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El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-05T11:40:26Z

David Perez: /* Determinación de la circulación y visualizacion del flujo */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
<gallery>
</gallery>
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>
|}

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% TORNADO EF4: ISOBARAS 2D (PLANTA) + SUPERFICIES ISOBÁRICAS 3D
clear; clc; close all;

%% Parámetros del modelo (vórtice de Rankine, tornado EF4)
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
P_c = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_inf = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).*(Gamma./(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).*(Gamma./(2*pi*r));

% Niveles isobáricos a representar (en mbar)
niveles = [950 970 990 1000];

%figura 1
z0 = 0; % altura de la sección horizontal [m]

% Mallado horizontal
x = linspace(-600,600,251);
y = linspace(-600,600,251);
[X2D,Y2D] = meshgrid(x,y);
R2D = sqrt(X2D.^2 + Y2D.^2);

% Presión en ese plano (en mbar)
V2D = vtheta(R2D);
p2D = (R2D<=R_core).*( P_c + 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 ) + ...
(R2D> R_core).*( P_inf - 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 );
p2D = p2D/100; % Pa -> mbar

figure(1);
contourf(x,y,p2D,40,'LineColor','none'); hold on;
colormap turbo;
cb1 = colorbar; cb1.Label.String = 'Presión (mbar)';

% Isobaras y etiquetas
[C,h] = contour(x,y,p2D,niveles,'k','LineWidth',1.6);
clabel(C,h,'FontSize',9,'FontWeight','bold','Color','k');

% Círculo del núcleo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R_core*cos(th),R_core*sin(th),'w--','LineWidth',1.8);

axis equal; grid on;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Vista superior isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar');

%figura 2

% Mallado 3D (x,y,z)
x3 = linspace(-600,600,60);
y3 = linspace(-600,600,60);
z3 = linspace(0,1000,40);
[X3,Y3,Z3] = meshgrid(x3,y3,z3);
R3 = sqrt(X3.^2 + Y3.^2);

% Campo de presión 3D en Pa -> mbar
V3 = vtheta(R3);
p3 = (R3<=R_core).*( P_c + 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 ) + ...
(R3> R_core).*( P_inf - 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 );
p3 = p3/100; % mbar

figure(2);
hold on;
col = lines(numel(niveles));

for k = 1:numel(niveles)
iso_val = niveles(k);
s = isosurface(X3,Y3,Z3,p3,iso_val);
if ~isempty(s.vertices)
pch = patch(s);
set(pch,'FaceColor',col(k,:), ...
'EdgeColor','none', ...
'FaceAlpha',0.4);
end
end

% Eje del tornado
plot3(0,0,[min(z3) max(z3)],'k--','LineWidth',1.5);

axis equal;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
grid on;
view(35,25);
camlight; lighting gouraud;
title('Superficies isobáricas en dimension del tornado EF4 (p = 950, 970, 990, 1000 mbar)');
legend(arrayfun(@(v) sprintf('p = %d mbar',v),niveles,'UniformOutput',false), ...
'Location','northeastoutside');

</source>
| [[Archivo:Vsuperiorisobaras.png|500px]]
[[Archivo:SuperficieIsobaras.png|500px]]
|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-05T11:40:00Z

David Perez: /* Determinación de la circulación y visualizacion del flujo */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
<gallery>
matlab_1.jpg|Perfil de velocidad tangencial
matlab_2.jpg|Campo de velocidad tangencial
</gallery>
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>
|}

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% TORNADO EF4: ISOBARAS 2D (PLANTA) + SUPERFICIES ISOBÁRICAS 3D
clear; clc; close all;

%% Parámetros del modelo (vórtice de Rankine, tornado EF4)
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
P_c = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_inf = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).*(Gamma./(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).*(Gamma./(2*pi*r));

% Niveles isobáricos a representar (en mbar)
niveles = [950 970 990 1000];

%figura 1
z0 = 0; % altura de la sección horizontal [m]

% Mallado horizontal
x = linspace(-600,600,251);
y = linspace(-600,600,251);
[X2D,Y2D] = meshgrid(x,y);
R2D = sqrt(X2D.^2 + Y2D.^2);

% Presión en ese plano (en mbar)
V2D = vtheta(R2D);
p2D = (R2D<=R_core).*( P_c + 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 ) + ...
(R2D> R_core).*( P_inf - 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 );
p2D = p2D/100; % Pa -> mbar

figure(1);
contourf(x,y,p2D,40,'LineColor','none'); hold on;
colormap turbo;
cb1 = colorbar; cb1.Label.String = 'Presión (mbar)';

% Isobaras y etiquetas
[C,h] = contour(x,y,p2D,niveles,'k','LineWidth',1.6);
clabel(C,h,'FontSize',9,'FontWeight','bold','Color','k');

% Círculo del núcleo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R_core*cos(th),R_core*sin(th),'w--','LineWidth',1.8);

axis equal; grid on;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Vista superior isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar');

%figura 2

% Mallado 3D (x,y,z)
x3 = linspace(-600,600,60);
y3 = linspace(-600,600,60);
z3 = linspace(0,1000,40);
[X3,Y3,Z3] = meshgrid(x3,y3,z3);
R3 = sqrt(X3.^2 + Y3.^2);

% Campo de presión 3D en Pa -> mbar
V3 = vtheta(R3);
p3 = (R3<=R_core).*( P_c + 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 ) + ...
(R3> R_core).*( P_inf - 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 );
p3 = p3/100; % mbar

figure(2);
hold on;
col = lines(numel(niveles));

for k = 1:numel(niveles)
iso_val = niveles(k);
s = isosurface(X3,Y3,Z3,p3,iso_val);
if ~isempty(s.vertices)
pch = patch(s);
set(pch,'FaceColor',col(k,:), ...
'EdgeColor','none', ...
'FaceAlpha',0.4);
end
end

% Eje del tornado
plot3(0,0,[min(z3) max(z3)],'k--','LineWidth',1.5);

axis equal;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
grid on;
view(35,25);
camlight; lighting gouraud;
title('Superficies isobáricas en dimension del tornado EF4 (p = 950, 970, 990, 1000 mbar)');
legend(arrayfun(@(v) sprintf('p = %d mbar',v),niveles,'UniformOutput',false), ...
'Location','northeastoutside');

</source>
| [[Archivo:Vsuperiorisobaras.png|500px]]
[[Archivo:SuperficieIsobaras.png|500px]]
|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-05T11:36:30Z

David Perez: /* Determinación de la circulación y visualizacion del flujo */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>
|}

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% TORNADO EF4: ISOBARAS 2D (PLANTA) + SUPERFICIES ISOBÁRICAS 3D
clear; clc; close all;

%% Parámetros del modelo (vórtice de Rankine, tornado EF4)
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
P_c = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_inf = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).*(Gamma./(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).*(Gamma./(2*pi*r));

% Niveles isobáricos a representar (en mbar)
niveles = [950 970 990 1000];

