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Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T23:00:21Z

Diego Colombo: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la Energía Calorífica como <math> \vec{Q} (κ, T) </math>, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa, y cuyo valor supondremos <math> κ = 1 </math> para cálculos explicativos basados en la misma semicorona previa.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;
}}

[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

Añadiendo secciones adicionales a dicho código base, podemos generar visualizaciones de distintos gráficos.

En el código siguiente, se plantea la visualización, por un lado, de la placa ''antes'' y ''después'' de la aplicación del campo de desplazamientos, y por el otro lado, de la comparación de nodos de la misma tras dicho campo de desplazamientos sobre la semicorona.

{{matlab|codigo=
%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====

Definiendo el campo de desplazamientos como <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math>, se define la divergencia de un campo escalar como la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido.1 Llamado también campo solenoidal.

La divergencia de un campo vectorial <math>
\mathbf{F}(\mathbf{x})
</math> en el punto <math>
\mathbf{x}_0
</math> se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}|_{\mathbf{x}_0}=(\nabla\cdot\mathbf{F})|_{\mathbf{x}_0}=\lim_{V\to0}\frac{1}{|V|}\iint_{S(V)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
</math></center>

donde <math>S</math> es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.

Es decir, para el caso de un campo vectorial y una superficie cerrada plana, puede expresarse como:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}=(\nabla\cdot\mathbf{F})</math></center>

En el caso del campo u previo y la semicorona dada, al calcular la divergencia del campo sobre la superficie se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales del campo sobre una superficie  pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

De igual modo, podemos calcularlas respecto al campo y superficies previamente definidas:

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<center><math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math></center>

Aplicando los mismos valores que se vienen utilizando a lo largo del artículo, puede realizarse el cálculo de la Tensión de Von Mises sobre la semicorona previamente definida.

El código siguiente sirve de ejemplificación de esto:

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T22:59:22Z

Diego Colombo: /* Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la Energía Calorífica como <math> \vec{Q} (κ, T) </math>, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa, y cuyo valor supondremos <math> κ = 1 </math> para cálculos explicativos basados en la misma semicorona previa.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;
}}

[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

Añadiendo secciones adicionales a dicho código base, podemos generar visualizaciones de distintos gráficos.

En el código siguiente, se plantea la visualización, por un lado, de la placa ''antes'' y ''después'' de la aplicación del campo de desplazamientos, y por el otro lado, de la comparación de nodos de la misma tras dicho campo de desplazamientos sobre la semicorona.

{{matlab|codigo=
%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====

Definiendo el campo de desplazamientos como <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math>, se define la divergencia de un campo escalar como la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido.1 Llamado también campo solenoidal.

La divergencia de un campo vectorial <math>
\mathbf{F}(\mathbf{x})
</math> en el punto <math>
\mathbf{x}_0
</math> se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}|_{\mathbf{x}_0}=(\nabla\cdot\mathbf{F})|_{\mathbf{x}_0}=\lim_{V\to0}\frac{1}{|V|}\iint_{S(V)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
</math></center>

donde <math>S</math> es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.

Es decir, para el caso de un campo vectorial y una superficie cerrada plana, puede expresarse como:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}=(\nabla\cdot\mathbf{F})</math></center>

En el caso del campo u previo y la semicorona dada, al calcular la divergencia del campo sobre la superficie se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano tangente a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<center><math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math></center>

Aplicando los mismos valores que se vienen utilizando a lo largo del artículo, puede realizarse el cálculo de la Tensión de Von Mises sobre la semicorona previamente definida.

El código siguiente sirve de ejemplificación de esto:

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T22:50:15Z

Diego Colombo: /* Tensiones Tangenciales */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la Energía Calorífica como <math> \vec{Q} (κ, T) </math>, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa, y cuyo valor supondremos <math> κ = 1 </math> para cálculos explicativos basados en la misma semicorona previa.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;
}}

[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

Añadiendo secciones adicionales a dicho código base, podemos generar visualizaciones de distintos gráficos.

En el código siguiente, se plantea la visualización, por un lado, de la placa ''antes'' y ''después'' de la aplicación del campo de desplazamientos, y por el otro lado, de la comparación de nodos de la misma tras dicho campo de desplazamientos sobre la semicorona.

{{matlab|codigo=
%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====

Definiendo el campo de desplazamientos como <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math>, se define la divergencia de un campo escalar como la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido.1 Llamado también campo solenoidal.

La divergencia de un campo vectorial <math>
\mathbf{F}(\mathbf{x})
</math> en el punto <math>
\mathbf{x}_0
</math> se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}|_{\mathbf{x}_0}=(\nabla\cdot\mathbf{F})|_{\mathbf{x}_0}=\lim_{V\to0}\frac{1}{|V|}\iint_{S(V)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
</math></center>

donde <math>S</math> es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.

Es decir, para el caso de un campo vectorial y una superficie cerrada plana, puede expresarse como:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}=(\nabla\cdot\mathbf{F})</math></center>

En el caso del campo u previo y la semicorona dada, al calcular la divergencia del campo sobre la superficie se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano tangente a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T22:48:51Z

Diego Colombo: /* Divergencia del Campo en t=0 */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la Energía Calorífica como <math> \vec{Q} (κ, T) </math>, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa, y cuyo valor supondremos <math> κ = 1 </math> para cálculos explicativos basados en la misma semicorona previa.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;
}}

[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

Añadiendo secciones adicionales a dicho código base, podemos generar visualizaciones de distintos gráficos.

En el código siguiente, se plantea la visualización, por un lado, de la placa ''antes'' y ''después'' de la aplicación del campo de desplazamientos, y por el otro lado, de la comparación de nodos de la misma tras dicho campo de desplazamientos sobre la semicorona.

{{matlab|codigo=
%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====

Definiendo el campo de desplazamientos como <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math>, se define la divergencia de un campo escalar como la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" la divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa. La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el caso de ser la divergencia idénticamente igual a cero, describe al flujo incompresible del fluido.1 Llamado también campo solenoidal.

