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Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-05T07:41:25Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|600px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1,x_2,x_3)\), tenemos:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= a q \cos \psi \\
x_2 &= b q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

en donde \(a = 2\) y \(b = 3\) y la curva \((γ_ψ(t))\) ya está parametrizada, siendo sus componentes: \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\).

A partir de ello obtenemos lo siguiente:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:apartado4_graficagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4: Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas]]

{{matlab|codigo =
%Definimos los parámetros con sus respectos valores y fórmulas
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2.*pi,50);
x_1=a.*cos(t);
x_2=b.*sin(t);
% Hacemos la gráfica de la curva en coordenadas cartesianas
figure
plot(x_1,x_2,'y','LineWidth',2)
axis equal
title('Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas')
xlabel('X_1')
ylabel('X_2')
grid on
}}

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 5: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura 6: Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. Coincide con la curva en su posición, tangente y curvatura.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia osculatriz debe estar relacionado con la curvatura de la curva en ese punto. Esta relación se debe a cómo la curvatura y el radio están '''inversamente relacionados''':
* '''k grande''': corresponde a un giro muy cerrado, es decir, un radio pequeño.
* '''k pequeña''': corresponde a un giro amplio, es decir, un radio grande.

En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{4}{3}) = (0,\frac{5}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado71.jpg|450px|thumb|right|''Figura 7: Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 4/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

[[Archivo:Apartado8 graficasgrupo37.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 8: Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo =
% Escribo las variables y defino sus rangos
a=2;
b=3;
q=linspace(0, 2, 60);
psique=linspace(0, 2*pi, 60);
z=linspace(-1, 1, 60);
% Creo la malla
[q_malla,psique_malla] = meshgrid(q,psique);
% Creo la superficie de nivel para la primera función
x1_f1=a .* q_malla .* cos(psique_malla);
x2_f1=b .* q_malla .* sin(psique_malla);
x3_f1=0;
figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_1');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la segunda función
psique_const= pi / 4; % En este caso fijamos psique
x1_f2=a * q_malla .* cos(psique_const);
x2_f2=b * q_malla .* sin(psique_const);
x3_f2=z;
subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_2');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la tercera función
x1_f3=linspace(-5, 5, 40);
x2_f3=linspace(-5, 5, 40);
% Creo la malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const=1; % En este caso fijamos la z
z_malla=z_const .* ones(size(x1_malla));
subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('z');
title('Superficie de nivel para f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura 9

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura 9: Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura 10: Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura 11: Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura 12: Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 13: Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura 14: Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 15: Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC24/25]]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-05T07:41:07Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|700px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1,x_2,x_3)\), tenemos:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= a q \cos \psi \\
x_2 &= b q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

en donde \(a = 2\) y \(b = 3\) y la curva \((γ_ψ(t))\) ya está parametrizada, siendo sus componentes: \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\).

A partir de ello obtenemos lo siguiente:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:apartado4_graficagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4: Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas]]

{{matlab|codigo =
%Definimos los parámetros con sus respectos valores y fórmulas
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2.*pi,50);
x_1=a.*cos(t);
x_2=b.*sin(t);
% Hacemos la gráfica de la curva en coordenadas cartesianas
figure
plot(x_1,x_2,'y','LineWidth',2)
axis equal
title('Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas')
xlabel('X_1')
ylabel('X_2')
grid on
}}

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 5: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura 6: Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. Coincide con la curva en su posición, tangente y curvatura.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia osculatriz debe estar relacionado con la curvatura de la curva en ese punto. Esta relación se debe a cómo la curvatura y el radio están '''inversamente relacionados''':
* '''k grande''': corresponde a un giro muy cerrado, es decir, un radio pequeño.
* '''k pequeña''': corresponde a un giro amplio, es decir, un radio grande.

En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{4}{3}) = (0,\frac{5}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado71.jpg|450px|thumb|right|''Figura 7: Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 4/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

[[Archivo:Apartado8 graficasgrupo37.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 8: Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo =
% Escribo las variables y defino sus rangos
a=2;
b=3;
q=linspace(0, 2, 60);
psique=linspace(0, 2*pi, 60);
z=linspace(-1, 1, 60);
% Creo la malla
[q_malla,psique_malla] = meshgrid(q,psique);
% Creo la superficie de nivel para la primera función
x1_f1=a .* q_malla .* cos(psique_malla);
x2_f1=b .* q_malla .* sin(psique_malla);
x3_f1=0;
figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_1');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la segunda función
psique_const= pi / 4; % En este caso fijamos psique
x1_f2=a * q_malla .* cos(psique_const);
x2_f2=b * q_malla .* sin(psique_const);
x3_f2=z;
subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_2');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la tercera función
x1_f3=linspace(-5, 5, 40);
x2_f3=linspace(-5, 5, 40);
% Creo la malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const=1; % En este caso fijamos la z
z_malla=z_const .* ones(size(x1_malla));
subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('z');
title('Superficie de nivel para f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura 9

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura 9: Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura 10: Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura 11: Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura 12: Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 13: Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura 14: Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 15: Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC24/25]]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-05T07:40:47Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|800px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1,x_2,x_3)\), tenemos:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= a q \cos \psi \\
x_2 &= b q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

en donde \(a = 2\) y \(b = 3\) y la curva \((γ_ψ(t))\) ya está parametrizada, siendo sus componentes: \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\).

A partir de ello obtenemos lo siguiente:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:apartado4_graficagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4: Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas]]

{{matlab|codigo =
%Definimos los parámetros con sus respectos valores y fórmulas
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2.*pi,50);
x_1=a.*cos(t);
x_2=b.*sin(t);
% Hacemos la gráfica de la curva en coordenadas cartesianas
figure
plot(x_1,x_2,'y','LineWidth',2)
axis equal
title('Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas')
xlabel('X_1')
ylabel('X_2')
grid on
}}

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 5: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura 6: Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. Coincide con la curva en su posición, tangente y curvatura.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia osculatriz debe estar relacionado con la curvatura de la curva en ese punto. Esta relación se debe a cómo la curvatura y el radio están '''inversamente relacionados''':
* '''k grande''': corresponde a un giro muy cerrado, es decir, un radio pequeño.
* '''k pequeña''': corresponde a un giro amplio, es decir, un radio grande.