%figura 1
z0 = 0; % altura de la sección horizontal [m]

% Mallado horizontal
x = linspace(-600,600,251);
y = linspace(-600,600,251);
[X2D,Y2D] = meshgrid(x,y);
R2D = sqrt(X2D.^2 + Y2D.^2);

% Presión en ese plano (en mbar)
V2D = vtheta(R2D);
p2D = (R2D<=R_core).*( P_c + 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 ) + ...
(R2D> R_core).*( P_inf - 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 );
p2D = p2D/100; % Pa -> mbar

figure(1);
contourf(x,y,p2D,40,'LineColor','none'); hold on;
colormap turbo;
cb1 = colorbar; cb1.Label.String = 'Presión (mbar)';

% Isobaras y etiquetas
[C,h] = contour(x,y,p2D,niveles,'k','LineWidth',1.6);
clabel(C,h,'FontSize',9,'FontWeight','bold','Color','k');

% Círculo del núcleo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R_core*cos(th),R_core*sin(th),'w--','LineWidth',1.8);

axis equal; grid on;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Vista superior isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar');

%figura 2

% Mallado 3D (x,y,z)
x3 = linspace(-600,600,60);
y3 = linspace(-600,600,60);
z3 = linspace(0,1000,40);
[X3,Y3,Z3] = meshgrid(x3,y3,z3);
R3 = sqrt(X3.^2 + Y3.^2);

% Campo de presión 3D en Pa -> mbar
V3 = vtheta(R3);
p3 = (R3<=R_core).*( P_c + 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 ) + ...
(R3> R_core).*( P_inf - 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 );
p3 = p3/100; % mbar

figure(2);
hold on;
col = lines(numel(niveles));

for k = 1:numel(niveles)
iso_val = niveles(k);
s = isosurface(X3,Y3,Z3,p3,iso_val);
if ~isempty(s.vertices)
pch = patch(s);
set(pch,'FaceColor',col(k,:), ...
'EdgeColor','none', ...
'FaceAlpha',0.4);
end
end

% Eje del tornado
plot3(0,0,[min(z3) max(z3)],'k--','LineWidth',1.5);

axis equal;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
grid on;
view(35,25);
camlight; lighting gouraud;
title('Superficies isobáricas en dimension del tornado EF4 (p = 950, 970, 990, 1000 mbar)');
legend(arrayfun(@(v) sprintf('p = %d mbar',v),niveles,'UniformOutput',false), ...
'Location','northeastoutside');

</source>
| [[Archivo:Vsuperiorisobaras.png|500px]]
[[Archivo:SuperficieIsobaras.png|500px]]
|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-05T11:35:19Z

David Perez: /* Determinación de la circulación y visualizacion del flujo */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
[[File:matlab_1.jpg|thumb|right|250px|Vórtice]]
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>
|}

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% TORNADO EF4: ISOBARAS 2D (PLANTA) + SUPERFICIES ISOBÁRICAS 3D
clear; clc; close all;

%% Parámetros del modelo (vórtice de Rankine, tornado EF4)
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
P_c = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_inf = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).*(Gamma./(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).*(Gamma./(2*pi*r));

% Niveles isobáricos a representar (en mbar)
niveles = [950 970 990 1000];

%figura 1
z0 = 0; % altura de la sección horizontal [m]

% Mallado horizontal
x = linspace(-600,600,251);
y = linspace(-600,600,251);
[X2D,Y2D] = meshgrid(x,y);
R2D = sqrt(X2D.^2 + Y2D.^2);

% Presión en ese plano (en mbar)
V2D = vtheta(R2D);
p2D = (R2D<=R_core).*( P_c + 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 ) + ...
(R2D> R_core).*( P_inf - 0.5*rho*V2D.^2 - rho*g*z0 );
p2D = p2D/100; % Pa -> mbar

figure(1);
contourf(x,y,p2D,40,'LineColor','none'); hold on;
colormap turbo;
cb1 = colorbar; cb1.Label.String = 'Presión (mbar)';

% Isobaras y etiquetas
[C,h] = contour(x,y,p2D,niveles,'k','LineWidth',1.6);
clabel(C,h,'FontSize',9,'FontWeight','bold','Color','k');

% Círculo del núcleo
th = linspace(0,2*pi,300);
plot(R_core*cos(th),R_core*sin(th),'w--','LineWidth',1.8);

axis equal; grid on;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Vista superior isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar');

%figura 2

% Mallado 3D (x,y,z)
x3 = linspace(-600,600,60);
y3 = linspace(-600,600,60);
z3 = linspace(0,1000,40);
[X3,Y3,Z3] = meshgrid(x3,y3,z3);
R3 = sqrt(X3.^2 + Y3.^2);

% Campo de presión 3D en Pa -> mbar
V3 = vtheta(R3);
p3 = (R3<=R_core).*( P_c + 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 ) + ...
(R3> R_core).*( P_inf - 0.5*rho.*V3.^2 - rho*g.*Z3 );
p3 = p3/100; % mbar

figure(2);
hold on;
col = lines(numel(niveles));

for k = 1:numel(niveles)
iso_val = niveles(k);
s = isosurface(X3,Y3,Z3,p3,iso_val);
if ~isempty(s.vertices)
pch = patch(s);
set(pch,'FaceColor',col(k,:), ...
'EdgeColor','none', ...
'FaceAlpha',0.4);
end
end

% Eje del tornado
plot3(0,0,[min(z3) max(z3)],'k--','LineWidth',1.5);

axis equal;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
zlabel('z (m)');
grid on;
view(35,25);
camlight; lighting gouraud;
title('Superficies isobáricas en dimension del tornado EF4 (p = 950, 970, 990, 1000 mbar)');
legend(arrayfun(@(v) sprintf('p = %d mbar',v),niveles,'UniformOutput',false), ...
'Location','northeastoutside');

</source>
| [[Archivo:Vsuperiorisobaras.png|500px]]
[[Archivo:SuperficieIsobaras.png|500px]]
|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

Archivo:Matlab 1.jpg

2025-12-05T11:21:19Z

David Perez:

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-03T11:03:23Z

David Perez: /* Formulación completa por tramos */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>
|}

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-03T11:03:15Z

David Perez: /* Región exterior (flujo irrotacional) */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

---

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>
|}

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-03T11:03:06Z

David Perez: /* Núcleo interior (rotación sólida) */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

---

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

---

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>
|}

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-03T11:02:55Z

David Perez: /* Variables y definiciones */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

---

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

---

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

---

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r \le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

''' 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo '''

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
=== Fuerza neta sobre una fachada situada a <math>\rho = \tfrac{3}{4}R</math> ===

La presión en la región exterior del vórtice de Rankine viene dada por:

<math> p(\rho) = p_\infty + \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}}\,v_\theta^2(\rho) </math>

donde la velocidad tangencial se modela como:

<math> v_\theta(\rho)=\frac{\Gamma}{2\pi\rho}. </math>

La circulación se obtiene imponiendo la condición:

