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Usuario:Constanza Gómez de Salazar

2022-12-13T10:10:35Z

Constanza Gómez de Salazar: Constanza Gómez de Salazar trasladó la página Usuario:Constanza Gómez de Salazar a Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

#REDIRECCIÓN [[Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.]]

Discusión:Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

2022-12-13T10:10:35Z

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Usuario discusión:Constanza Gómez de Salazar

2022-12-13T10:10:35Z

#REDIRECCIÓN [[Discusión:Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.]]

Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

2022-12-13T10:10:34Z

{{ TrabajoSIG | Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal. | Cristina Pérez Pozuelo; Luca Andrés Mettifogo Retamal; Constanza Gómez de Salazar Gutiérrez | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}

== INTRODUCCIÓN ==
El trabajo realizado se centra en el estudio detallado de los condicionantes para la unión
de las estaciones de esquí de Astún y Formigal. Ambas estaciones son un importante
punto turístico en los meses de diciembre, enero, febrero y marzo.
España cuenta con 38 estaciones de esquí repartidas por toda la Península. Nuestro
estudio se centra en las dos estaciones de esquí más importantes. Astún-Candanchú por
ser la más antigua, y Formigal por ser la segunda con el mayor número de kilómetros
esquiables después de Baqueira (182 km con 147 pistas de esquí).
Las dos estaciones de esquí se sitúan en el Pirineo Aragonés, en la provincia de Huesca,
al norte de España.
Ambas tienen una meteorología y características geológicas muy parecidas ya que se
encuentran en el mismo valle, con las mismas formaciones geológicas.
La unión de ambas, aunque pueda parecer simple, esconde una gran complejidad debido
a factores medioambientales, factores topográficos, problemas de accesibilidad,
problemas de aludes, y muchos otros que intentaremos solventar en este trabajo para
poder llevar a cabo el estudio de viabilidad de la unión de las estaciones.
Recientemente, se ha firmado un proyecto de construcción de una telecabina de 8,8 km
que cruza el valle y logra la unión de las dos estaciones. Sin embargo, nosotros
intentaremos proponer una alternativa mediante una zona esquiable.
Este proyecto no es una idea que haya nacido recientemente, es una opción que se ha
venido considerando desde hace bastante tiempo y que, por problemas, diplomáticos en
su mayoría, no se ha podido concluir. Pero, es una forma visionaria de ver el gran
potencial de explotación que tiene esta zona, el cual lleva a la creación de una lugar
recreativo y apto para la realización de deportes.
A continuación, expondremos los datos que consideramos relevantes para dicho enlace.

== METODOLOGÍA ==
Hemos comenzado nuestra investigación a través de una investigación de la
climatología de la zona estudiada, basándonos en diferentes páginas (mencionadas en la
bibliografía).
El estudio de esta zona continúa con la utilización del programa llamado QGIS. Este
programa se utiliza para manejar formatos ráster y vectoriales, así como bases de
datos. Lo que nos permite visualizar, gestionar, editar y analizar datos, y diseñar mapas
imprimibles.
En primer lugar, hemos seleccionado la zona de estudio a través del número de hoja en
el mapa de España (MTN50), que en nuestro caso es la página número 145.
A continuación, hemos añadido las capas de mtn50 (Mapa Ráster) junto con la capa de
PNOA_MDT25 (cuya información contiene las altitudes del terreno), las cuales serán
las capas base de nuestro estudio. Todos los datos utilizados en este proyecto se han
evaluado en el sistema de coordenadas ETRS89 / UTM zona 30N (25830).
Por otro lado, hemos agregado la capa de municipios y núcleos urbanos, y seleccionado
las zonas de mayor interés, así como definido tanto los polígonos que delimitan el
dominio de las pistas de Astún y de Formigal como el polígono que encierra el valle de
unión.
Una vez realizado esto, hemos procedido con el cálculo de las pendientes y áreas de la
zona.
En este proceso de búsqueda de información hemos encontrado bastantes mapas que
nos proporcionaban lo que estábamos buscando, sin embargo, algunos no tenían
ninguna versión que pudiéramos abrir en QGIS, por lo que en varias ocasiones hemos
tenido que georreferenciarlas para sacarlas en nuestra impresión o superponerlas con
otras capas.
Por último, gracias a las capas que se encuentran en nuestro trabajo y añadiendo además
las carreteras que se presentan en las áreas de acceso a las zonas urbanas junto con la
capa de impactos ambientales, se estudió la viabilidad del proyecto con un enfoque más
constructivo sin dañar directamente los recursos naturales presentes en la región; ya que
durante este procedimiento es necesario el ingreso de varios tipos de materiales y
maquinaria de construcción, que también es necesario tenerlo en cuenta de cara al
impacto que podría provocar.
Finalmente, se procede a la conclusión después de haber analizado todos los mapas e
información obtenida.

