https://mat.caminos.upm.es/w/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=CristinaMateWiki - Contribuciones del usuario [es]2026-04-30T18:32:29ZContribuciones del usuarioMediaWiki 1.26.2https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=13060Ecuacion de vigas2014-05-19T20:20:38Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|center|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} ± \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180}} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por: <br />
<br />
:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math><br />
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]<br />
Realizando el cambio de variable:<br />
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math><br />
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math><br />
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo: <br />
<br />
:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math><br />
:<math> y_t(0,t)=0 </math><br />
<br />
Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Obteniendo las siguientes gráficas:<br />
<br />
:[[Archivo:Solucion1.png|thumb|left|400px|Aproximación de y(x,t) con las condiciones iniciales anteriormente mostradas en el intervalo [0,5].]]<br />
:[[Archivo:Apartado78.jpg|thumb|center|400px|Comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de tiempo [0,5].]]<br />
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br />
[[Categoría:ED13/14]]<br />
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11948Ecuacion de vigas2014-05-18T07:56:44Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|right|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por: <br />
<br />
:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math><br />
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]<br />
Realizando el cambio de variable:<br />
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math><br />
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math><br />
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo: <br />
<br />
:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math><br />
:<math> y_t(0,t)=0 </math><br />
<br />
Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Obteniendo las siguientes gráficas:<br />
<br />
:[[Archivo:Solucion1.png|thumb|left|400px|Aproximación de y(x,t) con las condiciones iniciales anteriormente mostradas en el intervalo [0,5].]]<br />
:[[Archivo:Apartado78.jpg|thumb|left|400px|Comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de tiempo [0,5].]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11947Ecuacion de vigas2014-05-18T07:54:32Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|right|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por: <br />
<br />
:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math><br />
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]<br />
Realizando el cambio de variable:<br />
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math><br />
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math><br />
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo: <br />
<br />
:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math><br />
:<math> y_t(0,t)=0 </math><br />
<br />
Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Obteniendo las siguientes gráficas:<br />
<br />
:[[Archivo:Solucion1.png|thumb|left|400px|Aproximación de y(x,t) con las condiciones iniciales anteriormente mostradas en el intervalo [0,5].]]<br />
:[[Archivo:Apartado78.jpg|thumb|left|400px|Comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de tiempo [0,5].]]<br />
<br />
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br />
[[Categoría:ED13/14]]<br />
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11946Ecuacion de vigas2014-05-18T07:52:05Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|right|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por: <br />
<br />
:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math><br />
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]<br />
Realizando el cambio de variable:<br />
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math><br />
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math><br />
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo: <br />
<br />
:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math><br />
:<math> y_t(0,t)=0 </math><br />
<br />
Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Obteniendo las siguientes gráficas:<br />
<br />
:[[Archivo:Solucion1.png|thumb|left|400px|Aproximación de y(x,t) con las condiciones iniciales anteriormente mostradas en el intervalo [0,5].]]<br />
:[[Archivo:Apartado78.jpg|thumb|left|400px|Comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de tiempo [0,5].]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Apartado78.jpg&diff=11945Archivo:Apartado78.jpg2014-05-18T07:48:57Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div></div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Viga34.JPG&diff=11944Archivo:Viga34.JPG2014-05-18T07:42:18Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div></div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Solucion1.png&diff=11943Archivo:Solucion1.png2014-05-18T07:40:58Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div></div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11942Ecuacion de vigas2014-05-18T07:39:51Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|right|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