<math> v_\theta(R)=90\ \mathrm{m/s}, </math>

así:

<math> \Gamma =2\pi R\, v_\theta(R) =2\pi(250)(90) =141\,372\ \mathrm{m^2/s}. </math>

La posición requerida es:

<math> \rho=\tfrac{3}{4}R = 187.5\ \mathrm{m}. </math>

Velocidad tangencial en dicha ubicación:

<math> v_\theta\!\left(\tfrac{3}{4}R\right) =\frac{141\,372}{2\pi(187.5)} \approx 120\ \mathrm{m/s}. </math>

El descenso de presión es:

<math> \Delta P = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{aire}} v_\theta^2 = \tfrac{1}{2}(1.225)(120^2) = 8820\ \mathrm{Pa}. </math>

La fuerza sobre la fachada (<math>A=50\ \mathrm{m^2}</math>) vale:

<math> F = \Delta P\, A = 8820 \cdot 50 = 441\,000\ \mathrm{N}. </math>
=== Conversión a toneladas-fuerza ===

Conversión utilizada:

<math>1\ \mathrm{tf} \approx 10\ \mathrm{kN}.</math>

Fuerza en kN:

<math> 441\,000\ \mathrm{N} = 441\ \mathrm{kN}. </math>

Conversión final:

<math> F_{\mathrm{tf}}=\frac{441}{10}=44.1\ \mathrm{tf}. </math>

Por tanto:

<math>\boxed{F\approx 44\ \mathrm{toneladas!-!fuerza}}</math>

=== Implicaciones sobre la destrucción estructural ===

Una carga lateral de aproximadamente 44 tf aplicada de forma brusca puede producir:

Pandeo y rotura frágil de muros ligeros.

Arrancamiento de anclajes, uniones y tornillería estructural.

Presurización interna repentina tras la perforación de la fachada, lo que incrementa la acción sobre la estructura.

Desplazamiento o vuelco parcial de la edificación por fallo de la cimentación ante cargas horizontales excesivas.

Incluso sin incluir efectos turbulentos adicionales, esta fuerza es suficiente para causar daños severos e incluso el colapso total de estructuras ligeras.

=== Referencias del apartado ===

NOAA – dinámica general de tornados y rangos de presión.
https://www.nssl.noaa.gov

Engineering Toolbox – valor de <math>\rho_{\text{aire}}</math> empleado.
https://www.engineeringtoolbox.com

UCAR – formulación conceptual del vórtice de Rankine.
https://scied.ucar.edu

== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:51:12Z

David Perez: /* Formulación matemática del vórtice de Rankine */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

=== Variables y definiciones ===
* <math>r</math>: distancia radial al eje del vórtice
* <math>R</math>: radio del núcleo (zona de rotación sólida)
* <math>v_\theta(r)</math>: velocidad tangencial en función del radio
* <math>\Gamma</math>: circulación total del vórtice, definida como:

<math>
\Gamma = \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} v_\theta(r) \, r \, d\theta
</math>

---

=== Núcleo interior (rotación sólida) ===
Dentro del núcleo, <math>r \le R</math>, las partículas giran como un cuerpo rígido:

<math>
v_\theta(r) = \Omega \, r
</math>

Para que la circulación sea continua en <math>r=R</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(R) \cdot 2 \pi R = (\Omega R) \cdot 2\pi R
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2}
</math>

Por lo tanto, la velocidad tangencial en el núcleo es:

<math>
v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, \quad r \le R
</math>

---

=== Región exterior (flujo irrotacional) ===
En la región exterior, <math>r > R</math>, la vorticidad es prácticamente nula, por lo que:

<math>
\Gamma = v_\theta(r) \cdot 2 \pi r \quad \Rightarrow \quad v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2 \pi r}
</math>

---

=== Formulación completa por tramos ===
\[
v_\theta(r) =
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2 \pi R^2} \, r, & r \le R \\
\dfrac{\Gamma}{2 \pi r}, & r > R
\end{cases}
\]

Características:
* La velocidad crece linealmente en el núcleo.
* La velocidad decrece como <math>1/r</math> en la región exterior.
* La circulación total <math>\Gamma</math> se conserva para cualquier radio.

---

=== Representación en coordenadas cartesianas ===
Para representar el flujo en el plano <math>(x, y)</math>:

<math>
r = \sqrt{x^2 + y^2}
</math>

<math>
u_x = -v_\theta(r) \frac{y}{r}, \quad u_y = v_\theta(r) \frac{x}{r}
</math>

Esto genera un campo vectorial tangencial al eje del vórtice, útil para simulaciones y visualizaciones.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:36:29Z

David Perez: /* Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
=== Vórtices atmosféricos ===

Los '''vórtices atmosféricos''' son estructuras de rotación del aire que aparecen en múltiples escalas, desde remolinos de unos pocos metros hasta sistemas ciclónicos de miles de kilómetros. Su formación, dinámica e intensidad dependen de factores como la estabilidad atmosférica, el gradiente de presión, la humedad o la interacción con la superficie terrestre o marina. Entre los vórtices más comunes se encuentran los tornados, los huracanes (o ciclones tropicales), las trombas marinas y los ''dust devils''.

=== Tipos de vórtices atmosféricos ===

==== Tornados ====
Los '''tornados''' son vórtices de escala relativamente pequeña (diámetros típicos entre 50 y 500 metros) pero extremadamente intensos. Se originan normalmente en supercélulas, donde la cizalladura vertical del viento induce la formación de un mesociclón que, bajo determinadas condiciones de inestabilidad y humedad, puede extenderse hasta la superficie. Las velocidades del viento pueden superar los 100 m/s en los casos más severos, y el daño asociado se clasifica mediante la escala EF (Enhanced Fujita).

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' muy alta; vientos extremos
* '''Formación:''' supercélulas y fuerte cizalladura vertical

----

==== Huracanes (ciclones tropicales) ====
Los '''huracanes''' son vórtices de gran escala (100–1000 km) caracterizados por un núcleo cálido y un mínimo de presión central. Su energía proviene de la evaporación sobre aguas oceánicas cálidas y de la liberación de calor latente durante la condensación. La estructura incluye un ojo, una pared del ojo y bandas espirales de lluvia.

* '''Escala:''' cientos a miles de kilómetros
* '''Intensidad:''' alta, aunque con vientos menores que en tornados
* '''Formación:''' océanos cálidos (≥ 26 °C), convección profunda y baja cizalladura
* '''Duración:''' días o semanas

----

==== Trombas marinas ====
Las '''trombas marinas''' son vórtices que se forman sobre cuerpos de agua. Aunque algunas proceden de supercélulas, la mayoría son no tornádicas y se generan por convección local en condiciones de fuerte humedad y gradiente térmico entre la superficie del agua y el aire.

