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Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:46:58Z

Daniel Portincasa: /* Referencias */

{{ TrabajoSIG | Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias | Daniel Portincasa Navarro Matías Rodríguez Obon Marina Herreros Rodríguez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}
El presente trabajo tiene como finalidad analizar el impacto de los incendios forestales sobre los espacios protegidos pertenecientes a la Red Natura 2000 en el Principado de Asturias, centrándose específicamente en las áreas clasificadas como ZEPA, ZEC/LIC y ZEPA/ZEC/LIC. Para llevar a cabo este análisis, se ha utilizado un software de Sistemas de Información Geográfica (SIG), en particular QGIS, herramienta que ha permitido la integración, tratamiento y representación de información tanto espacial como temática. 
Para ello, se han recopilado, por un lado, datos espaciales relativos a áreas quemadas a escala europea, y por otro, información geográfica de los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Asimismo, se ha incorporado al análisis una capa de susceptibilidad a incendios forestales, seleccionando aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables dentro del territorio de estudio. A partir de la combinación de estos datos, se han obtenido indicadores numéricos que permiten cuantificar el grado de afección de los incendios sobre dichos espacios protegidos, los cuales han sido representados mediante diversas cartografías temáticas. 
Finalmente, el trabajo incluye una sección de conclusiones en la que, a partir de los resultados obtenidos, se evalúa la relación entre los incendios forestales y la Red Natura 2000, así como la importancia de considerar la susceptibilidad del territorio para la planificación y gestión ambiental, identificando aquellas zonas prioritarias de actuación en función de su nivel de afección y vulnerabilidad.

== Introducción ==
El Principado de Asturias es una de las comunidades autónomas de España con una destacada riqueza natural, caracterizada por la presencia de ecosistemas de gran valor ecológico, especialmente ligados a la montaña y a amplias masas forestales. Esta diversidad ha motivado la declaración de numerosos espacios protegidos, integrados en la Red Natura 2000 bajo las figuras de LIC (Lugar de Importancia Comunitaria), ZEC (Zona Especial de Conservación) y ZEPA (Zona de Especial Protección para las Aves). Estos espacios constituyen una parte fundamental del territorio asturiano y desempeñan un papel clave en la conservación de la biodiversidad. 

Como se podrá observar más adelante en el desarrollo del proyecto, existen zonas que presentan múltiples figuras de protección, al coincidir en un mismo espacio las categorías ZEC/LIC y ZEPA, lo que refleja la elevada importancia ambiental de determinados enclaves del territorio. 

Sin embargo, esta riqueza natural se ve amenazada de forma recurrente por los incendios forestales, cuya frecuencia en Asturias supone un importante riesgo ambiental, económico y social, afectando directamente a la vegetación, el suelo y la fauna. En muchos casos, estos incendios están relacionados con factores como el abandono rural o la acumulación de biomasa, lo que incrementa la vulnerabilidad del territorio. 

En este contexto, surge la necesidad de analizar el grado de afección de los incendios forestales sobre los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Además, en el presente trabajo se ha incorporado el análisis de la susceptibilidad del territorio frente a incendios, considerando específicamente aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables. 

El proyecto se desarrolla mediante el uso de Sistemas de Información Geográfica (SIG), integrando información relativa a incendios forestales y espacios protegidos. El objetivo principal es cuantificar la superficie afectada dentro de la Red Natura 2000, así como evaluar la relación entre incendios y zonas de alta susceptibilidad, proporcionando una base objetiva que contribuya a la planificación, prevención, gestión y conservación del territorio.

== Metodología ==
Lo primero fue seleccionar las capas necesarias para el análisis: una correspondiente a las áreas quemadas (incendios forestales) y otra a los espacios protegidos de la Red Natura 2000 (ZEPA, ZEC/LIC y ZEC/LIC/ZEPA). Asimismo, se incorporó una capa adicional de susceptibilidad a incendios, de la cual se seleccionaron únicamente las zonas con probabilidad muy alta de afección. 

A continuación, se recortaron todas las capas al ámbito del Principado de Asturias con el objetivo de optimizar el procesamiento de los datos, utilizando la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Recortar'''. (Ver Anejo I) 

Posteriormente, se procedió a depurar las capas eliminando aquellos elementos que se encontraban fuera del área de estudio o que no eran relevantes para el análisis. En el caso de la capa de susceptibilidad, se realizó un filtrado previo en la tabla de atributos para conservar únicamente las categorías de susceptibilidad muy alta. 

Una vez preparadas las capas, se llevó a cabo la intersección entre las áreas quemadas y los espacios protegidos mediante la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Intersección'''. Este proceso permitió obtener una nueva capa que representa las zonas de la Red Natura 2000 afectadas por incendios forestales. 

Durante el proceso surgieron problemas relacionados con la validez de algunas geometrías, lo que impedía realizar correctamente las operaciones espaciales. Para solucionarlo, se utilizó la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geometría > Comprobar validez''', detectándose geometrías inválidas. Estas fueron corregidas mediante la herramienta '''“Corregir geometrías”''', tras lo cual se volvió a ejecutar la intersección. (Ver Anejo I) 

A continuación, se calculó la superficie de las zonas afectadas mediante la '''tabla de atributos''', utilizando la '''calculadora de campos''' para obtener el área de cada polígono. 

Los datos obtenidos fueron exportados y tratados en Excel, donde se calcularon los valores totales y porcentuales de afección. Posteriormente, el archivo en formato '''.XLSX''' se vinculó a la capa de zonas protegidas mediante la opción '''Propiedades > Uniones''', estableciendo los campos comunes entre ambas tablas. (Ver Anejo I) 

Finalmente, se representaron cartográficamente las zonas afectadas en función del grado de afección, incorporando además el análisis de las áreas con mayor susceptibilidad a incendios, lo que permitió identificar las zonas más vulnerables dentro de la Red Natura 2000.

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Referencias ==
Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico. (s.f.). Incendios forestales - Información disponible. Gobierno de España. https://www.miteco.gob.es/es/biodiversidad/servicios/banco-datos-naturaleza/informacion-disponible/incendios-forestales.html (consulta: mayo de 2026). 
Gobierno del Principado de Asturias. SITPA – IDEAS Asturias. Centro de descargas. Disponible en: https://ideas.asturias.es/centro-de-descargas (consulta: mayo de 2026).

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:46:16Z

Daniel Portincasa: /* Referencias */

{{ TrabajoSIG | Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias | Daniel Portincasa Navarro Matías Rodríguez Obon Marina Herreros Rodríguez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}
El presente trabajo tiene como finalidad analizar el impacto de los incendios forestales sobre los espacios protegidos pertenecientes a la Red Natura 2000 en el Principado de Asturias, centrándose específicamente en las áreas clasificadas como ZEPA, ZEC/LIC y ZEPA/ZEC/LIC. Para llevar a cabo este análisis, se ha utilizado un software de Sistemas de Información Geográfica (SIG), en particular QGIS, herramienta que ha permitido la integración, tratamiento y representación de información tanto espacial como temática. 
Para ello, se han recopilado, por un lado, datos espaciales relativos a áreas quemadas a escala europea, y por otro, información geográfica de los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Asimismo, se ha incorporado al análisis una capa de susceptibilidad a incendios forestales, seleccionando aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables dentro del territorio de estudio. A partir de la combinación de estos datos, se han obtenido indicadores numéricos que permiten cuantificar el grado de afección de los incendios sobre dichos espacios protegidos, los cuales han sido representados mediante diversas cartografías temáticas. 
Finalmente, el trabajo incluye una sección de conclusiones en la que, a partir de los resultados obtenidos, se evalúa la relación entre los incendios forestales y la Red Natura 2000, así como la importancia de considerar la susceptibilidad del territorio para la planificación y gestión ambiental, identificando aquellas zonas prioritarias de actuación en función de su nivel de afección y vulnerabilidad.