La divergencia de un campo vectorial <math>
\mathbf{F}(\mathbf{x})
</math> en el punto <math>
\mathbf{x}_0
</math> se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}|_{\mathbf{x}_0}=(\nabla\cdot\mathbf{F})|_{\mathbf{x}_0}=\lim_{V\to0}\frac{1}{|V|}\iint_{S(V)}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
</math></center>

donde <math>S</math> es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite.

Es decir, para el caso de un campo vectorial y una superficie cerrada plana, puede expresarse como:

<center><math> \operatorname{div}\mathbf{F}=(\nabla\cdot\mathbf{F})</math></center>

En el caso del campo u previo y la semicorona dada, al calcular la divergencia del campo sobre la superficie se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T22:40:16Z

Diego Colombo: /* Campo de Desplazamientos Antes y Después */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la Energía Calorífica como <math> \vec{Q} (κ, T) </math>, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa, y cuyo valor supondremos <math> κ = 1 </math> para cálculos explicativos basados en la misma semicorona previa.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;
}}

[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

Añadiendo secciones adicionales a dicho código base, podemos generar visualizaciones de distintos gráficos.

En el código siguiente, se plantea la visualización, por un lado, de la placa ''antes'' y ''después'' de la aplicación del campo de desplazamientos, y por el otro lado, de la comparación de nodos de la misma tras dicho campo de desplazamientos sobre la semicorona.

{{matlab|codigo=
%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T22:31:13Z

Diego Colombo: /* Energía Calorífica */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la Energía Calorífica como <math> \vec{Q} (κ, T) </math>, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa, y cuyo valor supondremos <math> κ = 1 </math> para cálculos explicativos basados en la misma semicorona previa.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T22:27:02Z

Diego Colombo: /* Campo Escalar */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y},\frac{\partial T}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la función <math> \vec{Q} (κ, T) </math> como la Energía Calorífica, puede también representarse usando un

Con esto, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<center><math> κ = 1 </math> </center>

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T16:17:46Z

Diego Colombo: /* Artículos de Interés */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la función <math> \vec{Q} (κ, T) </math> como la Energía Calorífica, puede también representarse usando un

Con esto, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<center><math> κ = 1 </math> </center>

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]] 

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC23/24]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T16:14:38Z

Diego Colombo: /* Tensiones Normales */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la función <math> \vec{Q} (κ, T) </math> como la Energía Calorífica, puede también representarse usando un

Con esto, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<center><math> κ = 1 </math> </center>

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente, puede calcularse las tensiones normales a la superficie.

Utilizando la superficie de semicorona previamente definina, y el campo también previamente definido, calcular las tensiones normales con el procedimiento de cálculo mostrado, utilizando el gradiente del campo previamente calculado

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

posteriormente, se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>, es decir:

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>, que para nuestro caso

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T15:56:32Z

Diego Colombo: /* Rotacional del Campo */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la función <math> \vec{Q} (κ, T) </math> como la Energía Calorífica, puede también representarse usando un

Con esto, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<center><math> κ = 1 </math> </center>

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial sobre campos vectoriales, definido en R3, que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto

El rotacional suele expresarse con la notación <math> \nabla\times\vec{u} </math>

Considerando la ecuación del rotacional en coordenadas cilíndricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se obtiene mediante el siguiente código

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T15:15:05Z

Diego Colombo: /* Campo de Desplazamientos en t=0 */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la función <math> \vec{Q} (κ, T) </math> como la Energía Calorífica, puede también representarse usando un

Con esto, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<center><math> κ = 1 </math> </center>

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Definiendo un campo de desplazamientos dado por <math> \vec{u}(\rho,\theta) </math> para cada punto de la semicorona, es posible definir y visualizar el campo de desplazamientos de los nodos de la placa

Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<center><math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math></center>

Con un código de tipo ''.m'' es posible hallar dichos resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo podría utilizarse un código de tipo:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T15:11:59Z

Diego Colombo: /* Energía Calorífica */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Definiendo la función <math> \vec{Q} (κ, T) </math> como la Energía Calorífica, puede también representarse usando un

Con esto, y utilizando la Ley de Fourier, podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<center><math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> </center>

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<center><math> κ = 1 </math> </center>

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T15:06:25Z

Diego Colombo: /* Campo Escalar */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>, de forma que:

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura, y su magnitud, o módulo de su vector, indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos visualizar el gradiente y las curvas de nivel.

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-15T15:04:31Z

Diego Colombo: /* Geometría */

{{ TrabajoED
| Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)
| [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]
| [[:Categoría:TC23/24|2023-24]]
| Diego Colombo Flores Valentina Gómez Alvarado Javier Diéguez Rodríguez Nacira Faraji Bahja}}

==Introducción==
Este artículo busca demostrar visualmente el efecto de campos escalares y vectoriales en placas planas de tipo corona circular, así como ejemplificar códigos que permitan su visualización gráfica en programas matemáticos de extension ''.m'' como [[Octave]] o [[Matlab]].

Adicionalmente, se mostrarán ejemplos de otros operadores diferenciales como el gradiente y el rotacional, al igual que otros cálculos como tensiones tangenciales y tensiones de Von Mises.

=== Geometría ===
Para la visualización, consideraremos una placa plana en forma de cuarto de corona circular, centrada en el origen, y comprendido entre los radios 1 y 2 y el plano y ≥ |x|/2, asumiendo z=0 como condición adicional. Para futuras referencias, describiremos la figura como una '''Semicorona Circular'''

<center> Es decir, la placa puede definirse como la zona delimitada por las ecuaciones

<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \ge 1 </math> 
<math> x^{2} + y^{2} + z^{2} \le 4 </math> 
<math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> 
<math> z = 0 </math> 

graficando la placa con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3] </center>

Para graficar la placa, se ha usado la variable ''alpha'' para determinar la pendiente de la recta <math> y ≥ \frac{|x|}{2} </math> a la derecha del eje Y.