* '''Escala:''' decenas a cientos de metros
* '''Intensidad:''' moderada (≈ EF0–EF1)
* '''Formación:''' convección húmeda sobre agua cálida

----

==== ''Dust devils'' ====
Los '''''dust devils''''' son vórtices térmicos de pequeña escala formados en condiciones de fuerte insolación. Aparecen cuando el calentamiento del suelo produce columnas ascendentes de aire que pueden adquirir rotación por pequeñas irregularidades del flujo.

* '''Escala:''' pocos metros a decenas de metros
* '''Intensidad:''' baja (< 25 m/s)
* '''Formación:''' convección térmica sobre suelo caliente

----

==== Comparación de escalas e intensidades ====

{| class="wikitable" style="text-align:center"
! Tipo de vórtice
! Escala horizontal
! Velocidad típica
! Mecanismo dominante
|-
| Tornado
| 10² m
| 60–120 m/s
| Cizalladura + supercélula
|-
| Huracán
| 10⁵ m
| 30–70 m/s
| Energía oceánica + convección
|-
| Tromba marina
| 10² m
| 20–40 m/s
| Convección húmeda local
|-
| ''Dust devil''
| 10¹–10² m
| 5–20 m/s
| Convección térmica seca
|}

----

=== Modelos de vórtice: Rankine y Burgers–Rott ===

==== Vórtice de Rankine ====
El '''vórtice de Rankine''' es un modelo clásico que combina dos comportamientos:

; Núcleo sólido rotante (ρ ≤ R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho </math>

; Exterior de vórtice potencial (ρ > R)
:<math> v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho} </math>

El modelo es simple y útil, pero la transición entre regiones no es suave y no incluye efectos viscosos.

----

==== Vórtice de Burgers–Rott ====
El '''vórtice de Burgers–Rott''' es un modelo más realista para vórtices estacionarios en fluidos viscosos. Resulta del equilibrio entre la difusión viscosa de la vorticidad y la compresión inducida por un flujo axial convergente.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi\rho}\left(1 - e^{- \rho^2 / (4\nu t)} \right)
</math>

donde <math>\nu</math> es la viscosidad cinemática y <math>t</math> un parámetro temporal relacionado con la difusión de vorticidad.

==== Ventajas respecto al vórtice de Rankine ====
* Perfil de velocidades suave y continuo
* Representación realista de la difusión viscosa
* Aproxima un núcleo gaussiano cerca del centro
* Coincide con el vórtice potencial en región exterior

== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:17:46Z

David Perez: /* Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:17:37Z

David Perez: /* Construcción del campo de velocidades en el plano XY */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:17:28Z

David Perez: /* Perfil radial de la velocidad tangencial */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:17:18Z

David Perez: /* Función de velocidad tangencial por tramos */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:17:07Z

David Perez: /* Definición de parámetros y cálculo de la circulación */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:13:55Z

David Perez: /* Representación del campo vectorial */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

=== Representación del campo vectorial ===

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:13:41Z

David Perez: /* Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

=== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ===

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:13:29Z

David Perez: /* Construcción del campo de velocidades en el plano XY */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

=== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ===

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:10:47Z

David Perez: /* Perfil radial de la velocidad tangencial */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

=== Perfil radial de la velocidad tangencial ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:10:26Z

David Perez: /* Función de velocidad tangencial por tramos */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

=== Función de velocidad tangencial por tramos ===

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

==== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

==== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ====

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

== Perfil radial de la velocidad tangencial ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:10:01Z

David Perez: /* Definición de parámetros y cálculo de la circulación */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

=== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ===

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

== Función de velocidad tangencial por tramos ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

=== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

=== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

== Perfil radial de la velocidad tangencial ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T12:09:11Z

David Perez: /* Determinación de la circulación y visualizacion del flujo */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

== Definición de parámetros y cálculo de la circulación ==

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

== Función de velocidad tangencial por tramos ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

=== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

=== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

== Perfil radial de la velocidad tangencial ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

== Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:59:16Z

David Perez: /* Determinación de la circulación y visualizacion del flujo */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:58:57Z

David Perez: /* 6. Representación del campo vectorial */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:58:24Z

David Perez: /* 5. Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:58:13Z

David Perez: /* 4. Construcción del campo de velocidades en el plano XY */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

== 5. Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== 6. Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.
| [[Archivo:perfil1_EF4.png|500px]]
[[Archivo:horizontal1.png|500px]]
|}

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:58:02Z

David Perez: /* 3. Perfil radial de la velocidad tangencial */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

== 4. Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== 5. Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== 6. Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.
| [[Archivo:perfil1_EF4.png|500px]]
[[Archivo:horizontal1.png|500px]]
|}

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:57:52Z

David Perez: /* 2. Función de velocidad tangencial por tramos */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

== 3. Perfil radial de la velocidad tangencial ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

== 4. Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== 5. Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== 6. Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.
| [[Archivo:perfil1_EF4.png|500px]]
[[Archivo:horizontal1.png|500px]]
|}

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:57:35Z

David Perez: /* 1. Definición de parámetros y cálculo de la circulación */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

== 2. Función de velocidad tangencial por tramos ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

=== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

=== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

== 3. Perfil radial de la velocidad tangencial ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

== 4. Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== 5. Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== 6. Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.
| [[Archivo:perfil1_EF4.png|500px]]
[[Archivo:horizontal1.png|500px]]
|}

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:53:52Z

David Perez: /* Determinación de la circulación y visualizacion del flujo */

{{ TrabajoED | El Vortice de Rankine. Grupo 11 | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC25/26|2025-26]] |
*Pelayo Rodriguez Maestre
*Álvaro Calvente Soler
*David Pérez Romero
*François Botet de Lacaze }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC25/26]]

== Introducción ==

El vórtice de Rankine es un modelo bastante utilizado en mecánica de fluidos para entender cómo se comporta un fluido cuando gira alrededor de un eje. Lo interesante de este modelo es que evita el problema del vórtice ideal, donde la velocidad se hace infinita en el centro, algo que obviamente no pasa en la realidad. Para solucionarlo, Rankine divide el vórtice en dos zonas: en el núcleo el fluido gira como si fuera un cuerpo sólido, mientras que en la parte exterior el movimiento es irrotacional y la velocidad va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al centro.

Aunque es un modelo sencillo, describe bastante bien el comportamiento de muchos vórtices reales, como tornados, ciclones o remolinos. Por eso suele usarse como referencia básica en teoría de campos y en el estudio de flujos rotacionales, ya que permite trabajar con expresiones matemáticas claras sin dejar de tener cierta aproximación física.

== Formulación matemática del vórtice de Rankine ==
El vórtice de Rankine es un modelo simple utilizado para describir cómo gira un fluido alrededor de un eje. La idea principal es que un vórtice real no presenta la misma estructura en todas sus regiones: cerca del centro el movimiento es más suave, mientras que en zonas más alejadas el flujo se comporta de manera más “libre”. Por este motivo, el modelo utiliza dos expresiones distintas para la velocidad en función del radio.

La velocidad tangencial viene dada por:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\dfrac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r, & r \le r_c \\[6pt]
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r > r_c
\end{cases}
</math>

A continuación se explica el origen de cada parte.

