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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T11:10:00Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{4}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{4}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{4}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{4}{3}w\rho -\frac{4w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{4}{3}\rho-\frac{4}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

{{matlab|codigo=
h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=uu.*cos(vv);
y=uu.*sin(vv);
xx=sin(vv).*(-4/3*(uu-1./uu));
yy=cos(vv).*(4/3*(uu-1./uu));
quiver(x,y,xx,yy);
}}

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = \vec e_z\times\vec u= \vec e_z\times(\frac{4}{3}\rho-\frac{4}{3\rho})\vec{e_{\theta }}=(\frac{4}{3\rho}-\frac{4\rho}{3})\vec e_\rho</math>

A pesar de que se menciona en el enunciado, vamos a comprobar si el campo es irrotacional, por lo que tenemos que calcular el rotacional de <math>\vec v</math>

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{4}{3} w\rho - \frac{4w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{4}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{4}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{8}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{8}{3} \right )^2} = \frac{8}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png

2022-12-09T11:01:06Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio:

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T11:00:32Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==
El enunciado nos proporciona el campo vectorial de la velocidad de las partículas que recorren el canal <math>\vec u(\rho,\theta)=f(\rho)\vec e_\theta</math>
Sabemos que se cumple la ecuación de Navier-Stokes estacionaria:
<math>(\vec u \cdot \triangledown) \vec u + \triangledown p=\triangle \vec u </math>

Debido a que la presión es constante: <math>\triangledown p= \vec 0</math>

Sabiendo esto, y que se desprecia la primera parte de la ecuación estacionaria, tenemos la siguiente igualdad:

<math>\mu\triangle\vec u=\vec 0</math>

Para calcular el laplaciano, y ahorrarnos el cambio de base a la base cartesiana, hemos decidido aplicar la siguiente fórmula:
<math>\triangle\vec u = \triangledown(\triangledown\cdot\vec u)-\triangledown\times(\triangledown\times\vec u)</math>

Aparte de la razón anterior, también hemos querido calcular el laplaciano de esta forma porque en esta fórmula se incluyen cálculos como la divergencia y el rotacional, los cuales son requeridos más adelante en el problema.

Calculamos la divergencia de <math>\vec u</math>:
<math>\triangledown\cdot\vec u=\frac{1}{\rho}[\frac{\partial}{\partial\rho}(0)+{\frac{\partial}{\partial\theta}(f(\rho))}+\frac{\partial}{\partial z}(0)=0]</math>

Con esto también comprobamos la condición de incompresibilidad, al ser la divergencia igual a 0.

Como es conocido, el gradiente de 0 es igual a 0, así que:

<math>\triangledown(\triangledown\cdot\vec u)=\vec 0</math>

Ahora procedemos a calcular el rotacional de <math>\vec u</math>, y posteriormente el rotacional del rotacional:

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

Con el rotacional del rotacional, tendríamos todos los cálculos necesarios para obtener el laplaciano, y por lo tanto la ecuación de Navier Stokes.

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

La ecuación sería la siguiente:

<math>\mu \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Vamos a comprobar si <math>f(\rho)</math> cumple la ecuación diferencial:

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

Si pasamos el cociente <math>\frac{f(\rho)}{\rho}</math> al otro lado de la igualdad, vemos que coincide con la ecuación calculada anteriormente.

Ahora vamos a comprobar si la función <math>f(\rho)=a\rho+\frac{b}{\rho}</math> es solución de la ecuación diferencial mencionada anteriormente

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2}</math>

<math>f''(\rho)=\frac{2b}{\rho^3}</math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^3}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Se comprueba que la función mencionada si que es solución, ya que coincide con la ecuación dierencial calculada:

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho f''(\rho) </math>

Valores de a y b:

Para hallar estos valores, tenemos que adaptar la función a las características del problema, es decir, darle los valores de <math>\rho</math> de las paredes de la tubería, e igualar la función a las velocidades que tienen los cilindros exterior(w) e interior(0):

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=w\rightarrow \frac{3}{4}a=w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{4}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{4}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}=f(\rho)\vec e_{\theta}= \frac{4}{3}w\rho -\frac{4w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow (\frac{4}{3}\rho-\frac{4}{3\rho})\vec{e_{\theta }} </math>

[[Archivo:Figura3 Campodevelocidades.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 3: Campo de velocidades]]

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k\times\vec u = (\frac{4}{3}\rho-\frac{4}{3\rho})\vec{e_{\theta }}</math>

Como se menciona en el enunciado, el campo vectorial <math>\vec v</math> es irrotacional (<math>\ \bigtriangledown \times \vec v=0</math>), por lo tanto, existe potencial escalar.