Para simplificar cálculos, al ser la función simétrica respecto al eje Y, podemos afirmar que su pendiente a la izquierda del origen será de ''pi - alpha'', por lo que podemos afirmar que los valores de la variable ''theta'' se hallan en el intervalo [''alpha'', ''pi - alpha''].

Utilizando programas de extensión ''.m'' como Octave o MatLab, podemos graficar la semicorona con el código (1)

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_ejes_iguales.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (1) '''Semicorona objeto de estudio, vista en planta (a la izquierda, código respectivo)]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2; % paso
rho = (1:h:2); % vector valores de rho
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa); % vector valores de theta
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta); % matrices de rho y theta

X = Mrho.*cos(Mtheta); % parametrizacion en X
Y = Mrho.*sin(Mtheta); % parametrizacion en Y
mesh (X,Y,0*X) % creacion de mallado

axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
figure(1) % visualizacion
view(2) % vista en planta
}}

=== Campos Escalar y Vectorial ===

Adicionalmente, se suponen definidas dos cantidades físicas: temperatura (en coordenadas cartesianas) y campo de desplazamientos (en coordenadas cilíndricas):

==== Campo Escalar ====

Por un lado, definimos la temperatura <math> T </math> como el Campo Escalar definido por la función <math> T(x, y) = sin(x^{2} + (y − 3)^{2}) </math>

Podemos por tanto, definir el gradiente de <math> T </math> con el operador nabla (<math>\nabla</math>) seguido de la función (<math> T </math>) sin ningún símbolo entre ellos, de cualquiera de las siguientes formas: <math>\vec{\nabla} f</math>, <math>{\nabla} f</math>, o usando la notación <math>\operatorname{grad}(f)</math>.

<center><math>\nabla T = (\frac{\partial T_x}{\partial x}, \frac{\partial T_y}{\partial y},\frac{\partial T_z}{\partial z})</math></center>

El vector gradiente indica la dirección en la que aumenta la temperatura y su magnitud indica cuanto aumenta.

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2)''' Curvas de nivel de la función temperatura <math> T </math> Se incluyen anotaciones sobre líneas del código que no hayan sido explicadas con anterioridad]]
{{matlab|codigo=
clc
clear
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);
mesh (X,Y,0*X)

T = sin(X.^2+((Y-3).^2)); % funcion de temperatura

contour (X, Y, T, 25) % visualizacion curvas de nivel
view(2) % vista en planta
colorbar % escala de colores
axis([-3,3,-1,3]) % tamaño de ejes
axis equal % ejes con mismo tamaño entre rangos
}}

Incorporando al código una sección para calcular y visualizar el gradiente, podemos comprobar la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel

[[Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.a)''' Curvas de nivel y Gradiente de <math> T </math> Visualmente, puede observarse la ortogonalidad entre el gradiente y las curvas de nivel ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

quiver(X,Y,Gx,Gy); % visualización del gradiente
axis([-3,3,-1,3]); axis equal; figure(1); view(2)
}}

== Visualización de otros campos ==

==== Energía Calorífica ====
Cumpliéndose que utilizando la Ley de Fourier podemos hallar la energía calorífica <math> \vec{Q} </math> con la fórmula

<math> \vec{Q}= − κ ∇ T </math> 

donde <math> κ </math> es la constante de conductividad térmica de la placa que supondremos

<math> κ = 1 </math> 

Gráficamente, podría visualizarse mediante el siguiente código:

[[Archivo:Corona_plana_entre_radios_1_y_2_energia_calorifica.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.1)''' Curvas de nivel y Energía Calorífica Se observa la proporcionalidad inversa respecto al gradiente de <math> T </math>]]
{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

hold on % Mantener ambas visualizaciones en dibujo
mesh (X,Y,0*X) % Dibujo de esqueleto

T = sin(X.^2+((Y-3).^2));
[Gx,Gy] = gradient(T); % calculo gradiente de T
contour (X, Y, T, 10) % dibujo de lineas nivel

%Campo Vectorial de la Energía Calorífica
k=1;
Qx=-k.*Gx;
Qy=-k.*Gy;

quiver(X,Y,Qx,Qy); % Visualización del campo vectorial Q
axis([-3,3,-1,3]); figure(1);view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos en t=0 ====
Se muestra a continuación el campo de desplazamientos en los puntos del mallado de la placa según el campo vectorial

<math> \vec{u}(\rho,\theta)=\frac{log(3-\rho)}{2}cos(2\theta)\vec{e}_{\rho} </math>

Se piden los resultados en t=0, es decir, sin desplazamiento. Para lograrlo se emplea el siguiente código:

[[Archivo:javit0.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.2)''' Campo de Desplazamiento en t=0 ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

MrhoErho = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta);
MrhoEtheta = 0.*(Mtheta);

figure %Dibujo del mallado
hold on

mesh (X,Y,0*X)

%Campo de desplazamientos
quiver(X,Y,MrhoErho,MrhoEtheta);
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
view(2);
}}

==== Campo de Desplazamientos Antes y Después ====
Tras definir el desplazamiento del campo <math> \vec{u} </math> en <math> t=0 </math>, definimos dicho desplazamiento a través del tiempo con el siguiente código.

[[Archivo:subploteado.png|400px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.3)''' Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]
[[Archivo:Compval.png|300px|miniaturadeimagen |derecha|'''Código (2.4)''' Comparación del Campo Antes y Después del Desplazamiento ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Definición de las funciones que describen los
%desplazamientos que tienen lugar en la placa
%tomando como incógnitas x e y

MrhoErhoDesp = ((log(3-Mrho)/2).*cos(2*Mtheta)).*cos(Mtheta)+X;
MrhoEthetaDesp = (0.*(Mtheta))+Y;

%ANTES
subplot(1,2,1)
surf (X, Y, 0*X);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title('Antes del Desplazamiento');

%DESPUÉS
subplot(1,2,2)
surf (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis ([-3,3,-1, 3])
title ('Después del desplazamiento');

%COMPARACIÓN
hold on
plot3 (X, Y, 0*X);
plot3 (MrhoErhoDesp, MrhoEthetaDesp, 0*MrhoErhoDesp);
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
title ('Comparación');
hold off
}}

==== Divergencia del Campo en t=0 ====
Hallando la divergencia del campo u y su gráfica se observan con colores las zonas donde tiende a maximizarse y minimizarse en t=0. Se obtuvo la divergencia mínima en el punto 0 del campo y la máxima en -0,0085. Para la nula, el valor mas próximo a cero encontrado fue en 0.