1. El papel de la circulación <math>\Gamma</math>

En este modelo la magnitud fijada de antemano es la circulación <math>\Gamma</math>, que mide la cantidad total de rotación asociada al flujo alrededor del centro. Rankine asume que dicho valor es constante para cualquier radio, lo que permite simplificar el análisis.

2. Parte interior: <math>r \le r_c</math>

Si se utilizara directamente la expresión <math>\Gamma/(2\pi r)</math>, la velocidad tangencial se haría infinita cuando <math>r \to 0</math>, lo cual no es físicamente razonable. Para evitar esta singularidad, en la región interior se supone que las partículas del fluido giran como un cuerpo rígido:

<math>v_\theta(r) = \Omega r</math>

donde <math>\Omega</math> es la velocidad angular. Para determinar su valor se impone que la circulación en el borde del núcleo sea igual a <math>\Gamma</math>:

<math>
\Gamma = v_\theta(r_c)\,(2\pi r_c)
= (\Omega r_c)(2\pi r_c).
</math>

De aquí se obtiene:

<math>
\Omega = \frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}
</math>

y sustituyendo:

<math>
v_\theta(r)=\frac{\Gamma}{2\pi r_c^2}\, r.
</math>

3. Parte exterior: <math>r > r_c</math>

En la zona exterior la vorticidad se considera despreciable y el flujo se aproxima como irrotacional. En este caso, la relación entre circulación y velocidad es:

<math>\Gamma = 2\pi r\, v_\theta(r)</math>

lo que conduce a:

<math>v_\theta(r) = \frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

Esta expresión corresponde al vórtice potencial clásico y muestra que la velocidad disminuye cuando aumenta el radio, tal como se observa en vórtices reales fuera del núcleo.

4. Por qué la fórmula es por tramos

El modelo combina dos comportamientos distintos:

uno suave en la región central, donde la velocidad es proporcional al radio;

y otro típico de flujo irrotacional más alejado del centro, donde la velocidad varía como <math>1/r</math>.

La transición en <math>r = r_c</math> se ajusta para que la velocidad sea continua en todo el dominio. Aunque no describe todos los detalles de un vórtice real, el modelo de Rankine es útil porque evita la singularidad en el centro y mantiene la circulación total.

== Determinación de la circulación y visualizacion del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Pregunta 1 - Vórtice de Rankine (versión simplificada)
clear; clc; close all;

% Parámetros EF4
R = 250; vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);

% ===== FUNCIÓN VELOCIDAD TANGENCIAL =====
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));

%% FIGURA 1: Perfil v_theta(rho)
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);

figure; hold on; grid on;
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
yl = ylim; plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('\rho (m)'); ylabel('v_\theta(m/s)');
title('Perfil de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4');
leg1 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg1,'FontSize',7);

%% FIGURA 2: Campo vectorial (vista superior) en x,y ∈ [-800,800]
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2); rho_safe = max(rho_xy,1e-6);

v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);

mask = rho_xy <= L; % dominio circular dentro del cuadrado [-L,L]^2
mask_in = mask & (rho_xy <= R);
mask_out = mask & (rho_xy > R);

figure; hold on; grid on; axis equal;
axis([-L L -L L]); % <- aquí fuerzas el dominio x,y ∈ [-800,800]

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');

theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);

xlabel('x (m)'); ylabel('y (m)');
title('Campo de velocidad tangencial del Tornado categoria EF4 (plano horizontal)');
leg2 = legend('Núcleo EF4','Exterior EF4','Radio del ojo R','Location','northeast');
set(leg2,'FontSize',7);
</source>

A continuación se describe el funcionamiento del código utilizado para calcular la circulación de un vórtice tipo Rankine y representar el campo de velocidades asociado. El caso se ha parametrizado como un tornado de intensidad EF4, usando valores típicos de radio del ojo y velocidad en el borde.

== 1. Definición de parámetros y cálculo de la circulación ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
R = 250;
vR = 90;
Gamma = 2*pi*R*vR;
fprintf('Circulacion Gamma = %.3e m^2/s\n', Gamma);
</syntaxhighlight>

Se fija un radio del núcleo del tornado <math>R = 250\,\text{m}</math> y una velocidad tangencial medida en ese radio de <math>v_R = 90\,\text{m/s}</math>.

Usando la relación básica del vórtice potencial:

<math>
\Gamma = 2\pi R\, v_\theta(R)
</math>

se obtiene directamente la circulación total <math>\Gamma</math>, que es la magnitud fundamental del modelo de Rankine.

Esta circulación se mantiene tanto en la región interior como en la exterior.

---

== 2. Función de velocidad tangencial por tramos ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
vtheta_fun = @(rho) (rho<=R).* (Gamma/(2*pi*R^2).*rho) + ...
(rho> R).* (Gamma./(2*pi*rho));
</syntaxhighlight>

Se define una función anónima <code>vtheta_fun(rho)</code> que implementa la expresión por tramos del vórtice de Rankine.

=== Interior del núcleo (ρ ≤ R): rotación sólida ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi R^2}\,\rho
</math>

=== Exterior del núcleo (ρ > R): flujo irrotacional ===

<math>
v_\theta(\rho) = \frac{\Gamma}{2\pi \rho}
</math>

Matlab evalúa cada tramo usando multiplicación lógica <code>(rho<=R).* ...</code>, lo que permite expresar la función completa de forma compacta.

---

== 3. Perfil radial de la velocidad tangencial ==

<syntaxhighlight lang="matlab">
rho = linspace(0,1000,1000);
vtheta = vtheta_fun(rho);
</syntaxhighlight>

Se genera un vector de radios desde 0 hasta 1000 m y se calcula en cada punto la velocidad tangencial.
La figura resultante se obtiene con:

<syntaxhighlight lang="matlab">
plot(rho(rho<=R), vtheta(rho<=R), 'r', 'LineWidth',2);
plot(rho(rho> R), vtheta(rho> R), 'b', 'LineWidth',2);
plot([R R],[yl(1) yl(2)],'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

* En rojo se representa la región interior, donde la velocidad crece linealmente.
* En azul aparece la región exterior, donde decrece como <math>1/\rho</math>.
* La línea negra discontinua marca el radio del núcleo.

Con ello se visualiza claramente la transición entre ambos regímenes del modelo de Rankine.

---

== 4. Construcción del campo de velocidades en el plano XY ==

Para representar el vórtice en 2D, se discretiza el plano en un dominio cuadrado:

<syntaxhighlight lang="matlab">
L = 800; N = 25;
[x,y] = meshgrid(linspace(-L,L,N));
rho_xy = sqrt(x.^2+y.^2);
rho_safe = max(rho_xy,1e-6);
</syntaxhighlight>

* <code>meshgrid</code> genera una malla sobre el cuadrado <math>[-800,800]^2</math>.
* <math>\rho = \sqrt{x^2 + y^2}</math> es la distancia al centro.
* <code>rho_safe</code> evita divisiones por cero en el origen.