== Introducción ==
El Principado de Asturias es una de las comunidades autónomas de España con una destacada riqueza natural, caracterizada por la presencia de ecosistemas de gran valor ecológico, especialmente ligados a la montaña y a amplias masas forestales. Esta diversidad ha motivado la declaración de numerosos espacios protegidos, integrados en la Red Natura 2000 bajo las figuras de LIC (Lugar de Importancia Comunitaria), ZEC (Zona Especial de Conservación) y ZEPA (Zona de Especial Protección para las Aves). Estos espacios constituyen una parte fundamental del territorio asturiano y desempeñan un papel clave en la conservación de la biodiversidad. 

Como se podrá observar más adelante en el desarrollo del proyecto, existen zonas que presentan múltiples figuras de protección, al coincidir en un mismo espacio las categorías ZEC/LIC y ZEPA, lo que refleja la elevada importancia ambiental de determinados enclaves del territorio. 

Sin embargo, esta riqueza natural se ve amenazada de forma recurrente por los incendios forestales, cuya frecuencia en Asturias supone un importante riesgo ambiental, económico y social, afectando directamente a la vegetación, el suelo y la fauna. En muchos casos, estos incendios están relacionados con factores como el abandono rural o la acumulación de biomasa, lo que incrementa la vulnerabilidad del territorio. 

En este contexto, surge la necesidad de analizar el grado de afección de los incendios forestales sobre los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Además, en el presente trabajo se ha incorporado el análisis de la susceptibilidad del territorio frente a incendios, considerando específicamente aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables. 

El proyecto se desarrolla mediante el uso de Sistemas de Información Geográfica (SIG), integrando información relativa a incendios forestales y espacios protegidos. El objetivo principal es cuantificar la superficie afectada dentro de la Red Natura 2000, así como evaluar la relación entre incendios y zonas de alta susceptibilidad, proporcionando una base objetiva que contribuya a la planificación, prevención, gestión y conservación del territorio.

== Metodología ==
Lo primero fue seleccionar las capas necesarias para el análisis: una correspondiente a las áreas quemadas (incendios forestales) y otra a los espacios protegidos de la Red Natura 2000 (ZEPA, ZEC/LIC y ZEC/LIC/ZEPA). Asimismo, se incorporó una capa adicional de susceptibilidad a incendios, de la cual se seleccionaron únicamente las zonas con probabilidad muy alta de afección. 

A continuación, se recortaron todas las capas al ámbito del Principado de Asturias con el objetivo de optimizar el procesamiento de los datos, utilizando la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Recortar'''. (Ver Anejo I) 

Posteriormente, se procedió a depurar las capas eliminando aquellos elementos que se encontraban fuera del área de estudio o que no eran relevantes para el análisis. En el caso de la capa de susceptibilidad, se realizó un filtrado previo en la tabla de atributos para conservar únicamente las categorías de susceptibilidad muy alta. 

Una vez preparadas las capas, se llevó a cabo la intersección entre las áreas quemadas y los espacios protegidos mediante la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Intersección'''. Este proceso permitió obtener una nueva capa que representa las zonas de la Red Natura 2000 afectadas por incendios forestales. 

Durante el proceso surgieron problemas relacionados con la validez de algunas geometrías, lo que impedía realizar correctamente las operaciones espaciales. Para solucionarlo, se utilizó la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geometría > Comprobar validez''', detectándose geometrías inválidas. Estas fueron corregidas mediante la herramienta '''“Corregir geometrías”''', tras lo cual se volvió a ejecutar la intersección. (Ver Anejo I) 

A continuación, se calculó la superficie de las zonas afectadas mediante la '''tabla de atributos''', utilizando la '''calculadora de campos''' para obtener el área de cada polígono. 

Los datos obtenidos fueron exportados y tratados en Excel, donde se calcularon los valores totales y porcentuales de afección. Posteriormente, el archivo en formato '''.XLSX''' se vinculó a la capa de zonas protegidas mediante la opción '''Propiedades > Uniones''', estableciendo los campos comunes entre ambas tablas. (Ver Anejo I) 

Finalmente, se representaron cartográficamente las zonas afectadas en función del grado de afección, incorporando además el análisis de las áreas con mayor susceptibilidad a incendios, lo que permitió identificar las zonas más vulnerables dentro de la Red Natura 2000.

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Referencias ==
Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico. (s.f.). Incendios forestales - Información disponible. Gobierno de España. https://www.miteco.gob.es/es/biodiversidad/servicios/banco-datos-naturaleza/informacion-disponible/incendios-forestales.html 
Gobierno del Principado de Asturias. SITPA – IDEAS Asturias. Centro de descargas. Disponible en: https://ideas.asturias.es/centro-de-descargas (consulta: abril de 2026).

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:45:39Z

Daniel Portincasa: /* Referencias */

{{ TrabajoSIG | Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias | Daniel Portincasa Navarro Matías Rodríguez Obon Marina Herreros Rodríguez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}
El presente trabajo tiene como finalidad analizar el impacto de los incendios forestales sobre los espacios protegidos pertenecientes a la Red Natura 2000 en el Principado de Asturias, centrándose específicamente en las áreas clasificadas como ZEPA, ZEC/LIC y ZEPA/ZEC/LIC. Para llevar a cabo este análisis, se ha utilizado un software de Sistemas de Información Geográfica (SIG), en particular QGIS, herramienta que ha permitido la integración, tratamiento y representación de información tanto espacial como temática. 
Para ello, se han recopilado, por un lado, datos espaciales relativos a áreas quemadas a escala europea, y por otro, información geográfica de los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Asimismo, se ha incorporado al análisis una capa de susceptibilidad a incendios forestales, seleccionando aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables dentro del territorio de estudio. A partir de la combinación de estos datos, se han obtenido indicadores numéricos que permiten cuantificar el grado de afección de los incendios sobre dichos espacios protegidos, los cuales han sido representados mediante diversas cartografías temáticas. 
Finalmente, el trabajo incluye una sección de conclusiones en la que, a partir de los resultados obtenidos, se evalúa la relación entre los incendios forestales y la Red Natura 2000, así como la importancia de considerar la susceptibilidad del territorio para la planificación y gestión ambiental, identificando aquellas zonas prioritarias de actuación en función de su nivel de afección y vulnerabilidad.

== Introducción ==
El Principado de Asturias es una de las comunidades autónomas de España con una destacada riqueza natural, caracterizada por la presencia de ecosistemas de gran valor ecológico, especialmente ligados a la montaña y a amplias masas forestales. Esta diversidad ha motivado la declaración de numerosos espacios protegidos, integrados en la Red Natura 2000 bajo las figuras de LIC (Lugar de Importancia Comunitaria), ZEC (Zona Especial de Conservación) y ZEPA (Zona de Especial Protección para las Aves). Estos espacios constituyen una parte fundamental del territorio asturiano y desempeñan un papel clave en la conservación de la biodiversidad. 

Como se podrá observar más adelante en el desarrollo del proyecto, existen zonas que presentan múltiples figuras de protección, al coincidir en un mismo espacio las categorías ZEC/LIC y ZEPA, lo que refleja la elevada importancia ambiental de determinados enclaves del territorio. 

Sin embargo, esta riqueza natural se ve amenazada de forma recurrente por los incendios forestales, cuya frecuencia en Asturias supone un importante riesgo ambiental, económico y social, afectando directamente a la vegetación, el suelo y la fauna. En muchos casos, estos incendios están relacionados con factores como el abandono rural o la acumulación de biomasa, lo que incrementa la vulnerabilidad del territorio. 

En este contexto, surge la necesidad de analizar el grado de afección de los incendios forestales sobre los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Además, en el presente trabajo se ha incorporado el análisis de la susceptibilidad del territorio frente a incendios, considerando específicamente aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables. 

El proyecto se desarrolla mediante el uso de Sistemas de Información Geográfica (SIG), integrando información relativa a incendios forestales y espacios protegidos. El objetivo principal es cuantificar la superficie afectada dentro de la Red Natura 2000, así como evaluar la relación entre incendios y zonas de alta susceptibilidad, proporcionando una base objetiva que contribuya a la planificación, prevención, gestión y conservación del territorio.

== Metodología ==
Lo primero fue seleccionar las capas necesarias para el análisis: una correspondiente a las áreas quemadas (incendios forestales) y otra a los espacios protegidos de la Red Natura 2000 (ZEPA, ZEC/LIC y ZEC/LIC/ZEPA). Asimismo, se incorporó una capa adicional de susceptibilidad a incendios, de la cual se seleccionaron únicamente las zonas con probabilidad muy alta de afección. 