[[Archivo:Divergencianas.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.5) '''Divergencia del Campo en <math> t=0 </math>]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

%Divergencia del Campo
Div= ((log(3-Mrho)/2)-(cos(2.*Mtheta))./(6-2*Mrho));

%Representación Gráfica de la Divergencia
surf(X,Y,Div)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar

DivMAX = max(max(Div)) %Divergencia maxima
DivMIN = min(min(Div)) %Divergencia minima
DivCERO = find(Div==0) %Divergencia nula
}}

==== Rotacional del Campo ====
Considerando la ecuacion del rotacional en coordenadas cilindricas, y su proceso de resolución, obtenemos:

<math> \nabla\times\vec{u} = \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u}_\rho & \rho\vec{u}_\theta & \vec{u}_z
\end{vmatrix}

= \frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_\rho & \vec{e}_\theta & \vec{e}_z \\
\frac{\partial}{\partial\rho} & \frac{\partial}{\partial\theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\vec{u} & 0 & 0
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}\vec{e}_z </math> 

Con esto, calcular el modulo del rotacional es inmediato

<math>
\begin{vmatrix}
\nabla\times\ \vec{u}(\rho,\theta)
\end{vmatrix}

=\frac{sin(2\theta)log(3-\rho)}{\rho}

</math>

Su representación gráfica se muestra utilizando el siguiente código.

[[Archivo:Rotacolombjavvalent.png|300px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.6) '''Rotacional del Campo Dibujo del rotacional en todos los puntos del sólido en <math> t=0 </math> ]]

{{matlab|codigo=
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

Rot=abs((sin(2.*Mtheta).*log(3-Mrho))./Mrho);

surf(X,Y,Rot)
view(2)
axis equal
axis([-3,3,-1,3])
colorbar
}}

==== Tensiones Normales ====
Teniendo el campo <math> \vec{u} </math> y su gradiente

<math> \nabla\vec{u} = \begin{pmatrix}
\frac{-cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
0 & \frac{log(3-\rho)sin(2\theta)}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Se define <math> e(\vec{u}) </math> como la parte simétrica de <math> \triangledown\vec{u} </math>

<math> e(\vec{u}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{cos(2\theta)}{2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

Esto permite calcular el tensor de tensiones considerando los coeficiente de Lamé <math> \mu=\lambda=1 </math>

<math>
\sigma =\lambda\triangledown\cdot\vec{u} I +2e(\vec{u})\mu = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & \frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & 0 \\
\frac{-log(3-\rho)sin(2\theta)}{2\rho} & log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} & 0 \\
0 & 0 & \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}
\end{pmatrix}
</math>

Así, conocemos las tensiones normales en la dirección de cada eje:

Dirección que marca el eje <math> i : i\cdot\sigma\cdot i = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> j : j\cdot\sigma\cdot j = log(3-\rho)cos(2\theta) + \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 
Dirección que marca el eje <math> k : k\cdot\sigma\cdot k = \frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} </math> 

De esta forma, se obtiene el siguiente código para el dibujo de las tensiones normales en la dirección que marca cada eje:

[[Archivo:Tensionesnormalesconjavito.png|400px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.7) '''Tensiones Normales]]

{{matlab|codigo=
clear
clc
h = 0.2;
rho = (1:h:2);
alfa = tan(1/2);
theta = (alfa:h:pi-alfa);
[Mrho,Mtheta] = meshgrid(rho,theta);

X = Mrho.*cos(Mtheta);
Y = Mrho.*sin(Mtheta);

subplot(3,1,1);
%Elemento (1,1) de la matriz sigma
a=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
surf(X,Y,a)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,2);
%Elemento (2,2) de la matriz sigma
b=((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,b)
axis equal
view(2)
colorbar

subplot(3,1,3)
%Elemento (3,3) de la matriz sigma
c=((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
surf(X,Y,c)
axis equal
view(2)
colorbar
}}

==== Tensiones Tangenciales ====
La tenciones tangenciales, es decir, tensiones contenidas en el plano perpendicular a <math> \vec e_{\rho} </math>, pueden calcularse aplicando <math>\left | \sigma\cdot \vec e_{\rho}-(\vec e_{\rho}\cdot \sigma \cdot\vec e_{\rho}) \vec e_{\rho} \right |</math>

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
(\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = \begin{pmatrix}
\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho} \\
0 \\
0
\end{pmatrix} </math> 

<math>
\sigma\cdot \vec e_{\rho} - (\vec e_{\rho}\cdot\sigma\cdot \vec e_{\rho})\cdot \vec e_{\rho} = (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) - (\frac{log(3-\rho)}{2} - \frac{cos(2\theta)}{\rho} - \frac{cos(2\theta)}{6-2\rho}) = 0
</math>

==== Tensión de Von Mises ====

La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

[[Archivo:Mail.png|600px|miniaturadeimagen|derecha|'''Código (2.8) '''Tensión de Von Mises]]

{{matlab|codigo=
h=0.2; %Paso de muestreo
rho=1:h:2; %Asignación de las variables rho y theta
theta=linspace(pi/4,3*pi/4,pi/h);
[Mrho,Mtheta]=meshgrid(rho,theta); %Malldo
x=Mrho.*cos(Mtheta); %Cambio a coordenadas cilíndricas
y=Mrho.*sin(Mtheta);
sig= []; %Creación de matriz sigma con tantos columnas como la longitud de theta y tantas columnas como la longitud de rho
VM=zeros(length(theta),length(rho));