La velocidad tangencial en cada punto se evalúa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
v_xy = vtheta_fun(rho_xy);
</syntaxhighlight>

---

== 5. Conversión de velocidad tangencial a componentes Ux y Uy ==

En coordenadas polares, la velocidad tangencial es perpendicular al vector radial, lo que lleva a las transformaciones:

<math>
u_x = -v_\theta \frac{y}{\rho}, \qquad
u_y = v_\theta \frac{x}{\rho}
</math>

En Matlab se implementa como:

<syntaxhighlight lang="matlab">
Ux = -v_xy .* (y ./ rho_safe);
Uy = v_xy .* (x ./ rho_safe);
</syntaxhighlight>

Así se obtiene el campo vectorial completo en coordenadas cartesianas.

---

== 6. Representación del campo vectorial ==

Los vectores del flujo se representan con <code>quiver</code>:

<syntaxhighlight lang="matlab">
mask_in = rho_xy <= R;
mask_out = rho_xy > R;

quiver(x(mask_in), y(mask_in), Ux(mask_in), Uy(mask_in), 0.7, 'r');
quiver(x(mask_out), y(mask_out), Ux(mask_out), Uy(mask_out), 0.7, 'b');
</syntaxhighlight>

* Los vectores del núcleo (<math>\rho \le R</math>) se muestran en rojo.
* Los vectores exteriores se muestran en azul.

Además, se dibuja el contorno circular del núcleo:

<syntaxhighlight lang="matlab">
theta = linspace(0,2*pi,200);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta),'k--','LineWidth',1.3);
</syntaxhighlight>

El resultado permite visualizar:

* Una región interior con rotación casi uniforme.
* Una región exterior donde la velocidad decrece con <math>1/\rho</math>.
* Un flujo completamente tangencial en todo el dominio.
| [[Archivo:perfil1_EF4.png|500px]]
[[Archivo:horizontal1.png|500px]]
|}

== Comparación entre vórtices reales y modelos matemáticos ==
== Análisis local del flujo: divergencia, rotacional y vorticidad ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Rotacional y magnitud de la vorticidad del vórtice de Rankine
% Parámetros del tornado EF4
R = 250; % radio del núcleo (m)
vR = 90; % velocidad tangencial en rho = R (m/s)
Gamma = 2*pi*R*vR; % circulación (m^2/s)

% Dominio horizontal
L = 800; % extensión máxima (m)
N = 200; % puntos por dirección
[x,y] = meshgrid(linspace(-L, L, N));
rho = sqrt(x.^2 + y.^2);

% Rotacional analítico (solo componente vertical):
% (nabla x v)_z = Gamma/(pi*R^2) si rho <= R, y 0 si rho > R
wz = (rho <= R) .* (Gamma/(pi*R^2)); % campo escalar del rotacional

%% FIGURA Rotacional

figure;
imagesc(linspace(-L,L,N), linspace(-L,L,N), wz);
set(gca,'YDir','normal');
axis equal tight;
colorbar;
xlabel('x (m)');
ylabel('y (m)');
title('Rotacional del campo de velocidad');

hold on;
theta = linspace(0,2*pi,300);
plot(R*cos(theta), R*sin(theta), 'k--', 'LineWidth', 1.5);
</source>
| [[Archivo:RotacionalEF4.png|500px]]
|}

== Efecto de la vorticidad sobre el movimiento de un objeto flotante ==
== Distribución vertical de la presión en el vórtice ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Campo de presión del vórtice (versión mínima con unidad en colorbar)
clear; clc; close all;

% Parámetros
R=250; vR=90; z0=2800;
P0=920e2; Pinf=1013e2;
rho=1.225; g=9.81;

Gamma=2*pi*R*vR;
v=@(r) (r<=R).*(Gamma/(2*pi*R^2).*r)+(r>R).*(Gamma./(2*pi*r));

% Mallado y presión
[x,z]=meshgrid(linspace(0,1000,200), linspace(0,z0,200));
p = (x<=R).*(P0+0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z) + ...
(x> R).*(Pinf-0.5*rho*v(x).^2 - rho*g.*z);

% Gráfica
figure;
[~,h]=contourf(x(1,:), z(:,1), p/100, 20);
set(h,'LineColor','k'); set(gca,'YDir','normal');

xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Campo de presión sobre el sección vertical');

c = colorbar;
c.Label.String = 'Presión (mbar)'; % ← UNIDAD AÑADIDA AQUÍ

axis tight;

</source>
| [[Archivo:CampoPresion.png|500px]]
|}

=== 7. Distribución vertical de la presión en el vórtice: estructura interna y representación ===

=== Datos y constantes empleadas ===
Se emplean los parámetros del vórtice proporcionados en el enunciado:

* Radio del núcleo: <math>R = 250\ \mathrm{m}</math>
* Velocidad tangencial en <math>r = R</math>: <math>v_\theta(R) = 90\ \mathrm{m/s}</math>
* Presión mínima central: <math>P_0 = 920\ \mathrm{mbar}</math>
* Altura del vórtice: <math>z_0 = 2800\ \mathrm{m}</math>
* Densidad del aire: <math>\rho = 1.225\ \mathrm{kg/m^3}</math>
* Gravedad: <math>g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}</math>

Circulación:
<math>\Gamma = 2\pi R v_\theta(R) = 1.4137\times10^5\ \mathrm{m^2/s}</math>

Rotación sólida interior:
<math>\Omega = v_\theta(R)/R = 0.36\ \mathrm{s^{-1}}</math>

----

=== Cálculo del campo de presión p(\rho,z) en todo el dominio ===

La velocidad tangencial del vórtice de Rankine es:

<math>
v_\theta(r)=
\begin{cases}
\Omega r, & r\le R,\\
\dfrac{\Gamma}{2\pi r}, & r>R.
\end{cases}
</math>

La presión, obtenida a partir de las ecuaciones de Euler para flujo estacionario, es:

<math>
p(\rho,z)=
\begin{cases}
P_0 + \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho \le R,\\[6pt]
P_\infty - \tfrac12 \rho\, v_\theta^2(\rho)\; -\; \rho g z, & \rho > R.
\end{cases}
</math>

Exigiendo continuidad en la frontera del núcleo:

<math>
P_\infty = P_0 + \rho\, v_\theta^2(R)
</math>

Cálculo numérico:
<math>\rho\, v_\theta^2(R) = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

Por tanto:
<math>P_\infty = 1019.225\ \mathrm{mbar}</math>

El término hidrostático hasta <math>z_0</math> vale:
<math>\rho g z_0 = 336.48\ \mathrm{mbar}</math>

'''Interpretación de la figura:'''
El mapa de presión presenta una depresión central profunda que aumenta radialmente hasta <math>P_\infty</math>. Con la altura, la presión disminuye casi linealmente debido al término hidrostático. Esto coincide con la gráfica mostrada en el código MATLAB del enunciado.