[[Archivo:vigaencastrada3.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
Tras realizar las derivaciones respecto al tiempo y respecto a x y despejando los valores conocidos nuestro sistema queda definido por: <br />
<br />
:<math> vec{y''}=k*vec{y} +vec{b(1)} </math><br />
donde si tenemos en cuenta las condiciones iniciales resultaria:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\vec{y''}=k*\vec{y} +\vec{b(1)} \ , & \\\vec{y(0)}=\vec{y_0} \ , \\ \vec{y'(0)}=\vec{z_0}\ & \end{matrix}\right.\]<br />
Realizando el cambio de variable:<br />
:<math> \vec{y'}=\vec{z} </math><br />
:<math> \vec{z'}=k*\vec{y} +\vec{b} </math><br />
Nuestro sistema final sobre el cual aplicaremos el método del trapecio es:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix} \vec{W'}= K*\vec{W} + \vec{B} \ , & \\ \vec{W(0)}=\vec{W_0} \ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo: <br />
<br />
:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math><br />
:<math> y_t(0,t)=0 </math><br />
<br />
Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Obteniendo las siguientes gráficas:</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11941Ecuacion de vigas2014-05-18T07:16:34Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|right|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
[[Archivo:vigaencastrada3.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo: <br />
:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math><br />
:<math> y_t(0,t)=0 </math><br />
<br />
Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Obteniendo las siguientes gráficas:</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11940Ecuacion de vigas2014-05-18T07:14:32Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|right|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
[[Archivo:vigaencastrada3.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y_0(x) \ ; \ y_t(x,0)=y_(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y_0 \ , \\ y'(0)=z_0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
El código que a continuación mostramos nos permite calcular el sistema anteriomente mostrado siendo: <br />
:<math> y(0,t)=sin(\frac{8pix}{L}) </math><br />
:<math> y_t(0,t)=0 </math><br />
<br />
Además nos permitirá obtener el comportamiento de y(x,t) en el punto x=0.5 en un intervalo de t [0,5]:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Obteniendo las siguientes gráficas:</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11939Ecuacion de vigas2014-05-18T07:02:29Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Ecuación de viga apoyada en ambos extremos==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
[[Archivo:FLEXION.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores===<br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
*El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
*Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
*Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
*Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje.<br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
===Flexión de viga dependiendo del valor del canto===<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. <br />
<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
<br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
Finalmente tenemos como resultado gráfico la deflexión con cada medida de canto del intervalo.También obtenemos las flechas máximas para cada valor de a.<br />
<br />
:[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
:[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|right|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo.<br />
<br />
<br />
===Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores===<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores tenemos en cuenta que la condición que se nos impone es que el volumen total de la viga tiene que ser constante y de valor igual al de la viga de sección cuadrada de lado a=0.5 metros. <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
Necesitamos encontrar la relación entre los parámetros c y d siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Como resultado obtenemos que c=-0.0161 y d=0.54028 son los valores correspondientes a la viga con menor deflexión. <br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son (((((c= y d= )))) (Gráfica de viga con mayor reflexión).<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4.<br />
<br />
[[Archivo:vigaencastrada3.jpg|thumb|left|200px|Flexión de una viga al ser sometida a una fuerza F.]]<br />
<br />
Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos.<br />
<br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)).<br />
<br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math> (dato) definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones:<br />
<br />
:<math> y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
:<math> y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+f(h^2)</math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
<br />
Al desarrollar el código numérico, calculamos el valor de mayor deflexión siendo este en valor absoluto 0.38064 y el punto en el que se alcanza es L/2=5.<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga apoyada en sus extremos dependiendo del tiempo. Problema dinámico.==<br />
<br />
Consideramos ahora el problema dinámico. En este caso la deflexión de la viga depende también del tiempo y(x,t) quedando la ecuación: <br />
<br />
:<math>ρy_tt + EIy_xxxx</sub> = -w(x,t) </math><br />
<br />
Siendo "p" la densidad de la viga que mantendremos constante y de valor la unidad. De esta forma nuestra ecuación final será:<br />
<br />
:<math> y_tt + EIy_xxxx</sub> = -w(x,t) </math><br />
<br />
Al tratarse de un problema dependiente de 2 variables necesitamos dos condiciones iniciales <math> y(x,0)=y0(x) \ ; \ yt(x,0)=y1(x) </math><br />
<br />
De esta forma planteamos el sistema de ecuaciones completo y su aproximación de diferencias finitas considerando el método del trapecio para resolver el problema en tiempo. <br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\ ky + b(t)\ , & \\ y(0)=y0 \ , \\ y'(0)=z0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
Numéricamente el código que resuelve este sistema:<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% (ro)ytt+EIyxxxx=-w(x)<br />
%%% ytt+(EI/ro)yxxxx=-w(x)/ro=f(x)<br />
%%% y(0,t)=y'(0,t)=y(L,t)=y'(L,t)=0<br />
%%% y(x,0)=(1/3)*sin(8*pi*x/L); yt(x,0)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
ro=1; % densidad<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=100;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% condiciones iniciales<br />
y0=((1/3)*sin(8*pi*xi/L))'; % y(x,0) // column vector<br />
z0=zeros(1,length(xi))'; % yt(x,0) // column vector<br />
W0=[y0;z0];<br />
<br />
% f(x)=-w(x)/ro<br />
w=1*(L/2-abs(xi-L/2));<br />
f=-(w/ro)'; % vector columna<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=-(E*I/ro)*(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
% matriz Q=[O,I;K,O]<br />
I=eye(N-1);O=zeros(N-1);<br />
Q=[O,I;K,O];<br />
<br />
% partición temporal<br />
tM=5;M=100;dt=tM/M;t=0:dt:tM;<br />
<br />
% theta=0(Euler),0.5(Crank-Nicholson),1(Euler implícito)<br />
theta=1/2; % Crank-Nicholson<br />
<br />
% matriz P=inv(L)*R<br />
I2=eye(2*(N-1)); <br />
L=I2-dt*theta*Q;<br />
R=I2+dt*(1-theta)*Q;<br />
% P=L\R;<br />
<br />
% término B<br />
B=[zeros(length(f),1);f];<br />
% B=[zeros(length(f),1);zeros(length(f),1)];<br />
<br />
% programa<br />
W=zeros(2*(N-1),M+1); <br />
W(:,1)=W0;<br />
<br />
for n=1:M<br />
W(:,n+1)=L\(R*W(:,n)+dt*B); <br />
end<br />
<br />
Y=W(1:N-1,1:M+1);<br />
Y0=zeros(1,M+1);<br />
YN=zeros(1,M+1);<br />
Y=[Y0;Y;YN]; <br />
<br />
figure(100) % gráfico y(x,t)<br />
[X,T]=meshgrid(x,t);<br />
figure(100)<br />
surf(X,T,Y') <br />
<br />
figure(200) % curva y(0.5,t)<br />
xc=0.5;<br />
plot(t,Y(round(xc/dx+1),:))}}<br />
<br />
<br />
Posteriormente calculamos la aproximación de la solución del sistema anterior dados los datos iniciales y la dibujamos en el tiempo. Dibujamos también el comportamiento y(x,t) en el punto x=0.5 metros y con el tiempo t perteneciente al intervalo [0,5].</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11720Ecuacion de vigas2014-05-17T09:49:55Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo a realizar consiste en el estudio de la deflexión de una viga apoyada en ambos extremos, de sección trasversal S, sometida al momento de unas fuerzas (Fi) aplicadas sobre esta. Entendemos como momento flector al producto de la fuerza por la distancia que hay entre la fuerza y el punto a estudiar. <br />
<br />
Suponemos que el eje de la viga va en la dirección del eje X, ocupando un intervalo [0,L] de forma que estudiaremos la deflexión de ésta en su eje perpendicular, eje Y.<br />
<br />
Para estudiar dicha situación, la representamos por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas expuesto a continuación.<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
<br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera son nulas debido a que la viga, como nos requiere el enunciado, está apoyada en sus extremos.<br />
<br />
Como datos tenemos:<br />
<br />
- El módulo de elasticidad (módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que en nuestro caso permanece constante<br />
<br />
- Conocemos como I(x) el momento de inercia de la sección transversal S respecto al centro (cuadrado de lado a=0.5 metros).<br />
<br />
- Finalmente disponemos del momento flector definido antes, M(x).<br />
<br />
- Longitud de la viga (L=10 metros):<br />
<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano (x=5 m) y de valor absoluto 0.16013 en sentido negativo del eje, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales de la sección trasversal de la viga de forma que el canto (a) toma valores del intervalo [0.1,0.9]. A su vez, el ancho de la viga también cambia de forma que b=1-a. Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes secciones de la viga, tomando como condición que el volumen se mantenga constante, con la finalidad de determinar en cuál de ellos se sufre la menor deflexión y, a su vez, la flecha máxima de la mayor deflexión<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
Numéricamente, el código que exponemos a continuación nos resuelve este apartado:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973. <br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 con un valor de flecha de 1.112. Físicamente este fenómeno se explica debido a que a mayor canto de la viga menor deformación. Así, obligamos a que el canto de la sección trasversal de la viga sea lo más grande posible dentro del intervalo. <br />
<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x de forma que: <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total: <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Siendo c=-0.0161 y d=0.54028 los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.<br />
<br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son c= y d= .<br />
(Falta gráfica de viga con mayor deflexión)<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
A continuación se presenta la situación de una viga encastrada en ambos extremos de ésta con la misma sección trasversal que en el problema inicial (sección cuadrada de lado a=b=0.5 metros). En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera ya que la ecuación de la viga que se nos proporciona es de orden 4. Respecto al problema inicial encontramos varias diferencias:<br />
- La viga en cuestión deja de estar apoyada en ambos extremos y pasa a estar encastrada en ellos. <br />
- La función deja de depender del momento flector y dependerá de la carga aplicada sobre ésta (W(x)) <br />
Conservando los valores numéricos dados en el apartado 1 y siendo w(x)=… Definimos el problema de contorno:<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
Conservándose además los valores de los datos del apartado 1, y siendo: <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math><br />
<br />
Buscamos plantear el método de diferencias finitas para aproximar las soluciones del problema anterior. Para obtenerlo usamos las siguientes aproximaciones: (Datos del problema). El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11265Ecuacion de vigas2014-05-14T18:39:32Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973m.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor 1.112m.<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x. <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total: <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Siendo c=-0.0161 y d=0.54028 los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.<br />
<br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son c= y d= .<br />
(Falta gráfica de viga con mayor deflexión)<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera, ya que la ecuación de la viga es de orden 4. Además se diferencia del primer apartado en que la función ya no depende del momento flector M(x), sino de la carga aplicada W(x).<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
Conservándose además los valores de los datos del apartado 1, y siendo: <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
[[Archivo:Apartado5vigacarga.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Apartado5vigacarga.jpg&diff=11264Archivo:Apartado5vigacarga.jpg2014-05-14T18:39:04Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div></div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11263Ecuacion de vigas2014-05-14T18:38:18Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973m.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor 1.112m.<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x. <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total: <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Siendo c=-0.0161 y d=0.54028 los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.<br />
<br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son c= y d= .<br />
(Falta gráfica de viga con mayor deflexión)<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera, ya que la ecuación de la viga es de orden 4. Además se diferencia del primer apartado en que la función ya no depende del momento flector M(x), sino de la carga aplicada W(x).<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
Conservándose además los valores de los datos del apartado 1, y siendo: <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}<br />
[[Archivo:Apartado4y5.jpg|thumb|left|400px|Gráfica con la carga y la deflexión.]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11262Ecuacion de vigas2014-05-14T18:36:03Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973m.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor 1.112m.<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x. <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total: <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