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{4}{3} w\rho - \frac{4w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{4}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{4}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{4}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{8}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{8}{3} \right )^2} = \frac{8}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{4}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T01:25:18Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2} \rightarrow \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho''(f) </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^2}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Valores de a y b: Resolver para los valores de <math>\ \rho </math>

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=2w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=2w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=2w\rightarrow \frac{3}{4}a=2w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{8}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{8}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

Campo de velocidades:<math>\ \vec{u}= \frac{8}{3}w\rho -\frac{8w}{3\rho } \vec{e_{\theta }} \Rightarrow \frac{8}{3}\rho-\frac{8}{3\rho}\vec{e_{\theta }} </math>

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k×\vec u = \vec e_z× f(\rho) \vec e_θ = -f(\rho)\vec e_\rho </math>

Como el campo vectorial <math>\vec v</math> es irrotacional (<math>\ \bigtriangledown \times \vec v=0</math>), existe potencial escalar.

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

<math>\psi (\rho,θ)=\int -f'(\rho) \ d\rho=-f(\rho^2/2)</math>

<math> \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

<math> \psi (\rho,θ)=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{8}{3} w\rho - \frac{8w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{8}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{8}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{8}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{16}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{16}{3} \right )^2} = \frac{16}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T01:21:25Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* CAMPO DE VELOCIDADES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2} \rightarrow \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho''(f) </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^2}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Valores de a y b: Resolver para los valores de <math>\ \rho </math>

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=2w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=2w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=2w\rightarrow \frac{3}{4}a=2w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{8}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{8}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

Tenemos <math>\ \omega =1 </math> y <math>\ \mu=1 </math>

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k×\vec u = \vec e_z× f(\rho) \vec e_θ = -f(\rho)\vec e_\rho </math>

Como el campo vectorial <math>\vec v</math> es irrotacional (<math>\ \bigtriangledown \times \vec v=0</math>), existe potencial escalar.

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

<math>\psi (\rho,θ)=\int -f'(\rho) \ d\rho=-f(\rho^2/2)</math>

<math> \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

<math> \psi (\rho,θ)=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{8}{3} w\rho - \frac{8w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{8}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{8}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{8}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{16}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{16}{3} \right )^2} = \frac{16}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T01:11:23Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2} \rightarrow \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho''(f) </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^2}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Valores de a y b: Resolver para los valores de <math>\ \rho </math>

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=2w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=2w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=2w\rightarrow \frac{3}{4}a=2w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{8}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{8}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k×\vec u = \vec e_z× f(\rho) \vec e_θ = -f(\rho)\vec e_\rho </math>

Como el campo vectorial <math>\vec v</math> es irrotacional (<math>\ \bigtriangledown \times \vec v=0</math>), existe potencial escalar.

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

<math>\psi (\rho,θ)=\int -f'(\rho) \ d\rho=-f(\rho^2/2)</math>

<math> \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

<math> \psi (\rho,θ)=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{8}{3} w\rho - \frac{8w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{8}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{8}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{8}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{16}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{16}{3} \right )^2} = \frac{16}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T01:10:44Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot f'(\rho))=f'(\rho)+\rho''(f) \rightarrow f'(\rho)+\rho''(f)=\frac{f(\rho)}{\rho} </math>

<math>\ f'(\rho)= a-\frac{b}{\rho^2} \rightarrow \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{\partial }{\partial \rho } (\rho\cdot a-\frac{b}{\rho^2})= \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho\cdot a-\frac{b}{\rho }) = a + \frac{b}{\rho ^2} </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a+\frac{b}{\rho ^2}\rightarrow \frac{f(\rho)}{\rho}=f'(\rho)+\rho''(f) </math>