En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{4}{3}) = (0,\frac{5}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado71.jpg|450px|thumb|right|''Figura 7: Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 4/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

[[Archivo:Apartado8 graficasgrupo37.png|700px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 8: Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo =
% Escribo las variables y defino sus rangos
a=2;
b=3;
q=linspace(0, 2, 60);
psique=linspace(0, 2*pi, 60);
z=linspace(-1, 1, 60);
% Creo la malla
[q_malla,psique_malla] = meshgrid(q,psique);
% Creo la superficie de nivel para la primera función
x1_f1=a .* q_malla .* cos(psique_malla);
x2_f1=b .* q_malla .* sin(psique_malla);
x3_f1=0;
figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_1');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la segunda función
psique_const= pi / 4; % En este caso fijamos psique
x1_f2=a * q_malla .* cos(psique_const);
x2_f2=b * q_malla .* sin(psique_const);
x3_f2=z;
subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_2');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la tercera función
x1_f3=linspace(-5, 5, 40);
x2_f3=linspace(-5, 5, 40);
% Creo la malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const=1; % En este caso fijamos la z
z_malla=z_const .* ones(size(x1_malla));
subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('z');
title('Superficie de nivel para f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura 9

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura 9: Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura 10: Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura 11: Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura 12: Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 13: Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura 14: Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 15: Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC24/25]]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-05T07:40:26Z

Diego Moreno Vázquez: /* Las superficies de nivel de campos escalares */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|800px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1,x_2,x_3)\), tenemos:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= a q \cos \psi \\
x_2 &= b q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

en donde \(a = 2\) y \(b = 3\) y la curva \((γ_ψ(t))\) ya está parametrizada, siendo sus componentes: \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\).

A partir de ello obtenemos lo siguiente:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:apartado4_graficagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4: Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas]]

{{matlab|codigo =
%Definimos los parámetros con sus respectos valores y fórmulas
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2.*pi,50);
x_1=a.*cos(t);
x_2=b.*sin(t);
% Hacemos la gráfica de la curva en coordenadas cartesianas
figure
plot(x_1,x_2,'y','LineWidth',2)
axis equal
title('Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas')
xlabel('X_1')
ylabel('X_2')
grid on
}}

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 5: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura 6: Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. Coincide con la curva en su posición, tangente y curvatura.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia osculatriz debe estar relacionado con la curvatura de la curva en ese punto. Esta relación se debe a cómo la curvatura y el radio están '''inversamente relacionados''':
* '''k grande''': corresponde a un giro muy cerrado, es decir, un radio pequeño.
* '''k pequeña''': corresponde a un giro amplio, es decir, un radio grande.

En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{4}{3}) = (0,\frac{5}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado71.jpg|450px|thumb|right|''Figura 7: Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 4/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

[[Archivo:Apartado8 graficasgrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 8: Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo =
% Escribo las variables y defino sus rangos
a=2;
b=3;
q=linspace(0, 2, 60);
psique=linspace(0, 2*pi, 60);
z=linspace(-1, 1, 60);
% Creo la malla
[q_malla,psique_malla] = meshgrid(q,psique);
% Creo la superficie de nivel para la primera función
x1_f1=a .* q_malla .* cos(psique_malla);
x2_f1=b .* q_malla .* sin(psique_malla);
x3_f1=0;
figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_1');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la segunda función
psique_const= pi / 4; % En este caso fijamos psique
x1_f2=a * q_malla .* cos(psique_const);
x2_f2=b * q_malla .* sin(psique_const);
x3_f2=z;
subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_2');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la tercera función
x1_f3=linspace(-5, 5, 40);
x2_f3=linspace(-5, 5, 40);
% Creo la malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const=1; % En este caso fijamos la z
z_malla=z_const .* ones(size(x1_malla));
subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('z');
title('Superficie de nivel para f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura 9

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura 9: Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura 10: Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura 11: Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura 12: Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 13: Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura 14: Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 15: Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC24/25]]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-05T07:39:56Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|800px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1,x_2,x_3)\), tenemos:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= a q \cos \psi \\
x_2 &= b q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

en donde \(a = 2\) y \(b = 3\) y la curva \((γ_ψ(t))\) ya está parametrizada, siendo sus componentes: \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\).

A partir de ello obtenemos lo siguiente:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:apartado4_graficagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4: Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas]]

{{matlab|codigo =
%Definimos los parámetros con sus respectos valores y fórmulas
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2.*pi,50);
x_1=a.*cos(t);
x_2=b.*sin(t);
% Hacemos la gráfica de la curva en coordenadas cartesianas
figure
plot(x_1,x_2,'y','LineWidth',2)
axis equal
title('Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas')
xlabel('X_1')
ylabel('X_2')
grid on
}}

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 5: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura 6: Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. Coincide con la curva en su posición, tangente y curvatura.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia osculatriz debe estar relacionado con la curvatura de la curva en ese punto. Esta relación se debe a cómo la curvatura y el radio están '''inversamente relacionados''':
* '''k grande''': corresponde a un giro muy cerrado, es decir, un radio pequeño.
* '''k pequeña''': corresponde a un giro amplio, es decir, un radio grande.

En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{4}{3}) = (0,\frac{5}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado71.jpg|450px|thumb|right|''Figura 7: Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 4/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

[[Archivo:Apartado8 graficasgrupo37.png|8000px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 8: Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo =
% Escribo las variables y defino sus rangos
a=2;
b=3;
q=linspace(0, 2, 60);
psique=linspace(0, 2*pi, 60);
z=linspace(-1, 1, 60);
% Creo la malla
[q_malla,psique_malla] = meshgrid(q,psique);
% Creo la superficie de nivel para la primera función
x1_f1=a .* q_malla .* cos(psique_malla);
x2_f1=b .* q_malla .* sin(psique_malla);
x3_f1=0;
figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_1');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la segunda función
psique_const= pi / 4; % En este caso fijamos psique
x1_f2=a * q_malla .* cos(psique_const);
x2_f2=b * q_malla .* sin(psique_const);
x3_f2=z;
subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_2');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la tercera función
x1_f3=linspace(-5, 5, 40);
x2_f3=linspace(-5, 5, 40);
% Creo la malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const=1; % En este caso fijamos la z
z_malla=z_const .* ones(size(x1_malla));
subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('z');
title('Superficie de nivel para f_3');
axis equal;
grid on;
}}

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura 9

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura 9: Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura 10: Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura 11: Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura 12: Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 13: Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura 14: Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 15: Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC24/25]]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-05T07:39:18Z

Diego Moreno Vázquez: /* Las superficies de nivel de campos escalares */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|800px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==
Sabiendo las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas \((q,ψ,z)\) y las coordenadas cartesianas \((x_1,x_2,x_3)\), tenemos:

<math>
\begin{aligned}
x_1 &= a q \cos \psi \\
x_2 &= b q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{aligned}
</math>

en donde \(a = 2\) y \(b = 3\) y la curva \((γ_ψ(t))\) ya está parametrizada, siendo sus componentes: \(q = 1\) \(z = 0\) y \(ψ = t\) \((t ∈ [0,2π])\).

A partir de ello obtenemos lo siguiente:

<math>
\gamma_\psi(t): \begin{cases}
x_1 = 2·1·\cos t \\
x_2 = 3·1·\sin t \\
x_3 = 0
\end{cases}
</math>

[[Archivo:apartado4_graficagrupo37.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 4: Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas]]

{{matlab|codigo =
%Definimos los parámetros con sus respectos valores y fórmulas
a=2;
b=3;
t=linspace(0,2.*pi,50);
x_1=a.*cos(t);
x_2=b.*sin(t);
% Hacemos la gráfica de la curva en coordenadas cartesianas
figure
plot(x_1,x_2,'y','LineWidth',2)
axis equal
title('Curva Parametrizada en Coordenadas Cartesianas')
xlabel('X_1')
ylabel('X_2')
grid on
}}

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 5: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura 6: Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. Coincide con la curva en su posición, tangente y curvatura.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia osculatriz debe estar relacionado con la curvatura de la curva en ese punto. Esta relación se debe a cómo la curvatura y el radio están '''inversamente relacionados''':
* '''k grande''': corresponde a un giro muy cerrado, es decir, un radio pequeño.
* '''k pequeña''': corresponde a un giro amplio, es decir, un radio grande.