A continuación, se recortaron todas las capas al ámbito del Principado de Asturias con el objetivo de optimizar el procesamiento de los datos, utilizando la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Recortar'''. (Ver Anejo I) 

Posteriormente, se procedió a depurar las capas eliminando aquellos elementos que se encontraban fuera del área de estudio o que no eran relevantes para el análisis. En el caso de la capa de susceptibilidad, se realizó un filtrado previo en la tabla de atributos para conservar únicamente las categorías de susceptibilidad muy alta. 

Una vez preparadas las capas, se llevó a cabo la intersección entre las áreas quemadas y los espacios protegidos mediante la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Intersección'''. Este proceso permitió obtener una nueva capa que representa las zonas de la Red Natura 2000 afectadas por incendios forestales. 

Durante el proceso surgieron problemas relacionados con la validez de algunas geometrías, lo que impedía realizar correctamente las operaciones espaciales. Para solucionarlo, se utilizó la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geometría > Comprobar validez''', detectándose geometrías inválidas. Estas fueron corregidas mediante la herramienta '''“Corregir geometrías”''', tras lo cual se volvió a ejecutar la intersección. (Ver Anejo I) 

A continuación, se calculó la superficie de las zonas afectadas mediante la '''tabla de atributos''', utilizando la '''calculadora de campos''' para obtener el área de cada polígono. 

Los datos obtenidos fueron exportados y tratados en Excel, donde se calcularon los valores totales y porcentuales de afección. Posteriormente, el archivo en formato '''.XLSX''' se vinculó a la capa de zonas protegidas mediante la opción '''Propiedades > Uniones''', estableciendo los campos comunes entre ambas tablas. (Ver Anejo I) 

Finalmente, se representaron cartográficamente las zonas afectadas en función del grado de afección, incorporando además el análisis de las áreas con mayor susceptibilidad a incendios, lo que permitió identificar las zonas más vulnerables dentro de la Red Natura 2000.

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Referencias ==
Ministerio para la Transición Ecológica y el Reto Demográfico. (s.f.). Incendios forestales - Información disponible. Gobierno de España. https://www.miteco.gob.es/es/biodiversidad/servicios/banco-datos-naturaleza/informacion-disponible/incendios-forestales.html
Gobierno del Principado de Asturias. SITPA – IDEAS Asturias. Centro de descargas. Disponible en: https://ideas.asturias.es/centro-de-descargas (consulta: abril de 2026).

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:37:32Z

Daniel Portincasa: /* Metodología */

{{ TrabajoSIG | Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias | Daniel Portincasa Navarro Matías Rodríguez Obon Marina Herreros Rodríguez | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}
El presente trabajo tiene como finalidad analizar el impacto de los incendios forestales sobre los espacios protegidos pertenecientes a la Red Natura 2000 en el Principado de Asturias, centrándose específicamente en las áreas clasificadas como ZEPA, ZEC/LIC y ZEPA/ZEC/LIC. Para llevar a cabo este análisis, se ha utilizado un software de Sistemas de Información Geográfica (SIG), en particular QGIS, herramienta que ha permitido la integración, tratamiento y representación de información tanto espacial como temática. 
Para ello, se han recopilado, por un lado, datos espaciales relativos a áreas quemadas a escala europea, y por otro, información geográfica de los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Asimismo, se ha incorporado al análisis una capa de susceptibilidad a incendios forestales, seleccionando aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables dentro del territorio de estudio. A partir de la combinación de estos datos, se han obtenido indicadores numéricos que permiten cuantificar el grado de afección de los incendios sobre dichos espacios protegidos, los cuales han sido representados mediante diversas cartografías temáticas. 
Finalmente, el trabajo incluye una sección de conclusiones en la que, a partir de los resultados obtenidos, se evalúa la relación entre los incendios forestales y la Red Natura 2000, así como la importancia de considerar la susceptibilidad del territorio para la planificación y gestión ambiental, identificando aquellas zonas prioritarias de actuación en función de su nivel de afección y vulnerabilidad.

== Introducción ==
El Principado de Asturias es una de las comunidades autónomas de España con una destacada riqueza natural, caracterizada por la presencia de ecosistemas de gran valor ecológico, especialmente ligados a la montaña y a amplias masas forestales. Esta diversidad ha motivado la declaración de numerosos espacios protegidos, integrados en la Red Natura 2000 bajo las figuras de LIC (Lugar de Importancia Comunitaria), ZEC (Zona Especial de Conservación) y ZEPA (Zona de Especial Protección para las Aves). Estos espacios constituyen una parte fundamental del territorio asturiano y desempeñan un papel clave en la conservación de la biodiversidad. 

Como se podrá observar más adelante en el desarrollo del proyecto, existen zonas que presentan múltiples figuras de protección, al coincidir en un mismo espacio las categorías ZEC/LIC y ZEPA, lo que refleja la elevada importancia ambiental de determinados enclaves del territorio. 

Sin embargo, esta riqueza natural se ve amenazada de forma recurrente por los incendios forestales, cuya frecuencia en Asturias supone un importante riesgo ambiental, económico y social, afectando directamente a la vegetación, el suelo y la fauna. En muchos casos, estos incendios están relacionados con factores como el abandono rural o la acumulación de biomasa, lo que incrementa la vulnerabilidad del territorio. 

En este contexto, surge la necesidad de analizar el grado de afección de los incendios forestales sobre los espacios protegidos de la Red Natura 2000 en Asturias. Además, en el presente trabajo se ha incorporado el análisis de la susceptibilidad del territorio frente a incendios, considerando específicamente aquellas zonas con probabilidad muy alta de afección, con el objetivo de identificar áreas especialmente vulnerables. 

El proyecto se desarrolla mediante el uso de Sistemas de Información Geográfica (SIG), integrando información relativa a incendios forestales y espacios protegidos. El objetivo principal es cuantificar la superficie afectada dentro de la Red Natura 2000, así como evaluar la relación entre incendios y zonas de alta susceptibilidad, proporcionando una base objetiva que contribuya a la planificación, prevención, gestión y conservación del territorio.

== Metodología ==
Lo primero fue seleccionar las capas necesarias para el análisis: una correspondiente a las áreas quemadas (incendios forestales) y otra a los espacios protegidos de la Red Natura 2000 (ZEPA, ZEC/LIC y ZEC/LIC/ZEPA). Asimismo, se incorporó una capa adicional de susceptibilidad a incendios, de la cual se seleccionaron únicamente las zonas con probabilidad muy alta de afección. 

A continuación, se recortaron todas las capas al ámbito del Principado de Asturias con el objetivo de optimizar el procesamiento de los datos, utilizando la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Recortar'''. (Ver Anejo I) 

Posteriormente, se procedió a depurar las capas eliminando aquellos elementos que se encontraban fuera del área de estudio o que no eran relevantes para el análisis. En el caso de la capa de susceptibilidad, se realizó un filtrado previo en la tabla de atributos para conservar únicamente las categorías de susceptibilidad muy alta. 

Una vez preparadas las capas, se llevó a cabo la intersección entre las áreas quemadas y los espacios protegidos mediante la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geoproceso > Intersección'''. Este proceso permitió obtener una nueva capa que representa las zonas de la Red Natura 2000 afectadas por incendios forestales. 

Durante el proceso surgieron problemas relacionados con la validez de algunas geometrías, lo que impedía realizar correctamente las operaciones espaciales. Para solucionarlo, se utilizó la herramienta: '''Barra de herramientas > Vectorial > Herramientas de geometría > Comprobar validez''', detectándose geometrías inválidas. Estas fueron corregidas mediante la herramienta '''“Corregir geometrías”''', tras lo cual se volvió a ejecutar la intersección. (Ver Anejo I) 

A continuación, se calculó la superficie de las zonas afectadas mediante la '''tabla de atributos''', utilizando la '''calculadora de campos''' para obtener el área de cada polígono. 

