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{cosh(\frac{t}{3})}{3(1+senh^2(\frac{t}{3}))^\frac{3}{2}}=\frac{1}{3cosh^2(\frac{t}{3})} </math>''' 

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:19:03Z

Diego.arroyo: /* Curvatura */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)} </math> Sustituimos los datos que tenemos nosotros:

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
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File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬_S f(x_1, x_2, x_3)dS</math>,

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:13:30Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)} </math></center>
Sustituimos los datos que tenemos nosotros:

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

<math>M=∬SfdS</math>,

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:11:03Z

Diego.arroyo: /* Curvatura */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)} </math></center>

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:10:43Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}} </math></center>

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T12:10:16Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

[[Archivo:LaCatenariaysusvectores.jpeg|400 px|miniaturadeimagen||right|'''La Catenaria y sus vectores tangentes y normales ''' ]]

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, A*cosh(t/A), con A=3 )</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} </math></center>

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=
Para calcular la masa de una superficie con densidad variable, debemos resolver la integral de superficie del campo escalar de densidad:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:58:36Z

Diego.arroyo: /* Curvatura */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} </math></center>

==Código Matlab==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:58:10Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} </math></center>

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:57:02Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>'''Curvatura''': κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} </math></center>

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
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File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
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File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
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File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
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File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:56:33Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>===Curvatura====: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} </math></center>

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
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File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
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File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
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File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
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File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:56:05Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 

Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 

El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} </math></center>

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:55:44Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 
Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 
El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:
 <center><math>Curvatura: κ(t)=\frac{x´(t)y´´(t)-x´´(t)y´´(t)}{(x´(t)^2+y´(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)-0senh(t)}{(1^2+senh(t)^2)^(3/2)}=\frac{cosh(t)}{(1+senh(t)^2)^(3/2)} </math></center>

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:54:59Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. 
Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 
El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:54:31Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar <math>κ(t)</math>, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local. 
El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:53:36Z

Diego.arroyo: /* Explicación de la curvatura de la catenaria */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==
Vamos a estudiar la curva parametrizada <math>γ(t) = (t, cosh(t))</math> centrándonos en su curvatura <math>κ</math>. Este parámetro nos indica qué tanto se aleja la curva de ser una recta en cualquier ubicación dada. Al graficar $\kappa(t)$, podremos visualizar la intensidad del giro en distintos puntos, lo que nos brinda una visión clara de su geometría local.El cálculo se realiza mediante la expresión a continuación:

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:50:42Z

Diego.arroyo: /* Curvatura */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
== Explicación de la curvatura de la catenaria==

=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
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File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
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<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.

[[Archivo:Catenoide2025.jpg|500 px|miniaturadeimagen||right|'''Superficie del Catenoide''' ]]
==Código de Matlab==
{{matlab|codigo=
% Representación de la superficie de revolución (Catenoide)

% 1. Definición de parámetros
a = 3;
tmin = -1;
tmax = 1;

% 2. Creación del mallado (Grid)
% Creamos un vector para t (altura) y otro para theta (ángulo de giro)
num_points = 75;
t = linspace(tmin, tmax, num_points);
theta = linspace(0, 2*pi, num_points);

% Matrices de coordenadas
[T, THETA] = meshgrid(t, theta);

% Parametrización de la superficie (Cilíndricas -> Cartesianas)
R = a * cosh(T ./ a);

X = R .* cos(THETA);
Y = R .* sin(THETA);
Z = T;

% Representación gráfica
figure('Name', 'El Catenoide', 'NumberTitle', 'off');
surf(X, Y, Z);

% Visualización
shading interp;
colormap jet;
light
lighting phong;
axis equal;
grid on;
box on;

% Etiquetas y Título
xlabel('Eje X_1');
ylabel('Eje X_2');
zlabel('Eje X_3 (Eje de revolución)');
title(['Superficie de revolución de la Catenaria (Catenoide) con A = ', num2str(a)]);

}}

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:43:43Z

Diego.arroyo: /* Cálculo de vectores */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
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File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
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File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
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<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.
==Código de Matlab==

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:33:47Z

Diego.arroyo: /* Código MatLab (Curva y vectores) */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / A)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{A} * cosh(t / A)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 25;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|right|]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

<center>[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]</center>

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de '''puentes colgantes''' y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En '''líneas eléctricas aéreas''', cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a '''compresión''', de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
En este apartado extendemos el estudio de la catenaria al espacio tridimensional <math>R^3</math>. Partimos de una parametrización específica de la curva dada por <math>γ(t)=(0, A \cosh(t/A), t)</math>, definida en el intervalo <math> t ∈(-1, 1)</math> y manteniendo el valor de la constante <math>A=3</math>. Esta expresión sitúa la catenaria en el plano <math>x_1=1</math>, orientada de tal forma que la variable <math>t</math> actúa como la coordenada vertical <math>x_3</math>.
El objetivo principal es generar la superficie de revolución resultante al girar dicha curva alrededor del eje vertical <math>x_1=x_2=0</math>. Para su representación gráfica se sugiere el uso de coordenadas cilíndricas, lo que da lugar geométricamente a una superficie conocida como catenoide.
==Código de Matlab==

=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:19:19Z

Diego.arroyo: /* Código MatLab (Curva y vectores) */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 30;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|derecha]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria (grupo 13)

2025-12-04T11:15:44Z

Diego.arroyo: /* Código de MATLAB */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Julián Sardina García Caroline Arias Bautista Teresa Carballo Rueda Hugo Lebaniegos Parro África del Valle Díaz}}

Cuando se sostiene una cuerda o cadena desde dos puntos y se deja caer el tramo intermedio, este adopta una forma curva perfecta muy característica que recibe el nombre de catenaria, nombre que viene de la palabra "cadena" precisamente porque se obtiene fácilmente utilizando este objeto. Aunque a simple vista se puede llegar a confundir fácilmente con una parábola, cabe aclarar que es una curva distinta ya que la forma es ligeramente diferente y la ecuación que la define es otra.

La catenaria es muy importante en ingeniería y arquitectura, puesto que invertida resulta ser la forma que mejor soporta su propio peso al mantener las fuerzas en compresión. Es por esto por lo que, a lo largo de la historia, ha sido empleada numerosas veces y ha servido como base para famosos ingenieros y arquitectos como Gaudí.

La catenaria es una curva singular, con grandes propiedades matemáticas y especialmente útil e importante en el ámbito de la construcción. En este trabajo se analizarán algunos de sus aspectos fundamentales, así como las aplicaciones que pueden desarrollarse a partir de su estudio.

=Dibujo de la curva=
Respecto a la definición matemática de la catenaria, consideraremos la curva plana dada por la parametrización siguiente en coordenadas cartesianas: 
'''<math>γ(t)=(x_1(t), x_2(t))=(t, Acosh(\frac{t}{A}))</math>''', donde <math> A </math> es una constante, tal que <math> A>0 </math> y <math> t </math> el parámetro. En este estudio, se tomará <math> A=3 </math> y el intervalo <math> t\in (-1,1) </math>.
==Descripción de la gráfica==
[[Archivo:1CatenariaDibujoG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria''' ]]
En la parte derecha, se muestra la gráfica de la curva catenaria objeto de estudio. Respecto a sus características generales, reafirmamos que su gráfica es muy similar a la de una parábola, pero no es igual — esta comparación será realizada y detallada más adelante —. Esencialmente es la gráfica de la función '''<math>f(x)= Acosh(\frac{x}{A})</math>''', (que en este caso es '''<math>f(x)= 3cosh(\frac{x}{3})</math>''') en el intervalo '''<math> x\in (-1,1)</math>''' , puesto que el campo escalar '''<math> x_1(t)=t </math>'''. Asimismo, la curva es cóncava si miramos desde arriba (mayor Y) y alcanza un mínimo cuando <math> t=0 </math> (en el punto <math>\gamma(0)</math>).

==Código de MATLAB==
A continuación se presenta el código de Matlab empleado para realizar la gráfica de la curva catenaria.
{{matlab|codigo=
clear,clc;
%Intervalo de la parametrización
t=linspace(-1,1,2000);
%Parametrización
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
figure
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');}}

=Vectores velocidad y aceleración=

==Cálculo de los vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ'(t)=x_1'(t)\vec{i}+x_2'(t)\vec{j}</math>'''.
En el caso de la catenaria, derivando los campos escalares <math> x_1(t) </math> y <math> x_2(t) </math>: '''<math> γ'(t)=\vec{i}+sinh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>''' 
- Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ''(t)=x_1''(t)\vec{i}+x_2''(t)\vec{j}</math>'''.
En el caso de la catenaria, volviendo a derivar: '''<math> γ''(t)=\frac{1} {A} cosh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>'''

==Interpretación de los vectores velocidad y aceleración==
[[Archivo:2CatenariaVAG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria y sus vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el vector velocidad '''<math> γ'(t) </math>''' nos informa de la dirección y el sentido de la curva (es un vector tangente en cada punto de la curva). Igualmente, su módulo (que no es constante) nos informa acerca de la velocidad escalar con la que nos movemos a lo largo de la curva. 