==== Referencias del apartado ====
* Expresiones de velocidad y presión tomadas del modelo clásico de vórtice de Rankine del enunciado proporcionado.
* Los valores numéricos (<math>R</math>, <math>v_\theta(R)</math>, <math>P_0</math>, <math>z_0</math>) proceden de la tabla de parámetros incluida en la imagen del PDF.
* La expresión hidrostática <math>\rho g z</math> aparece explícitamente en el código MATLAB mostrado en la figura adjunta en el enunciado.
* El cálculo de <math>P_\infty</math> se obtiene de la condición de continuidad indicada en el texto del enunciado.

----

=== (9) Caída de presión entre el exterior y el centro del ojo ===

La caída pedida es:

<math>
\Delta p = p(R^+,0) - p(0,0)
</math>

Dado que:
<math>
p(R^+,0)=P_\infty - \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

y
<math>
P_\infty = P_0 + \rho v_\theta^2(R)
</math>

Sustituyendo:

<math>
p(R^+,0)=P_0 + \tfrac12 \rho v_\theta^2(R)
</math>

Entonces:

<math>
\Delta p = \tfrac12 \rho v_\theta^2(R) = 49.6125\ \mathrm{mbar}
</math>

Comparación con:
<math>P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Conclusión:'''
Los valores no coinciden. El modelo de Rankine reparte el incremento total de presión entre dos regiones: la transición entre el centro y <math>R</math>, y entre <math>R</math> y el exterior lejano. Esto introduce un factor 2 entre ambas magnitudes. Es una consecuencia directa de la idealización del vórtice (flujo inviscido, eje perfectamente recto, simetría cilíndrica exacta).

==== Referencias del apartado (9) ====
* La expresión de continuidad para obtener <math>P_\infty</math> está en el desarrollo matemático del enunciado.
* La fórmula para <math>p(R^+)</math> procede directamente del código MATLAB proporcionado y de la pieza exterior del vórtice de Rankine.
* Las operaciones numéricas usan los valores del propio PDF.
* La interpretación del factor 2 está documentada en la teoría del vórtice de Rankine (distribución distinta de energía entre interior y exterior).

----

=== (10) Diferencia de presión estándar <math>\Delta P = P_\infty - P_0</math> ===

'''Modelo teórico:'''

<math>\Delta P_{\text{teórico}} = P_\infty - P_0 = 99.225\ \mathrm{mbar}</math>

'''Datos atmosféricos estándar:'''

<math>\Delta P_{\text{datos}} = 1013.25 - 920 = 93.25\ \mathrm{mbar}</math>

La diferencia entre ambos valores es de unos 6 mbar (~6.7%).

==== ¿Es aceptable la discrepancia? ====
Sí, teniendo en cuenta que el modelo:

* no considera variación de densidad con la altura,
* no incluye fricción ni capa límite,
* no incorpora termodinámica (humedad, condensación),
* supone simetría perfecta y flujo inviscido.

Por tanto, un error del orden del 5–10% es completamente razonable para un modelo idealizado como el de Rankine.

==== Referencias del apartado (10) ====
* Los valores de <math>P_0</math> y <math>P_\infty</math> provienen del cálculo realizado con los parámetros asignados en el enunciado.
* La presión atmosférica estándar (<math>1013.25\ \mathrm{mbar}</math>) es la que aparece indicada en el texto del problema.
* La discusión de limitaciones procede de la formulación teórica del vórtice de Rankine mostrada en la captura aportada.

== Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ==
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Gradiente de presión en sección vertical de un tornado EF4
clear; clc; close all;

% Parámetros básicos
R_core = 250; % radio núcleo [m]
v_max = 90; % vel. tangencial máx [m/s]
z_top = 2800; % altura máx [m]
P_centro = 920e2; % presión núcleo [Pa]
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa]
rho_air = 1.225; % densidad aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Vórtice de Rankine (velocidad tangencial)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r<=R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r> R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado (rho,z)
rho_vec = linspace(0,1000,200);
z_vec = linspace(0,z_top,120);
[RH,Z] = meshgrid(rho_vec,z_vec);
V = vtheta(RH);

% Presión p(rho,z)
p = (RH<=R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH> R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Gradiente de presión ∇p por diferencias finitas
dr = rho_vec(2) - rho_vec(1);
dz = z_vec(2) - z_vec(1);
</source>
| [[Archivo:GradienteEF4.png|500px]]
|}
{{matlab|codigo=
dp_drho = zeros(size(p));
dp_dz = zeros(size(p));

dp_drho(:,2:end-1) = (p(:,3:end) - p(:,1:end-2))/(2*dr);
dp_drho(:,1) = (p(:,2) - p(:,1))/dr;
dp_drho(:,end) = (p(:,end) - p(:,end-1))/dr;

dp_dz(2:end-1,:) = (p(3:end,:) - p(1:end-2,:))/(2*dz);
dp_dz(1,:) = (p(2,:) - p(1,:))/dz;
dp_dz(end,:) = (p(end,:) - p(end-1,:))/dz;

% Campo de fuerza ~ -∇p
U = -dp_drho; % radial
W = -dp_dz; % vertical

% Muestreo para quiver
step_r = 10; step_z = 6;
RH_q = RH(1:step_z:end,1:step_r:end);
Z_q = Z(1:step_z:end,1:step_r:end);
U_q = U(1:step_z:end,1:step_r:end);
W_q = W(1:step_z:end,1:step_r:end);

% Normalización (solo dirección)
modF = sqrt(U_q.^2 + W_q.^2); modF(modF==0) = 1;
U_n = U_q./modF; W_n = W_q./modF;

% FIGURA
figure;
contourf(rho_vec,z_vec,p_mbar,25,'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar; cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Campo -∇p
quiver(RH_q,Z_q,U_n,W_n,0.7,'k','LineWidth',1.1);

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core],[0 z_top],'w--','LineWidth',1.8);

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Gradiente de presión en seccion vertical del tornado EF4');
axis([0 1000 0 z_top]);
}}

=== 8. Gradiente de presión y dirección de las fuerzas impulsoras del flujo ===

==== El gradiente de presión y su representación ====

En la figura proporcionada (campo quiver ya generado), se observa claramente cómo la presión disminuye hacia el núcleo del vórtice, representada por el mapa de colores donde los tonos cálidos indican mayor presión y los tonos fríos menor presión.

La física del vórtice muestra que el '''gradiente de presión''' es la magnitud que determina la fuerza que impulsa el flujo según la relación:

'''Fuerza por gradiente de presión → –∇p'''

Esto implica que el aire siempre es acelerado desde zonas de mayor presión hacia zonas de menor presión.

En tu representación vertical del vórtice:

Las flechas negras del quiver apuntan hacia la izquierda y hacia arriba cerca del núcleo.

Esto confirma que el '''gradiente de presión horizontal''' domina y dirige el flujo hacia el centro de baja presión.