Siendo c=-0.0161 y d=0.54028 los valores correspondientes a la viga con menor deflexión.<br />
<br />
Por el contrario los valores que dan una mayor deflexión son c= y d= .<br />
(Falta gráfica de viga con mayor deflexión)<br />
<br />
== Flexión de una viga encastrada con sección constante sometida a una carga==<br />
En este caso abordamos el problema con cuatro condiciones de frontera, ya que la ecuación de la viga es de orden 4. Además se diferencia del primer apartado en que la función ya no depende del momento flector M(x), sino de la carga aplicada W(x).<br />
<br />
\[\left\{\begin{matrix}y''''=\frac{-W(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ , & \\ y'(0)=0\ , \\ y'(L)=0\ , \end{matrix}\right.\]<br />
Conservándose además los valores de los datos del apartado 1, y siendo: <math> \ W(x)= L/2- | x- L/2 | \ </math><br />
<br />
El código que hemos desarrollado para la evaluación de este ejercicio es el que aquí mostramos:<br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''''(x)=-w(x)/(EI)=g(x)=-f(x)<br />
%%% y(0)=y'(0)=y(L)=y'(L)=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=10;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% g(x)<br />
w=L/2-abs(xi-L/2);<br />
g=-(w/(E*I))'; % vector columna<br />
<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=6*diag(ones(1,N-1))-4*diag(ones(1,N-2),1)-4*diag(ones(1,N-2),-1)+diag(ones(1,N-3),2)+diag(ones(1,N-3),-2);<br />
KK(1,1)=7;KK(N-1,N-1)=7;<br />
K=(1/dx^4)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\g;<br />
<br />
y=[0;y;0]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
W=L/2-abs(x-L/2);<br />
plot(x,W,'r',x,y,'b')}}</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11259Ecuacion de vigas2014-05-14T18:00:20Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973m.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor 1.112m.<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x. <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total: <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} #pm \sqrt{a^2-\frac{c^2*L^4}{180} </math><br />
El código que resuelve el problema es el que seguidamente aparece: <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;<br />
c0=-.025;cf=-0.005;<br />
dc=0.0005;<br />
for c=c0:dc:cf <br />
n=n+1;<br />
d=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180) <br />
a=c*(xi-L/2).^2+d; <br />
I=(1/12).*a.^4; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M./(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(100)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
hold on<br />
end<br />
hold off<br />
figure(200)<br />
plot(c0:dc:cf ,fle_max,'-or')<br />
<br />
figure(300) % perfil de la viga óptima<br />
C=-0.0161<br />
D=-(c*L^2/12)+sqrt((.5)^2-c^2*L^4/180)<br />
A=C*(x-L/2).^2+D;<br />
plot(x,A)}}<br />
<br />
siendo c=-0.0161 y d=0.54028 los valores correspondientes a la viga con menor deflexión</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11257Ecuacion de vigas2014-05-14T17:51:54Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973m.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor 1.112m.<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección cuadrada de lado variable sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El problema que a continuación se expone es equivalente al anterior, con la modificación de que el lado de la sección pasa a ser variable y dependiente de x. <br />
:<math> a(x)=c*(x-L/2)^2 +d </math><br />
<br />
siendo c y d parámetros que eligiendo adecuadamente nos permitirán obtener el diseño con menor deflexión.<br />
<br />
Para obtener la relación entre estos valores hemos realizado la integración del volumen total: <br />
:<math> L*a^2=\int_{0}^{L} [c(x-L/2)^2+d]^2 dx</math><br />
siendo esta:<br />
:<math> d=\frac{c*L^2}{12} </math></div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11255Ecuacion de vigas2014-05-14T17:39:01Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de 0.00973m.<br />
<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor 1.112m.</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11254Ecuacion de vigas2014-05-14T17:37:17Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}<br />
<br />
[[Archivo:Apartado2viga.jpg|thumb|left|400px|Deflexiones sufridas para las diferentes secciones.]]<br />
[[Archivo:Apartado2flecha.jpg|thumb|left|400px|Flechas máximas para las diferentes secciones.]]<br />
<br />
Hemos deducido que la menor deflexión se produce con a=0.7 y b=0.3 con una flecha de -0.00973m.<br />
Por el contrario, la flecha máxima se obtiene con a=0.1 y b=0.9 de valor -1.112m.</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Apartado2flecha.jpg&diff=11253Archivo:Apartado2flecha.jpg2014-05-14T17:28:08Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div></div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Apartado2viga.jpg&diff=11252Archivo:Apartado2viga.jpg2014-05-14T17:27:49Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div></div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11251Ecuacion de vigas2014-05-14T17:27:29Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