<math>\ \frac{1}{\rho}(a\cdot\rho +\frac{b}{\rho })=a-\frac{b}{\rho ^2}+\rho (\frac{2b}{\rho^2}) \rightarrow a+\frac{b}{\rho^2} </math>

Valores de a y b: Resolver para los valores de \rho

<math>\ \rho=1\rightarrow \vec{u}=\vec{0} \rightarrow f(1)\vec{e_{\theta }}=\vec{0}\rightarrow (a\cdot 1+\frac{b}{1})\vec{e_{\theta }}=0\rightarrow a+b=0 </math>

<math>\ \rho=2\rightarrow \vec{u}=w\vec{e_{\theta }} \rightarrow f(2)\vec{e_{\theta }}=w\vec{e_{\theta }}\rightarrow (a\cdot 2+\frac{b}{2})\vec{e_{\theta }}=2w\rightarrow 2a+\frac{b}{2}=2w </math>

<math>\ a=-b \rightarrow 2a-\frac{a}{2}=2w\rightarrow \frac{3}{4}a=2w </math>

Con lo que tenemos finalmente: <math>\ a=\frac{8}{3}w </math> y <math>\ b=-\frac{8}{3}w </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k×\vec u = \vec e_z× f(\rho) \vec e_θ = -f(\rho)\vec e_\rho </math>

Como el campo vectorial <math>\vec v</math> es irrotacional (<math>\ \bigtriangledown \times \vec v=0</math>), existe potencial escalar.

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

<math>\psi (\rho,θ)=\int -f'(\rho) \ d\rho=-f(\rho^2/2)</math>

<math> \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

<math> \psi (\rho,θ)=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{8}{3} w\rho - \frac{8w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{8}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{8}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{8}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{16}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{16}{3} \right )^2} = \frac{16}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%velocidad angular
w=1;
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[rhoo,thetaa]=meshgrid(rho,theta);
%campo vectorial viene dada `por la expresión
%Representacón del campo
x=rhoo.*cos(thetaa);
y=rhoo.*sin(thetaa);
z=zeros(rhoo,thetaa);
rot=ones((16*w)/3)(rhoo,thetaa);
quiver3(rhoo,thetaa,z,rot)
axis([-3,3,-3,3,-3,3])
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 </math>

<math>\ \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv = \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv = </math>

<math>\ = \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]</math>

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T00:24:49Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k×\vec u = \vec e_z× f(\rho) \vec e_θ = -f(\rho)\vec e_\rho </math>

Como el campo vectorial <math>\vec v</math> es irrotacional (<math>\ \bigtriangledown \times \vec v=0</math>), existe potencial escalar.

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

<math>\psi (\rho,θ)=\int -f'(\rho) \ d\rho=-f(\rho^2/2)</math>

<math> \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

<math> \psi (\rho,θ)=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{8}{3} w\rho - \frac{8w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{8}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{8}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{8}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{16}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{16}{3} \right )^2} = \frac{16}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

rot=abs(THETA
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

\int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 =

\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv =

\frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv

= \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T00:24:29Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES */

{{ TrabajoED | Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos. Grupo 8-C | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Gabriel Moreno Pardo

Daniel Alexandre Ferreira Patricio

Francisco Javier Vela Cobos

Juan Carlos Fernández Alonso }}

== INTRODUCCIÓN ==

En este proyecto tenemos un fluido dado, el cual es incompresible, tiene la capacidad de oponerse a la compresión de sí mismo bajo cualquier condición. Se nos ha dado también un obstáculo, el cual son dos cilindros concéntricos, de manera que el exterior se mueve con velocidad
angular constante en sentido antihorario mientras que el interior está fijo. Tenemos un radio distinto para cada cilindro (1 y 2).
En la primera imagen adjuntada (Figura 1) podemos observar una representación del mallado del flujo de Couette entre los cilindros antes comentados, con su código de lenguaje m (MATLab).

{{matlab|codigo=
h=0.1
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi;
[u,v]=meshgrid(u,v);
figure(1)
x=u.*cos(v);
y=u.*sin(v);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png|miniaturadeimagen|centro|Figura 1: Mallado del flujo de Couette entre dos cilindros concéntricos.]]