%Fórmulas de las componentes de sigma
a = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta)./Mrho)-(cos(2*Mtheta)./(6-2*Mrho)));
b = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho).*cos(2*Mtheta))+(log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));
c = @(Mrho,Mtheta) ((log(3-Mrho)./2)-(cos(2*Mtheta))./(6-2*Mrho));

for i=1:length(theta) %Definición de las componentes de la matriz de Von Mises
for j=1:length(rho)
sig(1,1)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,2)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(1,3)= 0;
sig(2,1)= b(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,2)= c(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));
sig(2,3)= 0;
sig(3,1)= 0;
sig(3,2)= 0;
sig(3,3)= a(Mrho(i,j),Mtheta(i,j));

[v,u]=eig(sig); %Cálculo de autovalores
VM(i,j)=sqrt(((u(1,1)-u(2,2))^2+(u(2,2)-u(3,3))^2+(u(3,3)-u(1,1))^2)/2); %Aplicación de la fórmula
end
end

%Representación en 2D en el eje XOY
subplot(1,3,1)
surf(x,y,VM)
shading interp
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis equal
colorbar;
title('XOY')

%Representación en 3D
subplot(1,3,2)
surf(x,y,VM)
shading interp
axis equal
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión de Von Mises')

%Representación en 2D en el eje XOZ
subplot(1,3,3)
hold on
m=VM(1:size(VM,1),1);
t=x(1:length(x),3);
surf(x,y,VM)
view(0,0)
shading interp
MAX = max(m);
for k = 1:length(m) %Cálculo del punto máximo
if m(k) == MAX
plot3(t(k),0,MAX,'xr','markersize',10) %Representación del punto máximo
end
end
axis equal
colorbar
title('XOZ')
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')
txt = ['Máxima tensión:' num2str(MAX)]; %Texto insertado sobre el dibujo indicando el máximo
text(-0.35,2,1.25,txt)
hold off
}}

== Artículos de Interés==
- [[CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES EN ELASTICIDAD, EN UN CUARTO DE CORONA CIRCULAR - GRUPO 3C | Campos Escalares y Vectoriales en cuarto de corona circular (2023)]] 
- [[Deformaciones de un semianillo circular en 2-D. Grupo 8-A | Deformaciones en semianillo circular (2021)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-14T16:53:27Z

Diego Colombo: /* Tensiones Tangenciales */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-13T11:46:07Z

Diego Colombo: fix de matriz

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T19:02:20Z

Diego Colombo: /* Visualización de otros campos */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T19:01:52Z

Diego Colombo: /* Campo Escalar */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T19:01:28Z

Diego Colombo: /* Energía Calorífica */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T18:06:19Z

Diego Colombo: /* Energía Calorífica */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T18:06:02Z

Diego Colombo: /* Energía Calorífica */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T18:00:29Z

Diego Colombo: /* Geometría */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T17:59:43Z

Diego Colombo: /* Geometría */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-06T17:59:19Z

Diego Colombo: /* Geometría */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-01T18:28:09Z

Diego Colombo: Gradiente de T

Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 curvas nivel y gradiente de T.png

2023-12-01T18:19:25Z

Diego Colombo:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-01T18:11:56Z

Diego Colombo: /* Campo Escalar */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-01T15:52:45Z

Diego Colombo: /* Campo Escalar */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-01T15:39:33Z

Diego Colombo: /* Campos Escalar y Vectorial */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-01T15:06:02Z

Diego Colombo: Codigo respectivo a Lineas de Nivel, y formatting de wiki

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-01T15:00:12Z

Diego Colombo: /* Campos Escalar y Vectorial */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-12-01T14:59:35Z

Diego Colombo: /* Campo Escalar y Gradiente*/

Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 gradiente de T.png

2023-12-01T14:51:49Z

Diego Colombo:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T20:14:05Z

Diego Colombo: /* Introducción */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T20:10:59Z

Diego Colombo: /* Geometría */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T20:08:10Z

Diego Colombo:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T19:54:39Z

Diego Colombo: /* Geometría */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T19:42:32Z

Diego Colombo:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T19:34:14Z

Diego Colombo: /* Introducción */

Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2 ejes iguales.png

2023-11-29T19:04:04Z

Diego Colombo:

Archivo:Semicorona entre radios 1 y 2 con ejes iguales.png

2023-11-29T19:00:08Z

Diego Colombo:

Archivo:Corona plana entre radios 1 y 2.png

2023-11-29T18:46:20Z

Diego Colombo:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T14:47:48Z

Diego Colombo: /* Introducción */

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T12:40:17Z

Diego Colombo:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T12:29:34Z

Diego Colombo: Diego Colombo trasladó la página Visualizacion de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30) a Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30): Error de título previo

Visualizacion de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T12:29:34Z

#REDIRECCIÓN [[Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)]]

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T12:28:55Z

Diego Colombo:

Visualización de Campos Escalares y Vectoriales en Corona Circular (Grupo 30)

2023-11-29T11:56:49Z

Diego Colombo: Página creada con «{{ TrabajoED | Visualización de Campos Escalares y vectoriales en Semicorona Circular (Grupo 30) | Teoría de Campos | :Categoría:T...»

Campo de Temperaturas y Deformaciones para una placa 2D (Grupo 20-A)

2022-12-07T14:55:58Z

Diego Colombo: Anadido codigo y representacion grafica de la Tensión de Von Mises

{{ TrabajoED | Campo de Temperaturas y Deformaciones para una placa 2D (Grupo 20-A) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] |
* Caldentey, Pablo
* Caldentey, Pedro
* Colombo, Diego
* Ocaña, Antonio
* Rivero, Daniel}}

Un '''Campo de Temperaturas''' es un '''[https://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalar Campo Escalar]''' aplicado a un objeto físico con el objetivo de representar las temperaturas propias de los puntos del objeto.