Por otra parte, el vector aceleración '''<math> γ''(t) </math>''' nos aporta información acerca de cómo varía el vector velocidad en cada punto de la curva. Se puede apreciar que este vector sólo tiene dirección <math>\vec{j}</math>, dado que el vector velocidad es constante en la dirección <math>\vec{i}</math>, pero depende de t en la dirección <math>\vec{j}</math>. Por tanto, al derivar nos desaparece la componente que acompaña a <math>\vec{i}</math>, pero se mantiene la de <math>\vec{j}</math>.

==Código de MATLAB==
A continuación se presenta el código de Matlab para la creación de la gráfica con el dibujo de la curva catenaria y sus vectores velocidad y aceleración.
{{matlab|codigo=
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores velocidad y aceleración
V1=linspace(1,1,n);
V2=sinh(t/A);
A1=linspace(0,0,n);
A2=(1/A)*cosh(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,V1,V2,'m'); %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,'k'); %aceleracion
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria, sus vectores velocidad y aceleración: \gamma(t), \gamma`(t), \gamma``(t)');
legend('\gamma(t)', '\gamma`(t)','\gamma``(t)')}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de su valor==
La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in (a,b)</math>''' es:
'''<math> L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=</math>''', donde '''<math> |γ'(t)|</math>''' es el módulo del vector velocidad.

Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, y '''<math> L </math>''' la longitud de la curva:

'''<math> L=\int_{-1}^{1}|γ'(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x_1'(t))^2 +(x_2'(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt=
\int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,037239
</math>''' 

Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo '''<math> t\in (-1,1)</math>''' es de 2,037239 unidades.

==Código de MATLAB==
A continuación se presenta el código de Matlab para el cálculo de la longitud de la curva catenaria estudiada. Para ello, se ha calculado la función <math> f(t)= |γ'(t)|= cosh(\frac{t}{A}) </math> (módulo del vector velocidad) y, posteriormente, se ha hallado el área encerrada por ella en el intervalo <math> t\in (-1,1) </math>, haciendo uso del método de integración del rectángulo. En la gráfica, se pueden observar la función módulo del vector velocidad y los rectángulos empleados para el cálculo del área.
[[Archivo:LongCurva.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Cálculo de la longitud de la curva en el intervalo (-1,1) usando el método del rectángulo''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;

%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=100;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) cosh(t/A);
suma=0;

%dibujo de la gráfica del módulo del vector velocidad
figure
hold on
plot(t,f(t),'b','LineWidth',2);

%cálculo de la integral y dibujo de los rectángulos
for i=1:(n-1)
h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
ymed=f(xmed);
area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
suma=suma+area;

%dibujo de los rectángulos
x_rect=[t(i),t(i+1),t(i+1),t(i),t(i)];
y_rect=[0,0,f(t(i+1)),f(t(i)),0];
plot(x_rect,y_rect,'m','LineWidth',1);
end

hold off
legend('Módulo de \gamma´(t)','Rectángulos')

%dibujo de los rectángulos
fprintf ('La longitud es %f.\n ',suma)}}

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de los vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- Su '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En el caso de la catenaria: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- Su '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma, el vector normal de la catenaria quedaría: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores tangente y normal==
[[Archivo:4VecTanNorG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''' ]]
Por un lado, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' nos describe la dirección de la curva en el sentido en que se recorre (algo que se puede observar en la gráfica); es el vector velocidad dividido por su módulo. De esta forma, es un vector unitario. 

Por otro lado, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''' apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva y también es unitario. Su definición viene determinada por el producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es ortogonal al plano formado por los vectores normal y tangente, que en este caso es el plano XY, pues la catenaria es una curva plana.

==Código de MATLAB==
{{matlab|codigo=
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores tangente y normal
T1=sech(t/A);
T2=tanh(t/A);
N1=-tanh(t/A);
N2=sech(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'b'); %vector tangente
quiver(x,y,N1,N2,'m'); %vector normal
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
title('La catenaria, sus vectores tangente y normal');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
La curvatura de una curva es una medida que muestra qué tanto se desvía de una línea recta en un punto específico.
==Cálculo==
Sea la parametrización de la catenaria <math>\quad γ(t) =(t,\, Acosh(\frac{t}{A}))\quad</math> tal que <math>\qquad t\in (-1,1)</math>

La '''curvatura''' se define como: <math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math>

Y como se calculó en apartados anteriores sus vectores velocidad y aceleración y el módulo del vector velocidad son los siguientes:

<math> γ'(t)=\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>

<math> γ''(t)=\frac{1} {A} cosh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>.

<math>|γ'(t)| = \cosh(\frac{t}{A})</math>.

Por lo tanto, la curvatura es
<math>\quad\kappa(t)=\frac{\frac{1}{A}cosh(\frac{t}{A})}{cosh^{3}(\frac{t}{A})}=\frac{1}{Acosh^{2}(\frac{t}{A})}</math>

==Código de MATLAB==
[[Archivo:1curvatura.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la curvatura de la catenaria''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;
%intervalo de parametrización
t=linspace (-1,1,70);
%definición de la curvatura
A=3;
k=1./(A.*(cosh(t./A)).^2);
%dibujo de la curvatura
figure;
plot(t,k,'r','LineWidth',2);
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-1,1,0.1,0.5]);
title('Curvatura: \kappa(t)');}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es aquella que mejor se aproxima a la curva en un punto de esta, siendo este el punto de tangencia entre ambas.

==Cálculos==
Vamos a calcular el radio y el centro de la circunferencia osculatriz en el punto de la curva <math>\gamma(t_0)</math> tal que <math>\quad t_0=-0,5</math>

El '''radio de la circunferencia osculatriz''' se define como: <math>\quad \delta(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math>

Por lo tanto, el radio de la circunferencia es

<math>\delta(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)}
=\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}}
=\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e}
\simeq 3,08</math>

A su vez, el '''centro de esta circunferencia''' se define como: <math>\quad C(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math>

Y como ya se calculó en el apartado 4, el vector normal es el siguiente:

<math>\vec{n}= -tanh\left(\frac{t}{A}\right)\vec{i}+
sech\left(\frac{t}{A}\right)\vec{j}</math>

Por lo tanto, el centro de la circunferencia es

<math>C(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}})
+\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{t}{A}\right),
sech\left(\frac{t}{A}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e},
\; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right)
\simeq (0,0093;\; 6,08)</math>

==Código de MATLAB==
[[Archivo:1c_osculatriz.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria y de su circunferencia osculatriz''' ]]
{{matlab|codigo=
ex=linspace(-4,4,30);
A=3;
x=ex;
y=A*cosh(ex/A);
t=-0.5;
%calculamos el punto P
P=[t,A*cosh(t/A)];
%calculamos el vector normal
n=[-tanh(t/A),1./cosh(t/A)];
%curvatura y radio de curvatura
k=1./(3.*(cosh(t/3)).^2);
R=1/k;
%centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
% parametrizamos la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,100);
xx = R* cos (tt)+Q(1);
yy = R* sin ( tt )+Q(2);
%dibujos
figure
hold on
plot ( xx , yy ,'g','LineWidth',2)
plot (x,y,'r','Linewidth',2)
plot (P(1),P(2),'*k','Linewidth',2)%dibujamos el punto P
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria y su circunferencia osculatriz');
axis equal
hold off}}

=Fenómenos que describe=
[[Archivo:Fuerzas_catenaria.jpg|500px|thumb|left|Trabajos según su geometría]]La catenaria es la curva natural que adopta una cuerda o cable flexible y prácticamente inextensible cuando se suspende de sus extremos y actúa sobre él únicamente la gravedad. Su ecuación característica describe con precisión la forma de equilibrio que minimiza la energía potencial del cable. Este comportamiento constituye el fenómeno fundamental asociado a la catenaria: la búsqueda automática de la configuración más estable bajo su propio peso.

En ingeniería civil, esta curva tiene una relevancia notable. Los cables de los puentes colgantes se aproximan a una catenaria debido a su peso propio; las líneas eléctricas y las catenarias ferroviarias cuelgan siguiendo esta misma geometría; y los arcos diseñados con forma de catenaria invertida trabajan de manera óptima solo a compresión, evitando esfuerzos cortantes y flectores, lo que los convierte en estructuras especialmente estables. Esta propiedad fue aprovechada históricamente por arquitectos e ingenieros y sigue aplicándose en estructuras contemporáneas.

En conjunto, la catenaria no solo describe un fenómeno físico básico, sino que constituye una herramienta esencial en el diseño estructural, permitiendo resolver obras eficientes, estables y adaptadas al comportamiento natural de los materiales bajo carga gravitatoria.

=Ejemplos en la ingeniería civil=
Como se acaba de comentar, el uso de la catenaria en la ingeniería ha sido variado. Por ejemplo, con respecto a los arcos con forma de catenaria invertida se debe destacar, por su tamaño y antigüedad, el Gran Arco de Ctesifonte, perteneciente a la antigua persia. Esta estructura es una perfecta aproximación a la curva y ha servido de inspiración para otras obras. Además, en España también aparece la representación de la catenaria en arcos. Sin ir mas lejos, Antonio Gaudí aprovechó sus propiedades en buena parte de su obra: la casa Milà, la casa Batlló o el colegio de las Teresianas son algunos ejemplos.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Arco_Persa.jpeg|Gran Arco de Ctesifonte
<gallery class="center" heights="200px" widths="400px">
File:Milahouse.jpeg|Interior de la Casa Milà, Antonio Gaudí
</gallery>
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Batllohouse.jpg|Interior de la Casa Batlló, Antonio Gaudí
<gallery class="center" heights="200px" widths="400px">
File:Teresianasfachada.jpg|Interior del colegio de las Teresianas, Antonio Gaudí
</gallery>

=Comparación con la parábola=
==Contexto Histórico==
Como ya se ha comentado anteriormente, la catenaria es una curva que se adquiere al someter a una cuerda perfectamente flexible e indeformable sujetada por sus dos extremos a la acción de la gravedad. En un primer momento, antes de haber determinado su ecuación, se creía que la catenaria era equivalente a la parábola, debido a las semejanzas en sus trazados. Ahora bien, en 1669 el matemático alemán Joachin Jungius demostró que la catenaria era una curva totalmente distinta, y en 1691 Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Chistiaan Huygens obtuvieron su ecuación, con la que se ha ido trabajando en esta página.