En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{4}{3}) = (0,\frac{5}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = (\frac{4}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado71.jpg|450px|thumb|right|''Figura 7: Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 4/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

[[Archivo:Apartado8 graficasgrupo37.png|1000px|miniaturadeimagen|derecha|Figura 8: Superficies de nivel]]
{{matlab|codigo =
% Escribo las variables y defino sus rangos
a=2;
b=3;
q=linspace(0, 2, 60);
psique=linspace(0, 2*pi, 60);
z=linspace(-1, 1, 60);
% Creo la malla
[q_malla,psique_malla] = meshgrid(q,psique);
% Creo la superficie de nivel para la primera función
x1_f1=a .* q_malla .* cos(psique_malla);
x2_f1=b .* q_malla .* sin(psique_malla);
x3_f1=0;
figure;
subplot(1, 3, 1);
surf(x1_f1, x2_f1, x3_f1 .* ones(size(x1_f1)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_1');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la segunda función
psique_const= pi / 4; % En este caso fijamos psique
x1_f2=a * q_malla .* cos(psique_const);
x2_f2=b * q_malla .* sin(psique_const);
x3_f2=z;
subplot(1, 3, 2)
surf(x1_f2, x2_f2, x3_f2 .* ones(size(x1_f2)));
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel para f_2');
axis equal;
% Creo la superficie de nivel para la tercera función
x1_f3=linspace(-5, 5, 40);
x2_f3=linspace(-5, 5, 40);
% Creo la malla para el plano
[x1_malla, x2_malla] = meshgrid(x1_f3, x2_f3);
z_const=1; % En este caso fijamos la z
z_malla=z_const .* ones(size(x1_malla));
subplot(1 ,3, 3);
surf(x1_malla, x2_malla, z_malla);
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
zlabel('z');
title('Superficie de nivel para f_3');
axis equal;
grid on;
}}
===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura 9

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura 9: Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura 10: Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura 11: Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura 12: Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 13: Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura 14: Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura 15: Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC24/25]]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T09:57:12Z

Diego Moreno Vázquez:

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|800px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC24/25]]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T09:55:56Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores2_grupo_37.png|800px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Archivo:Representación de los vectores2 grupo 37.png

2024-12-04T09:55:16Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T09:54:12Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores_grupo_37.png|800px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T09:50:25Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

[[Archivo:Representación_de_los_vectores_grupo_37.png|450px|thumb|right|''Figura 3: Representación de vectores'']]

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Archivo:Representación de los vectores grupo 37.png

2024-12-04T09:49:25Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T09:48:31Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

{{matlab|codigo=
%Este programa representa los vectores q y psique en un punto determinado
%de la elipse junto con las líneas coordenadas correspondientes.
clear,clc

%En primer lugar, definimos la elipse que vamos a utilizar para la
%representación. Como se trata la elipse con la que trabajamos podemos
%emplear el mismo programa que en el caso inicial.
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];
for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end
plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on

%Una vez representada la elipse con la que trabajaremos, marcaremos el
%punto que nos interesa utilizar.
x_1p=-sqrt(3);
x_2p=3/2;
x_3p=0;
plot(x_1p,x_2p, 'o','MarkerSize',7,'Color','k');

%Ahora representamos las líneas coordenadas correspondientes a ese punto
q=linspace(0,1,50); % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2.*q.*cos(5*pi/6);
x_2 = 3.*q.* sin(5*pi/6);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 0.5); % Ponemos el color verde para q

%Representamos los vectores q y psique correspondientes
%Definimos los vectores que vamos a emplear
psi=5*pi/6;
vecq=[2.*cos(psi),3.*sin(psi)];
vecqn=vecq./(sqrt(4.*cos(psi).^2+9.*sin(psi).^2));

vecpsi=[-2.*sin(psi),3.*cos(psi)];
vecpsin=vecpsi./(sqrt(4.*sin(psi).^2+9.*cos(psi).^2));

quiver(x_1p,x_2p,vecqn(1),vecqn(2),0.5,'g','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);
quiver(x_1p,x_2p,vecpsin(1),vecpsin(2),0.5,'r','LineWidth',2,'MaxHeadSize',3);

%Centramos todo el dibujo en la parte que nos interesa y configuramos la
%gráfica.
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
title('Representación de vectores');
legend ({'Elipse','(p_0,\psi_0)','\gamma_q','e_q','e_\psi'})
axis equal
xlim([x_1p-1.5,x_1p+1.5]);
ylim([x_2p-1.5,x_2p+1.5]);
}}

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T09:04:46Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(-\sqrt{3},\frac{3}{2},0)
</math>

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T08:59:19Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

<math>
P(q,\psi,z)= \begin{cases}
q=1\\
\psi=\frac{5\pi}{6}\\
z=0
\end{cases}
</math>

Si expresamos este punto en la base cartesiana para poder representarlo, sería el siguiente punto:

<math>
P(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases}
x_1=aq\cos(\psi)=2\cdot1\cos(5\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}\\
x_2=bq\sin(\psi)=3\cdot1\sin(5\frac{\pi}{6})=-\sqrt{3}\\
x_3=z=0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow P(x_1,x_2,x_3)=(\frac{3}{2},-\sqrt{3},0)
</math>

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T08:31:36Z

Diego Moreno Vázquez:

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.
<math>
\begin{cases}
p=2
\psi=frac{\pi}{2}
z=0
\end{cases}
</math>

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T08:30:40Z

Diego Moreno Vázquez: /* Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.
<math>
{{begin cases|open=
p=2
\psi=frac{\pi}{2}
z=0
}}
</math>

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T08:27:58Z

Diego Moreno Vázquez:

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

===Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)===

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T08:26:52Z

Diego Moreno Vázquez: /* Parametrizaciones de las líneas coordenadas */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color verde. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes. De esta forma, las líneas coordenadas son rectas que recogen todos los puntos desde el centro hasta el borde de la elipse.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color rojo. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran a una distancia de ejes determinada, formando diferentes elipses proporcionales a la inicial.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

==Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)==

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-04T08:22:51Z

Diego Moreno Vázquez: /* Campos de velocidad y vectores tangentes */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la relación de las coordendas cilíndricas elípticas con las coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

==Representación de \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\)==

Para la representación de los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) tomamos un punto cualquiera de nuestra elipse.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:55:38Z

Diego Moreno Vázquez: /* ¿Forman una base ortonormal? */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

<math>
\begin{cases}
\psi_1 &= 0\\
\psi_2 &= \pi/2 \\
\psi_3 &= \pi \\
\psi_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:55:04Z

Diego Moreno Vázquez: /* Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/2
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:54:01Z

Diego Moreno Vázquez: /* Campos de velocidad y vectores tangentes */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 q\cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3q\cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=q\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot \frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}}=\frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(\psi)\cos(\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} = \frac{\frac {5}{2}sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}}.
</math>

Lo cual para determinados valor de \(\psi\), como \(\psi\)=0, el producto escalar es 0. Por lo que, a priori, en determinados puntos de la elipse puede darse que los tres vectores formen una base ortonormal. Para terminar de demostrar que la hipótesis de partida: que los tres vectores son ortogonales entre sí; realizamos el producto escalar de estos dos vectores que hemos analizado con \(\vec{e}_z\).

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}} \cdot\vec{k} = 0\\

\vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z=\frac{-2 \sin (\psi)\vec{i}+ 3\cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4\sin^2(\psi)+9\cos^2(\psi)}} \cdot \vec{k}=0
</math>

Como podemos ver en ambos casos, independientemente de los valores que tome \(\psi\), los vectores son ortogonales entre sí. Por lo tanto, podemos determinar que los 3 vectores, que son unitarios, forman una base ortonormal para aquellos valores de \(\psi\) los cuales hacen que <math>\frac {5}{2}sin(2\psi) = 0</math> se cumpla. En nuestro caso, esos puntos son:

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:19:50Z

Diego Moreno Vázquez: /* ¿Forman una base ortonormal? */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
Para comprobar si los vectores calculados forman una base ortonormal en primer lugar debemos comprobar si son ortogonales entre sí. Para ello, realizamos el producto escalar entre los vectores: \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\).

====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} ≠ 0.
</math>

El producto escalar es distinto de 0, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) '''no son ortogonales'''.

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

====Conclusión====
Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), '''pero no son ortogonales entre sí'''. No formando así una base ortonormal.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:14:48Z

Diego Moreno Vázquez: /* Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} ≠ 0.
</math>

El producto escalar es distinto de 0, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) '''no son ortogonales'''.

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

====Conclusión====
Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), '''pero no son ortogonales entre sí'''. No formando así una base ortonormal.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

[[Archivo:Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png|500px|thumb|right|''Figura 4: Función k(t)'']]
{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:13:24Z

Diego Moreno Vázquez: /* Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} ≠ 0.
</math>

El producto escalar es distinto de 0, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) '''no son ortogonales'''.

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

====Conclusión====
Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), '''pero no son ortogonales entre sí'''. No formando así una base ortonormal.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==
Curvatura_de_la_elipse_grupo_37.png
Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Archivo:Curvatura de la elipse grupo 37.png

2024-12-03T09:12:54Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:12:18Z

Diego Moreno Vázquez: /* Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} ≠ 0.
</math>

El producto escalar es distinto de 0, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) '''no son ortogonales'''.

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

====Conclusión====
Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), '''pero no son ortogonales entre sí'''. No formando así una base ortonormal.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}} = \frac{90cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/2}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 90cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/4

El valor mínimo de la curvatura es: 2/9

{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(3/2);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:06:26Z

Diego Moreno Vázquez: /* Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} ≠ 0.
</math>

El producto escalar es distinto de 0, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) '''no son ortogonales'''.

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

====Conclusión====
Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), '''pero no son ortogonales entre sí'''. No formando así una base ortonormal.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{3/2}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{3/2}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-3/2)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}} = \frac{40cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 40cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/2

El valor mínimo de la curvatura es: 2/3

{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(2/3);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-03T09:01:40Z

Diego Moreno Vázquez: /* Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos k \\
x_2 &= 3q \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===
====Producto escalar \(\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi\)====

<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_\psi = \frac{(2 \cos \psi)(-2 \sin \psi) + (3 \sin \psi)(3 \cos \psi)}{\sqrt{4 \cos^2 \psi + 9 \sin^2 \psi} \cdot \sqrt{4 \sin^2 \psi + 9 \cos^2 \psi}}
= \frac{5sin(2\psi)}{\sqrt{25\cos^2 \psi\sin^2 \psi + 36}} ≠ 0.
</math>

El producto escalar es distinto de 0, por lo que los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) '''no son ortogonales'''.

====Producto escalar con \(\vec{e}_z\)====
<math>
\vec{e}_q \cdot \vec{e}_z = \vec{e}_\psi \cdot \vec{e}_z = 0.
</math>

====Conclusión====
Por lo tanto, los vectores \(\vec{e}_q\) y \(\vec{e}_\psi\) son perpendiculares a \(\vec{e}_z\), '''pero no son ortogonales entre sí'''. No formando así una base ortonormal.

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{2/3}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{2/3}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-2/3)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}} = \frac{40cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 40cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/2

El valor mínimo de la curvatura es: 2/3

{{matlab|codigo=
%este programa sirve para mostrar la variación de la función curvatura k(t)
% a lo largo de la superficie de la elipse
clear, clc

%definiremos en primer lugar nuestra función k(t)

k=@(t)6./(4.*sin(t).^2+9.*cos(t).^2).^(2/3);

%los valores que tomará t serán los siguientes:
t=linspace(0,2*pi,100);

%Definida nuestra constante y la función, daremos nombre a todos los
%valores que obtengamos

V=k(t);

%Dibujamos la gráfica obtenida.

figure;
plot(t,V,"LineWidth",2.5,"Color","g");
grid on;
title ("Curvatura de la Elipse");
xlabel("t");
ylabel("k(t)");
}}

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por '''MATLAB''', se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en <math>\color{Magenta} {magenta}</math>) y normal (en <math>\color{Blue} {azul}</math>) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

<math>R = \frac{1}{k_{max}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}</math>

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

<math>(x_c, y_c) = (0, 3 - R) = (0, 3 - \frac{2}{3}) = (0,\frac{7}{3})</math>

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

<math>\left( x - x_c \right)^2 + \left( y - y_c \right)^2 = R^2 \Longrightarrow x^2 + (y - \frac{7}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2</math>

Gracias a al código '''MATLAB''', podremos ver gráficamente este resultado. De <math>\color{Blue} {azul}</math> con línea discontinua vemos la circunferencia osculatriz y la cruz <math>\color{Red} {roja}</math> marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:

<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función \( f(q, \psi, z) \)
, la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación \( f(q, \psi, z)
=cte\), donde c es una constante. Por lo tanto:

\(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):q=cte\}\)

\(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):\psi=cte\}\)

\(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=cte\}=\{(q,\psi,z):z=cte\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por '''MATLAB''', podemos observar que:

'''Campo''' \( f_1(q, \psi, z) = q \): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( q \), mientras se mantienen libres los valores de \( \psi \) y \( z \).

'''Campo''' \( f_2(q, \psi, z) = \psi\): Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( \psi \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( z \).

'''Campo \( f_3(q, \psi, z) = z\):''' Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje \( z \), mientras se mantienen libres los valores de \( q \) y \( \psi \).

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T10:24:49Z

Diego Moreno Vázquez: /* Campos de velocidad y vectores tangentes */

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo apreciemos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse (que va en la dirección <math> x_1 </math>); \(b\) como el semieje mayor (que va en la dirección <math> x_2 </math>), viéndose la elipse de la siguiente forma, y con el siguiente código:

[[Archivo:Foto_inicio_elipse_(grupo_37).jpg|500px|thumb|right|''Figura 1: Elipse de semieje mayor 3 y semieje menor 2'']]

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

En las coordenadas cilíndricas elípticas \(q\) hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen de la elipse (marcado en rojo en el dibujo anterior); \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

[[Archivo:figura lineas coordenadas grupo 37.png|500px|thumb|right|''Figura 2: Líneas coordenadas \(\gamma_q\) y \(\gamma_\psi\)'']]

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2 \cos k \\
x_2 &= 3 \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2 \cos \psi \\
x_2 &= 3 \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon \mathbb{R} </math>.

Tal y como se puede apreciar en la imagen, se pueden distinguir dos clases de líneas coordenadas:

- ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': Representadas con el color rojo. Al variar el valor k de 0 a 1 cambiamos la longitud de los semiejes de la elipse, tomando como mínimo valor 0; y como máximo los semiejes con los que hemos decidido trabajar. Pero manteniendo en todo momento la relación que mantienen los semiejes.

-''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': Representadas en color verde. Al variar el valor k de 0 a 2<math> \pi </math> obtenemos todos los puntos que se encuentran en ese ángulo que hemos escogido.

-''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''':no las podemos representar sobre el plano, dado que son paralelos a este; es decir, las líneas coordenadas \(\gamma_z\) forman un conjunto de elipses que se diferencian por tener diferente altura. Por ello, denotamos que los valores que puede tomar \(k\)<math> \epsilon \mathbb{R} </math>

{{matlab|codigo=
% Definimos los parámetros con sus respectivos rangos
q = linspace(0, 5, 100);
psique = linspace(0, 2*pi, 100);
z = 0;

% Dibujamos las líneas coordenadas con respecto a los parámetros
hold on;
for psiquevalor = linspace(0, 2*pi, 10) % Hacemos las líneas coordenadas con q constante
x_1 = 2*q.* cos(psiquevalor);
x_2 = 3*q.* sin(psiquevalor);
plot(x_1, x_2, 'g', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color verde para q
end

for qvalor = linspace(1, 5, 5) % Hacemos las líneas coordenadas con ? constante
x_1 = 2*qvalor * cos(psique);
x_2 = 3*qvalor * sin(psique);
plot(x_1, x_2, 'r', 'LineWidth', 1); % Ponemos el color rojo para ?
end

% Hacemos la gráfica correspondiente
axis equal;
grid on;
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
hold off;
}}

==Campos de velocidad y vectores tangentes==
=== Campos de velocidad \(\gamma'_q\), \(\gamma'_\psi\) y \(\gamma'_z\)===

Como sabemos la velocidad se puede expresar como la variación de espacio con respecto al tiempo (<math> \frac {dx}{dt} </math>). Luego podremos calcular los campos de velocidades de las diferentes líneas coordenadas como las derivadas parciales de estas con respecto a cada uno de los parámetros que hemos utilizado: \(q\), \(\psi\) y \(z\).

1. Derivada respecto a \(q\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial q} = 2 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial q} = 3 \sin (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial q} = 0
\end{cases}
</math>
<math>
\quad \Rightarrow \gamma'_q=2 \cos (\psi)\vec{i} + 3 \sin (\psi) \vec{j}
</math>

2. Derivada respecto a \(\psi\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial \psi} = -2 q\sin (\psi) \\
\frac{\partial x_2}{\partial \psi} = 3 \cos (\psi) \\
\frac{\partial x_3}{\partial \psi} = 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_\psi= -2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}
</math>

3. Derivada respecto a \(z\)
<math>\begin{cases}
\frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 \\
\frac{\partial x_3}{\partial z} = 1
\end{cases}
\quad \Rightarrow \gamma'_z= \vec{k}
</math>

===Los módulos \(h_q\), \(h_\psi\) y \(h_z\)===
Para calcular el módulo de cada uno de los campos de velocidades de las líneas coordenadas aplicamos: <math> \sqrt{{(coordenada \vec {i})^2}+{(coordenada \vec {j})^2}+{(coordenada \vec {k})^2}} </math>

De esta manera obtenemos los siguientes módulos de los campos de velocidades:

1. El módulo de <math>\gamma'_q =|\gamma'_q|= \sqrt {({2 \cos (\psi)})^2+({3 \sin (\psi)})^2}=\sqrt {4{\cos (\psi)}^2+9{ \sin (\psi)}^2}</math>

2. El módulo de <math>\gamma'_\psi =|\gamma'_\psi|= \sqrt {({-2 q\sin (\psi)})^2+({3q \cos (\psi)})^2}=\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}</math>

3. El módulo de <math>\gamma'_z =|\gamma'_z|= \sqrt {{1}^2}=1</math>

===Vectores tangentes <math> \vec {e}_q, \vec{e}_\psi</math> y <math> \vec {e}_z </math>===

Los vectores tangentes se corresponden con los campos de velocidades que hemos obtenido en el primer apartado de esta sección; por lo que para normalizarlo simplemente hay que dividirlos por su módulo. De esta forma los vectores tangentes normalizados se pueden calcular de la siguiente manera:

1. <math> \vec {e}_q = \frac{\gamma'_q}{|\gamma'_q|}=\frac{2\cos(\psi)\vec{i} + 3\sin (\psi) \vec{j}}{\sqrt{4\sin^2 (\psi)+9\cos^2 (\psi)}}</math>

2. <math> \vec{e}_\psi= \frac{\gamma'_\psi}{|\gamma'_\psi|}=\frac{-2 q\sin (\psi)\vec{i}+ 3 \cos (\psi)\vec{j}}{\sqrt {4{\sin (\psi)}^2+9{ \cos (\psi)}^2}}</math>

3. <math> \vec {e}_z=\frac{\gamma'_z}{|\gamma'_z|}=\frac{\vec{k}}{1}=\vec{k}</math>

===¿Forman una base ortonormal?===

==Cambio de coordenadas de un punto expresado en coordendas cartesianas a coordendas cilíndricas elípticas==
Siendo un punto <math>P</math> de coordenadas cartesianas <math>x_1, x_2</math> y <math>x_3</math>; denotado como <math>P(x_1,x_2,x_3)</math>, el cambio a coordenadas cilíndricas elípticas se hará de la siguiente forma (siendo <math>a</math> el semieje menor y <math>b</math> el semieje mayor):

<math>
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) \\
z &= x_3
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
=== ¿Cómo hallar esas relaciones?===
Esa relación de <math>\psi</math> se puede hallar fácilmente despejando en primer lugar la <math>q</math> de la primera ecuación de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas
<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
\\
</math>
Quedaría así:
<math>
\\
q=\frac{x_{1}}{a\cos\psi}
\\
</math>
Y a continuación, sustituyendo en la segunda ecuación, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a\cos\psi}\sin\psi
\\
</math>
Utilizando <math>\frac{\sin\psi}{\cos\psi}=\tan\psi</math>, quedaría así:
<math>
\\
x_{2}=b\frac{x_{1}}{a}\tan\psi
\\
</math>
Finalmente, se despeja <math>\psi</math>, quedando:
<math>
\\
\psi = \tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right)
\\
</math>
<math>
\\
</math>
Para hallar la relación de <math>q</math>, se despeja <math>\cos\psi</math> y <math>\sin\psi</math> de las ecuaciones de la relación de las coordenadas cilíndricas elípticas con las cartesianas: <math>\cos\psi=\frac{x_{1}}{aq}</math>; <math>\sin\psi = \frac{x_{2}}{bq}</math>

Usando <math>\cos^{2}\psi+\sin^{2}\psi=1</math> se obtiene:
<math>
\\
(\frac{x_{1}}{aq})^{2}+(\frac{x_{2}}{bq})^{2}=1
\\
</math>
Y despejando <math>q</math>:
<math>
\\
q = \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} \\
\\
</math>
<math>
\\
</math>
La relación de <math>z</math> permanece igual.

=== Ejemplo de cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas elípticas===
Si tenemos <math>P(x_1,x_2,x_3)=(2,0,0)</math> en coordenadas cartesianas, sustituyendo en las ecuaciones de cambio de coordendas a cilíndricas elípticas con <math>a=2</math> y <math>b=3</math>, quedaría:
<math>
\\
\begin{cases}
q &= \sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^{2}+\left(\frac{0}{3}\right)^{2}} = 1\\
\psi &= \tan^{-1}\left( \frac{2\times0}{3\times2}\right) = 0\\
z &= 0
\end{cases}
</math>
<math>
\\
</math>
<math>
P(q,\psi,z)=(1,0,0)</math>

==Parametrización de la curva gamma en coordenadas cartesianas==

==Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse==

Gracias a la parametrización de la elipse realizada en el apartado anterior, podemos definir una función \(k(t)\) que exprese la curvatura de la elipse. Como se puede apreciar la curvatura de la elipse no es constante (si lo fuera hablaríamos de una circunferencia), sino que depende del valor del parámetro t (<math> t\epsilon (0,2\pi) </math>), y, por tanto, la curvatura es específica de cada punto.

La función \(k(t)\) queda definida de la siguiente manera:

<math>
k(t)=\frac{|x(t)'y''(t))-y'(t)x''(t)|}{[x'(t)^2+y'(t)^2]^{2/3}}
</math>

Si esto lo desarrollamos en función de la parametrización que hemos obtenido llegamos a que:

<math>
k(t)=\frac{6}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{2/3}}
</math>

Donde t<math> \epsilon (0,2\pi)</math>

Como hemos comentado previamente, y como es observable, la curvatura que presenta la elipse depende del lugar en el que nos encontremos de esta misma. En la gráfica que hemos generado gracias a Matlab podemos observar que la curvatura describe una variación cíclica, va aumentando desde el punto que hemos considerado de partida hasta alcanzar un máximo para luego descender y volver a realizar el mismo ciclo. Luego si analizamos más detenidamente la función curvatura que hemos definido, podemos apreciar que esta misma obtiene unos valores máximos y mínimos en ciertos puntos.

Para determinar dónde se hace máxima y mínima la curvatura de la elipse debemos realizar la primera derivada de \(k(t)\) con respecto a \(t\).

<math>

k'(t)=\frac{-6(-2/3)[8sin(t)cos(t)-18cos(t)sin(t)]}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}} = \frac{40cos(t)sin(t)}{[4sin^2(t)+9cos^2(t)]^{5/3}}

</math>

Alcanzaremos los puntos máximos o mínimos cuando <math> 40cos(t)sin(t)=0 </math>. Los valores para los cuales esto se cumple son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
t_1 &= 0\\
t_2 &= \pi/2 \\
t_3 &= \pi \\
t_4 &= 3\pi/4
\end{cases}
</math>

Ahora bien, para determinar cuáles de estos valores de t son máximos o mínimos existen dos opciones:
*Realizar la segunda derivada
*Observar la representación de la elipse y comparar los puntos

Nosotros optaremos por la segunda, por ser un método más sencillo que no requiere de cálculos. En primer lugar los puntos que debemos de comparar son los siguientes:

<math>
\begin{cases}
P_1 &= (2,0,0)\\
P_2 &= (0,3,0)\\
P_3 &= (-2,0,0)\\
P_4 &= (0,-3,0)
\end{cases}
</math>
Mostramos los puntos señalados en la imagen adjunta.

Como podemos observar los puntos <math> p_1 </math> y <math> p_3 </math> son los puntos de mínima curvatura, mientras que los puntos <math> p_2 </math>y <math> p_4 </math> se alcanza la curvatura máxima.

El valor máximo de la curvatura es: 3/2

El valor mínimo de la curvatura es: 2/3

==Vectores tangente y normal de la curva gamma==
En este apartado, calculamos y representamos gráficamente los '''vectores tangente y normal''' en una curva elíptica parametrizada por las ecuaciones:

<math>
\begin{cases}
x_1(t)=acos⁡(t)\\
x_2(t)=bsin⁡(t)\\
\end{cases}
</math>

Donde a y b representan los semiejes mayor y menor de la elipse, respectivamente.

El vector tangente describe la dirección de la curva en cada punto, mientras que el vector normal, perpendicular al tangente, refleja la dirección de cambio de la tangente y está relacionado con la curvatura.

En la gráfica representada por MATLAB, se muestra la curva γ(t) junto con los vectores tangente (en magenta) y normal (en azul) en varios puntos seleccionados sobre la curva.
[[Archivo:tangynorm.png|450px|thumb|right|''Figura : Vectores Tangente y Normal.'']]
{{matlab|codigo=
clc, clear
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Puntos de la curva
t_puntos = linspace(0, 2*pi, 9);
x1_puntos = a * cos(t_puntos);
x2_puntos = b * sin(t_puntos);
% Cálculo de los vectores tangente y normal
dx1 = -a * sin(t_puntos); % Derivada de x1 respecto al parámetro t
dx2 = b * cos(t_puntos); % Derivada de x2 respecto al parámetro t
modulo_tg = sqrt(dx1.^2 + dx2.^2); % Módulo del vector tangente
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector tangente
tg_unitaria_x = dx1 ./ modulo_tg;
tg_unitaria_y = dx2 ./ modulo_tg;
% Cálculo de las componentes UNITARIAS del vector normal
normal_unitaria_x = tg_unitaria_y;
normal_unitaria_y = -tg_unitaria_x;
% Elipse parametrizada
t = linspace(0, 2*pi, 100);
x1 = a * cos(t);
x2 = b * sin(t);
% Gráfica
figure;
plot(x1, x2, 'k', 'LineWidth', 1.5); % Dibujar la elipse
hold on;
quiver(x1_puntos, x2_puntos, tg_unitaria_x, tg_unitaria_y, 0.3, 'm', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores tangentes
quiver(x1_puntos, x2_puntos, normal_unitaria_x, normal_unitaria_y, 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.2); % Dibujar vectores normales
title('Vectores Tangente y Normal');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
axis equal;
grid on;
legend('Curva \gamma','Tangente','Normal');
}}

==La circunferencia osculatriz en los puntos de máxima curvatura==
Una '''circunferencia osculatriz''' es la circunferencia que, en un punto dado de una curva, comparte tanto la tangente como el radio de curvatura con la curva en ese punto. Representa la mejor aproximación de la curva en cierto punto dado. En este caso, la circunferencia osculatriz la calcularemos para el punto de '''mayor curvatura'''.