== ECUACIÓN DE NAVIER-STOKES ==

<math>\ \triangledown \times \vec{u}= \left [ \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + \frac{\partial \left ( f\left ( \rho \right ) \right )}{\partial \rho }\right ] \bar{e_{z}}= \left ( \frac{f\left ( \rho \right )}{\rho } + {f}'\left ( \rho \right )\right ) \bar{e_{z}} </math>

<math>\ \triangledown \times \left ( \triangledown \times \vec{u} \right )=\frac{1}{\rho }\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho }&\rho \cdot \vec{e} _{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z} \\
0& 0 &\frac{f\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}'\left ( \rho \right )
\end{vmatrix}= -\frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho ^{2}}f\left ( \rho \right ) +\frac{{f}'\left ( \rho \right )}{\rho }+{f}''\left ( \rho \right )\right ]\left ( \rho \right ) = -\frac{1}{\rho }\left [-\frac{1}{\rho}f\left ( \rho \right )+{f\left ( \rho \right )}' +\rho f''\left ( \rho \right )\right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}=-\triangledown \times \triangledown \times \vec{u} =0-\frac{1}{\rho}\left [ \frac{1}{\rho} f\left ( \rho \right )-f'\left ( \rho \right )- \rho f''(\rho)\right ]\vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= \frac{1}{\rho }\left [ -\frac{1}{\rho }f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ] \vec{e}_{\theta } </math>

<math>\ \triangle \vec{u}= 0 \rightarrow \frac{1}{\rho}\left [ -\frac{1}{\rho}f(\rho)+f'(\rho)+ \rho f''(\rho) \right ]\vec{e}_{\theta }=\vec{0} </math>

Después de calcular la Ec. de Navier-Stokes:
Tenemos la siguiente ecuación diferencial: <math>\ \frac{\partial }{\partial \rho }\left ( \rho \frac{\partial f\left ( \rho \right )}{\partial \rho } \right )= \frac{f(\rho)}{\rho} </math>

== CAMPO DE VELOCIDADES ==

== LÍNEAS DE CORRIENTE ==
Vamos a calcular las líneas de corriente del campo <math> \vec u </math> ,es decir, las líneas que son tangentes a <math> \vec u </math> en cada punto. Se empieza calculando el campo vectorial <math> \vec v </math>,perpendicular a <math>\vec u</math>:

<math>\vec v= \vec k×\vec u = \vec e_z× f(\rho) \vec e_θ = -f(\rho)\vec e_\rho </math>

Como el campo vectorial <math>\vec v</math> es irrotacional (<math>\ \bigtriangledown \times \vec v=0</math>), existe potencial escalar.

Vamos a calcular <math>\ ψ: \vec v=∇ψ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho}\vec e_\rho+\frac{1}{\rho}\frac{\partial ψ}{\partial θ}\vec e_θ=\frac{\partial ψ}{\partial \rho} +0</math>

<math>\psi (\rho,θ)=\int -f'(\rho) \ d\rho=-f(\rho^2/2)</math>

<math> \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

<math> \psi (\rho,θ)=-f'(\rho^2/2)-f(\rho)</math>

Una vez calculado el potencial escalar, vamos a hacer la representación gráfica donde Ψ=cte

== ROTACIONAL ==
Se calcula el rotacional de <math> \vec u </math> en coordenadas cilíndricas:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta </math>

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \frac{1}{\rho} \cdot
\left|\begin{matrix} \vec e_\rho & \rho\cdot \vec e_\theta & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial \rho } & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 0 & \rho\cdot f(\rho ) & 0 \end{matrix}\right| = \frac{1}{\rho} \cdot \left (\left ( f(\rho) + \rho\cdot f'(\rho ) \right ) \vec e_z \right ) = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z </math>

Como se demuestra en apartados anteriores <math>\ f(\rho ) </math> es <math>\ f(\rho ) = \frac{8}{3} w\rho - \frac{8w}{3\rho } </math> con la velocidad angular <math>\ w=1 </math>

Por lo tanto, el campo vectorial es <math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = f(\rho )\cdot \vec e_\theta = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta</math>

Quedando el rotacional:

<math>\ \bigtriangledown \times \vec u = \left (\frac{f(\rho )}{\rho} + f'(\rho ) \right )\vec e_z = \left ( \frac{ \frac{8}{3} \left ( \rho - \frac{1}{\rho } \right ) }{\rho} + \frac{8}{3} \left (1 + \frac{1}{\rho ^2} \right ) \right ) \vec e_z = \frac{8}{3} \left ( 1- \frac{1}{\rho ^2} + 1 + \frac{1}{\rho ^2} \right )\vec e_z = \frac{16}{3} \vec e_z </math>

Siendo la distancia del vector <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | = \sqrt{\left ( \frac{16}{3} \right )^2} = \frac{16}{3} </math>

Con el siguiente código matlab se muestra el campo <math>\ \left | \bigtriangledown \times \vec u \right | </math> :

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);

rot=abs(THETA
}}

{{matlab|codigo=
}}
<math>\ </math>

== CAMPO DE TEMPERATURAS ==
La temperatura del fluido viene dada por el campo escalar <math>\ T(\rho,\theta) = 1 + \rho^{2} \sin^{2} \theta e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} </math>

A continuación, se va a representar el campo escalar con la ayuda de matlab y se estudiará el gradiente de la temperatura.

=== Representación del campo y curvas de nivel ===

Mediante el siguiente código de matlab mostramos la interpretación gráfica del campo escalar que representa la temperatura del fluido.
Se presentan dos vistas, una en tres dimensiones y en dos dimensiones. Las gráficas tienen una escala de colores que representa el valor de la temperatura en cada punto de la región estudiada.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación del campo en 3D
figure(1)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 3D');

%Representación del campo en 2D
figure(2)
axis([0,3,0,2*pi]);
surf(RHO,THETA,Z);
view(2);
colorbar;
title('Representación de la temperatura en 2D');
}}

[[Archivo:Temperatura en 3D.png|miniaturadeimagen|centro]]
[[Archivo:Temperatura en 2D.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se demuestra en las representaciones, en los valores cercanos a <math>\ \rho = 2 </math> se consigue dos máximos de temperatura en <math>\ \frac{\pi }{2} </math> y <math>\ \frac{3\pi }{4} </math>

Para dibujar las curvas de nivel se utiliza el comando contour con 15 líneas.

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%El campo escalar que representa la temperatura es:
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));

%Representación de las curvas de nivel
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
}}

[[Archivo:Cn.png|miniaturadeimagen|centro]]

=== Gradiente de la temperatura ===

Se define en coordenadas cilíndricas el campo vectorial gradiente de un campo escalar como:

<math>\ \bigtriangledown f(\rho ,\theta ,z) = \frac{\partial f}{\partial \rho }\vec e_\rho + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec e_\theta + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z </math>

Si se aplica esta fórmula a nuestro campo de temperaturas se tiene <math>\ \bigtriangledown T </math> :

<math>\ \bigtriangledown T(\rho ,\theta ,z) = \sin^{2}\theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \left ( 2\rho -2\rho ^2 \left ( \rho -\frac{3}{2} \right ) \right )\vec e_\rho + 2\rho \sin \theta \cos \theta \cdot e^{-\left(\rho-\frac{3}{2}\right)^{2}} \vec e_\theta
</math>

{{matlab|codigo=
clear, close all
%Se definen las variables rho y theta
rho=1:0.1:2;
theta=0:0.1:2*pi;
%Se genera una retícula rectangular a partir de las divisiones rho y theta
[RHO,THETA]=meshgrid(rho,theta);
%La temperatura del fluido viene dada por la expresión
Z=1+RHO.^2.*(sin(THETA).^2).*exp(-((RHO-3/2).^2));
%Gradiente de la temperatura
[ZRHO,ZTHETA]=gradient(Z);
%Representación del gradiente
hold on
quiver(RHO,THETA,ZRHO,ZTHETA)
contour(RHO,THETA,Z,15,'r');
axis([0,3,0,2*pi]);
hold off
}}

[[Archivo:GTemperatura.png|miniaturadeimagen|centro]]

En la gráfica anterior se aprecia como el gradiente es ortogonal a las curvas de nivel de la superficie, cumpliéndose así una de las principales propiedades del gradiente.