==Código==
Dada la parábola de ecuación <math>y = A+\frac{x^2}{A}</math> y la catenaria parametrizada <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(\frac{t}{A}))</math>, para A=3 y t∈(-1,1) la gráfica de ambas curvas es:
[[Archivo:Parabola_Catenaria.png|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Comparación con la parábola''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;
A=3;
%Intervalo de parametrización
t=linspace(-1,1,100);

%%PARÁBOLA
%Parametrización
xp=t;
yp=3+(t.^2)/3;
%Dibujo de la curva
hold on
plot(xp,yp,'g','LineWidth',2);

%%CATENARIA
%Parametrización
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2 );

title('Comparación parábola y catenaria');
legend('Parábola y=A+x^2/A','Catenaria');}}
 

Esta gráfica muestra a la perfección que, aunque ambas curvas tienen forma de U, sus trayectorias son distintas. Ahora bien, si en el código aumentamos el intervalo de representación (t∈(-10, 10)), se puede apreciar perfectamente cómo la catenaria y la parábola se cortan, permitiéndonos visualizar mucho mejor las diferencias entre esa cadena que cuelga bajo la acción de la gravedad frente a la curva plana de segundo grado.
<div style="text-align:center;">
[[Archivo:Parabola_Catenaria_2.png|400px| ]]
</div>

=El catenoide=

==Representación tridimensional==
Teniendo en cuenta la parametrización <math>γ(t) = (x_1(t),x_2(t),x_3(t)) = ( 0, Acosh(\frac{t}{A}), t)</math>, si rotamos la catenaria alrededor del eje vertical (<math>x_1 = x_2 = 0</math>) se genera una superficie de revolución: el catenoide.

Para representar la superficie se puede parametrizar la curva en cilíndricas: 
<div style="text-align:center;">
<math>
\begin{cases}
x_1(\rho,\theta,z) = \rho\cos(\theta) \\
x_2(\rho,\theta,z) = \rho\sin(\theta) \\
x_3(\rho,\theta,z) = z
\end{cases}
\qquad
</math>
</div>
Siendo <math>ρ = Acosh(\frac{t}{A})</math>, <math>z=t</math> y para <math> A=3 </math> la parametrización queda: 
<div style="text-align:center;">
<math>
\begin{cases}
x_1(t,\theta) = 3cosh(\frac{t}{3})cos(\theta) \\
x_2(t,\theta) = 3cosh(\frac{t}{3})sin(\theta) \\
x_3(t,\theta) = t
\end{cases}
\qquad
\theta \in (0, 2\pi),\; t \in (-1,1)
</math>
</div> 
El código de la representación es:

[[Archivo:Catenaria3d.png|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación en R3''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;
%%Representación en R3
%Parámetros
A=3;
t=linspace(-1,1,100);
theta phi=linspace(0, 2*pi, 100);

%Mallado
[Mt,Mth]=meshgrid(t, phi);

%Parametrizamos la curva en cilíndricas
R=A*cosh(Mt/A);
X=R.*cos(Mth);
Y=R.*sin(Mth);
Z=Mt;

%Gráfico
surf(X, Y, Z);
shading flat
title('Catenoide');}}

==Ejemplos en la ingeniería==
Por otro lado, el catenoide es una superficie minimal, esto es, que minimiza el área entre las superficies con el mismo borde. El Teatro Nacional de Taichung, diseñado por Toyo Ito, puede que sea una de las mejores representaciones de esta superficie en arquitectura, al estar compuesto por unos 58 catenoides interconectados. Por otro lado, otros arquitectos como Frei Otto destacan por el uso de superficies minimales, que podrían llegar a aproximarse al catenoide, como el Pabellón Japonés para la Expo 2000 de Hannover, que diseñó Shigeru Ban con Frei Otto como consultor.
 
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Teatro11.jpg|Exterior del teatro nacional de Taichung
<gallery class="center" heights="200px" widths="400px">
File:Pabellon1.jpg|Pabellón Japonés para la Expo 2000 de Hannover
</gallery>

=Densidad de la superficie=
==Distribución de la densidad==
[[Archivo:Grafica_densidad.png|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria''' ]]
Supongamos que la densidad del catenoide anterior viene dada por la
función: 
<math>f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1+x_1^2+x_2^2}</math> 
 
Sustituimos la parametrización del catenoide: 
<math>
\mathbf{r}(t,\theta) =
\begin{cases}
x_1(t,\theta) = A \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \cos\theta \\
x_2(t,\theta) = A \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \sin\theta \\
x_3(t,\theta) = t
\end{cases}, \quad
t \in (-1, 1) , \quad \theta \in (0, 2\pi)
</math> 
en la función densidad dada y nos queda: 
<math>
f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + A^2 \cosh^2(\frac{t}{A})}
</math> 
Si graficamos la función en MATLAB suponiendo que depende solo de t nos queda: 
<math>γ(t)=\frac{t^2}{1+(Acosh(\frac{t}{A}))^2}</math> 
<div style="text-align:center;">
</div>
 
Como <math>x_3=t</math>, podemos interpretar la distribución de la densidad en función de la altura. En el intervalo [-1,1] no se aprecia demasiado como se distribuye la densidad, pero si extendemos el domino a toda la recta real podemos interpretarlo de la siguiente manera. Cuando el valor absoluto de la altura tiende a infinito, el denominador es dominante respecto del numerador y la densidad tiende a 0. En <math>-4< t <4 </math>, encontramos los máximos absolutos de la función y el mínimo absoluto en (0,0), el único punto en el cual se anula la densidad. En conclusión, la gran mayoría de la densidad se acumula alrededor del centro de la superficie.

==Masa de la superficie==
La función de la densidad con la parametrización del catenoide nos quedaba: 
<math>
f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + A^2 \cosh^2(\frac{t}{A})}\quad
t \in (-1, 1)
</math> 
El cálculo de la masa de la superficie <math>
\mathbf{r}(t,\theta)
= \big( A\cosh(\frac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\frac{t}{A})\sin\theta,\;
t \big)
</math> viene dado por: 
<math>
M = \int_0^{2\pi} \int_{-1}^{1} f(t,\theta) |\vec{\mathbf{r}_t} \times \vec{\mathbf{r}_\theta}| dt d\theta</math> 
Se procede al cálculo del elemento diferencial de la superficie (en la base física cilíndrica): 
<math>
\vec{\mathbf{r}_t} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}
=(sinh(\frac{t}{A})\cos\theta)\vec{\mathbf{e}_\rho}+ (sinh(\frac{t}{A})\sin\theta)\vec{\mathbf{e}_\theta} + \vec{\mathbf{e}_z}
</math>
 
<math>
\vec{\mathbf{r}_\theta} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}
=
(-A\cosh(\frac{t}{A})\sin\theta)\vec{\mathbf{e}_\rho} +
(A\cosh(\frac{t}{A})\cos\theta)\vec{\mathbf{e}_\theta}
</math>
 
<math>
\vec{\mathbf{r}_t} \times \vec{\mathbf{r}_\theta}
=(-A\cosh(\frac{t}{A})\cos\theta)\vec{\mathbf{e}_\rho} - (A\cosh(\frac{t}{A})\sin\theta)\vec{\mathbf{e}_\theta} + (A\cosh(\frac{t}{A})\sinh(\frac{t}{A}))\vec{\mathbf{e}_z}
</math>
 
<math>
|\vec{\mathbf{r}_t} \times \vec{\mathbf{r}_\theta}|
= A\,\cosh^2(\frac{t}{A})
</math> 
La masa de la superficie (con <math> A=3 </math>) y para <math> t \in (-1,1) </math> se calcula como: 
<math>
M \;=\;
\int_{0}^{2\pi} \int_{-1}^{1}
\frac{t^2}{1 + 9\cosh^2(\frac{t}{3})}\;
3\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)
\, dt\, d\theta
\;=\;
6\pi
\int_{-1}^{1}
\frac{t^2\,\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
{1 + 9\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
\, dt
</math> 
Como la integral no se puede resolver de manera teórica, empleamos el método del rectángulo.

