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Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-06T10:30:28Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER PARA SISTEMAS
k=1;t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-06T10:22:00Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER PARA SISTEMAS
k=1;t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-06T10:18:05Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER PARA SISTEMAS
k=1;t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

Un método numérico es estable cuando al variar las condiciones iniciales, la solución final obtenida es la misma o parecida que al principio. Variamos las condiciones iniciales en X,Y,A y B, y vemos que la solución

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:57:32Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER PARA SISTEMAS
k=1;t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:41:52Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER PARA SISTEMAS
k=1;t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:34:31Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Metodo de Euler para sistemas
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:N
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:33:43Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Metodo de Euler para sistemas
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:30:45Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

Como podemos observar, el resultado es el mismo que en los casos anteriores, sólo que esta vez se ha usado un sistema de ecuaiones para resolverlo.

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

Como podemos observar de nuevo, el resultado es el mismo que en los casos anteriores. Esta vez se ha usado un sistema de ecuaciones, como en el caso de Euler con sistema, pero esta vez resuelto por el método numérico para sistemas de Runge-Kutta.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:24:04Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA PARA SISTEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; x0=1; h=0.1;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%inicializacion
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%preparamos las funciones a usar en el bucle
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
k1_y=U(t(k),y(k),x(k));
k1_x=V(t(k),y(k),x(k));
k2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k1_y/2,x(k)+h*k1_x/2);
k3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*k2_y/2,x(k)+h*k2_x/2);
k4_y=U(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);
k4_x=V(t(k)+h,y(k)+k3_y*h,x(k)+k3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(k1_y+2*k2_y+2*k3_y+k4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(k1_x+2*k2_x+2*k3_x+k4_x);
end
%Graficas
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta en Sistema]]

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:11:34Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler en Sistema]]

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T22:06:24Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:
===Ecuación===
==== Método de Euler ====

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

Obtenemos esta grafica que será comentada en la conclusion de este apartado junto con las demas graficas obtenidas.

==== Método del Trapecio ====
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

==== Método de Runge-Kutta ====
Resolvemos mediante Rounge Kutta de 4º orden

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:GRAFICA_BUENA2.png|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

====Interpretacion de las graficas y soluciones====

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una función cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

Las funciones por las que se rige la reaccion son simetricas, a la vez que una disminuye, la otra crece, lo que era de esperar ya que a medida que se forma el compuesto B disminuye la cantidad de compuesto A que tenemos.

===Sistema de ecuaciones===
Ahora escribimos las ecuaciones en forma de sistema:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>

Con las condiciones iniciales: La concentracion de A para tiempo inicial cero es <math> 1\frac{mol}{l} </math>, mientras que la concentracion de B es mucho menor <math> 0.01\frac{mol}{l} </math>.
EL P.V.I nos queda:

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
Con <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

Resolvemos el PVI mediante el metodo de EULER y Runge Kutta 4º orden teniendo en cuenta que son ecuaciones no lineales:

{{matlab|codigo=
%Datos y condiciones iniciales:
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, t pertenece a [0,10] recorrido con paso h.
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores x e y, solución.
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Valor de arranque de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;

for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*(x(i)*y(i));
x(i+1)=x(i)+h*(-x(i)*y(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x);
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/l)');
legend('Concentración de B','Concentración de A');
}}

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes K1 y K2.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+\frac{h}{2}(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n +K1h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:
{{matlab|codigo=

%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;
%Vector de tiempo t de t0 a tN con paso h
t=t0:h:tN;
%N=número de intervalos
N=(tN-t0)/h;
%Vectores vacíos donde se almacena solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
%Valores de arranque
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
for i=1:N
%Definimos las constantes
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de X
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de Y
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de B
K1B=k3.*Y(i);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
%Valor de K1 y K2 para la ecuacion de A
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);
%Resolucion X Y B A
X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas separadas para interpretar.
%Gráficas separadas para interpretar.
subplot(2,2,1)
plot(t,A,'r')
title('Concentracion de A en funcion de t');
subplot(2,2,2)
plot(t,X)
title('Concentracion de X en funcion de t');
subplot(2,2,3)
plot(t,Y,'g')
title('Concentracion de Y en funcion de t');
subplot(2,2,4)
plot(t,B,'b');
title('Concentracion de B en funcion de t');
}}