La representación visual de un campo escalar puede hacerse mediante programas como [https://es.wikipedia.org/wiki/GNU_Octave Octave] y [https://es.wikipedia.org/wiki/MATLAB MATLAB], los cuales utilizan operaciones escalares y elementos matriciales para realizar cálculos complejos.

==Creación de la Superficie==
Para representar el campo de temperaturas de un sólido en MATLAB, primero ha de dibujarse un mallado que represente el objeto. Para ello se genera una malla de puntos mediante el comando ''meshgrid''.

Imaginemos un mallado que represente los puntos interiores del sólido 2D rectangular con paso de muestreo <math>(h) = 2/10</math>, ubicado en el plano cartesiano, tal que:

<center><math>(x,y)\epsilon[-0.5;10.5]x[−0.5;2.5]</math></center>

El código de Matlab para ello sería:

{{matlab|codigo=
h = 0.2; %Paso de muestreo

x = -0.5:h:10.5;
y = -0.5:h:2.5;
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado
mesh(X,Y,0*X)
axis ([-1,11,-1,3])
view(2) %Vista en planta
}}
[[Archivo:TC.png|marco|centro|Mallado 2D]]
[[Archivo:TC0.png|miniaturadeimagen|derecha|tamaño 300px|Mallado resultante al aplicar el campo escalar <math>T=X</math>. Programas como Octave y Matlab utilizan mallados matriciales para las operaciones intermedias de cálculo de campos escalares]]

==Representación de Campos Escalares==

El campo escalar de temperaturas de un objeto físico 2D se representa al aplicar una función a cada vértice del mallado previamente generado, el cual representa el objeto. Para ello se genera una función que asigne a cada punto <math>(x,y)</math> un valor de temperatura. Siguiendo con el ejemplo anterior, una posible función de temperaturas sería:

<center><math>T(x,y)=((x-6)^2+(10\cdot(y-3/2))^2</math></center>

Dicha función habría que incluirla en el código Matlab, tal que quede:

{{matlab|codigo=

h = 0.2; %Paso de muestreo

x = -0.5:h:10.5;
y = -0.5:h:2.5;
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado
%Parametrizamos en cartesianas
T=((X-6).^2+(10*(Y-3/2)).^2); %Campo escalar de temperatura
figure
hold on

contour(X,Y,T,40) %Líneas de nivel
colorbar %Para mostrar las escalas
axis ([-1,11,-1,3])
}}

[[Archivo:TC2.png|marco|centro|Placa 2D rectangular tras aplicación de campo escalar]]

==Cálculo de ▽T y su representación==
La divergencia de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada reflejado sobre la base ortonormal orientada positivamente <math>\vec{i},\vec{j},\vec{k}</math>. Es decir:
<center><math>▽T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}</math></center>
<center><math>▽T=(2x-12)\vec{i}+(200y-300)\vec{j}</math></center>
Una vez calculado, se procede a la parametrización del gradiente en Matlab y su representación:
{{matlab|codigo=

h=0.2;
x=-0.5:h:10.5; %Discretizamos valores de x
y=-0.5:h:2.5; %Discretizamos valores de y
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

z=zeros(size(Mx)); %la z es cero por ser una placa sin espesor
mesh(Mx,My,z) %representamos de tal forma que solo se vean las líneas

t=((Mx-6).^2+(10*(My-3/2)).^2); %Campo escalar de temperatura

pcolor(Mx,My,t)
shading flat %para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
contour(Mx,My,t,30,'k') %el color de las líneas de nivel sale en negro

hold on

u=(2.*Mx-12);
v=(200.*My-300);
w=(0.*Mx);

quiver3(Mx,My,z,u,v,w) %dibujamos el campo vectorial gradiente
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]) %modificamos los ejes
axis equal
view(2)
hold off
}}

[[Archivo:TC4.png|marco|centro|Representación de las líneas de nivel del campo escalar junto con el gradiente de dicho campo]]

El gráfico resultante representa, con líneas de nivel, las temperaturas de la placa, mientras que los vectores (azul) muestran el gradiente para una serie de puntos de referencia.

A simple vista puede parecer difícil corroborar la ortogonalidad de los vectores del gradiente con las líneas de nivel, debido a la imposibilidad de representar curvas, por lo que las líneas de nivel se representan mediante una serie de rectas cortas de referencia. Por ende, se adjunta a continuación una foto para demostrar dicha ortogonalidad.

[[Archivo:TC5.png|1000px|marco|centro|Comprobación de ortogonalidad entre líneas de nivel y gradiente del campo]]
==Representación del campo de vectores en los puntos del mallado del sólido==

El campo de vectores del mallado puede representarse mediante el uso de Octave/Matlab.

Un ejemplo del código a seguir sería el siguiente:

{{matlab|codigo=
h=0.2;
x=-0.5:h:10.5; %Discretizamos valores de x
y=-0.5:h:2.5; %Discretizamos valores de y
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado
ux= 2/5.*sin(Mx);
uy=0.*My;
mesh(Mx,My,0*Mx);

hold on
quiver(Mx,My,ux,uy);
axis equal
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5]);
view(2)
hold off
xlabel('Eje X')
}}

[[Archivo:Mallado con vectores de desplazamiento.png|1000px|marco|centro|Mallado con vectores de desplazamiento]]

==Representación de deformaciones de la placa==
De igual forma, la representación de las deformaciones de una placa 2D siguiendo un campo vectorial <math> \vec u </math> puede representarse siguiendo la definición de campo vectorial. Siguiendo con el ejemplo anterior, dichas deformaciones pueden representarse en programas como MatLab, ejemplificado con el código:

{{matlab|codigo=
clc
clear
h=0.2;
x=-0.5:h:10.5; %Discretizamos valores de x
y=-0.5:h:2.5; %Discretizamos valores de y
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado
ux=2/5.*sin(Mx);
uy=0.*My;