[[Archivo:Apartado1.jpg|thumb|left|400px|Deflexión de la viga.]]<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Archivo:Apartado1.jpg&diff=11250Archivo:Apartado1.jpg2014-05-14T17:20:32Z<p>Cristina: Deflexión de la viga.</p>
<hr />
<div>Deflexión de la viga.</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11249Ecuacion de vigas2014-05-14T17:19:21Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga con sección constante sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}<br />
<br />
Como se puede ver en la siguiente gráfica, el punto de mayor deflexión es en el centro de vano y de valor absoluto 0.16013, tal como hemos obtenido gracias al programa. <br />
<br />
A continuación hemos ido variando los datos iniciales, el canto a en el intervalo [0.1;0.9] y el ancho b=1-a.<br />
Con estos cambios, realizamos un estudio de diferentes diseños de sección de la viga para determinar en cual de ellos se sufre la menor deflexión, y a su vez la flecha máxima de la mayor deflexión. <br />
<br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% partición espacial<br />
L=10; % longitud viga<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK;<br />
<br />
% datos generales<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
<br />
n=0;fle_max=zeros(1,9);<br />
for a=0.1:0.1:0.9 % altura sección rectangular<br />
n=n+1;<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% f(x)<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max(n)=-max(abs(y));<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
hold on<br />
plot(x,y)<br />
end<br />
fle_max(n)=-max(abs(y))<br />
hold off<br />
figure(628)<br />
plot(0.1:0.1:0.9,fle_max,'-or')}}</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11246Ecuacion de vigas2014-05-14T16:51:27Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Ecuación de vigas. Grupo 13-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
siendo:<br />
<math> L=10 \ ; \ E= 5*10^4 \ ; \ M(x)= L/2- | x- L/2 | \ ; \ I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
El código Matlab empleado para su estudio es : <br />
<br />
{{matlab|codigo=<br />
%%% y''(x)=M(x)/(EI)=f(x), y(0)=y0=0,y(L)=yL=0<br />
<br />
clear all<br />
close all<br />
<br />
% datos generales<br />
L=10; % longitud viga<br />
E=5E4; % módulo de Young<br />
a=0.5; % altura sección rectangular<br />
b=1-a; % anchura sección rectangular<br />
I=(1/12)*b*a^3; % momento de inercia<br />
<br />
% partición espacial<br />
x0=0;xN=L;<br />
N=50;dx=(xN-x0)/N;<br />
x=x0:dx:xN;<br />
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);<br />
<br />
% f(x)<br />
y0=0;yL=0;<br />
M=L/2-abs(xi-L/2);<br />
f=(M/(E*I))'; % vector columna<br />
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);<br />
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);<br />
<br />
% matriz K<br />
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);<br />
K=(1/dx^2)*KK; <br />
<br />
%solución<br />
y=K\f;<br />
<br />
y=[y0;y;yL]; % añadimos los valores del contorno<br />
fle_max=-max(abs(y))<br />
<br />
% el valor de x en el que se da la flecha máxima hay que calcularlo<br />
% es en L/2, claro<br />
<br />
% dibujamos<br />
figure(314)<br />
plot(x,y)}}</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11245Ecuacion de vigas2014-05-14T16:42:04Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 6-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
<br />
==Flexión de una viga sometida a momentos flectores==<br />
<br />
El trabajo realizado consiste en el estudio de la flexión de una viga sometida al momento de unas fuerzas aplicadas sobre esta.<br />
Este problema se ve representado por un problema de contorno que solucionamos mediante el método de diferencias finitas.<br />
Los datos iniciales de los que disponemos son:<br />
\[\left\{\begin{matrix}\ y''=\frac{M(x)}{E I(x)}\ , & \\ y(0)=0 \ , \\ y(L)=0\ & \end{matrix}\right.\]<br />
donde:<br />
:<math> L=10 </math><br />
:<math>E= 5*10^4 </math><br />
:<math> M(x)= L/2- | x- L/2 | </math><br />
:<math>I(x)= \frac {a*b^3}{12} </math><br />
Cabe destacar que las condiciones de frontera nulas son debidas a que la viga está apoyada.<br />
<br />
<br />
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br />
[[Categoría:ED13/14]]<br />
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11244Ecuacion de vigas2014-05-14T16:17:55Z<p>Cristina: </p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 6-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}<br />
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]<br />
[[Categoría:ED13/14]]<br />
[[Categoría:Trabajos 2013-14]]</div>Cristinahttps://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Ecuacion_de_vigas&diff=11243Ecuacion de vigas2014-05-14T16:17:18Z<p>Cristina: Página creada con «{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 6-B | Ecuaciones Diferenciales|Curso 2013-14 |Mónica Gómez, N...»</p>
<hr />
<div>{{ TrabajoED | Modelo predador-presa. Grupo 6-B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] |Mónica Gómez, Noemí Ortiz, Alicia Chacón, Miguel Sánchez, Cristina Jiménez}}</div>Cristina