Por lo tanto, para obtener el radio, lo calcularemos con la siguiente fórmula:

R = \( \frac{1}{k_{max}} \) = \( \frac{1}{ \frac{3}{2}} \) = \( \frac{2}{3} \)

Sabemos que encontraremos la mayor curvatura en los extremos del eje mayor. Pillamos, por lo tanto, el punto (0,3). Este será nuestro '''punto de contacto'''.

El centro se encontrará a una distancia R del punto de contacto:

(xc, yc) = (0, 3-R) = (0, 3 - \( \frac{2}{3} \)) = (0, \( \frac{7}{3} \))

En conclusión, la ecuación de la circunferencia osculatriz será:

(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2 '''→''' x2 + (y - \( \frac{7}{3} \))2 = (\( \frac{2}{3} \))2

Gracias a al código MATLAB, podremos ver gráficamente este resultado. De negro vemos la elipse, de azul con línea discontinua la circunferencia osculatriz y la cruz roja marca el punto de contacto.

[[Archivo:apartado7.jpg|450px|thumb|right|''Figura : Elipse y su circunferencia osculatriz.'']]
{{matlab|codigo=
clear, clc
% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor
% Generar puntos de la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
xelipse = a * cos(theta);
yelipse = b * sin(theta);
% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 2/3; % Radio de curvatura
% Centro de la circunferencia
xc = 0;
yc = 3 - R;
% Generar puntos de la circunferencia osculatriz
thetacirc = linspace(0, 2*pi, 500);
xcirc = xc + R * cos(thetacirc);
ycirc = yc + R * sin(thetacirc);
% Gráfica
figure;
hold on;
axis equal;
grid on;
% Dibujar la elipse
plot(xelipse, yelipse, 'k', 'LineWidth', 1);
% Dibujar la circunferencia osculatriz
plot(xcirc, ycirc, 'b--', 'LineWidth', 2);
% Marcar el punto de contacto
plot(0, 3, 'rx', 'MarkerSize', 10,'LineWidth', 1.5, 'MarkerFaceColor', 'k');
% Etiquetas
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
title('Elipse y su circunferencia osculatriz');
legend('Elipse', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de contacto', 'Location','southeast');
hold off;
}}

==Las superficies de nivel de campos escalares==
A continuación se representarán las superficies de nivel de los siguientes campos escalares:
<math>
f_{1}(q,\psi,z)=q \\
f_{2}(q,\psi,z)=\psi \\
f_{3}(q,\psi,z)=z \\
</math>
===Superficies de nivel===
Las '''superficies de nivel''' son superficies donde el valor de una función escalar es constante. Es decir, para una función f(q,ψ,z), la superficie de nivel está dada por los puntos que cumplen la ecuación f(q,ψ,z) = c, donde c es una constante. Por lo tanto:
* \(f_1: S_c=\{(q,\psi,z): f_1(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):q=c\}\)
* \(f_2: S_c=\{(q,\psi,z): f_2(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):\psi=c\}\)
* \(f_3: S_c=\{(q,\psi,z): f_3(q,\psi,z)=c\}=\{(q,\psi,z):z=c\}\)

===Representación===
Los campos escalares en coordenadas cartesianas son:
<math>
f_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})= \sqrt{\left(\frac{x_{1}}{a}\right)^{2}+\left(\frac{x_{2}}{b}\right)^{2}} = cte\\
f_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=\tan^{-1}\left( \frac{ax_{2}}{bx_{1}}\right) = cte\\
f_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3} = cte\\
</math>
La superficie <math>f_1</math> representada es el conjunto de elipses cuyo punto central es el (0,0,0)

La superficie <math>f_2</math> representada es el plano <math>x_1=x_2</math>

La superficie <math>f_3</math> representada es un plano paralelo al <math>OX_1X_2</math>.

Gracias a las imágenes generadas por MATLAB, podemos observar que:

Campo f1(q,ψ,z)=q: Esta superficie es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje q, mientras se mantienen libres los valores de ψ y z.

Campo f2(q,ψ,z)=ψ: Esta superficie también es un plano vertical que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje ψ, mientras se mantienen libres los valores de q y z.

Campo f3(q,ψ,z)=z: Esta superficie es un plano horizontal que se puede generar moviendo rectas a lo largo del eje z, mientras se mantienen libres los valores de q y ψ.

===Superficies regladas===
Estas superficies son regladas, lo que significa que están formadas por una familia infinita de rectas que dependen de un parámetro. Es decir, en cada una de ellas, una recta se mueve a lo largo de un parámetro (como q, ψ, o z) manteniendo constantes las otras dos coordenadas.
====Uso de superficies regladas en la ingeniería civil====
Las superficies regladas son cruciales en ingeniería civil porque permiten diseñar y construir una amplia variedad de estructuras, como carreteras, puentes, fachadas de edificios, y túneles. Estas superficies facilitan la creación de formas geométricas complejas de manera eficiente, utilizando una familia de rectas que se generan a lo largo de un parámetro. Esto no solo optimiza la construcción, sino que también reduce los costos y el tiempo de ejecución en proyectos de gran escala, como infraestructuras viales y edificios industriales.

==La elipse y su uso en la ingeniería==
La elipse es una figura geométrica, que tiene diversas aplicaciones en la ingeniería civil, destacándose por su utilidad tanto funcional como estética. Esto se debe a sus propiedades de distribución de fuerzas y su eficiencia estructural.

A continuación, explicaremos algunas de sus aplicaciones más comunes, junto a ejemplos:
=== Puentes y Arcos Elípticos===
Utilizamos '''arcos elípticos''' en la construcción de puentes debido a su capacidad de distribuir cargas de manera equilibrada a lo largo de toda la estructura. Gracias a su geometría, las fuerzas de compresión se reparten de forma uniforme, lo que reduce el riesgo de fallos estructurales y mejora la estabilidad. Esta propiedad es especialmente valiosa en puentes de gran longitud y en infraestructuras diseñadas para soportar tráfico intenso. Podemos ver la descomposición de estas fuerzas en la figura _

Esto lo podemos ver en el puente elíptico de Sídney (Australia).
[[Archivo:Fuerzaspuente.jpg|450px|thumb|left|''Figura : Fuerzas en un puente. https://wiki.ead.pucv.cl/Equilibrio_y_resistencia_2012 '']]
[[Archivo:PuenteSidney.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Puente elíptico de Sídney (Australia). https://www.nationalgeographic.es/viaje-y-aventuras/2023/09/puente-puerto-sidney-experiencia-turistica-obligatoria '']]

=== Cubiertas y Cúpulas Elípticas ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es la catedral de Sevilla (España):

[[Archivo: CatedralSevilla.jpg|450px|thumb|none|''Figura : Catedral de Sevilla. https://www.voyagevirtuel.net/andalousie/pages/sevilla_cathedrale_0104.php '']]

=== Túneles Elípticos ===
Estas estructuras, no solo ayudan a distribuir las cargas verticales de manera eficiente, sino que también ofrecen una excelente resistencia a la compresión. Su diseño optimiza la funcionalidad estructural y, además, son estéticamente atractivas, lo que las convierte en una opción popular en la arquitectura moderna y en edificaciones de gran longitud.