Mz=zeros(size(Mx));
mesh(Mx,My,Mz);

subplot (1,2,1) %Placa antes del desplazamiento
pcolor(Mx,My,Mz)
axis equal
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title('Antes del desplazamiento')

subplot(1,2,2) %Placa después del desplazamiento
Mxx=Mx+ux;
Myy=My+uy;
pcolor(Mxx,Myy,Mz); %Definimos la matriz post-desplazamiento
axis equal
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
title('Despues del desplazamiento')
}}

[[Archivo:Mallado antes y despues del desplazamiento.png|1000px|marco|centro|Mallado antes y después del desplazamiento]]

==DIVERGENCIA DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==

La divergencia del campo de desplazamientos también puede calcularse siguiendo el mismo procedimiento, y mediante este podemos también calcular los puntos para los cuales la divergencia será máxima, mínima y nula. Para el cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas, se procede a derivar el campo de desplazamientos .

Para ejemplificarlo, usamos el campo de desplazamientos hallado anteriormente:

<math>\ \vec u (x, y, z)= \frac{2}{5} \sin (x) \vec i </math> 

Por lo tanto:

<math>\ \nabla \cdot \vec u =\frac{\partial \vec u_1}{\partial x} + \frac{\partial \vec u_2}{\partial y} + \frac{\partial \vec u_3}{\partial z} = \frac{\partial (\frac{2}{5}\sin (x))}{\partial x} + \frac{\partial 0}{\partial y} + \frac{\partial 0}{\partial z} = \frac{2}{5} \cos(x) </math>

Con esto obtenemos que la divergencia es un campo escalar que depende únicamente de la coordenada <math>\ x </math> de cada punto

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-0.5:h:10.5; %Discretizamos valores de x
y=-0.5:h:2.5; %Discretizamos valores de y
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

z=zeros(size(Mx)); %la z es cero por ser una placa sin espesor
mesh(Mx,My,z) %representamos de tal forma que solo se vean las líneas

g=(2/5)*cos(Mx); %Pintamos las curvas de nivel correspondientes a la temperatura

pcolor(Mx,My,g)
shading flat %para quitar las líneas de cuadrícula y que no se superpongan con las de nivel
contour(Mx,My,t,30,'k') %el color de las líneas de nivel sale en negro
colorbar
hold on

quiver3(Mx,My,z,u,v,w) %dibujamos
axis([-0.5,10.5,-0.5,2.5])
axis equal %modificamos los ejes
view(2)
hold off
}}

La divergencia, al ser un campo escalar, puede ser representado mediante un mapa de colores 2D sobre la placa.

[[Archivo:Divergencia en placa 2D.png|400px|marco|centro|Mapa de colores de la divergencia]]

==Rotacional de un campo de desplazamientos==

Sea |∇ × \vec{u}| el rotacional de un campo de desplazamientos <math> \vec u = (ux, uy, uz)</math> expresado en un sistema de coordenadas de vectores unitarios ortogonales <math>\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}</math>, aplicado a una superficie bidimensional expresado en dicho sistema de coordenadas, se cumple que:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u} & \vec{v} &\vec{w} \\ d/da & d/db & d/dc\\ ux & uy & uz \end{vmatrix}</math>

Por ello, para calcular el rotacional de un campo de desplazamientos, se aplica la fórmula del producto vectorial en los ejes del sistema de coordenadas.

Para el caso del sistema de coordenadas cartesiano, con ejes <math>[ x, y, z ]</math>, y vectores respectivos <math>\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}</math>, se procede a calcular el rotacional.

Usando el campo <math>\vec{u} = (\vec{ux}, \vec{uy}, \vec{uz}) = (2/5sin(x), 0, 0)</math> previo, procedemos a hacer los cálculos:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz\\ ux & uy & uz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ d/dx & d/dy & d/dz \\ 2/5sin(x) & 0 & 0\end{vmatrix}=(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=0 </math>

Por lo tanto, se trata de un campo conservativo es decir, el rotacional en todos los puntos de la placa es nulo, lo que implica:

<math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec{u} \right | = 0 </math>
[[Archivo:Rotacional conservativo en placa 2D.png|400px|marco|centro|Rotacional conservativo en placa 2D]]

==Tensiones normales==
Sea <math>\sigma=λ\bigtriangledown \cdot \vec{u}1 + 2µe</math> el campo de tensiones en un medio elástico, isótropo y homogéneo donde <math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}</math> la parte simétrica del gradiente del campo vectorial <math>\vec u</math>, los coeficientes de Lamé <math>λ,µ =1</math> y <math>\bigtriangledown \cdot \vec{u}</math> la divergencia del campo vectorial <math>\vec u</math> se puede proceder a los cálculos de las deformacciones en las direcciones de los vectores de la base ortonormal orientada positivamente <math>{\vec i,\vec j,\vec k}</math>. Para ello, se acometen unos cálculos intermedios que facilitan la operación:

<math>\bigtriangledown\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u_{1}}{\partial x}&\frac{\partial u_{1}}{\partial y}&\frac{\partial u_{1}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{2}}{\partial x}&\frac{\partial u_{2}}{\partial y}&\frac{\partial u_{2}}{\partial z}\\\frac{\partial u_{3}}{\partial x}&\frac{\partial u_{3}}{\partial y}&\frac{\partial u_{3}}{\partial z} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}cos(x)&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}= \frac{2}{5}cos(x) \vec i \otimes \vec i</math>

Como se observa, <math>\bigtriangledown\vec{u}</math> es una matriz simétrica, lo que quiere decir que ella y su matriz traspuesta son idénticas, por lo tanto se representan de la misma forma. Entonces:

<math>e=\frac{\bigtriangledown\vec{u}+\bigtriangledown\vec{u}^t}{2}=\frac{\frac{2}{5}cos(x) \vec i \otimes \vec i + \frac{2}{5}cos(x) \vec i \otimes \vec i}{2}=\frac{2}{5}cos(x) \vec i \otimes \vec i</math>