Los datos obtenidos fueron exportados y tratados en Excel, donde se calcularon los valores totales y porcentuales de afección. Posteriormente, el archivo en formato '''.XLSX''' se vinculó a la capa de zonas protegidas mediante la opción '''Propiedades > Uniones''', estableciendo los campos comunes entre ambas tablas. (Ver Anejo I) 

Finalmente, se representaron cartográficamente las zonas afectadas en función del grado de afección, incorporando además el análisis de las áreas con mayor susceptibilidad a incendios, lo que permitió identificar las zonas más vulnerables dentro de la Red Natura 2000.

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Referencias ==

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:33:23Z

Daniel Portincasa:

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:32:10Z

Daniel Portincasa:

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:30:43Z

Daniel Portincasa:

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T08:27:06Z

Daniel Portincasa:

Evaluación del Impacto de los Incendios Forestales en la Red Natura 2000 de Asturias

2026-04-29T07:27:59Z

Daniel Portincasa: Página creada con «{{ TrabajoSIG | Titulo| Autores| Curso 25/26 }} Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código w...»

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Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_25/26|Curso 25/26]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_25/26]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_25/26|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 25/26]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==

== Metodología ==

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Referencias ==

== Anejo ==

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_25/26]]

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-09T11:08:26Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

El rotacional representado en la imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9; % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano horizontal]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
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| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
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| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
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| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
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| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
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| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
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| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-09T11:07:59Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

El rotacional representado en la imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9; % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano horizonta]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-09T10:38:28Z

Daniel Portincasa: /* Rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

El rotacional representado en la imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9; % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-09T10:37:30Z

Daniel Portincasa: /* Rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
Gamma = 1.0e9; % Circulación máxima (valor aproximado en m^2/s)
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice (46.3 km en metros)
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)
% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X extendidas al doble del radio del ojo
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y extendidas al doble del radio del ojo
[X, Y] = meshgrid(x, y);
% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo
% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo
% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y
% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo
% Gráfico del rotacional
contourf(X / 1000, Y / 1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Rotacional en kilómetros
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R, 2*R] / 1000); % Ajustar límites en kilómetros
ylim([-2*R, 2*R] / 1000);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

Archivo:Rotacional2.png

2024-12-09T10:36:26Z

Daniel Portincasa:

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-09T10:36:00Z

Daniel Portincasa: /* Rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional2.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el rotacional en el centro de la figura
figure;
contourf(X/1000, Y/1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Gráfico del rotacional
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R/1000 2*R/1000]);
ylim([-2*R/1000 2*R/1000]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-09T10:35:33Z

Daniel Portincasa: /* Rotacional del campo de velocidades */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:rotacional.png|600px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2*R, 2*R, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el rotacional en el centro de la figura
figure;
contourf(X/1000, Y/1000, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none'); % Gráfico del rotacional
colorbar;
colormap;
title('Rotacional , componente z)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
axis equal;
xlim([-2*R/1000 2*R/1000]);
ylim([-2*R/1000 2*R/1000]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T15:36:33Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba y hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T15:36:08Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia arriba hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T15:34:51Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia arriba según va disminuyendo la presión (y también hacia dentro del ojo), lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

Archivo:GradientePvertical.png

2024-12-08T15:12:53Z

Daniel Portincasa:

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T15:12:17Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientePvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia el centro del ojo, lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T15:11:15Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
%--------------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), completo, incluyendo el exterior del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r abarcando el ojo y el exterior)
r = linspace(0, 2*R, 40); % Distancia radial desde el centro hasta el doble del radio
z = linspace(0, z0, 40); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
% Dentro del radio del ojo
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
% Fuera del radio del ojo
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Cálculo del gradiente de presión
% Gradiente en r (radial) y z (vertical)
[Pr, Pz] = gradient(P, r(2)-r(1), z(2)-z(1)); % Gradiente ajustado a las dimensiones
% Dividir la región dentro y fuera del ojo
inside_eye = RR <= R; % Máscara para dentro del ojo
outside_eye = RR > R; % Máscara para fuera del ojo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical
figure;
% Colores diferenciados para dentro y fuera del ojo
hold on;
quiver(RR(inside_eye) / 1000, ZZ(inside_eye) / 1000, -Pr(inside_eye), -Pz(inside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'blue'); % Gradiente dentro del ojo
quiver(RR(outside_eye) / 1000, ZZ(outside_eye) / 1000, -Pr(outside_eye), -Pz(outside_eye), 2, ...
'LineWidth', 1.5, 'Color', 'red'); % Gradiente fuera del ojo
% Ajustar la escala de colores para resaltar el contraste
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer la escala de colores
colormap(jet); % Elegir el mapa de colores para la visualización
colorbar; % Mostrar la barra de colores
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (todo el vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;
hold off;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia el centro del ojo, lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T13:55:13Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El código visualiza el gradiente de presión en un huracán en el plano vertical, diferenciando dos regiones: dentro y fuera del ojo del huracán. En el interior del vórtice, las flechas del gradiente de presión (en azul) apuntan hacia el centro del ojo, lo que indica que el aire es aspirado hacia el centro. Fuera del ojo, las flechas (en rojo) también apuntan hacia el centro, pero con una presión más baja debido a la reducción de la velocidad tangencial. Esto refleja cómo la presión disminuye hacia el centro del huracán, impulsando el flujo de aire hacia el ojo desde el exterior.

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T13:46:31Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

El código genera una animación que muestra las superficies de igual presión (isobáricas) a diferentes niveles de presión en el huracán, con las flechas del gradiente de presión indicando la dirección y la intensidad del viento. A medida que el tiempo avanza, se visualiza cómo varía la presión en las distintas capas del huracán, mostrando la relación entre la presión y el movimiento del aire. Las superficies de presión se desplazan según el gradiente, lo que indica el flujo de aire hacia el centro del vórtice.

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T13:39:46Z

Daniel Portincasa: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

Los planos de presión se desplazan de forma continua a lo largo del eje de presión, destacando la forma y el comportamiento de la presión a medida que se observa en diferentes alturas y distancias radiales del ojo del huracán. Los contornos representan las líneas de presión constante y nos permiten ver la transición entre áreas de baja presión (dentro del ojo) y áreas de alta presión (más allá del vórtice). Esto muestra cómo la presión cambia con la altura y la distancia desde el centro, reflejando la estructura dinámica del huracán.

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T13:36:50Z

Daniel Portincasa: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T13:35:13Z

Daniel Portincasa: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

Podemos observar como a medida que nos acercamos al centro del huracán (con menor radio), la presión disminuye significativamente debido al aumento de la velocidad tangencial del viento. En la parte exterior del vórtice (más allá del radio 𝑅 R), la presión se estabiliza en valores más altos. Además, a medida que aumenta la altitud, la presión disminuye debido a la reducción de la densidad del aire y la influencia de la gravedad. La transición entre el ojo del huracán y el área exterior se observa claramente en la gráfica.

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T13:26:51Z

Daniel Portincasa: /* Campo de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

'''Interpretación física:'''

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T12:46:11Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

'''Interpretación física:'''

El gráfico muestra cómo el gradiente de presión (cambio de presión con respecto al radio) en el plano horizontal del huracán varía a lo largo del huracán. Las flechas indican la dirección (hacia el centro del huracán) y la magnitud (tamaño de las flechas) del gradiente de presión, lo que está directamente relacionado con la fuerza del viento: los vientos son más fuertes cerca del ojo, donde el gradiente de presión es mayor, y más débiles a medida que te alejas del centro. Las diferencias en el gradiente de presión explican la formación y la intensidad de los vientos ciclónicos.