Un ejemplo de esto es el túnel de Toadmoor (Inglaterra):
[[Archivo: Captura_de_pantalla_2024-12-01_212939.png ‎|450px|thumb|none|''Figura : Túnel Toadmoor. https://www.loquis.com/es/loquis/2491948/T+nel+de+Toadmoor '']]

=== Otros ===
La forma elíptica mejora la visibilidad desde todos los puntos del anfiteatro y optimiza la acústica, reflejando las ondas sonoras de manera eficiente. En estadios de fútbol, esta geometría también facilita una distribución sonora más equilibrada y proporciona una experiencia visual óptima para todos los espectadores. Esto se puede observar en espacios como teatros, anfiteatros y estadios.
Un ejemplo de anfiteatro, es el Coliseo Romano (Italia):
[[Archivo: Coliseoromano.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Coliseo romano. https://www.academiacolecciones.com/dibujos/inventario.php?id=A-3416 '']]

Y un ejemplo de estadio, es el Estadio Wanda Metropolitano (España), o el Estadio de River Plate (Argentina):

[[Archivo: Metropolitanoest.jpg ‎|450px|thumb|left|''Figura : Estadio Wanda Metropolitano. https://arquitecturaviva.com/obras/estadio-wanda-metropolitano'']]
[[Archivo: River.jpg ‎|450px|thumb|none|''Figura : Estadio River Plate. https://www.canal26.com/deportes/como-luce-el-monumental-a-pocos-dias-del-debut-de-river-como-local-ante-argentinos-juniors--335773'']]

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T09:52:41Z

Diego Moreno Vázquez: /* Campos de velocidad y vectores tangentes */

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T09:38:08Z

Diego Moreno Vázquez: /* Campos de velocidad y vectores tangentes */

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T09:22:54Z

Diego Moreno Vázquez: /* Campos de velocidad y vectores tangentes */

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T09:14:50Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T09:11:54Z

Diego Moreno Vázquez: /* Campos de velocidad y vectores tangentes */

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T09:10:36Z

Diego Moreno Vázquez: /* Parametrizaciones de las líneas coordenadas */

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-12-02T09:10:18Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T19:51:51Z

Diego Moreno Vázquez: /* Los puntos de máxima y mínima curvatura de la elipse */

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T19:40:02Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T17:55:21Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T17:54:46Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T11:40:11Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T11:31:00Z

Diego Moreno Vázquez:

Archivo:Figura lineas coordenadas grupo 37.png

2024-11-29T11:14:23Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T11:14:03Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T11:03:37Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T10:56:55Z

Diego Moreno Vázquez:

Archivo:Foto inicio elipse (grupo 37).jpg

2024-11-29T10:50:44Z

Diego Moreno Vázquez:

Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas (Grupo 37)

2024-11-29T10:49:47Z

Diego Moreno Vázquez:

La elipse suele ser una figura geométrica que encontramos muy constantemente a nuestro alrededor, aunque no lo veamos: cubiertas de estadios de fútbol, ornamentación civil y muchas otras construcciones. Históricamente se ha utilizado como estructuras proporcionales que se ven agradablemente en el entorno.
Ahora bien, ¿cómo podemos llegar a definir una elipse y formarla?; y también, ¿qué es lo que nos lleva a emplear las características de esta misma en estructuras?; ¿cuáles son sus características principales? Todo ello, lo analizaremos debidamente en los siguientes apartados que desarrollaremos.

Definimos la parametrización en coordenadas cilíndricas de la elipse de la siguiente manera:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= aq \cos \psi \\
x_2 &= bq \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

En todo este artículo tomaremos como valores los parámetros \(a=2\) y \( b=3\), quedando la denotación de las coordenadas de la siguiente forma:

<math>
\begin{cases}
x_1 &= 2q \cos \psi \\
x_2 &= 3q \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>

Denotaremos \(a\) como el semieje menor de la elipse;\(b\) como el semieje mayor, viéndose la elipse de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
clear,clc
a = 2; % Semieje menor de la elipse
b = 3; % Semieje mayor de la elipse
n=200; % Usamos 200 puntos para representar la elipse
theta=linspace(0,2*pi,n); % Ángulo desde 0 a 2*pi radianes
x1=[]; x2=[];

for i=1:n
x=a*cos(theta(1,i));
y=b*sin(theta(1,i));
x1=[x1,x]; x2=[x2,y];
end

plot(x1,x2, 'LineWidth',2)
axis equal
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
grid on;
hold on
plot(0, 0, 'o', 'LineWidth',2) % Centro de la elipse en rojo
hold off
}}

Donde \(q\), hace referencia a la distancia de los puntos con respecto al origen; \(\psi\) hace referencia al ángulo que tomamos con respecto al eje <math> x_1 </math>; y \(z\) hace referencia a la altura.

{{ TrabajoED | Fundamentos de las coordenadas cilíndricas elípticas | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Javier Blanco Calzado Eladio Rodríguez Rúa Rocío Martín Renzini Ghislaine Nayeli Adrian Vidal Diego Moreno Vázquez |}}

==Parametrizaciones de las líneas coordenadas==
Definimos por líneas coordenadas de un sistema de coordenadas al conjunto de curvas obtenido al mantener constante dos coordenadas y variar la restante.

En el caso de las coordenadas cilíndricas elípticas definimos las líneas coordenadas como: \(\gamma_q\), \(\gamma_\psi\) y \(\gamma_z\).
* ''' Línea coordenada \(\gamma_q\)''': mantenemos fijos los parámetros \(\psi\) y \(z\).

<math>
\gamma_q (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2k \cos \psi \\
x_2 &= 3k \sin \psi \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,1) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_\psi\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(z\).

<math>
\gamma_\psi (k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2 \cos k \\
x_2 &= 3 \sin k \\
x_3 &= z
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,2\pi) </math>.

* ''' Línea coordenada \(\gamma_z\)''': mantenemos fijos los parámetros \(q\) y \(\psi\).

<math>
\gamma_z(k)\:\begin{cases}
x_1 &= 2 \cos \psi \\
x_2 &= 3 \sin \psi \\
x_3 &= k
\end{cases}
</math>
Con \(k\) <math> \epsilon (0,) </math>.