==Código MATLAB==
{{matlab|codigo=
%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=125;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) 6*pi*t.^2.*(cosh(t/3)).^2/(1+(3.*cosh(t/3)).^2);
suma=0;

%cálculo de la integral
for i=1:(n-1)
h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
ymed=f(xmed);
area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
suma=suma+area;
end

fprintf ('La masa es %f.\n ',suma)}} 
==Resultado de la masa==
<math>
M \,=\,
6\pi
\int_{-1}^{1}
\frac{t^2\,\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
{1 + 9\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
\, dt = 1,264569\;uds.
</math>

=Referencias=
https://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20geom%C3%A9trico/Catenaria.pdf 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La catenaria (grupo 13)

2025-12-04T11:15:15Z

Diego.arroyo: /* Código de MATLAB */

{{ TrabajoED | La catenaria. Grupo 13 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] | Julián Sardina García Caroline Arias Bautista Teresa Carballo Rueda Hugo Lebaniegos Parro África del Valle Díaz}}

Cuando se sostiene una cuerda o cadena desde dos puntos y se deja caer el tramo intermedio, este adopta una forma curva perfecta muy característica que recibe el nombre de catenaria, nombre que viene de la palabra "cadena" precisamente porque se obtiene fácilmente utilizando este objeto. Aunque a simple vista se puede llegar a confundir fácilmente con una parábola, cabe aclarar que es una curva distinta ya que la forma es ligeramente diferente y la ecuación que la define es otra.

La catenaria es muy importante en ingeniería y arquitectura, puesto que invertida resulta ser la forma que mejor soporta su propio peso al mantener las fuerzas en compresión. Es por esto por lo que, a lo largo de la historia, ha sido empleada numerosas veces y ha servido como base para famosos ingenieros y arquitectos como Gaudí.

La catenaria es una curva singular, con grandes propiedades matemáticas y especialmente útil e importante en el ámbito de la construcción. En este trabajo se analizarán algunos de sus aspectos fundamentales, así como las aplicaciones que pueden desarrollarse a partir de su estudio.

=Dibujo de la curva=
Respecto a la definición matemática de la catenaria, consideraremos la curva plana dada por la parametrización siguiente en coordenadas cartesianas: 
'''<math>γ(t)=(x_1(t), x_2(t))=(t, Acosh(\frac{t}{A}))</math>''', donde <math> A </math> es una constante, tal que <math> A>0 </math> y <math> t </math> el parámetro. En este estudio, se tomará <math> A=3 </math> y el intervalo <math> t\in (-1,1) </math>.
==Descripción de la gráfica==
[[Archivo:1CatenariaDibujoG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria''' ]]
En la parte derecha, se muestra la gráfica de la curva catenaria objeto de estudio. Respecto a sus características generales, reafirmamos que su gráfica es muy similar a la de una parábola, pero no es igual — esta comparación será realizada y detallada más adelante —. Esencialmente es la gráfica de la función '''<math>f(x)= Acosh(\frac{x}{A})</math>''', (que en este caso es '''<math>f(x)= 3cosh(\frac{x}{3})</math>''') en el intervalo '''<math> x\in (-1,1)</math>''' , puesto que el campo escalar '''<math> x_1(t)=t </math>'''. Asimismo, la curva es cóncava si miramos desde arriba (mayor Y) y alcanza un mínimo cuando <math> t=0 </math> (en el punto <math>\gamma(0)</math>).

==Código de MATLAB==
A continuación se presenta el código de Matlab empleado para realizar la gráfica de la curva catenaria.
{{matlab|codigo=
clear,clc;
%Intervalo de la parametrización
t=linspace(-1,1,2000);
%Parametrización
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
figure
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La Catenaria: \gamma(t)=(t,Acosh(t/A))');}}

=Vectores velocidad y aceleración=

==Cálculo de los vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ'(t)=x_1'(t)\vec{i}+x_2'(t)\vec{j}</math>'''.
En el caso de la catenaria, derivando los campos escalares <math> x_1(t) </math> y <math> x_2(t) </math>: '''<math> γ'(t)=\vec{i}+sinh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>''' 
- Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
'''<math> γ''(t)=x_1''(t)\vec{i}+x_2''(t)\vec{j}</math>'''.
En el caso de la catenaria, volviendo a derivar: '''<math> γ''(t)=\frac{1} {A} cosh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>'''

==Interpretación de los vectores velocidad y aceleración==
[[Archivo:2CatenariaVAG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria y sus vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el vector velocidad '''<math> γ'(t) </math>''' nos informa de la dirección y el sentido de la curva (es un vector tangente en cada punto de la curva). Igualmente, su módulo (que no es constante) nos informa acerca de la velocidad escalar con la que nos movemos a lo largo de la curva. 

Por otra parte, el vector aceleración '''<math> γ''(t) </math>''' nos aporta información acerca de cómo varía el vector velocidad en cada punto de la curva. Se puede apreciar que este vector sólo tiene dirección <math>\vec{j}</math>, dado que el vector velocidad es constante en la dirección <math>\vec{i}</math>, pero depende de t en la dirección <math>\vec{j}</math>. Por tanto, al derivar nos desaparece la componente que acompaña a <math>\vec{i}</math>, pero se mantiene la de <math>\vec{j}</math>.

==Código de MATLAB==
A continuación se presenta el código de Matlab para la creación de la gráfica con el dibujo de la curva catenaria y sus vectores velocidad y aceleración.
{{matlab|codigo=
n=20;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores velocidad y aceleración
V1=linspace(1,1,n);
V2=sinh(t/A);
A1=linspace(0,0,n);
A2=(1/A)*cosh(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,V1,V2,'m'); %velocidad
quiver(x,y,A1,A2,'k'); %aceleracion
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria, sus vectores velocidad y aceleración: \gamma(t), \gamma`(t), \gamma``(t)');
legend('\gamma(t)', '\gamma`(t)','\gamma``(t)')}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de su valor==
La longitud de una curva parametrizada según un parámetro t en un intervalo '''<math> t\in (a,b)</math>''' es:
'''<math> L=\int_{a}^{b}|γ′(t)|=</math>''', donde '''<math> |γ'(t)|</math>''' es el módulo del vector velocidad.

Por ende, sea la curva en este caso la catenaria, y '''<math> L </math>''' la longitud de la curva:

'''<math> L=\int_{-1}^{1}|γ'(t)|=\int_{-1}^{1}\sqrt {(x_1'(t))^2 +(x_2'(t))^2}dt=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1}\sqrt{cosh^2(\frac{t}{3})}dt=
\int_{-1}^{1}\cosh(\frac{t}{3})dt = 3(sinh(\frac{1}{3})-sinh(\frac{-1}{3}))= 6sinh(\frac{1}{3}) = 2,037239
</math>''' 

Por lo tanto, la longitud de la curva catenaria en el intervalo '''<math> t\in (-1,1)</math>''' es de 2,037239 unidades.

==Código de MATLAB==
A continuación se presenta el código de Matlab para el cálculo de la longitud de la curva catenaria estudiada. Para ello, se ha calculado la función <math> f(t)= |γ'(t)|= cosh(\frac{t}{A}) </math> (módulo del vector velocidad) y, posteriormente, se ha hallado el área encerrada por ella en el intervalo <math> t\in (-1,1) </math>, haciendo uso del método de integración del rectángulo. En la gráfica, se pueden observar la función módulo del vector velocidad y los rectángulos empleados para el cálculo del área.
[[Archivo:LongCurva.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Cálculo de la longitud de la curva en el intervalo (-1,1) usando el método del rectángulo''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;

%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=100;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) cosh(t/A);
suma=0;

%dibujo de la gráfica del módulo del vector velocidad
figure
hold on
plot(t,f(t),'b','LineWidth',2);

%cálculo de la integral y dibujo de los rectángulos
for i=1:(n-1)
h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
ymed=f(xmed);
area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
suma=suma+area;

%dibujo de los rectángulos
x_rect=[t(i),t(i+1),t(i+1),t(i),t(i)];
y_rect=[0,0,f(t(i+1)),f(t(i)),0];
plot(x_rect,y_rect,'m','LineWidth',1);
end

hold off
legend('Módulo de \gamma´(t)','Rectángulos')

%dibujo de los rectángulos
fprintf ('La longitud es %f.\n ',suma)}}

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de los vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- Su '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En el caso de la catenaria: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+sinh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- Su '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma, el vector normal de la catenaria quedaría: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores tangente y normal==
[[Archivo:4VecTanNorG13.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''' ]]
Por un lado, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' nos describe la dirección de la curva en el sentido en que se recorre (algo que se puede observar en la gráfica); es el vector velocidad dividido por su módulo. De esta forma, es un vector unitario. 

Por otro lado, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''' apunta hacia el centro de la circunferencia que mejor se adapta a la curva y también es unitario. Su definición viene determinada por el producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es ortogonal al plano formado por los vectores normal y tangente, que en este caso es el plano XY, pues la catenaria es una curva plana.

==Código de MATLAB==
{{matlab|codigo=
n=30;
t=linspace(-1,1,n);
A=3;
x=t;
y=A*cosh(t/A);

%vectores tangente y normal
T1=sech(t/A);
T2=tanh(t/A);
N1=-tanh(t/A);
N2=sech(t/A);
figure
hold on
plot(x,y,'r','LineWidth',2); %curva
quiver(x,y,T1,T2,'b'); %vector tangente
quiver(x,y,N1,N2,'m'); %vector normal
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
title('La catenaria, sus vectores tangente y normal');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
La curvatura de una curva es una medida que muestra qué tanto se desvía de una línea recta en un punto específico.
==Cálculo==
Sea la parametrización de la catenaria <math>\quad γ(t) =(t,\, Acosh(\frac{t}{A}))\quad</math> tal que <math>\qquad t\in (-1,1)</math>

La '''curvatura''' se define como: <math>\quad\kappa(t)=\frac{|\gamma'(t)\times \gamma''(t)|}{|\gamma'(t)|^{3}}</math>

Y como se calculó en apartados anteriores sus vectores velocidad y aceleración y el módulo del vector velocidad son los siguientes:

<math> γ'(t)=\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>

<math> γ''(t)=\frac{1} {A} cosh(\frac{t}{A})\vec{j}</math>.