[[Archivo:4graficas Heun.jpg|marco|centro]]
====INTERPRETACIÓN DE LAS GRÁFICAS====
La concentracion de A tiende a 0 a medida que avanza el tiempo hasta llegar a un tiempo de aproximadamente 50 segundos.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> (1)

Segun A disminuye, por tanto reacciona, se va formando el compuesto X en la primera reaccion autocatalitica, cuando el total de la concentracion de A ha reaccionado y se ha formado X, hay un periodo de tiempo en el que la concentracion de X se mantiene (podemos verlo en la grafica mediante la pendiente que es practicamente nula en el intervalo de tiempo [35,45]. En el instante en el que X tiene mayor cantidad se da con mayor velocidad la reaccion de autocatalisis 2, (ley de accion de masas) en la que el compuesto Y interviene para su propia formacion.

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> (2)

En el instante t=48 (aproximadamente) empieza a haber una concentracion considerable de Y y se empieza a formar el compuesto B cuya concentracion final coincide con la concentracion inicial de A.

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Archivo:GRAFICA BUENA2.png

2015-03-05T22:05:05Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:57:18Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:50:09Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:42:04Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:32:12Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:10:44Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:06:35Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:05:49Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:05:12Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T22:01:01Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T21:59:11Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T21:57:34Z

David Carmona Rodriguez:

Archivo:Grafica1buena.jpg

2015-03-04T21:56:47Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T21:48:54Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T21:47:52Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-04T21:46:28Z

David Carmona Rodriguez:

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T21:38:38Z

David Carmona Rodriguez: Deshecha la revisión 25465 de David Carmona Rodriguez (disc.)

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de Euler.
F=inline('y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i)); %Euler.
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_(n+1)=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicamos el método para cada una de nuestras ecuaciones obteniendo el siguiente programa
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
Vemos que la gráfica es semejante a la obtenida por el método de Euler, en este caso utilizando sólo un tamaño de paso.

Es importante definir las constantes en el bucle antes que las ecuaciones ya que si no nos daría un error, debido a que es un método que depende explícitamente de esas constantes.

=== Conclusión ===

Reacciones con autocatálisis. Grupo C2

2015-03-04T21:28:34Z

David Carmona Rodriguez:

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo C2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Ana Martínez Lorente, Natalia Opie Dávila, Javier Parras Martínez, Alfredo Pazos Arjona, Antonio Perez Mata, Javier Siguero Ginés }}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción ==
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,:
<math> A + B \rightarrow C </math>
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular:
<math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

== Primera reacción ==
=== Interpretación ===
Tomando x e y como las concentraciones de los reactivos que intervienen en la reacción y considerando la reacción que describe la transformación de A y B para producir 2B a una velocidad k1. Basándonos en el principio de conservación de la masa (suma de concentraciones es siempre constante), partimos del a siguiente ecuación:
<math> x(t) + y(t) = cte </math>
y derivando la ecuación con respecto al tiempo obtenemos:
<math> x'(t) + y'(t) = 0 </math>
Por otro lado, usando la ley de acción de masas, que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos, en este caso el factor de proporcionalidad es k1.
<math> y'(t) = k_{1}*x(t)*y(t) </math>
De la primera igualdad obtenemos que:
<math> x(t) = cte - y(t) </math>
y sustituyendo en la igualdad de la ley de acción de masas resulta:
<math> y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Teniendo en cuenta las condiciones iniciales que se proporcionan en el enunciado, definimos el siguiente problema de valor inicial:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(cte - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

==== Teorema de existencia y unicidad ====

Para decidir si este problema de valor inicial tiene solución, hacemos uso del teorema de existencia y unicidad visto en las clases de teoría. Este teorema, también conocido con el nombre de Picard-Lindelöf, se puede enunciar como:

"Sea <math>f(t, x):\Omega\subseteq\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^n</math>, donde <math>\Omega</math> es abierto, una función continua y localmente Lipschitz respecto de <math>\mathit{x}</math> (interprétese <math>f(t, x)</math> como la forma estándar de una EDO n-dimensional de primer orden). Entonces, dado <math>(t_{0}, x_{0}) \in \Omega</math>, podemos encontrar un intervalo cerrado <math>I_{\alpha}=[t_{0}-\alpha, t_{0}+\alpha]\subset \mathbb{R}, \alpha \in \mathbb{R}</math> donde existe solución única del siguiente problema de Cauchy:
{| align="center" border="0"
|<math>\begin{cases}y'=f(t, y) \\ y(t_{0})=y_{0}\end{cases}</math>
|}

que cumple que los pares <math>(t, x(t)) \in \Omega, \forall t \in I_{\alpha}.</math>"