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T01:15:41Z

Daniel Portincasa: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:'' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:'' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:'' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
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| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
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| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
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| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
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| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T01:14:51Z

Daniel Portincasa: /* Flujo de masa */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1.''FLUJO RADIAL:''' 
El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2.''FLUJO VERTICAL:''' 
Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

3.''FLUJO TANGENCIAL:''' 
Sólo existe flujo tangencial, el cual podemos calcular mediante el siguiente código:

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

Obteniendo así un Flujo de masa de: 1990195196786.16 kg/s

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:59:10Z

Daniel Portincasa: /* Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes) */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || -------------------------------------------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:58:51Z

Daniel Portincasa: /* Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || ---------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:57:46Z

Daniel Portincasa: /* Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes) */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || ---------- || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:56:36Z

Daniel Portincasa: /* Vórtices */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Otros tipos de vórtices (y diferencias y similitudes)==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''
---------------------------------------------------------------
{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || Base de comparación || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:54:27Z

Daniel Portincasa: /* Vórtices */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''
---------------------------------------------------------------
{| class="wikitable"
! Modelo de Vórtice !! Viscosidad !! Dimensionalidad !! Estructura !! Fenómenos Asociados !! Similitudes con Rankine !! Diferencias/Notas
|-
| Vórtice de Rankine || No || 2D || Núcleo sólido (rotación uniforme) y libre || Ciclones, huracanes || Base de comparación || Idealizado; no incluye disipación ni transición suave entre regiones.
|-
| Lamb-Oseen || Sí || 2D || Suave, con disipación por viscosidad || Remolinos oceánicos, disipación de vórtices turbulentos || Simetría circular; decrecimiento de velocidad hacia el exterior || Más realista; vórtice se expande con el tiempo.
|-
| Burgers || Sí || 2D || Suave, con rotación y cizalladura || Transición a turbulencia, flujos con gradientes de velocidad || Núcleo central rotatorio similar al núcleo sólido de Rankine || Combina cizalladura y rotación; se ajusta a turbulencias con disipación.
|-
| Taylor-Couette || Dependiente || 3D || Patrones confinados entre cilindros || Discos protoplanetarios, experimentos en laboratorio || Flujos circulares con regiones análogas al núcleo sólido de Rankine || Vórtices regulares en geometrías confinadas; depende del giro diferencial.
|-
| Kelvin (anillo de vórtices) || No || 3D || Núcleo rotatorio en forma de anillo || Anillos de humo, estructuras submarinas || Distribución de velocidad con máximo cerca del núcleo || Vórtices cerrados que se desplazan; altamente tridimensional.
|-
| Tornádico (Sullivan) || No || 3D || Núcleo y exterior con gradientes extremos || Tornados, trombas de agua || Rotación rápida y gradientes de velocidad como en ciclones modelados con Rankine || Velocidades y gradientes de presión extremos en columnas giratorias.
|-
| Batchelor || Sí || 3D || Rotación combinada con flujo axial || Flujos detrás de hélices, turbinas || Rotación similar al núcleo de Rankine, con componente axial adicional || Ideal para modelar vórtices con flujo tridimensional.
|-
| Kármán (callejón de vórtices) || No || 2D || Vórtices alternos y oscilatorios || Flujos detrás de obstáculos, remolinos atmosféricos || Simetría circular de los vórtices individuales || No estacionarios ni simétricos; producen patrones periódicos aguas abajo.
|-
| Cuántico || No || 3D || Cuantización discreta de vorticidad || Superfluidos, helio líquido, condensados de Bose-Einstein || Núcleos rotatorios discretos que recuerdan al núcleo sólido || La dinámica está regida por principios cuánticos; no hay viscosidad ni disipación.
|}

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:20:06Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Diferencia de presión y ejemplo huracán Katrina==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:18:51Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 7398 Pa = 73,98 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 

Existe una discrepancia de 37.02 mbar que no parece ser excesivamente significativa, especialmente considerando las limitaciones del modelo. La diferencia podría estar relacionada con los factores que no están capturados por el modelo de Rankine, como las irregularidades del vórtice o la variabilidad local de las condiciones atmosféricas. En general, esta discrepancia está dentro de un margen razonable y no indica un error significativo en el modelo, aunque siempre es importante tener en cuenta las limitaciones de cualquier modelo teórico.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:04:17Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 48 km (48000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = Pa = 96,64 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:02:19Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h (77,78 m/s)
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km (24000m)

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = Pa = 96,64 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:00:41Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
* <math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
* <math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-08T00:00:11Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
*<math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
*<math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*R es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 

Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 

'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-07T23:58:42Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
*<math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
*<math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*'''R''' es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 
Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 
'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
El huracán Katrina, uno de los más devastadores en la historia de EE. UU., alcanzó categoría 5 antes de tocar tierra en 2005, debilitándose a categoría 3 en la costa de Luisiana. Provocó inundaciones masivas en Nueva Orleans tras el colapso de su sistema de diques. Clasificado por la escala Saffir-Simpson, que mide la intensidad de huracanes según la velocidad del viento, Katrina dejó una huella de destrucción sin precedentes. 

Datos del huracán Katrina:

* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-07T23:47:23Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
*<math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
*<math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*'''R''' es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 
Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 
'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

En el huracán Katrina la diferencia de presión teórica nos da: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 

En cambio la diferencia de presión real nos sale de: 

<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-07T22:56:10Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

Suponiendo que la presión en el huracán depende de manera continua de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>; la diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) se puede expresar mediante la siguiente fórmula: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
siendo: 
*<math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
*<math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,86*10^6 m^2/s</math>. 
*'''R''' es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9664 Pa = 96,64 mbar
</math> 
En cambio la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 
Al comparar la diferencia de presión teórica con la real, podemos notar que la discrepancia entre ambas no es significativa y, por lo tanto, se puede considerar aceptable. 
'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
En el huracán Katrina la diferencia de presión real entre la ambiental y el ojoes de: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-07T22:47:15Z

Daniel Portincasa: /* Aplicaciones en huracanes */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

Asumiendo que la presión es una función continua que depende de la densidad del aire, de R y de <math>Γ</math>. La diferencia de presión teórica entre el exterior del huracán (<math>P_{\infty}</math>) y el centro del ojo (<math>P_{0}</math>) puede expresarse como: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2}
</math> 
donde: 
*<math>\rho</math> es la densidad del aire (<math>\rho = 1.223 \frac{kg}{m^3}</math>). 
*<math>Γ</math> es la circulación <math>Γ = \upsilon _{\theta }(R)*2\pi*R = 88,89(m/s)*2*\pi*46300(m) = 25,93*10^6 m^2/s</math>. 
*'''R''' es el radio del núcleo del huracán <math>R = 46300 m</math>. 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = \frac{\rhoΓ^2}{4\pi^2 R^2} = 9732 Pa = 97,32 mbar
</math> 
Por otro lado la diferencia de presión real se obtiene mediante los datos proporcionados: <math>P_{\infty}=1013 mbar</math> (presión estandar atmosférica) y <math>P_{0}=909 mbar</math> (presión en el ojo del huracán). 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 909 = 104 mbar
</math> 
Podemos observar que la diferencia entre la diferencia de presión teórica y practica no es significativa y se puede aceptar. 
'''Ejemplo del huracán Katrina:''' 
En el huracán Katrina la diferencia de presión real entre la ambiental y el ojoes de: 
<math>
P_{\infty} - P_{0} = 1013 - 902 = 111 mbar
</math> 
*'''Formación:''' Surgió el 23 de agosto de 2005 en las Bahamas. 
*'''Pico de intensidad:''' Alcanzó categoría 5 con una presión mínima de 902 mbar y vientos de 280 km/h. 
*'''Impacto:''' Tocó tierra el 29 de agosto como un huracán de categoría 3, devastando Luisiana y particularmente Nueva Orleans. 

La diferencia entre los datos del modelo y las mediciones reales en huracanes como Katrina es aceptable en nuestro caso. Sin embargo, la discrepancia causada podría atribuirse a factores como irregularidades en la forma del núcleo, vorticidad no uniforme o efectos externos como la interacción con el terreno.

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

Archivo:Superf isobara.gif

2024-12-06T17:53:34Z

Daniel Portincasa:

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-06T17:51:53Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobara.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''

Archivo:Superf isobaricas.gif

2024-12-06T17:47:21Z

Daniel Portincasa:

El vórtice de Rankine (Grupo 4)

2024-12-06T17:46:53Z

Daniel Portincasa: /* Campo del gradiente de presión */

{{ TrabajoED | El vórtice de Rankine (Grupo 4) | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC24/25|2024-25]] | Nacira Faraji Bahja Paula Gómez Pinilla Beatriz Matía Esteban Daniel Portincasa Navarro Natasha del Carmen Vidal }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC24/25]]

== Introducción ==

El modelo de vórtice de Rankine es una representación simplificada de los fluidos rotatorios, utilizada para estudiar fenómenos como huracanes y tornados. Este modelo divide el vórtice en dos regiones: un núcleo central, donde la rotación es uniforme, y una región exterior irrotacional. Aunque idealizado, el modelo es útil para analizar sistemas con núcleos bien definidos, como ciertos huracanes.
En este trabajo, se analizarán las propiedades del vórtice de Rankine mediante representaciones gráficas y cálculos matemáticos, usando datos de eventos reales como el huracán Camille (1969). Esto permitirá evaluar su utilidad y limitaciones en la representación de fenómenos atmosféricos complejos.