== RESULTADOS ==
=== MAPA DE PENDIENTES Y CURVAS DE NIVEL: ===
Como se puede observar a través de nuestro mapa de pendientes, es posible llegar a la
afirmación de que existe la posibilidad de que se pueda realizar una unión entre estas
dos estaciones de esquí, ya que basándonos hasta el momento tan solo en la forma de la
zona, es fácil reconocer que existe un valle apto para realizar una pista, de alrededor 8
km de longitud. Es decir, que se puede visualizar cómo las pendientes tienen unas líneas
de máxima pendiente bastante favorables para la realización de las pistas, que sigan el
curso de la unión que queremos lograr entre estas dos estaciones.

[[Archivo:Pendientes cos22.PNG|600px|centro|Mapa de Pendientes]]
[[Archivo:Curvasdenivel cos22.PNG|600px|centro|Curvas de Nivel]]

=== MAPAS RELACIONADOS CON LA TEMPERATURA ===
A continuación se puede visualizar fácilmente que la zona de estudio (zona norte del
mapa, frontera con Francia) presenta una temperatura media anual entre los 3 y 5Cº, por
lo cual podemos afirmar que presenta una temperatura más que competente para la
realización de centros de esquí y creación de diversas pistas a lo largo de la zona de
color morado, ya que, si la media varía entre estos valores, como es de esperar, la
temperatura de la zona durante los periodos en los cuales se va a utilizar este centro de
esquí será más que favorable, y mantendrá toda la zona nevada durante un largo periodo
de tiempo con las temperaturas más óptimas para su conservación.
[[Archivo:Tempmedanuales cos22.PNG|900px|centro|Temperaturas media anual]]

==== TEMPERATURAS MEDIAS ANUALES por meses====
En el mapa mostrado a continuación, podemos observar cómo en los meses de posible
apertura de la nueva estación de esquí tenemos unas temperaturas medias aceptables
(menores a 0ºC). En diciembre, enero y febrero observamos que son incluso inferiores a
-2,5ºC, y por tanto podemos garantizar por esto unas buenas condiciones de
temperatura.

[[Archivo:Tempmedanualesmeses cos22.PNG|900px|centro|Temperaturas medias anuales por meses]]

==== HISTÓRICO DE TEMPERATURAS MÍNIMAS:====
Con estos 3 mapas temáticos remarcamos la importancia que están teniendo en las
pistas de esquí la variación de las temperaturas en los últimos años. Es muy llamativa la
bajada de temperaturas que se ha dado entre los años 2000 y los 2005, completamente
fuera de la escala del descenso que se dio entre 1995 y los 2000. Quizás no se dé una
subida de las temperaturas (haciendo referencia al calentamiento global) pero sí que se
amplía de forma evidente el área con un descenso de las mismas.

[[Archivo:Tempmax1995 cos22.PNG|500px|izquierda|Temperaturas mínimas enero 1995]]
[[Archivo:Tempmax2000 cos22.PNG|500px|centro|Temperaturas mínimas enero 2000]]

[[Archivo:Tempmax2005 cos22.PNG|500px|centro|Temperaturas mínimas enero 2005]]

=== PRECIPITACIONES: ===
En el siguiente mapa, podemos observar cómo en los primeros meses de invierno
tenemos unas precipitaciones abundantes y que, con el mapa mostrado anteriormente de
temperaturas medias mensuales, podrías se suficientes para ser meses de primeras
nevadas. Eso ayudará al arranque de temporada.
Los meses de febrero y marzo, se observan menos precipitaciones, pero siguen siendo
elevadas (del orden de 100-150 mm).