<math>|γ'(t)| = \cosh(\frac{t}{A})</math>.

Por lo tanto, la curvatura es
<math>\quad\kappa(t)=\frac{\frac{1}{A}cosh(\frac{t}{A})}{cosh^{3}(\frac{t}{A})}=\frac{1}{Acosh^{2}(\frac{t}{A})}</math>

==Código de MATLAB==
[[Archivo:1curvatura.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la curvatura de la catenaria''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;
%intervalo de parametrización
t=linspace (-1,1,70);
%definición de la curvatura
A=3;
k=1./(A.*(cosh(t./A)).^2);
%dibujo de la curvatura
figure;
plot(t,k,'r','LineWidth',2);
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-1,1,0.1,0.5]);
title('Curvatura: \kappa(t)');}}

=Circunferencia osculatriz=
La circunferencia osculatriz es aquella que mejor se aproxima a la curva en un punto de esta, siendo este el punto de tangencia entre ambas.

==Cálculos==
Vamos a calcular el radio y el centro de la circunferencia osculatriz en el punto de la curva <math>\gamma(t_0)</math> tal que <math>\quad t_0=-0,5</math>

El '''radio de la circunferencia osculatriz''' se define como: <math>\quad \delta(t_0)=\frac{1}{\kappa(t_0)}</math>

Por lo tanto, el radio de la circunferencia es

<math>\delta(-0,5)=\frac{1}{\kappa(-0,5)}
=\frac{1}{\frac{1}{3 \cosh^{2}\left(-\frac{0.5}{3}\right)}}
=\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}+6e+3e\sqrt[3]{e}}{4e}
\simeq 3,08</math>

A su vez, el '''centro de esta circunferencia''' se define como: <math>\quad C(t_0)=\gamma(t_0)+\frac{1}{\kappa(t_0)}\,\vec{n}(t_0)</math>

Y como ya se calculó en el apartado 4, el vector normal es el siguiente:

<math>\vec{n}= -tanh\left(\frac{t}{A}\right)\vec{i}+
sech\left(\frac{t}{A}\right)\vec{j}</math>

Por lo tanto, el centro de la circunferencia es

<math>C(-0,5)=(-0,5;\; 3\cosh{\frac{-0,5}{3}})
+\frac{1}{\kappa(-0,5)}\left(-tanh\left(\frac{t}{A}\right),
sech\left(\frac{t}{A}\right)\right)
=\left(-\frac12-\frac{3\sqrt[3]{e^{2}}-3e\sqrt[3]{e}}{4e},
\; \frac{3\sqrt[6]{e^{5}}+3e\sqrt[6]{e}}{e}\right)
\simeq (0,0093;\; 6,08)</math>

==Código de MATLAB==
[[Archivo:1c_osculatriz.jpg|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria y de su circunferencia osculatriz''' ]]
{{matlab|codigo=
ex=linspace(-4,4,30);
A=3;
x=ex;
y=A*cosh(ex/A);
t=-0.5;
%calculamos el punto P
P=[t,A*cosh(t/A)];
%calculamos el vector normal
n=[-tanh(t/A),1./cosh(t/A)];
%curvatura y radio de curvatura
k=1./(3.*(cosh(t/3)).^2);
R=1/k;
%centro de la circunferencia osculatriz
Q=P+R*n;
% parametrizamos la circunferencia osculatriz
tt=linspace(0,2*pi,100);
xx = R* cos (tt)+Q(1);
yy = R* sin ( tt )+Q(2);
%dibujos
figure
hold on
plot ( xx , yy ,'g','LineWidth',2)
plot (x,y,'r','Linewidth',2)
plot (P(1),P(2),'*k','Linewidth',2)%dibujamos el punto P
xlabel('eje x');
ylabel('eje y');
title('La catenaria y su circunferencia osculatriz');
axis equal
hold off}}

=Fenómenos que describe=
[[Archivo:Fuerzas_catenaria.jpg|500px|thumb|left|Trabajos según su geometría]]La catenaria es la curva natural que adopta una cuerda o cable flexible y prácticamente inextensible cuando se suspende de sus extremos y actúa sobre él únicamente la gravedad. Su ecuación característica describe con precisión la forma de equilibrio que minimiza la energía potencial del cable. Este comportamiento constituye el fenómeno fundamental asociado a la catenaria: la búsqueda automática de la configuración más estable bajo su propio peso.

En ingeniería civil, esta curva tiene una relevancia notable. Los cables de los puentes colgantes se aproximan a una catenaria debido a su peso propio; las líneas eléctricas y las catenarias ferroviarias cuelgan siguiendo esta misma geometría; y los arcos diseñados con forma de catenaria invertida trabajan de manera óptima solo a compresión, evitando esfuerzos cortantes y flectores, lo que los convierte en estructuras especialmente estables. Esta propiedad fue aprovechada históricamente por arquitectos e ingenieros y sigue aplicándose en estructuras contemporáneas.

En conjunto, la catenaria no solo describe un fenómeno físico básico, sino que constituye una herramienta esencial en el diseño estructural, permitiendo resolver obras eficientes, estables y adaptadas al comportamiento natural de los materiales bajo carga gravitatoria.

=Ejemplos en la ingeniería civil=
Como se acaba de comentar, el uso de la catenaria en la ingeniería ha sido variado. Por ejemplo, con respecto a los arcos con forma de catenaria invertida se debe destacar, por su tamaño y antigüedad, el Gran Arco de Ctesifonte, perteneciente a la antigua persia. Esta estructura es una perfecta aproximación a la curva y ha servido de inspiración para otras obras. Además, en España también aparece la representación de la catenaria en arcos. Sin ir mas lejos, Antonio Gaudí aprovechó sus propiedades en buena parte de su obra: la casa Milà, la casa Batlló o el colegio de las Teresianas son algunos ejemplos.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Arco_Persa.jpeg|Gran Arco de Ctesifonte
<gallery class="center" heights="200px" widths="400px">
File:Milahouse.jpeg|Interior de la Casa Milà, Antonio Gaudí
</gallery>
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Batllohouse.jpg|Interior de la Casa Batlló, Antonio Gaudí
<gallery class="center" heights="200px" widths="400px">
File:Teresianasfachada.jpg|Interior del colegio de las Teresianas, Antonio Gaudí
</gallery>

=Comparación con la parábola=
==Contexto Histórico==
Como ya se ha comentado anteriormente, la catenaria es una curva que se adquiere al someter a una cuerda perfectamente flexible e indeformable sujetada por sus dos extremos a la acción de la gravedad. En un primer momento, antes de haber determinado su ecuación, se creía que la catenaria era equivalente a la parábola, debido a las semejanzas en sus trazados. Ahora bien, en 1669 el matemático alemán Joachin Jungius demostró que la catenaria era una curva totalmente distinta, y en 1691 Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Chistiaan Huygens obtuvieron su ecuación, con la que se ha ido trabajando en esta página.

==Código==
Dada la parábola de ecuación <math>y = A+\frac{x^2}{A}</math> y la catenaria parametrizada <math>γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(\frac{t}{A}))</math>, para A=3 y t∈(-1,1) la gráfica de ambas curvas es:
[[Archivo:Parabola_Catenaria.png|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Comparación con la parábola''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;
A=3;
%Intervalo de parametrización
t=linspace(-1,1,100);

%%PARÁBOLA
%Parametrización
xp=t;
yp=3+(t.^2)/3;
%Dibujo de la curva
hold on
plot(xp,yp,'g','LineWidth',2);

%%CATENARIA
%Parametrización
x=t;
y=A*cosh(t/A);
%Dibujo de la curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2 );

title('Comparación parábola y catenaria');
legend('Parábola y=A+x^2/A','Catenaria');}}
 

Esta gráfica muestra a la perfección que, aunque ambas curvas tienen forma de U, sus trayectorias son distintas. Ahora bien, si en el código aumentamos el intervalo de representación (t∈(-10, 10)), se puede apreciar perfectamente cómo la catenaria y la parábola se cortan, permitiéndonos visualizar mucho mejor las diferencias entre esa cadena que cuelga bajo la acción de la gravedad frente a la curva plana de segundo grado.
<div style="text-align:center;">
[[Archivo:Parabola_Catenaria_2.png|400px| ]]
</div>

=El catenoide=

==Representación tridimensional==
Teniendo en cuenta la parametrización <math>γ(t) = (x_1(t),x_2(t),x_3(t)) = ( 0, Acosh(\frac{t}{A}), t)</math>, si rotamos la catenaria alrededor del eje vertical (<math>x_1 = x_2 = 0</math>) se genera una superficie de revolución: el catenoide.