== CAUDAL ==

En el siguiente apartado se va a calcular el caudal que pasa por la sección longitudinal de los cilindros concéntricos (intersección del plano <math>\ x_2=0 </math> con los cilindros).

Para ello, se supone que los cilindros tienen una profundidad de 1m y que la velocidad del fluido dada en [m/s] se corresponde con el campo:

<math>\ \vec u(\rho ,\theta ) = \frac{8}{3}\left ( \rho - \frac{1}{\rho }\right ) \vec e_\theta </math>

De esta forma, el caudal que atraviesa la sección viene dado por la integral:

<math>\ \int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \iint_{D}^{} \vec u \left ( \Phi (u,v) \right )\cdot \left ( \Phi _u\times \Phi _v \right ) du dv </math>

siendo <math>\ S </math> la superficie que atraviesa el fluido (sección longitudinal en este caso) y <math>\ D </math> el dominio de los parámetros <math>\ u </math> y <math>\ v </math> .

En primer lugar, se va a parametrizar la superficie:

[[Archivo:Sección longitudinal.png|miniaturadeimagen|centro]]

Como se aprecia en la figura anterior, la sección resulta en dos superficies rectangulares, <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>. La superficie total será la suma de ambas, <math>\ S = S_1 + S_2</math>
La parametrización de <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math> es la siguiente:

<math>\ S_1 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,0,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Estos vectores se han calculado con la fórmula:

<math>\ \Phi _t=\rho '(t)\cdot \vec e_\rho + \rho (t)\cdot \vec e_\theta + z (t)\cdot \vec e_z </math>

<math>\ S_2 </math>:
<math>\ \Phi (u,v) = (\rho (u,v),\theta (u,v),z(u,v)) = (u,\pi,v) </math> con <math>\ \left\{\begin{matrix}
u\in (1,2) \\
v\in (0,1)
\end{matrix}\right. </math>

*vectores velocidad:

<math>\ \left.\begin{matrix}
\Phi _u = \vec e_\rho \\
\Phi _v = \vec e_z
\end{matrix}\right\} </math> <math>\ \rightarrow </math> <math>\ \Phi _u\times \Phi _v = - \vec e_\theta </math>

Una vez definimos las parametrizaciones se calcula la integral.

La integral sobre la superficie <math>\ S </math> es la suma de las integrales sobre las superficies <math>\ S_1 </math> y <math>\ S_2 </math>:

\int_{S}^{} \vec u \cdot d\vec S = \int_{S_1}^{} \vec u \cdot d\vec S_1 + \int_{S_2}^{} \vec u \cdot d\vec S_2 =

\int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,0,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv + \int_{0}^{1}\int_{1}^{2} \vec u (u,\pi,v)\cdot (-\vec e_\theta)dudv =

\frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv + \frac{8}{3} \int_{0}^{1}\int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right ) \vec e_\theta(-\vec e_\theta)dudv

= \frac{16}{3} \int_{0}^{1}dv \int_{1}^{2}\left ( u-\frac{1}{u}\right )du = - \frac{16}{3} \left ( \left [ \frac{u^2}{2} \right ]^2 _1 - \left [\ln \left | u \right | \right ]^2_1 \right ) = -\frac{16}{3} \left ( \left ( \frac{4}{2} - \frac{1}{2}\right ) - \ln 2 \right ) = -8 + \frac{16}{3} \ln 2 \left [m^3/s \right ]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC22/23]]

Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T00:16:26Z

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2022-12-09T00:15:46Z

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T00:13:00Z

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-09T00:10:53Z

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2022-12-08T22:23:29Z

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-08T20:14:41Z

Daniel Alexandre Ferreira Patricio: /* INTRODUCCIÓN */

Archivo:Figura1INTRODUCCIÓN.png

2022-12-08T20:10:36Z

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-08T20:10:10Z

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

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Archivo:Figura 1 INRODUCCION.png

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

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Archivo:EJES ENUNCIADO.jpeg

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Archivo:FIGURA EJES -4,4.jpeg

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Flujo de Couette entre dos tubos concéntricos (Grupo 8-C)

2022-12-08T15:50:57Z

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