== Campo de velocidades==

Representar el campo de velocidad en un plano paralelo al suelo en los vórtices de Rankine tiene varias ventajas: 
'''1.)Claridad y simplicidad:''' Un plano paralelo al suelo permite visualizar claramente las líneas de flujo y la distribución de velocidades, facilitando la comprensión del vórtice. 
'''2.)Consistencia con la geometría:''' Representar el flujo en este plano se alinea con la naturaleza predominantemente horizontal del vórtice, haciendo los resultados más intuitivos. 
'''3.)Facilidad de análisis:''' En este plano es más sencillo calcular propiedades como la circulación y la vorticidad, ya que las componentes de velocidad están directamente relacionadas con las ecuaciones del flujo.

En el modelo de Rankine, el campo de velocidad se describe en términos de dos regiones: el “ojo” del
vórtice y la región exterior.
Para un vórtice con ojo de radio <math>\text{R}</math> y circulación máxima <math>\Gamma</math>, el campo de velocidad se define en
coordenadas cilíndricas <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right )</math> como <math>\vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>, donde: 

<math>\qquad\qquad\qquad\qquad v_{\rho}=0 \qquad\qquad\qquad v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r} & r> R \\\end{Bmatrix} \ \qquad\qquad v_{z}=0 </math> 
<math>0\leq z\leq z_{0}</math> 

{{matlab|codigo=
% Parámetros del huracán Camille
R = 46.3; % Radio del núcleo en km
v_theta_R = 320; % Velocidad tangencial en el límite del núcleo en km/h
Gamma = 2 * pi * R * v_theta_R; % Circulación
n = 100; % Número de puntos
rho = linspace(0.1, 2*R, n); % Distancia radial en km
tht = linspace(0, 2*pi, n); % Ángulo
[Mrho, Mtht] = meshgrid(rho, tht); % Mallado en coordenadas polares
x = Mrho .* cos(Mtht); % Coordenadas x
y = Mrho .* sin(Mtht); % Coordenadas y
% Velocidad tangencial
Vtheta = Gamma ./ (2 * pi * R^2) .* Mrho; % General
Vtheta(Mrho > R) = Gamma ./ (2 * pi * Mrho(Mrho > R)); % Exterior
% Componentes cartesianas
Vx = -Vtheta .* sin(Mtht);
Vy = Vtheta .* cos(Mtht);
% Graficar
figure;
hold on;
quiver(x(Mrho <= R), y(Mrho <= R), Vx(Mrho <= R), Vy(Mrho <= R), 1, 'r'); % Núcleo en rojo
quiver(x(Mrho > R), y(Mrho > R), Vx(Mrho > R), Vy(Mrho > R), 1, 'b'); % Exterior en azul
hold off;
axis equal;
title('Campo de velocidades del vórtice de Rankine (Huracán Camille)');
xlabel('x (km)');
ylabel('y (km)');
legend('Ojo del vórtice (r \leq R)', 'Exterior del vórtice (r > R)');
}}

[[Archivo:campodevelocidadesG4.png|1000px|miniaturadeimagen|centro|Campo de Velocidades del Huracán Camille]]

Podemos observar en la gráfica, que en la zona interna, cuando r≤R (en rojo) la velocidad tangencial aumenta linealmente con r; mientras que en la zona externa, cuando r≥R (en azul) la velocidad disminuye con el radio.

== Divergencia y rotacional del campo de velocidades==
=== Divergencia del campo de velocidades===

La divergencia de un campo vectorial mide la tasa neta de flujo que sale de un punto en el espacio. Matemáticamente, la divergencia de un campo de velocidades <math> \left ( \rho ,\theta ,z \right ) \vec{V}=\upsilon _{\rho} \vec{e}_{\rho }+ \upsilon_{\theta }\vec{e}_{\theta }+\upsilon _{z}\vec{e}_{z}</math>

donde: 
<math>v_{r}=0</math> <math></math> <math>v_{\theta}(r)=\begin{Bmatrix}
\frac{\Gamma }{2\pi R^{2}}r & r\leq R \\\frac{\Gamma }{2\pi r}
& r> R \\
\end{Bmatrix} \\</math> <math></math>
<math>v_{z}=0</math> 

La fórmula de la divergencia del campo de velocidades en coordenadas cilíndricas es:

<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \upsilon _{\rho }) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho\upsilon _{z}) \\
\end{Bmatrix}</math>

Sustituyendo las componentes: 
<math>\triangledown .\vec{V}(\rho ,\theta ,z)= \frac{1}{\rho }\begin{Bmatrix}
\frac{\partial }{\partial \rho }(\rho .0) +\frac{\partial }{\partial \theta}(\upsilon _{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(\rho.0) \\
\end{Bmatrix}</math>

Ya que <math>v_{r}=0</math> <math>v_{z}=0</math> Estos términos son cero, entonces sólo debemos calcular la divergencia debida a la componente <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> 

<math>\frac{1}{\rho } . \frac{\partial \upsilon _{\theta }}{\partial \theta }=0</math>

dado que <math>\upsilon _{\theta}(\rho )</math> no depende de <math>\theta</math>, el término de derivada con respecto a <math>\theta</math> es cero.

por tanto el resultado de la divergencia es <math>\triangledown .V=0</math> 

'''Significado físico de la soluión'''

La divergencia cero indica que el flujo es incomprensible, es decir, el volumen del fluido no cambia medida que se mueve a través del vórtice. No hay expansión ni contracción del fluido en ninguna parte del vórtice, lo cual es característico de los flujos ideales como es en el caso de un vórtice de Rankine. Tampoco hay fuentes ni sumideros en el flujo esto implica que el fluido simplemente circula dentro del vórtice sin que haya acumulación ni desaparición del fluido en ninguna región.

=== Rotacional del campo de velocidades===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

*<math>\triangledown \times \vec{v}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>
Sustituyendo <math>v_{r}</math> , <math>v_{\theta}</math>, <math>v_{z}</math> ;

<math>\nabla\times \overrightarrow{V}\left( \rho ,\theta,z \right)=\begin{Bmatrix} \frac{\Gamma }{\pi R^{2}}\vec{e_{z}}& si & r\leq R \\
0& si & r> R \\
\end{Bmatrix}</math>

El rotacional es un vector con componente no nula únicamente en la dirección <math>\vec{e_{z}}</math> cuando <math> r \leq R </math> y nula para todos los puntos <math> r> R</math>

'''Significado físico de la soluión'''

'''1. Dentro del núcleo:''' Es rotacional, con un flujo sólido en el que todas las partículas tienen la misma vorticidad. 
'''2. En el exterior:''' El flujo es irrotacional, como en un vórtice libre, donde las partículas tienen movimiento giratorio, pero no hay rotación local en torno a su propio eje. 

[[Archivo:Roooot1.png|800px|miniaturadeimagen|centro|Rotacional Campo de Velocidades]]

Campo de velocidad : Representado por flechas azules que muestran la dirección y magnitud del flujo en un plano 2D. En el ojo del vórtice <math> r \leq R </math> las flechas aumentan con 𝑟, mientras que fuera del ojo <math> r> R</math> disminuyen.