Para representar la superficie se puede parametrizar la curva en cilíndricas: 
<div style="text-align:center;">
<math>
\begin{cases}
x_1(\rho,\theta,z) = \rho\cos(\theta) \\
x_2(\rho,\theta,z) = \rho\sin(\theta) \\
x_3(\rho,\theta,z) = z
\end{cases}
\qquad
</math>
</div>
Siendo <math>ρ = Acosh(\frac{t}{A})</math>, <math>z=t</math> y para <math> A=3 </math> la parametrización queda: 
<div style="text-align:center;">
<math>
\begin{cases}
x_1(t,\theta) = 3cosh(\frac{t}{3})cos(\theta) \\
x_2(t,\theta) = 3cosh(\frac{t}{3})sin(\theta) \\
x_3(t,\theta) = t
\end{cases}
\qquad
\theta \in (0, 2\pi),\; t \in (-1,1)
</math>
</div> 
El código de la representación es:

[[Archivo:Catenaria3d.png|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación en R3''' ]]
{{matlab|codigo=
clear,clc;
%%Representación en R3
%Parámetros
A=3;
t=linspace(-1,1,100);
theta phi=linspace(0, 2*pi, 100);

%Mallado
[Mt,Mth]=meshgrid(t, phi);

%Parametrizamos la curva en cilíndricas
R=A*cosh(Mt/A);
X=R.*cos(Mth);
Y=R.*sin(Mth);
Z=Mt;

%Gráfico
surf(X, Y, Z);
shading flat
title('Catenoide');}}

==Ejemplos en la ingeniería==
Por otro lado, el catenoide es una superficie minimal, esto es, que minimiza el área entre las superficies con el mismo borde. El Teatro Nacional de Taichung, diseñado por Toyo Ito, puede que sea una de las mejores representaciones de esta superficie en arquitectura, al estar compuesto por unos 58 catenoides interconectados. Por otro lado, otros arquitectos como Frei Otto destacan por el uso de superficies minimales, que podrían llegar a aproximarse al catenoide, como el Pabellón Japonés para la Expo 2000 de Hannover, que diseñó Shigeru Ban con Frei Otto como consultor.
 
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Teatro11.jpg|Exterior del teatro nacional de Taichung
<gallery class="center" heights="200px" widths="400px">
File:Pabellon1.jpg|Pabellón Japonés para la Expo 2000 de Hannover
</gallery>

=Densidad de la superficie=
==Distribución de la densidad==
[[Archivo:Grafica_densidad.png|500 px||miniaturadeimagen|right|'''Representación de la catenaria''' ]]
Supongamos que la densidad del catenoide anterior viene dada por la
función: 
<math>f(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3^2}{1+x_1^2+x_2^2}</math> 
 
Sustituimos la parametrización del catenoide: 
<math>
\mathbf{r}(t,\theta) =
\begin{cases}
x_1(t,\theta) = A \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \cos\theta \\
x_2(t,\theta) = A \cosh\left(\frac{t}{A}\right) \sin\theta \\
x_3(t,\theta) = t
\end{cases}, \quad
t \in (-1, 1) , \quad \theta \in (0, 2\pi)
</math> 
en la función densidad dada y nos queda: 
<math>
f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + A^2 \cosh^2(\frac{t}{A})}
</math> 
Si graficamos la función en MATLAB suponiendo que depende solo de t nos queda: 
<math>γ(t)=\frac{t^2}{1+(Acosh(\frac{t}{A}))^2}</math> 
<div style="text-align:center;">
</div>
 
Como <math>x_3=t</math>, podemos interpretar la distribución de la densidad en función de la altura. En el intervalo [-1,1] no se aprecia demasiado como se distribuye la densidad, pero si extendemos el domino a toda la recta real podemos interpretarlo de la siguiente manera. Cuando el valor absoluto de la altura tiende a infinito, el denominador es dominante respecto del numerador y la densidad tiende a 0. En <math>-4< t <4 </math>, encontramos los máximos absolutos de la función y el mínimo absoluto en (0,0), el único punto en el cual se anula la densidad. En conclusión, la gran mayoría de la densidad se acumula alrededor del centro de la superficie.

==Masa de la superficie==
La función de la densidad con la parametrización del catenoide nos quedaba: 
<math>
f(t,\theta) = \frac{t^2}{1 + A^2 \cosh^2(\frac{t}{A})}\quad
t \in (-1, 1)
</math> 
El cálculo de la masa de la superficie <math>
\mathbf{r}(t,\theta)
= \big( A\cosh(\frac{t}{A})\cos\theta,\;
A\cosh(\frac{t}{A})\sin\theta,\;
t \big)
</math> viene dado por: 
<math>
M = \int_0^{2\pi} \int_{-1}^{1} f(t,\theta) |\vec{\mathbf{r}_t} \times \vec{\mathbf{r}_\theta}| dt d\theta</math> 
Se procede al cálculo del elemento diferencial de la superficie (en la base física cilíndrica): 
<math>
\vec{\mathbf{r}_t} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}
=(sinh(\frac{t}{A})\cos\theta)\vec{\mathbf{e}_\rho}+ (sinh(\frac{t}{A})\sin\theta)\vec{\mathbf{e}_\theta} + \vec{\mathbf{e}_z}
</math>
 
<math>
\vec{\mathbf{r}_\theta} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}
=
(-A\cosh(\frac{t}{A})\sin\theta)\vec{\mathbf{e}_\rho} +
(A\cosh(\frac{t}{A})\cos\theta)\vec{\mathbf{e}_\theta}
</math>
 
<math>
\vec{\mathbf{r}_t} \times \vec{\mathbf{r}_\theta}
=(-A\cosh(\frac{t}{A})\cos\theta)\vec{\mathbf{e}_\rho} - (A\cosh(\frac{t}{A})\sin\theta)\vec{\mathbf{e}_\theta} + (A\cosh(\frac{t}{A})\sinh(\frac{t}{A}))\vec{\mathbf{e}_z}
</math>
 
<math>
|\vec{\mathbf{r}_t} \times \vec{\mathbf{r}_\theta}|
= A\,\cosh^2(\frac{t}{A})
</math> 
La masa de la superficie (con <math> A=3 </math>) y para <math> t \in (-1,1) </math> se calcula como: 
<math>
M \;=\;
\int_{0}^{2\pi} \int_{-1}^{1}
\frac{t^2}{1 + 9\cosh^2(\frac{t}{3})}\;
3\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)
\, dt\, d\theta
\;=\;
6\pi
\int_{-1}^{1}
\frac{t^2\,\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
{1 + 9\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
\, dt
</math> 
Como la integral no se puede resolver de manera teórica, empleamos el método del rectángulo.

==Código MATLAB==
{{matlab|codigo=
%definición de variables
a=-1;
b=1;
n=125;
A=3;
t=linspace(a,b,n);
f=@(t) 6*pi*t.^2.*(cosh(t/3)).^2/(1+(3.*cosh(t/3)).^2);
suma=0;

%cálculo de la integral
for i=1:(n-1)
h=t(i+1)-t(i); %longitud del intervalo t(i+1)-t(i)
xmed=(t(i+1)+t(i))/2; %punto medio del intervalo t(i+1)-t(i)
ymed=f(xmed);
area=h*ymed; %fórmula del método del rectángulo
suma=suma+area;
end

fprintf ('La masa es %f.\n ',suma)}} 
==Resultado de la masa==
<math>
M \,=\,
6\pi
\int_{-1}^{1}
\frac{t^2\,\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
{1 + 9\cosh^2\!\left(\frac{t}{3}\right)}
\, dt = 1,264569\;uds.
</math>

=Referencias=
https://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20geom%C3%A9trico/Catenaria.pdf 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-04T11:14:10Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

{{ TrabajoED | La Catenaria (Grupo 7) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |Iván Pineda Ontañón Diego Arroyo Gálvez Sergio Cantero Ozhegov Javier Martínez Hidalgo Juan Cuesta Tamames }}

La '''catenaria''' es la curva cuya forma es la que adopta una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la '''gravedad'''. En sentido estricto, no es una curva, sino una familia de curvas, cada una de las cuales está determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud L. 
La comprensión de la catenaria es crucial en la '''ingeniería''', ya que permite a los ingenieros diseñar estructuras que no solo son estéticamente agradables, sino también eficientes en términos de distribución de fuerzas. 
El estudio de la catenaria constituye, por tanto, un ejemplo perfecto de cómo las leyes físicas y los modelos matemáticos se integran en la ingeniería moderna para resolver problemas reales con precisión y elegancia. 
<center>[[Archivo:imagen_catenaria.jpg|200px|centre]] [[Archivo:imagen_catenaria2.jpg|300px|centre]]</center>
=Dibujo de la curva=
==Descripción de la curva==
[[Archivo:curva_catenaia.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de la catenaria''' ]]
La catenaria viene dada por la parametrización en coordenadas cartesianas: 
<center>'''<math>γ(t)= (t, A * cosh(\frac{t}{A}))</math>''', con '''<math> A = 3</math>'''. </center>
La curva es simétrica respecto al eje '''<math>x = 0</math>'''. debido a que '''<math>cosh(t)</math>''' es par. 
La gráfica tiene forma de 'U' suave, un poco más abierta que una parábola. 
A medida que t se acerca a -1 o 1, la altura aumenta de forma exponencial ya que '''<math>cosh(t) = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})</math>''' 