Este enunciado, puede expresarse de manera más sencilla, diciendo que existe solución para el problema de valor inicial si existe un <math> r </math> tal que <math> f(t,y) </math> sea continua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math> (es decir, encontrar una bola alrededor del punto <math> (t_{0},y_{0}) </math> de radio <math> r </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Para nuestro caso, tenemos que:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(cte - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(cte - 2y) </math>
Ambas funciones son polinómicas, por lo que no dan problemas en cuanto a su continuidad (ni en nuestro punto a tratar ni en ningún otro). '''Podemos concluir, por lo tanto, que existe solución y que esta es única.'''

=== Ecuación diferencial ===
==== Método de Euler ====

Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)\end{array} </math>
Aplicado a nuestra ecuación y sustituyendo por los datos del problema, tendríamos que:
<math> \begin{array}{c} y_n\\ y_{n+1}=y_n+h*[y_n*(1.01-y_n)]\end{array} </math>
Y resolvemos:
[[Archivo:Apartado2.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Euler h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1); %TAMBIEN PUEDO USAR zeros(1,length(t))
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

En la gráfica se puede observar que la concentración inicial de la sustancia A es de 1 <math>\frac{mol}{L}</math> , mientras que la de B es de 0.01 <math> \frac{mol}{L} </math>. Debido a que B hace efecto catalítico en la reacción, las curvas representativas de las concentraciones, creciente para la sustancia B (la concentración es mayor que la de A con el paso del tiempo) y decreciente para la sustancia A, son exponenciales. Una vez pasados los primeros 6-7 segundos, la velocidad de la reacción disminuye pues queda poca concentración de A para reaccionar y, a los 10 segundos, prácticamente todo la cantidad de sustancia es de B. Podemos calcular las cantidades finales concretas:
{{matlab|codigo=
%Concentraciones transcurridos 10 segundos de la reacción:
CF_A=x(length(x)); CF_B=y(length(y));
fprintf('La concentración final de A es de %.4f mol/L,y la de B de %.4f mol/L\n',CF_A,CF_B);
}}
Cuyo resultado en pantalla será:
{{matlab|codigo=
La concentración final de A es de 0.0039 mol/L,y la de B de 1.0061 mol/L
}}
Sin embargo, no podemos concretar exactamente cuándo ambas concentraciones son iguales. Esto es debido a la discretización, pues las gráficas no se pueden pintar como curvas continuas, si no como puntos muy próximos y por tanto, no se puede decir exactamente el valor donde <math> \left [ A \right ] </math> = <math> \left [ B \right ] </math> , ya que lo más probable es que en ninguno de los vectores que representan el valor de las concentraciones coincidan. Sin embargo, podemos hacer una estimación del intervalo de tiempo donde ocurra, mirando la gráfica: el tiempo transcurrido será de entre 4.5 y 5 segundos. Para más precisión basta con ver los vectores de las concentraciones, y vemos que deben cortarse pasados entre 4.8 y 4.9 segundos, y la concentración estará entre 0.4999 y 0.5254 .
{{matlab|codigo=
Sustancia B:

Columns 45 through 55

0.4244 0.4493 0.4745 0.4999 0.5254 0.5508 0.5761 0.6011 0.6257 0.6497 0.6731

Sustancia A:

Columns 45 through 55

0.5856 0.5607 0.5355 0.5101 0.4846 0.4592 0.4339 0.4089 0.3843 0.3603 0.3369
}}

==== Método del Trapecio ====

Ahora vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, pero esta vez por el método del trapecio:
<math>
\begin{array}{c} y_n \\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>
Como podemos observar, se trata de un método implícito. Esto quiere decir que nuestra incógnita depende de una función en la que aparece también. Para solucionarlo, aplicaremos el método a nuestra ecuación y despejaremos la incógnita (<math> y_{n+1} </math> ) en función de lo demás:
<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(C-y_n)+y_{n+1}*(C-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(C-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(C-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{C*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{C*h \over 2})+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{C*h \over 2}+\sqrt{(1-{C*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(C-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

[[Archivo:Apartado3b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método del Trapecio h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 0.1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; c=1.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con el Método del Trapecio.
for i=1:length(t)-1
%Trapecio:
y(i+1)=(1/(h*k))*((0.5*h*k*c-1)+sqrt((1-0.5*h*k*c)^2-2*h*k*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(c-y(i)))));
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Se observa que la solución obtenida es la misma que por el método de Euler.

==== Método de Runge-Kutta ====

Otra vez, vamos a resolver el mismo problema de valor inicial, ayudándonos en este caso del método de Runge-Kutta de orden 4.

[[Archivo:Apartado3a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica Método de Runge-Kutta de cuarto orden h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos el vector y, que será nuestra solución de la concentración B.
y=zeros(1,length(t));
%Introducimos el valor incial en la primera posición del vector.
y(1)=y0;
%Definimos la función, para aplicarla a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('1*y*(1.01-y)','t','y');
%Recorremos, con un bucle, nuestro vector y, y en él almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1=F(t(k),y(k));
K2=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1/2);
K3=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2/2);
K4=F(t(k)+h,y(k)+K3*h);
y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end
%De nuevo, por el Principio de Conservación de la Masa,como la suma de las
%concetraciones será C (cte.), podemos calcular la concentración de A como
%la diferencia entre C y la concentración de B (el vector y).
x=1.01-y;
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

De nuevo, ambas soluciones coinciden.

=== Sistema de ecuaciones ===
Otra forma de plantear la resolución de la reacción bimolecular de autocatálisis anterior es plantear tanto la concentración de A como la de B como las variables de un sistema de ecuaciones diferenciales. Este sistema es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t)
\end{matrix}
\right . </math>
Por otra parte, definimos el problema de valor inicial asociado a este sistema, que es:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t)=k_{1}x(t)y(t) \\
x'(t)=-k_{1}x(t)y(t) \\
x(0)=1 \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right .
</math>
siendo <math> k=1\frac{mol}{s} </math>

==== Método de Euler ====
El método de Euler, se basa en la fórmula expuesta en el apartado 2.2.1. En este caso, al ser el sistema de ecuaciones no lineal, no podemos aplicar el método usando la técnica de la matriz explicada en las sesiones de numérico, siendo necesario por lo tanto aplicar el método en cuestión a cada ecuación por separado. El código del programa es el siguiente:
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Euler.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores,y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for i=1:length(t)-1
%Euler:
y(i+1)=y(i)+h*F(t(i),y(i),x(i));
x(i+1)=x(i)+h*G(t(i),y(i),x(i));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Sin embargo, podemos usar un método alternativo. Podemos crear en primer lugar un archivo .m, en concreto una función, que nos servirá para escribir nuestras ecuaciones de manera más sencilla. El problema lo vamos a abordar, por tanto, vectorialmente. Este método es más cómodo cuando tratamos con sistemas de muchas ecuaciones.
{{matlab|codigo=
% Empezamos creando el archivo sys_Euler_C2.m , donde definimos nuestro
% sistema:
function syst = sys_Euler_C2(t,y)
dy1=y(2)*y(1);
dy2=-y(2)*y(1);
syst=[dy1;dy2];
end
}}
[[Archivo:Apartado4a.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Euler con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Y creamos nuestro programa, haciendo una llamada a la función anterior.
%Definiciones previas.
k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%Creamos el vector donde tendremos nuestras condiciones iniciales.
yini=[y0;x0];
%Preasignamos la matriz Y, que será nuestra solución de la
%concentración A y B,en la primera y segunda fila, respectivamente.
Y=zeros(2,length(t));
%Damos las condiciones iniciales a la primera columna.
Y(:,1)=yini;
%Recorremos, con un bucle, la matriz (por columnas),y almacenamos los
%resultados obtenidos con Euler.
for k=1:length(t)-1
Y(:,k+1)=Y(:,k)+h*sys_Euler_C2(t(k),Y(:,k));
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,Y(1,:),'r');
hold on
plot(t,Y(2,:),'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}

Por supuesto, la gráfica es exactamente la misma.

==== Método de Runge-Kutta ====
Ahora vamos a aplicar el método de Runge-Kutta de orden 4 a la ecuación expuesta anteriormente. Este método, al ser de orden superior al método de Euler, nos ofrecerá una mayor aproximación a la solución real mediante el cálculo numérico de esta. El código MatLab del programa es el que se muestra a continuación.
[[Archivo:Apartado4b.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha||Gráfica por el método de Runge-Kutta con paso h=0.1]]
{{matlab|codigo=
%Datos:

%Concentración A: 1mol/L,
%Concentración B: 0.01mol/L,
%k=1mol/s, h=0.1, t=[0,10] (s)

%-----------------------------------------------------------------------

k=1;
t0=0; tN=10;
h=0.1; y0=0.01; x0=1;
%Definimos el vector del tiempo, con un paso de 0.1.
t=t0:h:tN;
%La constante C, del P.V.I., es la suma de las concentraciones (Principio
%de Conservación de la Masa).
% C=0.1+y0; ----> C=1.01;
%Preasignamos los vectores x e y, que serán nuestras soluciones de la
%concentración A y B, respectivamente.
y=zeros(1,length(t));
x=y;
%Introducimos los valores inciales de cada concentración en la primera
%posición de los vectores.
y(1)=y0;
x(1)=x0;
%Definimos ambas funciones, para aplicarlas a continuación en el Método de
%Runge-Kutta.
F=inline('x*y','t','y','x');
G=inline('-x*y','t','y','x');
%Recorremos, con un bucle, los vectores, y en ellos almacenamos los
%resultados obtenidos con RK4.
for k=1:length(t)-1
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=F(t(k),y(k),x(k));
K1_x=G(t(k),y(k),x(k));
K2_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=F(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=G(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=F(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=G(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Dibujamos ambas gráficas.
plot(t,y,'r');
hold on
plot(t,x,'g');
hold off
title('Gráfica Concentración-Tiempo');
xlabel('tiempo (segundos)');
ylabel('concentración (mol/L)');
legend('Concentración de B','Concentración de A','Location','Best');
}}
Podemos observar como la representación gráfica vuelve a coincidir con los apartados anteriores, ya que se trata del mismo problema resuelto por caminos diferentes.

Un aspecto importante a la hora de aplicar este método a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales es que, al depender K2 de K1, K3 de K2, y K4 de K3, es necerario definir primero las K1 de ambas incógnitas, luego las K2 y así sucesivamente. Si no, a la hora de aplicar el bucle, si definimos primero las Ki de la incógnita x(t) y luego las Kj de la incógnita y(t), los valores de las Kj de y(t) serían los de la anterior iteración del bucle. realizándose por lo tanto un cálculo erróneo.

=== Conclusión ===
Una vez resuelto el problema de la reacción de autocátálisis <math> A + B \rightarrow _{k1} B </math>, procedemos a interpretar los resultados.

Tal y como se observó al despejar y(t) para pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales a una sola ecuación, la concentración tanto de A como de B se rige por funciones logísticas del tipo:
<math>\frac{dy}{dt}=ry\left(1 - \frac{y}{K}\right)</math>
En nuestro problema, las constantes r y K toman los siguientes valores:
<math> r=k_{1} \cdot K= 1.01 </math> : <math> K=c=1.01 </math>
Esta función logística se caracteriza, tanto como para x(t) como para y(t), por tener asíntotas horizontales en 0 y en 1.01. Además la función y(t) es siempre creciente, mientras que la función x(t) es decreciente. También podemos observar una simetría entre ambas funciones, siendo la recta que define el eje de simetría x=0.505, lo que también nos dice que los valores de ambas funciones siempre suman 1.01.

Toda esta información que nos proporciona el gráfico tiene una interpretación química clara. Las asíndotas nos muestran los valores máximos y mínimos que pueden presentar ambas concetraciones. Por otra parte, el crecimiento o decrecimiento de ambas funciones nos muestra como la concentracion de x(t) al principio de la reacción es muy alta, mientras que la de y(t) es mínima. Según transcurre el tiempo, las moléculas de A se van transformando en moléculas de B, por lo que la concentración de y(t) va aumentando a costa de la disminución de x(t). Por último, la simetría se las funciones nos muestra que y(t) se produce al mismo ritmo que disminuye x(t), sumando ambos valores 1.01 en cualquier instante, lo que verifica el principio de la conservación de la masa.

== Segunda reacción ==

=== Interpretación ===

Consideramos la reacción consecutiva propuesta por Lotka en 1920.

<math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math>

<math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math>

<math> Y \rightarrow _{k3} B </math>

Tomando A, X, B, e Y en la resolución de las ecuaciones diferenciales como las concentraciones de las diferentes sustancias. Esta reacción consecutiva describe la transformación de A para producir B, estando controladas la velocidad y la mezcla de este proceso por las reacciones autocatalíticas en las que participan X e Y.
Basándonos de nuevo en el principio de de conservación de la masa, partimos de la ecuación de que la suma de las concentraciones de todas las sustancias ha de ser constante:
<math> A + x + y + B = cte </math>
Derivando esta ecuación deducimos que:
<math> A' + x' + y' + B' = 0 </math>
Por otra parte, la ley de acción de masas nos indica que la velocidad de una reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. De esta forma, podemos obtener el resto de ecuaciones, teniendo en cuenta que tanto la sustancia x como la sustancia y no solo se producen, sino que también se consumen, por lo que habrá que restar a la parte consumida la parte producida
Todo esto nos da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = k1Ax − k2xy \\
y' = k2xy − k3y \\
B' = k3y \\
A' + x' + y' + B' = 0
\end{matrix}
\right . </math>
Por lo que podemos ver, a modo de mayor aclaración a lo explicado en el párrafo anterior, en la reacción autocatalítica <math> A + X \rightarrow _{k1} 2X </math> se forma X, ya que es positivo, con una velocidad de reacción k1. De la misma manera observamos que en la reacción <math> X+ Y \rightarrow _{k2} 2Y </math> X se consume con una velocidad de reacción k2.

La reacción <math> A' + x' + y' + B' = 0 </math> está en función de las otras, por lo que sustituyendo llegamos a que <math>A'=-k1Ax </math>

En conclusión vamos a resolver el problema de valor inicial tomando k1=k2=2k3=0.1 y las condiciones iniciales propuestas:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5 \\
X(0)=0.0005 \\
Y(0)=0.00001 \\
B(0)=0
\end{matrix}
\right . </math>

=== Método de Euler ===
Vamos a resolver el problema por el método de Euler:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{n+1}=y_n+h*f(t_n,y_n)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicado a cada uno de nuestras ecuaciones y sustituyendo por los datos del problema, nos quedaría algo así:
<math> \left \{
\begin{matrix}
X_{n+1}=X_n+h*[0.1*A_n*X_n-0.1*X_n*Y_n]\\
Y_{n+1}=Y_n+h*[0.1*X_n*Y_n-0.05*Y_n]\\
B_{n+1}=B_n+h*[0.05*Y_n]\\
A_{n+1}=A_n+h*[-0.1*X_n*A_n]
\end{matrix}
\right . </math>

[[Archivo:apartado6.1.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.01]]
[[Archivo:Apartado6.2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Euler h=0.001]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=input('Introduzca un valor para h:');

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Resolvemos el sistema

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h.*(k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h.*(k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h.*(k3*Y(i));
A(i+1)=A(i)+h.*(-k1.*X(i).*A(i));
end

%Gráfica de resultados
hold on
plot(t,X)
plot(t,Y,'g')
plot(t,B,'r')
plot(t,A,'y')
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}

Un PVI es estable si pequeñas perturbaciones de la función o de las condiciones iniciales afectan poco a la solución y que el error no aumente a medida que avanza el tiempo. Para ver la estabilidad vamos a modificar un diferencial las concentraciones para ver si variarían de forma brusca o no, y así ver si realmente este método es estable. Para ello haremos un programa exactamente igual que el anterior, por lo que no lo vamos a adjuntar, en el que superpondremos la gráfica anterior y la nueva gráfica con las nuevas condiciones iniciales. Las condiciones que vamos a coger son las siguientes:
<math> \left \{
\begin{matrix}
x' = 0.1Ax − 0.1xy \\
y' = 0.1xy − 0.05y \\
B' = 0.05y \\
A'=-0.1Ax \\
A(0)=5.00001 \\
X(0)=0.000501 \\
Y(0)=0.000011 \\
B(0)=0.000001
\end{matrix}
\right . </math>
[[Archivo:Estabilidadtotal.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.01]]
[[Archivo:Detalle estabilidad total.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.01]]
[[Archivo:Estabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|izquierda|Comparación gráfica original y la gráfica cambiando las condiciones iniciales con h=0.001]]
[[Archivo:Detalleestabilidadtotal2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Detalle de la comparación anterior con h=0.001]]

Las gráficas prácticamente se superponen, para observar el error que se produce a lo largo del tiempo hay que realizar un zoom bastante grande. Al darse todo esto podemos afirmar con bastante seguridad que el método es estable.

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, ya que para poder obtenerlo debemos primeramente definir una serie de constantes. Su definición matemática sería la siguiente:
<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_(n+1)=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>
Aplicamos el método para cada una de nuestras ecuaciones obteniendo el siguiente programa
[[Archivo:apartado7C2.jpg|400px|miniaturadeimagen|derecha|Gráfica método de Heun]]
{{matlab|codigo=
%Datos del problema de valor inicial
t0=0;
tN=200;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
k1=0.1;
k2=0.1;
k3=0.05;
h=0.01;

%Vector de tiempo
t=t0:h:tN;

%Definir el número de intervalos
N=(tN-t0)/h;

%Vectores vacíos para nuestra solución
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

%Valores iniciales
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;

%Definimos las constantes
for i=1:N
K1X=k1.*A(i).*X(i)-k2.*X(i).*Y(i);
K1Y=k2.*X(i).*Y(i)-k3.*Y(i);
K1B=k3.*Y(i);
K1A=-k1.*X(i).*A(i);
K2X=k1.*(A(i)+K1X.*h).*(X(i)+K1X.*h)-k2.*(X(i)+K1X.*h).*(Y(i)+K1X.*h);
K2Y=k2.*(X(i)+K1Y.*h).*(Y(i)+K1Y.*h)-k3.*(Y(i)+K1Y.*h);
K2B=k3.*(Y(i)+K1B.*h);
K2A=-k1.*(X(i)+K1A.*h).*(A(i)+K1A.*h);

X(i+1)=X(i)+0.5*h.*(K1X+K2X);
Y(i+1)=Y(i)+0.5*h.*(K1Y+K2Y);
B(i+1)=B(i)+0.5*h.*(K1B+K2B);
A(i+1)=A(i)+0.5*h.*(K1A+K2A);
end

%Gráficas
hold on
plot(t,X);
plot(t,Y,'g');
plot(t,B,'r');
plot(t,A,'y');
hold off
legend('Concentración X','Concentración de Y','Concentración de B','Concentración de A','Location','best');
}}
Vemos que la gráfica es semejante a la obtenida por el método de Euler, en este caso utilizando sólo un tamaño de paso.

Es importante definir las constantes en el bucle antes que las ecuaciones ya que si no nos daría un error, debido a que es un método que depende explícitamente de esas constantes.

=== Conclusión ===

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T22:03:07Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]]

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: APARTADO 3 BIS.jpg|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]]

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big>
'''Por tanto es irrotacional'''.

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

<math>σ=λ \nabla uδ_{ij}+ μ·\varepsilon_{ij}</math>

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos <math> i·E·i</math> resultando y/5.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos <math> j·E·j</math> también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=Y/5 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %Creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T18:25:00Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]]

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: APARTADO 3 BIS.jpg|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]]

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big>
'''Por tanto es irrotacional'''.

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %Creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T18:24:41Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]]

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: APARTADO 3 BIS.jpg|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]]

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big>
'''Por tanto es irrotacional'''.

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %Creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T18:22:46Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]]

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: APARTADO 3 BIS.jpg|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]]

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %Creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T18:16:26Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]]

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: APARTADO 3 BIS.jpg|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]]

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:APARTADO 3 BIS.jpg

2014-12-04T18:14:47Z

David Carmona Rodriguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T18:11:13Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]]

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]]

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T18:10:04Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]]

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]]

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma:

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0.

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T18:05:06Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

" NO SE SI HABRIA QUE DIBUJAR GRAFICA AL SER IRROTACIONAL"

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:APARTADO 8.jpg|marco|centro|Tensiones normales a los ejes coordenados]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>
(POR LO TANTO NO HAY NI CODIGO MATLAB NI GRAFICA)

(MODIFICADO)
"no hay que hacer grafica al ser cero"

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

(DA CERO POR LO QUE NO HAY NI CODIGO MATLAB NI GRAFICA)

"No hay qUE HACER GRAFICA"
(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:APARTADO 8.jpg

2014-12-04T18:03:37Z

David Carmona Rodriguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T17:46:49Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

" NO SE SI HABRIA QUE DIBUJAR GRAFICA AL SER IRROTACIONAL"

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>
(POR LO TANTO NO HAY NI CODIGO MATLAB NI GRAFICA)

(MODIFICADO)
"no hay que hacer grafica al ser cero"

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

(DA CERO POR LO QUE NO HAY NI CODIGO MATLAB NI GRAFICA)

"No hay qUE HACER GRAFICA"
(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,0.1,4); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

[[Archivo:APARTADO 11.jpg|marco|centro|Tensión de Von Mises]]

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Archivo:APARTADO 11.jpg

2014-12-04T17:44:16Z

David Carmona Rodriguez:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T17:35:04Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

" NO SE SI HABRIA QUE DIBUJAR GRAFICA AL SER IRROTACIONAL"

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>
(POR LO TANTO NO HAY NI CODIGO MATLAB NI GRAFICA)

(MODIFICADO)
"no hay que hacer grafica al ser cero"

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

(DA CERO POR LO QUE NO HAY NI CODIGO MATLAB NI GRAFICA)

"No hay qUE HACER GRAFICA"
(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T17:33:14Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

" NO SE SI HABRIA QUE DIBUJAR GRAFICA AL SER IRROTACIONAL"

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>
(POR LO TANTO NO HAY NI CODIGO MATLAB NI GRAFICA)

(MODIFICADO)
"no hay que hacer grafica al ser cero"

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
"No hay qUE HACER GRAFICA"
(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T17:26:03Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

El rotacional en coordenadas cartesianas es:

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> '''Por tanto es irrotacional'''.

" NO SE SI HABRIA QUE DIBUJAR GRAFICA AL SER IRROTACIONAL"

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 1 & 0 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)
"no hay que hacer grafica al ser cero"

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

<math>|\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)-( \left( \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{ll} \frac{y}{5}\ & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3y}{5} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{y}{5} \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right))\cdot\left( \begin{array}{l} 0 & 1 & 0 \end{array} \right)|=0
</math>

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]
"No hay qUE HACER GRAFICA"
(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-03T13:03:34Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados: \[ \vec a = \vec j/10, \vec b = \vec j
\]
=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==
Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)
}}

Con el siguiente programa creado, introducimos la función de densidad y los límites de integración, obteniendo así la masa del sólido en cuestión.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-03T13:01:51Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados: \[ \vec a = \vec j/10, \vec b = \vec j
\]
=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==
Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(MODIFICADO)

==Tensión de Von Mises==

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)
}}

Con el siguiente programa creado, introducimos la función de densidad y los límites de integración, obteniendo así la masa del sólido en cuestión.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-03T12:46:21Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados: \[ \vec a = \vec j/10, \vec b = \vec j
\]
=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensión de Von Mises==

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)
}}

Con el siguiente programa creado, introducimos la función de densidad y los límites de integración, obteniendo así la masa del sólido en cuestión.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-03T12:43:35Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados: \[ \vec a = \vec j/10, \vec b = \vec j
\]
=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensión de Von Mises==

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)
}}

Con el siguiente programa creado, introducimos la función de densidad y los límites de integración, obteniendo así la masa del sólido en cuestión.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-03T12:25:21Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados: \[ \vec a = \vec j/10, \vec b = \vec j
\]
=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensión de Von Mises==

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= x.*y.*log(x+2)');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x):-0.5');
b=input('hasta (x):0.5');
a1=input('desde (y):0');
b1=input('hasta (y):4');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-03T12:23:10Z

David Carmona Rodriguez:

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados: \[ \vec a = \vec j/10, \vec b = \vec j
\]
=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}

[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensión de Von Mises==

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= x.*y.*log(x+2)');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x):-0.5');
b=input('hasta (x):0.5');
a1=input('desde (y):0');
b1=input('hasta (y):4');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]