La disminución vertical de presión es también notable, evidenciada por la transición del campo desde valores cercanos a 1000 mbar en niveles bajos a presiones menores en altura.

En resumen:
El '''gradiente de presión''' apunta predominantemente hacia el núcleo del vórtice, lo cual coincide con el comportamiento de los flujos intensos en tornados y ciclones mesoescalares.

==== Las direcciones predominantes del campo de fuerzas ====

Las fuerzas que gobiernan el flujo en un vórtice atmosférico son principalmente:

'''Fuerza debida al gradiente de presión'''

'''Fuerza centrífuga''' (importante en el marco en rotación)

'''Fuerza de Coriolis''' (despreciable en tornados por su pequeña escala, relevante solo en ciclones)

A la luz de tu figura:

Las flechas muestran una inclinación ascendente, típica del transporte vertical inducido por la depresión del núcleo.

Horizontalmente, las flechas convergen hacia la zona de baja presión (lado izquierdo del gráfico).

Esto indica que el campo de fuerzas está dominado por la '''fuerza por gradiente de presión''', con una ligera contribución centrífuga que curva el flujo.

Por tanto, las direcciones predominantes del campo de fuerzas son:

'''Horizontales hacia el eje''' del vórtice

'''Verticales ascendentes''', producto del gradiente vertical y del ascenso inducido

==== Las superficies isobáricas y su interpretación física ====
para graficas
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Gráfica obtenida
|-
| <source lang="matlab">
%% Superficies isobáricas en sección vertical (tornado EF4, modelo Rankine)
clear; clc; close all;

% Parámetros del tornado EF4
R_core = 250; % radio del núcleo [m]
v_max = 90; % velocidad tangencial máxima [m/s]
z_top = 2800; % altura máxima [m]

P_centro = 920e2; % presión en el núcleo [Pa] (920 mbar aprox)
P_amb = 1013e2; % presión ambiente [Pa] (1013 mbar)
rho_air = 1.225; % densidad del aire [kg/m^3]
g = 9.81; % gravedad [m/s^2]

% Campo de velocidad tangencial (vórtice de Rankine)
Gamma = 2*pi*R_core*v_max;
vtheta = @(r) (r <= R_core).* (Gamma/(2*pi*R_core^2).*r) + ...
(r > R_core).* (Gamma./(2*pi*r));

% Mallado en (rho, z)
rho_vec = linspace(0, 1000, 300); % radio [m]
z_vec = linspace(0, z_top, 200); % altura [m]
[RH, Z] = meshgrid(rho_vec, z_vec);
V = vtheta(RH);

% Campo de presión p(rho,z) en Pa → mbar
p = (RH <= R_core).*( P_centro + 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z ) + ...
(RH > R_core).*( P_amb - 0.5*rho_air*V.^2 - rho_air*g.*Z );
p_mbar = p/100;

% Niveles isobáricos solicitados
niveles = [950 970 990 1000];

%% FIGURA: fondo de presión + isobaras destacadas
figure;

% Fondo continuo de presión
contourf(rho_vec, z_vec, p_mbar, 40, 'LineColor','none');
colormap turbo;
cb = colorbar;
cb.Label.String = 'Presión (mbar)';
hold on;

% Isobaras p = 950, 970, 990, 1000 mbar (más gruesas)
[C,h] = contour(rho_vec, z_vec, p_mbar, niveles, 'k', 'LineWidth', 2);
clabel(C, h, 'FontSize', 9, 'Color', 'k', 'FontWeight', 'bold');

% Frontera del núcleo (rho = R_core)
plot([R_core R_core], [0 z_top], 'w--', 'LineWidth', 1.8);
text(R_core+10, 300, 'Frontera del núcleo', ...
'Color','w', 'FontSize', 9, 'FontWeight','bold');

set(gca,'YDir','normal');
xlabel('\rho (m)');
ylabel('z (m)');
title('Isobaras p = 950, 970, 990 y 1000 mbar en el tornado EF4');
grid on;
axis([0 1000 0 z_top]); % dominio completo
</source>
| [[Archivo:IsobarasEF4.png|500px]]

|}

Las superficies isobáricas son superficies tridimensionales donde la presión se mantiene constante. En tu caso, buscamos las correspondientes a:

'''950 mbar'''

'''970 mbar'''

'''990 mbar'''

'''1000 mbar'''

A partir de la figura:

La paleta de colores sirve como guía para identificar dónde se alcanzan esos niveles de presión.

Cerca del núcleo, las superficies isobáricas se curvan hacia abajo debido a la fuerte depresión central.

En niveles exteriores, estas superficies se vuelven más horizontales, reflejando un flujo más estable lejos del vórtice.

Interpretación física:

Las isóbaras comprimidas cerca del núcleo indican un '''gradiente muy intenso''', asociado a velocidades elevadas.

La forma cóncava hacia abajo del centro indica la existencia de un '''núcleo de baja presión''', responsable del ascenso del aire.

Las isóbaras exteriores suavizadas representan zonas donde el flujo pierde intensidad y el gradiente se debilita.

En definitiva, las superficies isobáricas permiten leer visualmente la estructura energética del vórtice, mostrando cómo se distribuye la baja presión en altura y radialmente.

==== Referencias ====

Wallace, J.M. & Hobbs, P.V. (2006). ''Atmospheric Science: An Introductory Survey''.
Usado para: '''descripción física del gradiente de presión''', '''dinámica del flujo atmosférico''' y '''comportamiento del viento en sistemas rotatorios'''.
https://doi.org/10.1016/B978-012732951-2/50007-0

Bluestein, H. (1993). ''Tornado Dynamics – Vol. II of Severe Convective Storms''.
Usado para: '''estructura interna de tornados''', '''interpretación de isóbaras''' y '''gradientes intensos en vórtices'''.
https://books.google.com/books?id=tNZ0AwAAQBAJ

Emanuel, K. (1994). ''Atmospheric Convection''.
Usado para: '''campo de fuerzas en vórtices convectivos''' y '''explicación del transporte vertical''' asociado a núcleos de baja presión.
https://books.google.com/books?id=1eJ7AAAAMAAJ

== Fuerzas inducidas por el gradiente de presión e impacto estructural ==
== Otros vórtices atmosféricos ==

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T11:01:21Z

David Perez: /* Formulación matemática del vórtice de Rankine */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T10:53:40Z

David Perez: /* Formulación matemática del vórtice de Rankine */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-02T10:45:34Z

David Perez: /* Formulación matemática del vórtice de Rankine */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-01T22:21:19Z

David Perez: /* Formulación matemática del vórtice de Rankine */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-01T22:20:20Z

David Perez: /* Formulación matemática del vórtice de Rankine */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-12-01T22:19:34Z

David Perez: /* Formulación matemática del vórtice de Rankine */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-11-26T17:06:17Z

David Perez: /* Introducción */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-11-26T17:04:50Z

David Perez: /* Introducción */

El Vortice de Rankine (Grupo 11)

2025-11-25T15:20:04Z

David Perez: /* Introducción */