==Código y representación de la curva==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva:
{{matlab|codigo=
clear,clc;
t = linspace(-1, 1 , 2000);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Catenaria: γ(t) = (t, A * cosh(t / A))');
xlabel('X');
ylabel('Y');
grid on;}}

=Vectores aceleración y velocidad=
==Cálculo de los vectores==
Siendo '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Para calcular el vector velocidad hay que derivar la trayectoria y para calcular el vector aceleración volver a derivar la velocidad. Por lo tanto: 
* Su '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′(t)=(x′(t), y′(t)) = (1, sinh(t / a)) </math>''' </center>
* Su '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' será igual a: 
<center>'''<math> γ′′(t)=(0, \frac{1}{a} * cosh(t / a)) </math>''' </center>
==Interpretación geométrica==
[[Archivo:velocidad_aceleracion.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación de los vectores velocidad y aceleración''' ]]
Podemos observar que el '''vector velocidad''' '''<math> γ'(t) </math>''' es siempre tangente a la curva, y por tanto nos informa de la dirección y el sentido del movimiento a lo largo de la catenaria. Además, su módulo describe la velocidad escalar con la que avanzamos por la curva. 
Por otra parte, el '''vector aceleración''' '''<math> γ''(t) </math>''' nos indica cómo varía el vector velocidad en cada punto. Solo tiene dirección 'y' ya que la velocidad en 'x' es constante. 
Desde un punto de vista geométrico, la aceleración apunta hacia la concavidad de la curva, como ocurre en cualquier curva convexa. Esto confirma que la catenaria es convexa hacia arriba, y que su curvatura aumenta conforme nos alejamos del centro. 
==Código y representación de los vectores==
Este es el código de Matlab utilizado para la representación de la curva y sus vectores:
{{matlab|codigo=
clc,clear;
t = linspace(-1, 1, 20);
A = 3;
x = t;
y = A * cosh(t / A);
v1 = linspace(1, 1, 20);
v2 = sinh(t / a);
A1 = linspace(0, 0, 20);
A2 = (1 / a) * cosh(t / A);
figure
hold on
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
quiver(x, y, v1, v2, 'g');
quiver(x, y, A1, A2, 'k');
hold off;
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.8])
xlabel('X');
ylabel('Y');
title('Vectores velocidad y aceleración: γ(t), γ`(t), γ``(t)');
legend('γ(t)', 'γ`(t)','γ``(t)');}}

=Longitud de la curva=
==Cálculo de la longitud==
La longitud de una curva se calcula de la siguiente manera: 
<center>'''<math>L = \int_{1}^{-1}∥γ′(t)∥dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt = \int_{-1}^{1} \sqrt {1 + sinh^2(\frac{t}{A})}dt =\int_{-1}^{1} \sqrt {cosh^2(\frac{t}{A})}dt = \int_{-1}^{1} cosh^2(\frac{t}{A})dt = A * [sinh(\frac{1}{A}) - sinh(\frac{-1}{A})] = 2A * sinh(\frac{1}{A}) = 6 * sinh(\frac{1}{3}) ≈ 2,0373 </math>'''</center> 
La longitud de la catenaria en el intervalo (-1,1) es aproximadamente '''2,0373 unidades'''. 
==Código y representación de la longitud==
[[Archivo:longitud2.jpg|600 px|miniaturadeimagen||right|'''Representación longitud de la curva''' ]]
{{matlab|codigo=
clc,clear;
f = @(t) sqrt(1 + sinh(t / 3) .^2);
intervalo = (1 - (-1)) / 80;
X = linspace(-1, 1 - intervalo, 80);
valor = sum(f(X));
integral_rectangulo = intervalo * valor;
t = linspace(1, -1, 500);
y = f(t);
figure;
hold on;
plot(t, y, 'LineWidth', 2);
for i = 1:80
x_plot = [X(i), X(i), X(i) + intervalo, X(i) + intervalo];
y_plot = [0, f(X(i)), f(X(i)), 0];
fill(x_plot, y_plot, 'r', 'FaceAlpha', 0.1, 'EdgeColor', 'r');
end
title('Aproximación de la integral de la catenaria');
xlabel('t');
ylabel('f(t)');
legend('Función', 'Rectangulos');
hold off;
fprintf('El resultado de la integral es: %.6f\n', integral_rectangulo)}}
Mediante este cálculo en Matlab nos da que el resultado de la integral es '''2.037255 unidades''' ya que lo hemos aproximado a seis decimales, un valor prácticamente idéntico al calculado anteriormente mediante integración.

=Vectores tangente y normal=
==Cálculo de vectores==
Sea '''<math> γ(t)=(x_1(t),x_2(t)) </math> ''' una curva plana parametrizada definida en coordenadas cartesianas. Entonces: 
- El '''vector tangente''' '''<math> \vec{t}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{t}(t)=\frac{γ'(t)}{|γ'(t)|} </math>'''. En este caso: '''<math> \vec{t}(t)=\frac{\vec{i}+senh(\frac{t}{A})\vec{j}}{cosh(\frac{t}{A})}=sech(\frac{t}{A})\vec{i}+tanh(\frac{t}{A})\vec{j} </math>''' 
- El '''vector normal''' '''<math> \vec{n}(t) </math>''' es igual a: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t) </math>''', donde <math> \vec{b}(t) </math> es el vector binormal de la curva. Teniendo en cuenta que la catenaria es una curva plana (que reside en el plano XY), '''<math>\vec{b}(t)=\vec{k}</math>'''. De esta forma: 
'''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)=
\begin{equation}
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
0 & 0 & 1\\
sech(\frac{t}{A}) & tanh(\frac{t}{A}) & 0
\end{vmatrix}
\end{equation}=-tanh(\frac{t}{A})\vec{i}+sech(\frac{t}{A})\vec{j} </math>'''

==Interpretación de los vectores==
'''Representación de la catenaria y sus vectores tangente y normal''': 

En primer lugar, el vector tangente '''<math> \vec{t}(t) </math>''' indica la orientación de la trayectoria según el sentido de avance (detalle apreciable en el esquema); se obtiene normalizando el vector velocidad, lo que lo convierte en un vector unitario. 

Asimismo, el vector normal '''<math> \vec{n}(t) </math>''', también de magnitud uno, se dirige hacia el centro del círculo osculador que mejor ajusta la curvatura local. Se define a través del producto vectorial '''<math> \vec{n}(t)=\vec{b}(t)\times\vec{t}(t)</math>'''. 

El vector binormal '''<math>\vec{b}(t) </math>''' es perpendicular al plano generado por la normal y la tangente; dado que la catenaria es una curva bidimensional, dicho plano coincide con el XY.

==Código MatLab (Curva y vectores)==
Este es el código que usaremos para representar tanto la curva como los vectores:
{{matlab|codigo=
% Creamos las variables
n = 20;
t = linescape(-1,1,n);
A = 3;
x = t;
y = A*cosh(t/A);
% Metemos los vectores.
tan1 = sech(t/A);
tan2 = tanh(t/A);
norm1 = -tanh(t/A);
norm2 = sech(t/A);
figure
hold on
% La curva
plot(x,y,'r','LineWidth',2);
quiver(x,y,tan1,tan2,'b');
quiver(x,y,norm1,norm2,'m');
hold off
axis ([-1.5,1.5,2.9,3.7])
% Creamos un título y una leyenda para la imagen
% que adjuntemos.
title('La catenaria y sus vectores tangentes y normales');
legend('Catenaria \gamma(t)', 'Vector tangente','Vector normal')}}

=Curvatura=
=Circunferencia osculatriz=

==Interpretación geométrica==

La circunferencia osculatriz de una curva en un punto es el círculo que mejor se ajusta localmente a la curva en ese punto. Comparte con ella:

* el mismo punto,
* la misma dirección del vector tangente,
* y la misma curvatura.

Por tanto, cerca de ese punto podemos sustituir la catenaria por un arco de circunferencia sin perder prácticamente información geométrica. Esta idea es útil cuando se quieren hacer aproximaciones sencillas de la curva real en problemas de ingeniería.