Ahora se procede al cálculo del tensor de deformaciones:

<math>\sigma=\frac{2}{5}cos(x)(\vec i \otimes \vec i + \vec j \otimes \vec j + \vec k \otimes \vec k) + 2\cdot\frac{2}{5}cos(x)(\vec i \otimes \vec i) = \frac{2}{5}cos(x)(\vec i \otimes \vec i) + \frac{2}{5}cos(x)(\vec j \otimes \vec j) + \frac{2}{5}cos(x)(\vec k\otimes \vec k) + \frac{4}{5}cos(x) (\vec i \otimes \vec i) = \frac{6}{5}cos(x) (\vec i \otimes \vec i) +\frac{2}{5} cos(x) (\vec j \otimes \vec j) +\frac{2}{5}cos(x) (\vec k \otimes \vec k) </math>

<math>\sigma_{ij} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5}cos(x)\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{5}cos(x)\ & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{5}cos(x)\ \end{pmatrix}</math>

Por último se procede al cálculo de las tensiones normales a la dirección que marca cada vector de la base ortonormal orientada positivamente adoptada.
Dichas tensiones son las que se encuentran en los elementos de la diagonal de la matriz <math>\sigma_{ij}</math>:

En la dirección de <math>\vec{i}</math>: <math>\:\:\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i</math> = <math>\frac{6}{5}\cos x</math>

En la dirección de <math>\vec{j}</math>: <math>\:\:\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j</math> = <math>\frac{2}{5}\cos x</math>

En la dirección de <math>\vec{k}</math>: <math>\:\:\vec k \cdot \sigma \cdot \vec k</math> = <math>\frac{2}{5}cos x</math>

Tras los cálculos, puede representarse gráficamente en Matlab. Siguiendo con el ejemplo del apartado anterior, lo hacemos utilizando el código:
{{matlab|codigo=
h=0.2;
x=-0.5:h:10.5; %Discretizamos valores de x
y=-0.5:h:2.5; %Discretizamos valores de y
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k

figure
subplot(1,3,1)
pcolor(Mx,My,Ti)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en i')

subplot(1,3,2)
pcolor(Mx,My,Tj)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en j')

subplot(1,3,3)
pcolor(Mx,My,Tk)
colorbar
shading flat
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Eje Z')
axis equal
title('Tensiones normales en k')
}}

[[Archivo:Campos a escalaynoescala.png|marco|centro|Tensiones normales a las direcciones <math>\vec i, \vec j, \vec k </math>]]

==TENSIONES TANGENICALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\ \vec i </math>==
Sea <math>\vec{T}</math> la tensión tangencial respecto al plano ortogonal a <math>\vec{i}</math>, que viene dado por la siguiente expresión:<math>\ \left| \sigma ·\vec i -(\vec i·\sigma·\vec i)\vec i \right| </math> 

Particularizando para nuestros datos obtenemos: <math>\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}-\frac{6}{5}\cos (x)\vec{i}=\vec{0}</math> 
Por lo tanto la tensión tangencial respecto al plano que contiene a los vectores <math>\vec{j}</math> y <math>\vec{k}</math> es nula.

==TENSIÓN DE VON MISES==
La Tensión de Von Mises es una magnitud física escalar usada en campos como la ingeniería estructural, calculada a partir de los valores de las tensiones principales de cada punto del espacio, la cual indica la tensión a aplicar a cada punto de un material para que éste inicie su comportamiento plástico.

Sea la Tensión de Von Mises <math> \sigma_{VM} </math>, calculada para un punto P de un sólido deformable, y sean las tensiones principales del tensor tensión para dicho punto <math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>, correspondientes a los autovalores de <math> \sigma_{ij} </math>, entonces se comprueba que la Tensión de Von Mises viene dada por la siguiente expresión:

<math> \sigma_{VM} = \sqrt{ \frac { ( \sigma_1 - \sigma_2 )^2 + ( \sigma_2 - \sigma_3 )^2 + ( \sigma_3 - \sigma_1 )^2 }{2} }</math>

{{matlab|codigo=
clear
clc
h=0.2;
x=-0.5:h:10.5; %Discretizamos valores de x
y=-0.5:h:2.5; %Discretizamos valores de y
[Mx,My]=meshgrid(x,y); %Creamos el mallado

Ti=(6/5).*cos(Mx); % Tension normal en i
Tj=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en j
Tk=(2/5).*cos(Mx); % Tension normal en k

%Autovalores de la tensión de Von Mises
Mz = ones(size(y,2),size(x,2));
T = zeros(3);
for m=1:length(y)
for n=1:length(x)
%Valores para cada componente del mallado para la función de tensión de Von Mises
a=Ti(m,n);
b=Tj(m,n);
c=Tk(m,n);
T=[a 0 0; 0,b,0; 0,0,c];
%Obtención de los autovalores de la tensión de Von Mises
[P,D]=eig(T);
Autoval1=D(1,1);
Autoval2=D(2,2);
Autoval3=D(3,3);
%Cálculo de Von Mises para cada componente
VonMises=sqrt( ((Autoval1-Autoval2)^2+(Autoval2-Autoval3)^2+(Autoval3-Autoval1)^2) * 1/2 );
Mz(m,n)=VonMises;
end
end

%Representamos Von Mises en la placa bidimensional
subplot(1,2,1)
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensión de Von Mises')
view(2)

%Representamos las tensiones en un tercer eje
subplot(1,2,2)
surf(Mx,My,Mz)
colorbar
axis equal
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
zlabel('Tensión de Mises')
title('Tensión de Von Mises representada en el eje Z')
}}

[[Archivo:Tension de Von Mises en Placa Bidimensional.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Representación gráfica del campo escalar de Tensiones de Von Mises en la placa bidimensional descrita con anterioridad]]

Archivo:Tension de Von Mises en Placa Bidimensional.png

2022-12-07T14:52:45Z

Diego Colombo: