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Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:51:22Z

Daniel77: /* Introducción y planteamiento */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción, comentarios generales y planteamiento de la primera reacción==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:50:19Z

Daniel77: /* Reacción consecutiva propuesta por Lotka */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Segunda reacción propuesta: Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:49:39Z

Daniel77: /* Ecuación diferencial */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Primera reacción propuesta ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:47:59Z

Daniel77: /* Conclusión */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:45:40Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A, X, B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:44:37Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A,X,B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

Análogo razonamiento haríamos con la sustancia '''Y''' y la sustancia '''B''' mirando repectivamente las etapas 2,3 y 3; llegando así a las siguientes ecuaciones:
'''y'=k2*x*y-k3*y''' ; '''B'=k3*y'''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:39:50Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A,X,B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en que le ocurre a la sustancia '''X''' se llega a la siguiente conclusión:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2 (etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se está creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se está elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:37:56Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A,X,B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''
Por otro lado si observamos la primera y la segunda etapa y nos fijamos en la sustancia '''X''' se llega a lo siguiente:
'''x'=k1*A*x-k2*x*y'''
La cual nos dice que la variación de la concentración respecto del tiempo de la sustancia '''X''' es proporcional a la concentración de '''A''' y de '''X''' ''(con cte k1 (etapa 1))'' y a la concentracion de '''X''' e '''Y''' ''(con cte k2(etapa 2))''. Teniendo en cuenta además que el primer sumando es positivo pues se esta creando sustancia '''X''' y el segundo negativo pues se esta elimando sustancia '''X''' (para crear la sustancia '''Y''').

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:27:00Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A,X,B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X, Y, A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:25:59Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A,X,B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

Denotamos '''x=x(t)''', '''y=y(t)''', '''A=A(t)''' y '''B=B(t)''' las concentraciones de las sustancias '''X,Y,A''' y '''B''' respectivamente. Según el principio de conservación de la masa sabemos que:
'''''A+x+y+B=constante'''''
Si derivamos la expresión anterior respecto del tiempo se llega a la primera ecuación que rige el sistema:
'''''A'+x'+y'+B'=0'''''

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:19:14Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''(Con cte k1)'' ; '''X+Y→2Y''' ''(Con cte k2)'' ; '''Y→B''' ''(Con cte k3)''

Donde '''A,X,B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:18:18Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):

'''A+X→2X''' ''Con cte k1'' ; '''X+Y→2Y''' ''Con cte k2'' ; '''Y→B''' ''Con cte k3''

Donde '''A,X,B''' e '''Y''' son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias '''X''' e '''Y''' respectivamente. La reacción transcurre consumiendo '''A''' para producir el producto final '''B''', de acuerdo con la reacción global: '''A→B'''.

Los intermedios '''X''' e '''Y''' dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer como se observa.

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
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plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:16:08Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===
Consideramos ahora la siguiente reacción consecutiva propuesta por Lotka (1920):
'''A+X→2X''' ''Con cte k1'' ; '''X+Y→2Y''' ''Con cte k2'' ; '''Y→B''' ''Con cte k3''
Donde A,X,B e Y son sustacias distintas. Observamos que las etapas 1 y 2 son autocatalíticas ya que vemos autocatálisis en los sustancias X e Y respectivamente. La reacción transcurre consumiendo A para producir el producto final B, de acuerdo con la reacción global '''A→B'''. Los intermedios X e Y dominan la velocidad y la composición de la mezcla reactiva en las fases intermedias, pero acaban por desaparecer.

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',2)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|800px|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:07:12Z

Daniel77: /* Método de Heun */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|sinmarco|centro]]

===Planteamiento, resolución por Heun e interpretación del PVI (Apartado 7)===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:05:58Z

Daniel77: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|sinmarco|centro]]

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:05:19Z

Daniel77: /* Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|sinmarco|centro]]

=== Método de Euler ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
[[Archivo:Definita.jpg|sinmarco|centro]]

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:04:17Z

Daniel77: /* Método de Runge-Kutta */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===

=== Planteamiento, resolución por Euler e interpretación del PVI (Apartado 6) ===

=== Método de Euler ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
<gallery>
Archivo:definitiva.jpg|centro|thumb
</gallery>

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:03:02Z

Daniel77: /* Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales (Apartado 5) ===

=== Método de Runge-Kutta ===
==== Interpretación ====
=== Método de Euler ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
<gallery>
Archivo:definitiva.jpg|centro|thumb
</gallery>

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:02:43Z

Daniel77: /* Método de Euler */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
end
%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Deducción e interpretación de las ecuaciones diferenciales ===

=== Método de Runge-Kutta ===
==== Interpretación ====
=== Método de Euler ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}
Mediante este procedimiento se obtienen las siguientes graficas:
<gallery>
Archivo:definitiva.jpg|centro|thumb
</gallery>

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Reacciones de autocatalisis Grupo 9A

2015-03-05T13:01:49Z

Daniel77: /* Sistema de ecuaciones */

{{ TrabajoED | Reacciones con autocatálisis. Grupo A2 | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | David Carmona Rodriguez,Alejandro Muñoz Cotter, Daniel Alonso Palop, Luis Bermeosolo Echeverria}}
[[Categoría:Ecuaciones Diferenciales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
== Introducción y planteamiento ==
La autocatálisis es el proceso mediante el cual un compuesto químico induce y controla una reacción química sobre sí mismo. Los compuestos autocatalíticos no son catalizadores en sentido estricto ya que su estructura química resulta alterada durante el proceso.

Consideramos una solución bien mezclada a temperatura y volumen constantes. En esta solución tiene lugar una reacción química en la que en el momento inicial se encuentran dos reactivos A y B. A medida que avanza el tiempo se forma el producto 2B, teniendo en cuenta que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción y satisfaciendo la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

Reacción bimolecular: <math> A + B \rightarrow _{k1} 2B </math>

Para tiempo <math>(t=0)</math> nombramos e identificamos las variables:

'''A: concentracion inicial <math>x_0</math> (mol/l)
'''

'''B:concentracion inicial <math>y_0</math> (mol/l) '''

Sucede la reaccion<math> \rightarrow </math> El tiempo comienza <math>(t>0)</math>

'''A: concentracion en funcion de t. <math>x(t)</math> (mol /l)'''

'''B:concentracion en función de t. <math>y(t)</math> (mol/l)'''

Como el volumen se mantiene constante <math>(V=cte)</math>

<math>V=volumen</math>

<math>M_A(t)</math> = masa del compuesto A

<math>M_B(t)</math> = masa del compuesto B

Según la ley de concentración de la masa: <math>M_A(t)+M_B(t)=k</math> siendo <math>k=''cte''</math> en el proceso, si dividimos por '''V''':

<math>\frac{M_A(t)}{V} + \frac{M_B(t)}{V} =\frac{k}{V}</math> (renombramos <math>k^*=\frac{K}{V}</math>)

Sustituimos por nuestros términos:

<math>x(t)+y(t) = k^*</math>

Derivando <math>x'(t)=+y'(t)=0</math> ''ec.(1)''

Segun la ley de acción de masas:

<math>\mbox{Velocidad de reacción = (cte)·(Cantidad de reactivo A)·(cantidad de reactivo de B)}</math>

<math>y'(t)=k1*x(t)*y(t)</math> ''ec.(2)''

si integramos la ''ec.(1)'' <math>x(t)+y(t)=k^*</math> (con <math>k^*=\frac{k}{V}</math>) despejamos <math>x(t)=k^*-y(t)</math>

y sustituyendo en ''ec.(2)'' ya tenemos planteado el P.V.I con las condiciones iniciales dadas en el enunciado :

<math> \left \{
\begin{matrix}
y'(t) = k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) \\
y(0)=0.01
\end{matrix}
\right . </math>

Ahora procedemos a comprobar si tiene solucion y ademas es unica mediante la aplicacion del teorema de la existencia y unicidad:

Existe solución para el PVI planteado si existe una "Bola" de radio <math> r </math> alrededor del punto de estudio <math> (t_{0},y_{0}) </math> en la que la función sea continua.
Esta solución será además única cuando también se cumpla que <math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} </math> sea también contínua en <math> D \cap B((t_{0},y_{0}),r) </math>.

Observamos que nuestra funcion:
<math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math>
Y:
<math> \displaystyle{ \delta f \over \delta y} = k_{1}(K_{2} - 2y) </math>

La función <math> f(t,y(t))=f= k_{1}*(K_{2} - y(t))*y(t) </math> es de clase <math>C^1</math> y su derivada es continua siempre, entonces podemos afirmar que existe solución única.

== Ecuación diferencial ==
Procedemos a resolver el PVI mediante metodos numericos estudiados en la asignatura interpretando los resultados relacionados con el proceso quimico:

=== Método de Euler ===

Resolvemos la ecuacion mediante el programa de EULER que consiste en un algoritmo basado en la formula: <math>y_{n+1} = y_n + h f (t_n,y_n)</math>

que permite dar en un numero finito de pasos <math>(N= \frac{t_n-t_0}{V})</math> un aproximacion numerica a la solucion del problema.

{{matlab|codigo=
%METODO DE EULER
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;h=0.1;
%ELECCION DEL PASO
%GENERACION DEL VECTOR TIEMPO t EN FUNCION DE h
t=t0:h:tN;
%PREPARACION DEL VECTOR SOLUCION APROXIMADA
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,N+1);
y(1)=y0;
for i=1:N
y(i+1)=y(i)+h*(K1*(K2-y(i))*y(i)); %METODO DE EULER
x(i+1)=1.01-y(i+1);
end
%FINALIZO EL PROGRAMA
%GRAFICAS
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Euler]]

En una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de B, la velocidad de reacción aumentará a medida que se vaya formando más B. En el otro extremo, cuando haya desaparecido prácticamente todo el componente A, la velocidad ha de tender a cero. '''Este comportamiento se puede apreciar en la gráfica anterior, en la que la velocidad varía a lo largo de una parábola cuyo máximo corresponde a concentraciones iguales de A y de B'''?.

=== Método del Trapecio ===
Resolvemos la ecuacion mediante el metodo del trapecio. Otro metodo numerico para aproximar la solucion de la ecuacion con menor error que el metodo de EULER. Es un metodo implicito, por tanto habra que despejar el termino <math>y_{n-1}</math> y aplicar la formula:
<math>
\begin{array}{c}\\ y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_{n+1})]\end{array}
</math>

Despejando analiticamente:

<math>
\begin{array}{c}y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*[y_n*(K_2-y_n)+y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})]\\y_{n+1}=y_n+{h \over 2}*y_n*(K_2-y_n)+{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})\\y_{n+1}-{h \over 2}*y_{n+1}*(K_2-y_{n+1})=y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]\\{h \over 2}*(y_{n+1})^2+y_{n+1}*(1-{K_2*h \over 2}+[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]])=0\\y_{n+1}={-(1-{K_2*h \over 2})+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-4*{h \over 2}*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over 2*{h \over 2}}\\y_{n+1}={-1+{K_2*h \over 2}+\sqrt{(1-{K_2*h \over 2})^2-2*h*[-y_n*[1+{h \over 2}*(K_2-y_n)]]} \over h}\end{array}
</math>

Codigo Matlab:

{{matlab|codigo=
%METODO DEL TRAPECIO
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for i=1:N
y(i+1)=(1/(h*K1))*((0.5*h*K1*K2-1)+sqrt((1-0.5*h*K1*K2)^2-2*h*K1*(-y(i)-(h/2)*y(i)*(K2-y(i)))));
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%calculamos ahora la concentracion de A mediante la ley de conservacion de masa
x=1.01-y;
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico del Trapecio]]

Obtenemos la misma gráfica.

=== Método de Runge-Kutta ===
Resolvemos mediante Rounge Kutta

{{matlab|codigo=
%METODO DE RUNGE-KUTTA
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0; tN=10;h=0.1; y0=0.01; x0=1; K1=1; K2=1.01;
%generacion del vector tiempo, conocido h
t=t0:h:tN;
%calculo del numero de intervalos
N=(tN-t0)/h; %calculo del numero de intervalos
%preparacion del vector solucion aproximada
y=zeros(1,length(t));
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
x=y;
%inicializacion
y(1)=y0;
x(1)=x0;
U=inline('x*y','t','y','x');
V=inline('-x*y','t','y','x');
%aplicacion del metodo numerico del trapecio
for k=1:N
%Runge-Kutta de orden 4 (RK4):
K1_y=U(t(k),y(k),x(k));
K1_x=V(t(k),y(k),x(k));
K2_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K2_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K1_y/2,x(k)+h*K1_x/2);
K3_y=U(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K3_x=V(t(k)+(h/2),y(k)+h*K2_y/2,x(k)+h*K2_x/2);
K4_y=U(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);
K4_x=V(t(k)+h,y(k)+K3_y*h,x(k)+K3_x*h);

y(k+1)=y(k)+(h/6)*(K1_y+2*K2_y+2*K3_y+K4_y);
x(k+1)=x(k)+(h/6)*(K1_x+2*K2_x+2*K3_x+K4_x);
end
%Graficas.
hold on
plot(t,y,'b');
plot(t,x,'r');
hold off
xlabel('segundos (s)');
ylabel('Concentracion (mol/L)');
legend('Concentracion de B','Concentracion de A','Location','Best');
}}

[[Archivo:grafica1buena.jpg|800px|centro|thumb|Método Numérico de Runge-Kutta]]

Obtenemos también la misma gráfica.

== Reacción consecutiva propuesta por Lotka ==
=== Método de Euler ===
=== Método de Runge-Kutta ===
==== Interpretación ====
=== Método de Euler ===
Aplicamos el metodo de Euler para resolver el siguiente sistema:

\begin{matrix}
x'=k1Ax-k2xy\\
y'=k2xy-k3y\\
A'=-k1Ax\\
B'=k3y\\
\end{matrix}
Teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

\begin{matrix}
k1=k2=2k3=0.5\\
A=5\\
B=0\\
x=5·10^{-4}\\
y=10^{-5}\\
\end{matrix}

Codigo matlab:
{{matlab|codigo=
% Introducimos las constantes iniciales dadas en el enunciado
t0=0; tf=200;
k1=0.1; k2=0.1; k3=0.05;
A0=5;
x0=5*10^(-4);
y0=10^(-5);
B0=0;

%Metodo de Euler para h=0.01
h1=0.01;
t1=[t0:h1:tf]; % Introducimos el vector independiente
N1=(tf-t0)/h1; % Numero de subintervalos
A1=linspace(0,0,N1+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.01
x1=linspace(0,0,N1+1);
y1=linspace(0,0,N1+1);
B1=linspace(0,0,N1+1);
A1(1)=A0; x1(1)=x0; y1(1)=y0; B1(1)=B0; % Introducimos las constantes iniciales en el primer termino de los vectores dependientes
for i=1:N1 % Metodo de Euler
A1(i+1)=A1(i)+h1*((-k1)*x1(i)*A1(i));
x1(i+1)=x1(i)+h1*(k1*A1(i)*x1(i)-k2*y1(i)*x1(i));
y1(i+1)=y1(i)+h1*(k2*x1(i)*y1(i)-k3*y1(i));
B1(i+1)=B1(i)+h1*(k3*y1(i));
end
%Metodo de Euler para h=0.001
h2=0.001;
t2=[t0:h2:tf]; % Introducimos el vector independiente
N2=(tf-t0)/h2; % Numero de subintervalos
A2=linspace(0,0,N2+1); % Creamos los vectores dependientes para h=0.001
x2=linspace(0,0,N2+1);
y2=linspace(0,0,N2+1);
B2=linspace(0,0,N2+1);
A2(1)=A0; x2(1)=x0; y2(1)=y0; B2(1)=B0;
for j=1:N2 % Metodo de Euler
A2(j+1)=A2(j)+h2*((-k1)*x2(j)*A2(j));
x2(j+1)=x2(j)+h2*(k1*A2(j)*x2(j)-k2*y2(j)*x2(j));
y2(j+1)=y2(j)+h2*(k2*x2(j)*y2(j)-k3*y2(j));
B2(j+1)=B2(j)+h2*(k3*y2(j));
end
subplot(1,2,1) % Comandos para la visualizacion
hold on
plot(t1,A1,'r','linewidth',1)
plot(t1,B1,'k','linewidth',2)
plot(t1,x1,'b','linewidth',2)
plot(t1,y1,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.01')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
subplot(1,2,2)
hold on
plot(t2,A2,'r','linewidth',2)
plot(t2,B2,'k','linewidth',2)
plot(t2,x2,'b','linewidth',2)
plot(t2,y2,'g','linewidth',2)
xlabel('tiempo')
ylabel('concentracion')
title('Grafico del metodo de Euler con h=0.001')
legend('Concentración de A','Concentración de B','Concentración de X','Concentración de Y')
hold off
}}

===Método de Heun===
El método de Heun es un método explícito, debemos primeramente definir una serie de constantes.

<math> \left \{
\begin{matrix}
y0,t0\\
y_{(n+1)}=y_n+0.5h*(K1+K2)\\
K1=f(t_n,y_n)\\
K2=f(t_n+h,y_n+K1*h)
\end{matrix}
\right . </math>

Aplicando el metodo mediante el programa Matlab:

== Conclusión ==

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T09:43:38Z

Daniel77: /* Masa total */

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes.

<big><math>|\nabla\times\vec u|=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{ \partial}{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ \ 0 & \frac{y^2}{10} & 0 \end{vmatrix}=0</math></big> "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion y se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T09:42:20Z

Daniel77: /* Masa total */

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Con el sigueinte programa calculamos la integral doble cuyo dominio es la placa e integrando la funcion densidad

syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

%Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion se tiene que:
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T09:40:44Z

Daniel77: /* Masa total */

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

'Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion se tiene que: '
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8

>> log(14348907/30517578125) + 8

ans =

0.3376

}}

Con lo que la masa resulta un total de 0.3376

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T09:39:16Z

Daniel77: /* Masa total */

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

'Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion se tiene que: '
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8
}}

Con el siguiente programa creado, introducimos la función de densidad y los límites de integración, obteniendo así la masa del sólido en cuestión.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T09:38:54Z

Daniel77: /* Masa total */

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

'Ejecutando el programa, introduciendo la funcion densidad y los limites de integracion se tiene que: '
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8
}}

Con el siguiente programa creado, introducimos la función de densidad y los límites de integración, obteniendo así la masa del sólido en cuestión.

"COMPROBAR"
"PONER EL RESULTADO, simplemente ejecutar el programa y ver que sale de resultado dandonos la masa"
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad G13(A)

2014-12-04T09:37:34Z

Daniel77: /* Masa total */

{{ Trabajo | Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 13-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[Categoría:TC14/15]] }}
=Enunciado=

<p>Consideramos una placa rectangular plana (en dimensión 2) que ocupa la región \( [-1/2,1/2] \times [0,4]\). En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u(x,y)\). De esta forma, si definimos \(r_0(x,y)\) el vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto \((x,y)\) viene dada por\[
\vec r (x,y)= \vec r_{0}(x,y)+\vec u(x,y).
\]
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos
de la misma dado por el vector de desplazamientos
\[
\vec u(x,y) = \vec a (\vec b \cdot \vec r_0)^2,
\]
Donde \[
\vec a, \vec b\] son vectores dados:
<math>
\vec a=\frac{\vec j}{10}, \vec b=\vec j.
</math>
\]

=Visualización de los campos en elasticidad=
En este trabajo vamos a observar el efecto que tienen los campos escalares y vectoriales sobre un sólido elástico, es decir, aquel sólido que es capaz de recuperar por completo su estado inicial al cesar las tensiones que se ejercen sobre él.

==Mallado del sólido elástico==

En este apartado nos piden dibujar un mallado que represente el sólido elástico del que nos habla el enunciado, tomando como paso de muestreo \(h=1/10\) para las variables ''x'' e ''y''. El cógido y la gráfica son:

{{matlab|codigo=
% Generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
% Generamos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
figure(1)
% Pintamos la malla
mesh(Mx,My,0*Mx)
% Limitamos una región en los ejes
axis([-2,2,-1,5])
% Vista superior
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 1.jpg|marco|centro|Mallado del sólido elástico]] "AQUI DAVID PONE LOS GRAFICOS" "YA HECHO"

==Representación de la temperatura==

En el sólido elástico tenemos un foco de calor situado en el origen de coordenadas (0,0) y que no depende del tiempo. La función distribución de la temperatura en el sólido viene dada por la función <math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math>, en coordenadas cartesianas.

<div align="center"><math> T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2}</math></div>

El gráfico de la temperatura muestra una gama de colores que van desde el rojo oscuro intenso al azul eléctrico, siendo el intervalo de temperaturas de la más elevada a la más baja respectivamente, comprobando que el centro de coordenadas tiene un color rojo intenso correspondiente a la mayor concentración en éste.

El código en MATLAB y los gráficos de la temperatura son los siguientes:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%hacemos la malla
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
%escribimos la función temperatura
T=inline('(8 - y.^2 + 2*y).*exp(-(x).^2)','x','y');
%aplicamos la funcion a las matrices de la malla
TT=T(Mx,My);
%representamos la funcion
p=contour(Mx,My,TT,60);
axis([-1,1,-1,5])
%El maximo esta en el punto (0,1)
}}

[[Archivo:APARTADO 2.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]]
[[Archivo:APARTADO 2 BIS.jpg|marco|centro|Distribución de temperaturas en el sólido]] "MODIFICADO"

==Representación del gradiente de la temperatura y de sus curvas de nivel==

Dada la función de temperaturas del apartado anterior, vamos a calcular el gradiente para observar que es perpendicular a las curvas de nivel de dicha temperatura. El gradiente nos indica la menor distancia entre puntos de diferente temperatura, direccionado siempre hacia el foco de calor. Si nos movemos en la dirección del gradiente, aproximándonos al foco, la temperatura aumentará, ocurriendo lo contrario si nos alejamos de éste. Cuando intercalamos las curvas de nivel con el gradiente de la temperatura se puede observar que ambos son perpendiculares:

{{matlab|codigo=
% generamos los vectores
u=-0.5:0.1:0.5; % generamos los vectores
v= 0:0.1:4;
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %hacemos la malla
T=((8 - vv.^2 + 2.*vv).*exp(-(uu).^2));
%definimos las componentes del gradiente de la temperatura
figure(1)
Tx=(-2*(uu).*(8 - vv.^2 + 2*vv).*exp(-(uu).^2));
Ty=(-2*vv+2).*exp(-(uu).^2);
%representamos el campo vectorial generado por el gradiente
quiver(uu,vv,Tx,Ty)
hold on %unimos en unos ejes el gradiente con las lineas de nivel
contour(uu,vv,T) %dibujamos las lineas de nivel
%dibujamos un recuadro que limite la represenatacion
plot(u,u-u,'k','linewidth',1);
plot(u,6+u-u,'k','linewidth',1);
plot(-0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
plot(0.5+v-v,v,'k','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.3,4.3]) %limitamos una region sobre los ejes
view(2)
%observamos que los vectores del gradiente son ortogonales a las
%curvas de nivel, ya que son vectores orientados al origen
%de las circunferencias concentricas que representan las
%estas curvas
}}

[[Archivo: ejercicio3.png|marco|centro|Curvas de nivel y gradiente de la temperatura]] "MODIFICADO"

==Representación del campo vectorial==

Ahora consideramos un campo vectorial definido como <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·r_o)^2</math>,y desarrollando <math>r_o = xi + yj + zk</math> al multiplicar escalarmente por j te queda simplificado el campo a:<math> u(x,y)=\displaystyle\frac{j}{10}(j·yj)^2</math> equivalente a usar: <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math> que aplicado sobre el mallado producirá un desplazamiento de los puntos de éste. El campo vectorial, programado en MATLAB y dibujado, será:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=X.*0;
fy=(1/5).*Y;
%Dibujo del campo vectorial
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-1,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 4.jpg|marco|centro|Campo vectorial en el sólido]]

"MODIFICADO"

==Desplazamiento del mallado producido por el campo vectorial anterior==

Si aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) al mallado que estamos estudiando, tenemos que los puntos de éste sufren un desplazamiento vertical, debido a que el campo vectorial solo tiene componente en el sentido del eje OY, es decir, solo tiene componente \(\vec j\). (CAMPO <math> u(x,y)=\displaystyle\frac{y^2}{10}j</math>). Además, también dependerá de una única coordenada: ''y''. Entonces, tendremos que el mallado sufre un desplazamiento de la siguiente forma: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos del cuadrado
xc=-0.5:0.1:0.5;
yc=0:0.1:4;
%Mallado del cuadrado
[XC,YC]=meshgrid(xc,yc);
%Ecuaciones de los puntos desplazados
X=XC;
Y=YC+(1/5).*Y;
%Dibujo de los cuadrados
figure(1)
%Cuadrado sin desplazamiento
subplot(1,2,1);
mesh(XC,YC,0*XC)
axis([-1.5,2,-1,5])
%Cuadrado con desplazamiento
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,0*X);
axis([-1.5,1.5,-1,5]);
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 20.jpg|marco|centro|Sólido antes y después del desplazamiento]]

"MODIFICADO"

==Divergencia del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

A la hora de calcular la divergencia, estamos calculando el cambio de volumen local del sólido elástico cuando le aplicamos el campo vectorial \(\vec u\) en ese punto. Si ésta es positiva, tendremos una fuente (aumento de volumen) y si es negativa será un sumidero (disminución del volumen). El campo vectorial solo depende de la componente \(\vec j\) y de la coordenada '''y''', al obtener la divergencia tenemos que la derivada parcial es <math>\displaystyle\frac{y}{5}j</math>, sacando como conclusión que el incremento de volumen del sólido elástico depende de '''y''', es decir, que solo sufre desplazamientos verticales en el sentido de \(\vec j\), y si existe un incremento de volumen al ser la divergencia variable. Demostrado: "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
u=0.*X
v=(1/5).*Y;
%Divergencia
div=divergence(X,Y,u,v);
mesh(X,Y,div)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
}}

[[Archivo:APARTADO 6.jpg|marco|centro|Divergencia del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Rotacional del campo vectorial aplicado al sólido elástico==

Para hallar los puntos que sufren mayor rotacional debemos estudiar el módulo del producto \(\nabla \times \vec u\). El rotacional representa la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto, siendo mayor cuanto mayores son las derivadas en él. A la hora de calcularlo, es necesario utilizar los ejes coordenados, las componentes del campo vectorial y las derivadas parciales respecto a dichos ejes. "MODIFICADO"

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Calculo del rotacional
Rot=abs((Y.^2)./10);
%Dibujo del rotacional surf (coloreado)
subplot(1,2,1)
surf(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5])
view(2)
colorbar
%Dibujo del rotacional mesh (mallado)
subplot(1,2,2)
mesh(X,Y,Rot)
axis([-1,1,-0.5,5.5])
view(2)
colorbar
}}

[[Archivo:APARTADO 7.jpg|marco|centro|Rotacional del campo vectorial]]

"MODIFICADO"

==Tensiones normales a los ejes coordenados==

Las tensiones sobre un sólido vienen definidas por un tensor que depende de los coeficientes de Lamé (que son dos constantes elásticas que caracterizan por completo el comportamiento elástico de un sólido isótropo para pequeñas deformaciones).

A continuación expondremos la gráfica en la que comparamos las tensiones normales con las del módulo de la divergencia (Figura 7).

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje i ,aplicamos i*E*i resultando 0. (MODIFICADO)

Para hallar las tensiones normales en la dirección del eje j aplicamos j*E*j también es 3y/5.

(MODIFICAR GRÁFICO, PUES CON LOS CAMBIOS HECHOS (HEMOS DICHOS QUE i*E*i es 0) NO SÉ SI QUEDARÍA EL GRÁFICO QUE HAY)

{{matlab|codigo=
x=[-1/2:0.1:1/2]; %Región de rango x entre los valores dados
y=[0,0.1,4]; %Región de rango y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %Mallado de la placa
sigmax=0 %Tensión eje x
sigmay=3.*Y./5 %Tensión eje y
subplot(1,2,1) %creación de dos subventanas en el espacio de representación
mesh(sigmax) %Representación matriz tensiones en x
hold on
mesh(sigmay) %Representación matriz tensiones en y
hold off
subplot(1,2,2) %Cambio a la subventana 2
i=1; j=1;
Ux= [];
Uy=[];
for i=1:4
for j=1:1
Ux(i,j)=0; %Bucle para obtener matrices Ux, Uy con respecto a los valores i,j
Uy(i,j)=(Y(i,j).^2)/10;
end
end
div= divergence(X,Y,Ux,Uy) %divergencia del campo vectorial u de desplazamiento
mesh(div) %Representación de la divergencia
axis([-0.5,0.5,0,4]) %Caracterización de los ejes
%ojo hemos ampliado intervalos
}}
[[Archivo:ejercicio8cambiointervcomparac.png|700px|thumb|left|Figura 7]]

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec i\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec j-(\vec j \cdot \sigma \cdot \vec j) \vec j|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec j\). Como ya se ha demostrado en el apartado 2.8, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando.

Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec j|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:4;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=(3.*Y/5);
fy=0.*Y;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,4.5])
view(1)
}}

[[Archivo:APARTADO 10.jpg|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector j]]

(MODIFICADO)

==Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a \(\vec j\)==

Las tensiones tangenciales son aquellas tangentes al plano de corte, y vienen definidas por la ecuación \(|\sigma \cdot \vec i-(\vec i \cdot \sigma \cdot \vec i) \vec i|\) respecto al plano ortogonal de \(\vec i\). Como ya se ha demostrado en el apartado anterior, el tensor de tensiones es cero, haciendo cero el segundo sumando. Entonces, nos queda \(|\sigma \cdot \vec i|\), cuyo programa y gráfica son:

{{matlab|codigo=
%Intervalos de trabajo
x=-0.5:0.1:0.5;
y=0:0.1:2;
%Mallado
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%Componentes del campo vectorial
fx=0*X;
fy=(pi*cos(pi.*Y))./10;
quiver(X,Y,fx,fy)
axis([-1,1,-0.5,2.5])
view([0,0,1])
}}

[[Archivo:Ap99.png|marco|centro|Tensiones tangenciales al plano ortogonal al vector i]]

(CREO QUE EN ESTE APARTADO DE TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO PERPENDICULAR A i SON TODAS CERO Y POR TANTO NO HABRÍA GRÁFICA QUE DIBUJAR)

==Tensión de Von Mises==
La tensión de Von Mises se define como:
<math> σ_{VM}=\sqrt[]{(σ_1-σ_2)^2+(σ_2-σ_3)^2+(σ_3-σ_1)^2}</math>

donde σ1, σ2 y σ3 son los autovalores de σ (también conocidos como tensiones principales). Se
trata de una magnitud escalar usada para indicar cuando un material se comporta de manera plástica, es decir cuando empieza a sufrir deformaciones no recuperables.

{{matlab|codigo=
sigmatotal=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,40); %Bucle para crear el vector sigmatotal
sigma=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz sigma
E=eig(sigma); %Función para sacar los autovalores de la matriz sigma
sigmavm= sqrt(((E(1)-E(2))^2+(E(2)-E(3))^2+(E(3)-E(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
sigmatotal=[sigmatotal,sigmavm] %Creación del vector sigmatotal a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(sigmatotal) %Dibujo de la tensión
}}

==Masa total==

{{matlab|codigo=
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
%Integramos nuestra funcion de densidad para obtener la masa
syms x y;
f=input('Introducir funcion a integrar= ');
F=inline(char(f));
a=input('desde (x): ');
b=input('hasta (x): ');
a1=input('desde (y): ');
b1=input('hasta (y): ');
F=int(int(f,x,a,b),y,a1,b1)

'Ejecutando el programa y metiendo los valores: '
Introducir funcion a integrar= x*y*log(x+2)
desde (x): -0.5
hasta (x): 0.5
desde (y): 0
hasta (y): 4

F =

log(14348907/30517578125) + 8
}}

Con el siguiente programa creado, introducimos la función de densidad y los límites de integración, obteniendo así la masa del sólido en cuestión.

"COMPROBAR"
"PONER EL RESULTADO, simplemente ejecutar el programa y ver que sale de resultado dandonos la masa"
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]