En nuestro caso trabajamos con la catenaria

[math]\gamma(t) = (x(t),y(t)) = \big(t,\;3\cosh\left(\frac{t}{3}\right)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

El punto de estudio que se nos pide es

[math]P = \gamma(-0.5).[/math]

==Centro de la circunferencia osculatriz==

Calculamos primero las derivadas de la parametrización:

<math>
x'(t) = 1,\qquad y'(t) = \sinh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

<math>
x''(t) = 0,\qquad y''(t) = \frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

La curvatura de una curva plana <math>\gamma(t) = (x(t),y(t))</math> viene dada por

<math>
\kappa(t)
= \frac{\left|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\right|}
{\left(x'(t)^2 + y'(t)^2\right)^{3/2}}.
</math>

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos

<math>
\kappa(t)
= \frac{\frac{1}{3}\cosh\left(\frac{t}{3}\right)}
{\left(1+\sinh^2\left(\frac{t}{3}\right)\right)^{3/2}}.
</math>

Como <math>1 + \sinh^2(u) = \cosh^2(u)</math>, queda

<math>
\kappa(t)
= \frac{1}{3}\,\frac{1}{\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right)}
= \frac{1}{3}\,\mathrm{sech}^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

El radio de curvatura es

<math>
R(t) = \frac{1}{\kappa(t)} = 3\cosh^2\left(\frac{t}{3}\right).
</math>

En el punto <math>t_0 = -0.5</math> resulta

<math>
R = R(t_0)
= 3\cosh^2\left(\frac{-0.5}{3}\right)
= 3\cosh^2\left(\frac{1}{6}\right)
\approx 3.08.
</math>

==Representación gráfica y código==

A continuación se muestra el código en MATLAB/Octave utilizado para dibujar la catenaria junto con la circunferencia osculatriz:

<syntaxhighlight lang="matlab">
A = 3;

% Puntos de la catenaria
t = linspace(-1, 1, 400);
x = t;
y = A*cosh(t/A);

% Punto donde calculamos la circunferencia osculatriz
t0 = -0.5;
x0 = t0;
y0 = A*cosh(t0/A);

% Curvatura y radio de curvatura en t0
kappa0 = (1/A) * (1./cosh(t0/A).^2); % kappa(t0) = (1/3)*sech^2(t0/3)
R = 1 / kappa0;

% Vector tangente unitario en t0
Tx = 1./cosh(t0/A);
Ty = tanh(t0/A);

% Vector normal unitario (perpendicular a T)
Nx = -Ty;
Ny = Tx;

% Centro de la circunferencia osculatriz
Cx = x0 + R * Nx;
Cy = y0 + R * Ny;

% Puntos de la circunferencia osculatriz
theta = linspace(0, 2*pi, 400);
xc = Cx + R*cos(theta);
yc = Cy + R*sin(theta);

% Gráfica
figure;
plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 1.5); hold on;
plot(xc, yc, 'r--', 'LineWidth', 1.2);
plot(x0, y0, 'ko', 'MarkerFaceColor', 'k');

axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Catenaria', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto P', ...
'Location', 'best');
title('Catenaria y circunferencia osculatriz en t = -0.5');
</syntaxhighlight>

=Información sobre la catenaria=
[[Archivo:Catenaria Descripcion.png|marco|derecha]]
La catenaria es la curva que describe una cadena o un cable perfectamente flexible y homogéneo cuando cuelga entre dos puntos fijos y actúa únicamente la gravedad. En este trabajo la representamos mediante

[math]\gamma(t) = \big(t,\;3\cosh(t/3)\big),\quad t\in(-1,1).[/math]

En esta situación el cable está sometido a tracción y en equilibrio. La componente horizontal de la tensión es constante, mientras que la componente vertical compensa el peso propio repartido a lo largo del cable. Este equilibrio lleva de forma natural a la ecuación de la catenaria en términos del coseno hiperbólico. Aunque visualmente se parece mucho a una parábola cerca del punto más bajo, desde el punto de vista matemático son curvas distintas.

Históricamente, la forma de la catenaria fue estudiada en el siglo XVII, cuando se comprobó que un cable colgante no seguía una parábola, como se pensaba inicialmente, sino esta nueva curva descrita mediante funciones hiperbólicas.

En ingeniería civil y en arquitectura la catenaria aparece con frecuencia:

* En los cables principales de **puentes colgantes** y pasarelas, que cuelgan aproximadamente con forma de catenaria.
* En **líneas eléctricas aéreas**, cuando la separación entre apoyos es suficientemente grande.
* En arcos y bóvedas: si se invierte una catenaria, se obtiene una forma muy eficiente para trabajar a **compresión**, de manera que las fuerzas internas se alinean casi por completo con la curva.

Estudiar la catenaria (longitud, curvatura, radio de curvatura, etc.) permite estimar la cantidad de material, analizar la distribución de esfuerzos y entender mejor el comportamiento de este tipo de estructuras. Por ello, es un ejemplo claro de cómo una curva teórica aparece directamente en problemas reales de la ingeniería.

=Ejemplos en ingeniería civil=

La catenaria es una curva fundamental y muy común en la ingeniería civil porque describe la forma natural que adopta un cable o cadena flexible sometido únicamente a su propio peso. Esta propiedad le otorga un papel central en el diseño de estructuras donde los elementos trabajan principalmente a tracción.

=== La catenaria en ingeniería civil===
==== Puentes Colgantes y cables ====

Aunque es común asociar los puentes colgantes con la catenaria, desde el punto de vista de la ingeniería estructural, el cable solo adopta esta forma purista y = A * cosh(x/A) cuando soporta una carga proporcional a su propia longitud de arco. Esto se observa en pasarelas de tablero flexible y ligero, como el Puente Tibetano de Canillo en Andorra, donde el peso dominante es el del propio cable y la pasarela sigue su curvatura. Esto contrasta con los grandes puentes colgantes de tablero rígido y horizontal (Akashi Kaikyo), donde la carga se distribuye uniformemente a lo largo de la proyección horizontal, obligando al cable a adoptar una forma parabólica en lugar de una catenaria. No obstante, el cálculo inicial y las propiedades de la catenaria son la base para el diseño.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Tibetano Andorra.jpg|Puente Tibetano situado en Andorra
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:Puente Akashi Kaikyo.jpg|Puente Akashi Kaikyo
</gallery>

==== Arcos con forma de catenaria invertida ====
Otra aplicación de la catenaria en ingeniería civil ilustra la optimización geométrica frente al campo gravitatorio, destacando magistralmente en el Arco Gateway (EE. UU.) y la Sagrada Familia de Gaudí. Mientras que el Arco Gateway materializa una catenaria ponderada definida matemáticamente para soportar su propio peso mediante compresión pura, Gaudí alcanzó este mismo equilibrio empíricamente a través de su maqueta funicular de cuerdas y pesos. Ambos enfoques aprovechan la reversibilidad vectorial: al invertir la curva de tracción natural (mínima energía potencial), obtienen la geometría exacta para que la estructura canalice las cargas gravitatorias sin sufrir flexión, haciendo coincidir la forma arquitectónica con la línea de flujo de las fuerzas.
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:SagradaFamilia2025.jpg|Fachada Sagrada Familia
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
<gallery class="center" heights="250px" widths="350px">
File:GatewayArch2025.jpg|Arco Gateway en San Luis.

</gallery>

=Semejanzas catenaria y parábola=
La catenaria <math>(γ(t) = A/cosh(t/A))</math> y la parábola <math>(y = A + x^2/A)</math> presentan una geometría casi idéntica a simple vista: ambas son continuas, simétricas y cóncavas hacia arriba. Esta similitud es tan fuerte que Galileo llegó a decir erróneamente que la cuerda colgante era una parábola, hasta que en el siglo XVII se demostró que eran curvas distintas.
Justificación matemática
El parecido se explica mediante el desarrollo de Taylor alrededor del vértice <math>(x≈0)</math>. La aproximación <math>A /cosh(x/A) ≈ A + x^2/A</math> demuestra que, cerca del mínimo, el término cuadrático domina y la catenaria se comporta casi igual que una parábola. Sin embargo, al alejarnos del origen, la naturaleza exponencial de la catenaria hace que crezca mucho más rápido ("más esbelta") que el crecimiento polinómico de la parábola.

== Código Matlab comparación Catenaria vs Parábola ==
[[Archivo:CatenariavsParabola.jpg|550 px|miniaturadeimagen||right|'''Comparación catenaria frente a parábola''' ]]

{{matlab|codigo=
% Apartado 9: Dibujo de la curva y comparación con la parábola

clear; clc; close all;

% 1. Definición de parámetros
a = 3; % Valor de A fijado en el enunciado
t = linspace(-1, 1, 200); % Parámetro t en el intervalo (-1, 1)

% 2. Cálculo de la Catenaria; x(t) = t, y(t) = A*cosh(t/A)
x = t;
y= a * cosh(t / a);

% 3. Cálculo de la Parábola de comparación; y = A + (x^2)/A
% Nota: Usamos x_cat como la 'x' para la ecuación explícita
ypar = a + (x.^2) / a;

% 4. Generación de la Gráfica
figure('Name', 'Trabajo H: Catenaria vs Parabola', 'NumberTitle', 'off');
hold on; grid on; axis equal;

% Dibujar Catenaria (Línea azul sólida, más gruesa)
plot(x, y, 'b-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Catenaria: y = A \cdot cosh(x/A)');

% Dibujar Parábola (Línea roja discontinua)
plot(x, ypar, 'r--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Parábola: y = A + x^2/A');

% 5. Decoración y Formato
xlabel('x (metros)');
ylabel('y (metros)');
title(['Comparación Catenaria vs Parábola (a = ' num2str(a) ')']);
legend('Location', 'North'); % Muestra la leyenda arriba para no tapar las curvas

hold off;

}}

=Superficie de revolución=
=Distribución de la densidad=

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:04:35Z

Diego.arroyo: /* Código MatLab (Curva y vectores) */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T16:00:51Z

Diego.arroyo: /* Código MatLab (Curva y vectores) */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:57:50Z

Diego.arroyo: /* Código MatLab */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:57:13Z

Diego.arroyo: /* Código MatLab> */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:57:03Z

Diego.arroyo: /* Vectores tangente y normal */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:27:39Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:26:46Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:26:31Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:25:55Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:25:30Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:24:49Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:23:53Z

Diego.arroyo: /* Vectores tangente y normal */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:17:16Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */

La Catenaria (Grupo 7)

2025-12-02T15:16:05Z

Diego.arroyo: /* Interpretación de los vectores */