El rotacional representado en la segunda imagen con colores, la componente 𝑧 del rotacional es constante y no nula dentro del ojo <math> r \leq R </math> y se anula fuera <math> r> R</math>

{{matlab|codigo=
% Parámetros del vórtice
Gamma = 1.0; % Circulación máxima
R = 1.0; % Radio del ojo del vórtice
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
g = 9.81; % Gravedad (m/s^2)

% Rango de coordenadas en 2D
x = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas X
y = linspace(-2, 2, 200); % Coordenadas Y
[X, Y] = meshgrid(x, y);

% Convertir a coordenadas polares
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
theta = atan2(Y, X); % Ángulo (no se usa explícitamente para el cálculo del rotacional)

% Campo de velocidad vθ
v_theta = zeros(size(r));
v_theta(r <= R) = (Gamma / (2 * pi * R^2)) .* r(r <= R); % Dentro del ojo
v_theta(r > R) = (Gamma / (2 * pi)) ./ r(r > R); % Fuera del ojo

% Velocidades en coordenadas cartesianas
Vx = -v_theta .* sin(theta); % Componente X
Vy = v_theta .* cos(theta); % Componente Y

% Calcular el rotacional (\nabla \times \vec{v}) componente Z
% En coordenadas polares: rot_z = (1/r) * d(r*v_theta)/dr
rot_z = zeros(size(r));
rot_z(r <= R) = Gamma / (pi * R^2); % Constante dentro del ojo
rot_z(r > R) = 0; % Cero fuera del ojo

% Graficar el campo de velocidad
figure;
subplot(1, 2, 1);
quiver(X, Y, Vx, Vy, 2, 'b');
title('Campo de velocidad \vec{v}');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);

% Graficar el rotacional
subplot(1, 2, 2);
contourf(X, Y, rot_z, 50, 'LineStyle', 'none');
colorbar;
colormap('inferno');
title('Rotacional (\nabla \times \vec{v}, componente z)');
xlabel('x');
ylabel('y');
axis equal;
xlim([-2 2]);
ylim([-2 2]);
}}

==Comportamiento de una barca en un vórtice de Rankine==

Gracias a las propiedades que hemos estado estudiando, analizamos el comportamiento de una pequeña barca (tanto en el núcleo, como en el exterior):

'''1. Comportamiento de la barca en el núcleo del vórtice:''' En el núcleo, el flujo se comporta como un sólido en rotación, donde la velocidad tangencial aumenta linealmente con la distancia al centro. Esto provoca que la barca gire sobre su propio eje, ya que todas sus partes experimentan la misma velocidad angular, haciendo que su orientación cambie de manera continua.

'''2. Comportamiento de la barca en la región exterior del vórtice:''' En la región externa, el flujo es irrotacional, y la velocidad tangencial disminuye con la distancia al centro. Aunque el fluido tiene movimiento circular, no induce rotación en la barca sobre su propio eje. En consecuencia, la barca mantiene una orientación fija mientras se mueve siguiendo una trayectoria curva alrededor del vórtice.

==Campo de presión==

A partir de las ecuaciones de Euler, se deduce la presión dada por: 
<math>p(r,z)= \begin{Bmatrix}
P_{0}+\frac{1}{2}\rho\upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz&si &r\leq R \\
P_{\infty}-\frac{1}{2}\rho \upsilon _{\theta }^{2}-\rho gz& si &r> R \\
\end{Bmatrix}</math> 
Donde <math>P_{0}</math> es la presión del centro del ojo, <math>P_{\infty}</math> es la presión atmosférica estándar, <math> \rho </math> es la densidad del aire estándar, g es la aceleración de la gravedad y <math>\upsilon_{\theta }</math> es la velocidad tangencial del vórtice. 

Código del campo de presión en un plano vertical:

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320km/h)
z0 = 15000; % Altura inicial, en metros (15 km)
% Definición de la malla
r = linspace(0, 2*R, 200); % Distancia radial
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
% Velocidad tangencial (simplificación para un vórtice de Rankine)
v_theta = @(r) v_R * min(r/R, R/r); % Para simplificar
% Cálculo de la presión
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
P = zeros(size(RR));
% Bucle para asegurar que las dimensiones coincidan
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * v_theta(RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i) - z0);
end
end
% Visualización del campo de presión en plano vertical
figure;
contourf(RR, ZZ, P);
colorbar;
title('Campo de presión en plano vertical');
xlabel('Distancia radial (m)');
ylabel('Altura (m)');}}

[[Archivo:campodepresionesvertical.png|500px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=% Crear la figura para la animación
figure;
colormap(jet); % Mapa de colores
colorbar; % Barra de colores
caxis([min(P(:)), max(P(:))]); % Establecer límites de color
% Valores para el desplazamiento en presión
pressure_steps = linspace(max(P(:)), min(P(:)), 50); % Niveles de presión para animación
% Animación de planos desplazándose por el eje de presión
for p_idx = 1:length(pressure_steps)
% Nivel de presión actual
P_level = pressure_steps(p_idx);
% Dibujar el plano en el espacio r-z a la altura de presión P_level
clf; % Limpiar gráfica
surf(R_grid, Z_grid, P, 'EdgeColor', 'none'); % Superficie completa
% Resaltar el plano de presión actual
hold on;
contour3(R_grid, Z_grid, P, [P_level, P_level], 'LineWidth', 2, 'LineColor', 'k');
% Configurar el gráfico
title(['Animación: Plano a P = ', num2str(P_level, '%.1f'), ' Pa']);
xlabel('r (m)');
ylabel('z (m)');
zlabel('Presión (Pa)');
xlim([0, max(r)]);
ylim([0, z0]);
zlim([min(P(:)), max(P(:))]);
view(0, 90);% Vista 3D
colorbar;
% Actualizar la gráfica
drawnow;
pause(0.1);
end}}

[[Archivo:animacioncampo.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Campo del gradiente de presión==
El campo del gradiente de presiones es la tasa de cambio de presiones que varía dependiendo de la distancia, las presiones serán menores en el ojo del huracán y aumentará en relación a la distancia que estemos del centro, el gradiente genera una fuerza que impulsa el movimiento del aire y que apunta al ojo del huracán 
La velocidad tangencial en el vórtice disminuye en relación con la distancia desde el centro, se aproxima mediante la siguiente ecuación: 
<math> v_{\theta (r)}=v_{\theta (R)}(1-\frac{r}{R})</math> 
'''Corte por un plano vertical:''' El campo de gradiente de presión será radial, apuntando hacia el centro del vórtice, variando las alturas. 
'''Corte por un plano horizontal:''' El campo de gradiente de presión presentará un patrón de distribución que será más concentrado hacia el centro del vórtice y disminuirá conforme nos alejamos de él.

{{matlab|codigo=% Parámetros para el huracán Camille
P0 = 90900; % Presión en el centro del ojo, en Pascales
Pinf = 101325; % Presión atmosférica estándar, en Pascales
rho = 1.225; % Densidad del aire estándar, en kg/m^3
g = 9.81; % Aceleración de la gravedad, en m/s^2
R = 46300; % Radio del ojo del vórtice, en metros (46.3 km)
v_R = 88.89; % Velocidad tangencial en el radio R, en m/s (320 km/h)
z0 = 15000; % Altura máxima del vórtice, en metros (15 km)
------------------------------------------------------------------------
% PLANO VERTICAL (r-z), solo la mitad del vórtice
% Definición de la malla en coordenadas r-z (r limitado a la mitad del vórtice)
r = linspace(0, R, 100); % Distancia radial limitada al núcleo
z = linspace(0, z0, 100); % Altura
[RR, ZZ] = meshgrid(r, z);
% Cálculo del campo de presión en el plano vertical
P = zeros(size(RR));
for i = 1:numel(RR)
if RR(i) <= R
P(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * RR(i) / R)^2 - rho * g * (ZZ(i));
else
P(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / RR(i))^2 - rho * g * (ZZ(i));
end
end
% Gradiente de presión en el plano vertical
[Pr, Pz] = gradient(P, r, z); % Derivadas parciales de P respecto a r y z
% Invertir la dirección del gradiente en la dirección vertical
Pz = -Pz; % La presión disminuye hacia arriba, así que el gradiente debe ir hacia abajo
% Representación del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)
figure;
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano vertical (mitad del vórtice)');
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
axis tight;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresionesvertical.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% PLANO HORIZONTAL (a una altura fija)
% Coordenadas cilíndricas del plano horizontal
theta = linspace(0, 2*pi, 200); % Ángulo para el plano horizontal
r_horizontal = linspace(0, 2*R, 100); % Radio en el plano horizontal
[R_mesh, Theta_mesh] = meshgrid(r_horizontal, theta);
% Conversión a coordenadas cartesianas
X = R_mesh .* cos(Theta_mesh);
Y = R_mesh .* sin(Theta_mesh);
% Altura fija para el plano horizontal
z_fixed = z0 / 2;
% Cálculo del campo de presión en el plano horizontal
P_horizontal = zeros(size(R_mesh));
for i = 1:numel(R_mesh)
r_val = R_mesh(i);
if r_val <= R
P_horizontal(i) = P0 + 0.5 * rho * (v_R * r_val / R)^2 - rho * g * (z_fixed);
else
P_horizontal(i) = Pinf - 0.5 * rho * (v_R * R / r_val)^2 - rho * g * (z_fixed);
end
end
% Gradiente de presión en el plano horizontal (en coordenadas cartesianas)
[Pr_h, Ptheta_h] = gradient(P_horizontal, r_horizontal, theta);
Px = Pr_h .* cos(Theta_mesh) - Ptheta_h .* sin(Theta_mesh);
Py = Pr_h .* sin(Theta_mesh) + Ptheta_h .* cos(Theta_mesh);
% Representación del gradiente de presión en el plano horizontal
figure;
quiver(X / 1000, Y / 1000, -Px, -Py, 2); % Campo de gradiente
title('Campo del gradiente de presión en el plano horizontal');
xlabel('X (km)');
ylabel('Y (km)');
axis equal;
grid on;}}

[[Archivo:gradientedepresioneshorizontal.png|700px|miniaturadeimagen|centro|Campo de presión plano vertical]]

{{matlab|codigo=%% Crear animación de las superficies isobáricas y gradiente de presión
% Valores de presión para las superficies isobáricas
P_vals = linspace(min(P(:)), max(P(:)), 15); % 15 superficies isobáricas
% Crear el objeto de VideoWriter
v = VideoWriter('animacion_huracan_camille.mp4', 'MPEG-4');
open(v); % Abrir el archivo de video
% Figura para la animación
figure;
% Animación
for k = 1:length(P_vals)
% Superficie isobárica
contourf(RR / 1000, ZZ / 1000, P, [P_vals(k) P_vals(k)], 'LineWidth', 2);
hold on;
% Campo de gradiente de presión
quiver(RR / 1000, ZZ / 1000, -Pr, -Pz, 2, 'k'); % Campo de gradiente
% Título y etiquetas
title(['Superficies Isobáricas para P = ' num2str(P_vals(k)) ' Pa']);
xlabel('Distancia radial r (km)');
ylabel('Altura z (km)');
colorbar; % Barra de colores para presión
axis tight;
grid on;
% Capturar el cuadro y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Captura la figura actual
writeVideo(v, frame); % Escribe el cuadro en el archivo de video
% Pausa para la animación
pause(0.8);
% Limpiar la gráfica para la siguiente iteración
clf;
end
% Cerrar el archivo de video
close(v);
}}

[[Archivo:superf_isobaricas.gif|500px|miniaturadeimagen|centro|"Animación campo de presiones"]]

==Flujo de masa==

El flujo de masa, <math>\dot{m}</math>, se calcula mediante la integral de superficie sobre el área dada. En este caso, la superficie está definida por <math>0 \leq r \leq 2R</math>, <math>0 \leq \theta \leq 2\pi</math>, <math>z \in [0, z_0]</math>. El flujo de masa se expresa como:

<math>\qquad\qquad\qquad
\dot{m} = \iint_S \rho \vec{v} \cdot \vec{n} \, dS
</math>

donde: 
- <math>\rho</math> es la densidad del aire, 
- <math>\vec{v}</math> es el campo de velocidad, 
- <math>\vec{n}</math> es el vector normal a la superficie, 
- <math>dS</math> es el elemento de área. 
'''Simplificaciones:''' 
1. El flujo se evalúa sobre un plano horizontal (<math>z = 0</math>): <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}\rho v_{r} rd_{r}d_{\theta } </math> Aquí, <math>v_r = 0</math>, por lo que no hay flujo de masa a través de un plano horizontal.

2. Para un flujo vertical, integrando en <math>z</math>: <math>\qquad\qquad\qquad \dot{m}=\rho \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{2R}v_{z}(r) rd_{r}d_{\theta }</math> donde <math>v_z = 0</math>. Nuevamente, el flujo neto es cero para un modelo de Rankine ideal.

{{matlab|codigo=% Parámetros
rho = 1.225; % Densidad del aire (kg/m^3)
R = 46300; % Radio (m)
v_max = 320 * 1000 / 3600; % Velocidad máxima (m/s)
Gamma = 2 * pi * R * v_max; % Circulación
% Discretización de r y theta
r = linspace(0, 2 * R, 100); % Coordenada radial
theta = linspace(0, 2 * pi, 100); % Coordenada angular
[r_mesh, theta_mesh] = meshgrid(r, theta); % Mallado de r y theta
% Campo de velocidad tangencial
v_theta = zeros(size(r_mesh)); % Inicializar matriz de velocidad tangencial
v_theta(r_mesh <= R) = Gamma / (2 * pi * R^2) .* r_mesh(r_mesh <= R); % Dentro del radio
v_theta(r_mesh > R) = Gamma ./ (2 * pi * r_mesh(r_mesh > R)); % Fuera del radio
% Elemento de área diferencial
dr = r(2) - r(1); % Diferencial radial
dtheta = theta(2) - theta(1); % Diferencial angular
% Calcular flujo de masa
flux_mass = rho * sum(sum(v_theta .* r_mesh * dr * dtheta));
disp(['Flujo de masa: ', num2str(flux_mass), ' kg/s'];
}}

==Aplicaciones en huracanes==
El huracán Katrina fue uno de los huracanes más destructivos de Estados Unidos. Se formó en el océano Atlántico y llegó a Florida, Luisiana y Mississippi. En Nueva Orleans (ciudad de Luisiana), el sistema de diques (construido para proteger a la ciudad de inundaciones) colapsó y provocó inundaciones masivas.
El huracán Katrina alcanzó su máxima intensidad antes de tocar tierra, con una clasificación de categoría 5 en la escala Saffir-Simpson, aunque se debilitó a categoría 3 al impactar en la costa de Luisiana.
La escala Saffir-Simpson sirve para clasificar la intensidad de los huracanes según la velocidad máxima del viento. Tiene cinco categorías: desde la categoría 1 (menos severa con vientos entre 119 y 153 km/h y daños mínimos), hasta la categoría 5 (más severa, con destrucción total, inundaciones y vientos superiores a 252 km/h). Se utiliza para estimar los daños potenciales que podría causar un huracán.

Datos del huracán Katrina:
* Presión mínima: 902 milibares
* Velocidad máxima de los vientos: 280 km/h
* Radio del ojo: aproximadamente 24 km

==Vórtices==
* Vórtice Incompresible
Flujos de un fluido incompresible, su volumen no varía debido a la presión. El líquido o gas incompresible rota alrededor de un eje principal.
''Ejemplo: Remolino de agua en un fregadero, ya que el agua es un líquido incompresible.''
* Vórtice Físico
Vórtice con obstáculos que disminuyen la intensidad del flujo.
Remolino en un río.
''Ejemplo: Las piedras y la forma del cauce, además de otros obstáculos, influyen en el flujo del agua del río.''
* Vórtice Ideal
Flujo en un fluido ideal (sin viscosidad ni disipación).
''Ejemplo: Vórtice en un fluido ideal.''
* Vórtice de Carga
Toda la circulación en un punto central, infinita en el origen.
''Ejemplo: Flujo de vórtice idealizado.''
* Vórtice de Fuga (Tornado)
Estructuras de vórtices con una fuerte rotación.
''Ejemplo: Tornados, ciclones.''
* Vórtice de Faraday
Patrones de calles de vórtices formados por fluido alrededor de un objeto.
''Ejemplo: Flujo de aire alrededor de un cilindro.''
* Vórtice en Fluidos Superfluidos
Vórtices en fluidos sin disipación de energía.
''Ejemplo: Helio superfluido.''
* Vórtices en Átomos Fríos
Vórtices en sistemas cuánticos a bajas temperaturas.
''Ejemplo: Gases ultrafríos.''