[[Archivo:Precipacumuladasmensuales cos22.PNG|600px|centro|Precipitacion acumulada por meses]]

=== VALOR MEDIO NÚMERO DE NEVADAS ANUALES: ===
El valor medio de días de nevadas es interesante para el estudio de la viabilidad de la
estación para tener una idea de cuántos cañones de nieve serán necesarios para
garantizar un acceso a la nueva estación durante toda la temporada. c

[[Archivo:Diasmednevadas cos22.PNG|600px|centro|Dias medios de nevadas]]

=== IMPACTOS AMBIENTALES ===
Hoy en día hay que tener especial cuidado con el impacto que pueden tener las obras
que se llevan a cabo, y tratándose de una obra en los Pirineos hacer un particular estudio
de las zonas de la Red Natura 2000 a las que afecta.
En el siguiente mapa se resaltan de forma concisa las distintas áreas a las que afecta este
“valle de unión” que estamos estudiando. Por la zona más cercana a las pistas de esquí
de Astún se aprecia que tendría una posible afección a la Red Natura 2000 (ZEPA
concretamente), sin embargo, al ser de tan poco tamaño, seguramente, se podría evitar
atravesar esa zona. En cuanto a las proximidades de los valles de la estación de
Formigal tiene más repercusión nuestra actuación ya que afecta al Convenio
Internacional y a la Red Natura de una forma un poco más directa, sobre todo al LIC, se
necesitaría un estudio con mayor detalle sobre la importancia de este lugar de especial
interés y tanto las medidas preventivas como las compensatorias que serían necesarias
para llevar a cabo la obra.
ZEPA: Zona de Especial Protección para las Aves
LIC: Lugar de especial Interés Comunitario

[[Archivo:Impactambientales cos22.PNG|600px|centro|Impactos ambientales]]

=== NÚCLEOS URBANOS Y CARRETERAS ===
En este par de mapas se muestra la accesibilidad de la que disponemos en este valle de
estudio, tanto de cercanía o posible afección a algún núcleo poblacional como la de
carreteras.
No se afecta a nada por lo que tenemos vía libre por este lado, incluso se tendrían que
hacer varios accesos a lo largo del valle.
[[Archivo:Nucleo cos22.PNG|900px|centro|Accesibilidad:Núcleos de población]]
[[Archivo:Carreteras cos22.PNG|900px|centro|Accesibilidad:carreteras]]

== CONCLUSIONES ==
Tras haber analizado los datos recopilados de pendientes, temperaturas medias,
precipitaciones, nieve y afecciones medioambientales podemos decir que sí es viable
una nueva estación de esquí como unión de Astún y Formigal.
Las pendientes son suficientes para la creación de nuevas pistas. Aunque, por otro lado,
es justo en la cara sur donde más pendiente tenemos y por tanto más riesgo de aludes.
Se tendrá que proyectar la estación por la cara norte de la montaña, y así no correr
riesgo de aludes.
Los remontes podrían hacerse de varios kilómetros por la zona central ya que podemos
observar en el mapa que tenemos una cota estable.
En cuanto al impacto ambiental, como se ha explicado en su correspondiente apartado,
no es verdaderamente dramático el impacto que se produciría ya que solamente afecta a
pequeñas zonas, e igual con un estudio más detallado podría evitarse el pasar por esas
zonas.
Finalmente, el Pirineo Aragonés podría tener la estación de esquí más grande de
España.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_22/23]]

Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

2022-12-13T10:09:11Z

Constanza Gómez de Salazar:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:57:51Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal:

* <math> \frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} - \mu\delta\vec u - (\lambda+\mu) \delta (\delta \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:56:44Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

* <math> \vec f= \frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} - \mu\delta\vec u - (\lambda+\mu) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:55:28Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

* <math> \vec F= \frac{\partial^2 \vec u}{\partial t^2} </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:53:24Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

* <math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:52:20Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F= \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:51:05Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F= (\frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2})-\mu\Delta \vec u </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:49:46Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)\vec e_\theta </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:48:26Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \theta-\frac\pi2)(\vec e_\theta) </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:47:21Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

* <math> -(\lambda+\mu) \nabla (\nabla \vec u) = (()\lambda+\mu)/\mu) \cos (2\theta- \frac\pi2)(\frac 1\mu)\log(\mu)+(\frac {1}{\mu\ln(10)}) \vec e_\mu </math>
* <math> \frac{(\lambda+\mu)}{\mu} 2 \log(\mu) sin (2 \teta-\frac\pi2)(\vec e_\teta) </math>

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:34:59Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u_1\vec i +u_2\vec j +u_3\vec k )=Δu_1\vec i +Δu_2\vec j +Δu_3\vec k </math>

El campo vectorial <math> \vec u </math> está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:32:56Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

* <math> Δ \vec u =Δ(u1\vec i +u2\vec j +u3\vec k )=Δu1\vec i +Δu2\vec j +Δu3\vec k </math>

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:30:28Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

Pero <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 0 </math>, ya que no depende del tiempo.

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:28:08Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:

* <math> \frac{\partial \vec u }{\partial t} = 2/5 \vec i (- \vec v) cos (\vec i + r0(x,y)- vt) </math>
* <math> \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2} = 2/5 \vec i \vec v^2 (- sin (\vec i) + r0(x,y)- vt) </math>

∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:19:54Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
* <math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k = 1 </math>
* <math> \vec d = \vec i </math>
* <math> \vec u= 2/5 \vec i sin(\vec i*r0(x, y) − vt) </math>

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:16:44Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
<math> \vec u= \vec a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:15:22Z

Constanza Gómez de Salazar: Se ha deshecho la revisión 53189 de Constanza Gómez de Salazar (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:14:35Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:

* <math> \vec u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt)) </math>
* <math> \vec a= 2/5 \vec i </math>
* <math> \vec k=1 </math>
* <math> \vec d = \veci </math>
* <math> \vec u= 2/5 \veci sin(\veci*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T13:09:49Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

<math> \vec F = \frac{\partial^2 \vec u }{\partial t^2}-\mu\Delta \vec u - (\lambda+\mu)\nabla\cdot (\nabla \vec u) </math>

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T12:53:55Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T12:52:49Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> \sigma_V= \sqrt \frac{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}{2} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T12:40:16Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math> {\sigma_V_M= \sqrt \frac{{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}}{2}} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T12:38:32Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

<math> {\sigma_V_M= \sqrt \frac{{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}}{2}} </math>

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T12:37:01Z

Constanza Gómez de Salazar: Se ha deshecho la revisión 53121 de Constanza Gómez de Salazar (disc.)

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T12:09:42Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

*<math>\sigma_V_M= \sqrt \frac{{(\sigma _1-\sigma _2)^2+(\sigma _2-\sigma _3)^2+(\sigma _3-\sigma _1)^2}}{2}

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:55:13Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

La tensión de Von Mises es una magnitud escalar proporcional a la energía de deformación elástica de distorsión que puede expresarse en función de las componentes del tensor tensión, en particular admite una expresión particularmente simple en función de las tensiones principales, por lo que la tensión de Von Mises puede calcularse a partir de la expresión :

Se utiliza como indicador para conocer cuándo un material inicia un comportamiento plástico, y en consecuencia sirve para conocer cuando nos encontramos cerca de su punto de fallo.

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:42:12Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Tensión de Von Mises */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

[[Archivo:Von Mises.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensión de Von Mises. Máximo valor alcanzado. ]]

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Archivo:Von Mises.png

2022-12-09T11:40:06Z

Constanza Gómez de Salazar:

Archivo:CampoFuerzas.png

2022-12-09T11:36:22Z

Constanza Gómez de Salazar:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:35:36Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Representación de campos de fuerzas equivalentes de Lamé. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:27:47Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Campo de Fuerzas */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

[[Archivo:CampoFuerzas.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:21:03Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Apartado 11 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

==. Campo de Fuerzas ==

El campo de fuerzas que actúa sobre la placa (y que son las causantes del desplazamiento observado) se aproxima usando la ecuación de la elasticidad lineal

Calculamos la velocidad de propagación de las ondas v en términos de las constantes de Lamé, suponiendo que F=0.

Si la onda fuera longitudinal, es decir, tomando a⃗ =2/5i⃗ a→=2/5i→ , ¿cuál sería la velocidad de propagación? Comprobar que sobre un mismo medio las ondas transversales y longitudinales no viajan a la misma velocidad, tal y como se observa en la transmisión de ondas sísmicas.
Teniendo el vector u como:
u= a sin(k(d • r0(x, y) − vt))
a= 2/5 i⃗
k⃗ =1
d⃗ =i⃗
u= 2/5 i sin(i*r0(x, y) − vt)

Derivando:
∂u⃗ ∂t=2/5i⃗ ⋅(−v)⋅cos(i⃗ +r0(x,y)−vt)
∂2u⃗ ∂t2=2/5i⃗ ⋅v^2⋅(−sin(i⃗ +r0(x,y)−vt))
Pero ∂2u⃗ ∂t2=0, ya que no depende del tiempo

En esta ecuación aparece el Laplaciano de un campo vectorial que para calcular hay que pasar el campo a coordenadas cartesianas y aplicar la siguente formula:

Δu⃗ =Δ(u1i⃗ +u2j⃗ +u3k⃗ )=Δu1i⃗ +Δu2j⃗ +Δu3k⃗

El campo vectorial u⃗ está en coordenadas cilíndricas hay que transformarlo a coordenadas cartesianas.

μΔu⃗ = ((sin(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) − (μlog(μ)(5sin(θ)sin(2θ−π/2)+4cos(θ)cos(2θ−π/2)))/2) eμ→
− (cos(θ)sin(2θ−π/2))/2ln(10)μ) + (μlog(μ)(5cos(θ)sin(2θ−π/2)+4sin(θ)cos(2θ−π/2))/2) eθ→

Por último calculamos la divergencia:

−(λ+μ)∇(∇⋅u⃗ )=((λ+μ)/μ)cos(2θ−π/2)((1/μ)log(μ)+(1/(μ+ln(10)))eμ→
( λ+μ)/μ)2log(μ)(sin(2θ−π/2))eθ→

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:19:58Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Apartado 10 */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Tensión de Von Mises==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:16:56Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Título fotografía/gráfica apartado 11 - CAMBIAR NOMBRE. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Campo de Fuerzas.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

%Variables
clc
u=linspace(1,2,8);
v=linspace(pi/4,3*pi/4,8);
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
Mx=ro.*cos(teta);
My=ro.*sin(teta);
%Función
Nx=(-(sin(teta).*sin(2.*teta-(pi/2)))./(2.*log(10).*ro)) + ((ro.*log10(ro).*(5.*sin(teta).*sin(2.*teta-pi/2)+4.*cos(teta).*cos(2.*teta-pi/2)))./2) + (((-landa+ro)./ro).*(-cos(2.*teta-pi/2).*(log10(ro)./ro)+(1./(ro.*log(10)))));
Ny=(-6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta))./(5*ro)-((sin(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)/20)+((-36*sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)+6*cos(6*(teta-pi/4)).*cos(teta)-sin(6*(teta-pi/4)).*sin(teta))/20))./ro;
%Gráfica
figure
hold on
mesh(Mx,My,0.*Mx)
quiver(Mx,My,Nx,Ny);
view (2)
axis([-1.5,2,0.5,2]);
title('Campo de fuerzas F')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')
hold off

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:15:33Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Título fotografía/gráfica apartado 10 - CAMBIAR NOMBRE. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Tensión de Von Mises.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Título fotografía/gráfica apartado 11 - CAMBIAR NOMBRE.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T11:13:28Z

Constanza Gómez de Salazar: /* . Título fotografía/gráfica apartado 10 - CAMBIAR NOMBRE. */

{{ TrabajoED | Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC22/23|2022-23]] | Alberto de Carlos González Gómez, Constanza Sofía Gómez de Salazar Gutiérrez, Andrea Moya Pérez, José Luis Sánchez Vargas}}

En este artículo se intentará resolver, con el mayor acierto posible, las cuestiones planteadas por el profesorado. Las preguntas que se resolverán permiten entender y visualizar campos escalares y vectoriales. Para poder profundizar en estos aspectos, se definen dos cantidades físicas sobre una placa, una escalar (temperatura) y una vectorial (desplazamientos).

==. Definición de las condiciones de partida==
=== La placa===

La placa se trata de un trapecio circular o sector de anillo circular, concretamente un cuarto de anillo circular. Los límites que definen esta figura son:
*Un radio mayor = 2.
*Un radio menor = 1.
*<math> y\geq \left | x \right |</math>
Y, por tanto, las ecuaciones que definen la placa, en coordenadas cilíndricas, son:
*<math>1\leq \rho\leq 2</math>
*<math>\frac{\pi}{4}\leq \theta \leq \frac{3*\pi}{4} </math>

[[Archivo:MalladoPuntosInterioresPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular. ]]

=== La temperatura===
[[Archivo:TemperaturaPlaca.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Temperatura de la placa. ]]

La temperatura es una magnitud escalar y, por tanto, no tiene dirección ni sentido. En este caso, la temperatura viene definida por <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>. Con esta función, se puede visualizar como cada punto tiene asociado un valor, es decir, se puede visualizar un campo escalar.

Al tratarse la temperatura de una función continua, la distribución de temperatura sobre la placa, varía de forma gradual. De esta manera, se puede observar en la imagen "Curvas de nivel de la temperatura" las líneas que se forman al unirse puntos de igual temperatura. Además, se puede observar como la temperatura máxima es mayor de 1,1ºC. Concretamente 1,166ºC.

[[Archivo:CurvasNivelTemperatura.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de la temperatura. ]]

=== El desplazamiento===
[[Archivo:CampoVectorialFuerzaU.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa. ]]

El desplazamiento es una magnitud vectorial, y por tanto, cuenta con módulo, dirección y sentido.

En este caso, el desplazamiento es producido por la acción de una fuerza determinada. Siendo la posición inicial <math> \vec{r}_{o}(x,y) </math>, la posición de cada punto después del desplazamiento será <math> \vec{r}_{d}(x,y) =\vec{r}_{o}(x,y)+\vec{u}(x,y)</math>.

La fuerza aplicada sobre la placa provoca un desplazamiento ondulatorio de los puntos de la placa definido por <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}*sin(2*\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{p}</math>.

En la gráfica se puede observar que para cada punto del mallado de coordenadas <math>(\rho ,\theta )</math> se obtiene un vector de fuerza distinto en dirección y módulo.

Al tratarse de distintos vectores en cada punto, cada punto de la placa se desplaza de distinta forma y, por tanto, la placa se deforma. El resultado post-deformación de la placa es el siguiente:

[[Archivo:PlacaDeformada.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Placa Deformada. ]]

==. Operadores diferenciales==
=== Gradiente de un campo escalar===

Para calcular el gradiente de un campo escalar, en primer lugar, se debe obtener la derivada parcial de la función respecto de <math>x</math> e <math>y</math>. Siendo la función temperatura <math>T(x,y)=log10((x-2)^2 + (y)^2+1)</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot T=\frac{2*(X-2+Y)}{(X-2)^2 + (Y)^2+1}</math>.

En la primera gráfica se observa como el gradiente es perpendicular a la superficie. En la segunda gráfica se puede observar el campo vectorial resultante del gradiente.

[[Archivo:Gradiente3D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Gradiente 3D. ]]

[[Archivo:CurvasTemperatura2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Curvas de nivel de temperatura en 2D. ]]

=== Divergencia de un campo vectorial===

Para calcular la divergencia de un campo vectorial se debe seguir el mismo proceso: realizar la derivada parcial de la función respecto de <math>\rho</math> y <math>\theta</math>. Siendo la función temperatura <math> \vec{u}(\rho ,\theta )=\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{\rho}</math>, el gradiente de la temperatura es <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(2\theta -\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

[[Archivo:ValorAbsolutoDivergencia2D.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Valor absoluto de la divergencia. ]]

Analíticamente es sencillo observar algunos valores a simple vista:

La divergencia será máxima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{2}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(\frac{\pi }{2})}{2\rho}</math>.

La divergencia será mínima cuando <math>\theta</math> sea <math>\frac{\pi }{4}</math>. Puesto que la divergencia será <math>\triangledown \cdot \vec{u}=\frac{sin(0)}{2\rho}</math> y, por tanto, <math>\triangledown \cdot \vec{u}=0</math>, es decir, nula.

Esto se puede observar perfectamente en la gráfica anterior.

=== Rotacional de un campo vectorial===

El rotacional de un campo vectorial en coordenadas cilíndricas se calcula de forma genérica con la siguiente expresión:

[[Archivo:ModuloRotacional.png|400x400px|miniaturadeimagen|thumb|Módulo del rotacional. ]]

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
u_{\rho } & \rho u_{\theta } & u_{z}
\end{vmatrix}</math>

Aplicando nuestro campo escalar, obtenemos:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}\begin{vmatrix}
\vec{e}_{\rho} & \rho \vec{e}_{\theta } & \vec{e}_{z}\\
\frac{\partial }{\partial \rho } & \frac{\partial }{\partial \theta } & \frac{\partial }{\partial z}\\
\frac{log(\rho )}{2}sin(2\theta -\frac{\pi }{2}) & 0 & 0
\end{vmatrix}</math>

Al operar llegamos al siguiente valor del rotacional:

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{1}{\rho}
(\frac{-log(\rho )}{2}2cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z})
</math>

*<math>\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)=\frac{-log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})\vec{e}_{z}
</math>

*<math>\left \|\triangledown \times \vec{u}(\rho,\theta,z)\right \|=\frac{log(\rho )}{\rho}cos(2\theta -\frac{\pi }{2})
</math>

Como observamos en el gráfico, los puntos que sufren un mayor rotacional son los situados en la parte superior derecha del cuarto de anillo circular. Esta zona la podríamos aproximar con valores del radio entre 1,5 y 2 y valores de <math> \theta </math> desde <math>\frac{\pi }{4}</math> hasta casi <math>\frac{\pi }{2}</math>.

==. Tensor deformaciones==

La parte simétrica del tensor gradiente es el tensor de deformaciones y tiene la siguiente expresión:

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math>

En un medio elástico, lineal, isótropo y homogéneo, se puede describir el tensor de tensiones <math> σ_{ij} </math> a partir de los desplazamientos como:

*<math> \sigma =\lambda \triangledown \cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math> (siendo 1 el tensor identidad y los coeficientes de Lamé <math> \lambda = \mu =1</math> )

[[Archivo:TensionesNormalesEjeRO.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\rho }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeTHETA.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{\theta }</math>. ]][[Archivo:TensionesNormalesEjeZ.png|375x375px|miniaturadeimagen|thumb|Tensión normal en la dirección <math> \vec{e}_{z}</math>. ]]
Para obtener las tensiones normales se siguen una serie de pasos. Primero habrá que calcular la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>, después habrá que trasponerla, sustituir en <math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}</math> y, por último, sustituir en <math> σ=\lambda \triangledown u\cdot \vec{u}\cdot 1 + 2\mu \epsilon </math>.

Cálculo de la matriz gradiente de <math> \vec{u}</math>:

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \rho }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }</math>

*<math> \frac{\partial \vec{u}}{\partial \theta }=\frac{log(\rho )}{2 }2cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho } + \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{\partial \theta }=log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\rho }+\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\vec{e}_{\theta } </math>

*<math>\frac{\partial \vec{u}}{\partial z }=\frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})\frac{\partial\vec{e}_{\rho } }{{\partial z}}=\vec{0} </math>

Por tanto:

*<math> \triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Cálculo de la matriz gradiente traspuesta:
*<math> (\triangledown \vec{u}(\rho ,\theta ,z))^t=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & 0 &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& \frac{log(\rho )}{2 }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Con estas dos matrices ya se puede obtener la matriz del tensor de deformaciones.

*<math>\epsilon (\vec{u})=\frac{\triangledown \vec{u}+\triangledown \vec{u}^t}{2}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

Conociendo <math>\epsilon (\vec{u})</math>, se puede obtener <math>\sigma </math>:

*<math> \sigma =1\cdot \triangledown \cdot\vec{u}\cdot 1 + 2\cdot 1\cdot \epsilon=\triangledown\cdot\vec{u} + 2 \epsilon</math>

*<math>\sigma = \frac{1}{2\rho}sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\begin{pmatrix}
1& 0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0&0 &1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
\frac{1}{\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& log(\rho )sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 &0
\end{pmatrix}</math>

*<math>\sigma = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) & log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
log(\rho )cos(2\theta -\frac{\pi}{2})& (log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) &0 \\
0&0 & \frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})
\end{pmatrix}</math>

Los valores de las tensiones normales serán los elementos de la diagonal principal.

*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\rho }: \vec{e}_{\rho }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\rho }=\frac{3}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2})</math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{\theta }:\vec{e}_{\theta }\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{\theta }=(log(\rho )+\frac{1}{2\rho })sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>
*Tensión normal en la dirección del eje <math> \vec{e}_{z }:\vec{e}_{z}\cdot \sigma\cdot\vec{e}_{z}=\frac{1}{2\rho }sin(2\theta -\frac{\pi}{2}) </math>

==. Tensiones tangenciales==

Las tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math> se calculan como:

*<math>\left \| \sigma \cdot \vec{e}_{\rho }-(\vec{e}_{\rho }\cdot\sigma \cdot \vec{e}_{\rho } ) \right \|=\left \|\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\ 0

\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
\frac{3}{2*\rho }sin(2\theta -\frac{\pi }{2})\\
0\\ 0

\end{pmatrix}\right \|=log(\rho) sin(2\theta -\frac{\pi }{2})</math>

[[Archivo:TensionesTangencialesEjeRO.png|400x400px|miniaturadeimagen|centro|Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>. ]]

==. Apartado 10==

==. Apartado 11==

==. Código Matlab==

Para obtener las gráficas mostradas en el artículo se ha utilizado Matlab. Estos son los programas escritos para obtener cada gráfica.

===. Mallado que representa los puntos interiores del trapecio circular.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 1
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);
%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

%El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X,'EdgeColor','K')
axis([-3,3,-1,3])
title('Mallado que representa los puntos interiores de la placa.')
view(2)
}}

===. Temperatura de la placa y Curvas de nivel de la temperatura.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 2
%Definimos los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Creamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Las funciones de X e Y en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);

% Función temperatura: T(x,y) = log10((X-2).^2 + (Y).^2+1)
T =log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);

% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
subplot(1,2,1);
surf(X,Y,T)
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Temperatura sobre la placa')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

subplot(1,2,2);
contour(X,Y,T,30);
colorbar
% Escribimos el título del gráfico
title('Curvas de nivel de la temperatura')
% Escribimos los nombres de los ejes
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])

Tmax=max(max(T));
fprintf('La temperatura máxima que se alcanza es de: %1.5f ºC\n' ,Tmax)
}}

===. Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 4
%Campo de vectores en los puntos del mallado del sólido, en t = 0
%Habrá que dibujar primero el mallado y luego los vectores con hold on
%Mallado:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
axis([-3,3,-1,3])
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Campo vectorial:
x1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
y1=(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*sin(THETA);
quiver(X,Y,x1,y1,'r')
view(2)
title('Campo vectorial que define la fuerza en cada punto de la placa')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Placa Deformada.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 5
%Placa original y desplazada por el campo vectorial
%Habrá que dibujar primero la original y luego la desplazada con hold on
%Original:
subplot(1,1,1)
hold on
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X=RO.*cos(THETA);
Y=RO.*sin(THETA);
mesh(X,Y,zeros(size(X)),'EdgeColor','k')
%Desplazada:
subplot(1,1,1)
X1=X+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
Y1=Y+(log(RO)./2).*sin((2.*(THETA))-(pi/2)).*cos(THETA);
mesh(X1,Y1,zeros(size(X1)),'EdgeColor','r')
view(2)
title('Placa original y placa deformada')
legend('Placa original','Placa deformada')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
hold off

}}

===. Gradiente 3D y Curvas de nivel de temperatura en 2D.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 3
%Paso 1: definir los intervalos de rho y teta
u=1:0.2:2; %ro va de 1 a 2
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20);%theta va de pi/4 a 3*pi/4

%Paso 2: crear el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
figure(1);

%Paso 3: pasasr X e Y a coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
Z=U.*0;
%paso 4: El mallado queda representado dentro de los intervalos [-3,3]x[-1,3]
mesh(X,Y,0*X)
axis([-3,3,-1,3])
view(2)
% Paso 5: Función temperatura: T(x,y) = (x-3)^2 + (10Y)^2
T=log10((X-2).^2 + (Y).^2+1);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Paso 6: representamos el campo vectorial del gradiente de la temperatura
Tx=(2.*(X-2))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);
Ty=(2.*Y)./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

G=(2.*(X-2+Y))./((X-2).^2 + (Y).^2+1);

%Paso 7: Creación de la subventana primera: gradiente en el campo de temperaturas
subplot(1,2,1)
hold on
surf(X,Y,T);
axis([-3,3,-1,3]);

quiver3(X,Y,T,0*X,G,0*T,'r');
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis vis3d
view([-80,0])
title('Gradiente 3D')
hold off

% Paso 8: Creación de la segunda subventana: campo vectorial del gradiente
subplot(1,2,2)
quiver(X,Y,0*X,G,'k');
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold on

view(2)
axis([-3,3,-1,3]);
axis equal;
title('Curvas de nivel de la temperatura en 2D')
legend ('Gradiente');
contour(X,Y,T,30)
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
hold off

}}

===. Valor absoluto de la divergencia.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 6
%Divergencia de campos vectoriales
ro=1:0.1:2;
theta=((pi)/4):pi/30:((pi*3)/4);
[RO,THETA]=meshgrid(ro,theta);
X1=RO.*cos(THETA);
Y1=RO.*sin(THETA);
div1=log(RO)./2.*sin(THETA.*2-pi/2);
surf(X1,Y1,abs(div1))
colorbar
view(3)
title('Valor absoluto de la divergencia del campo vectorial de desplazamientos')
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
axis([-3,3,-1,3])
view(2)

}}

===. Módulo del rotacional.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 7
% Rotacional del campo vectorial
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
figure(1);
%Trabajamos en coordenadas cilíndricas
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
d=(log(U)./U).*cos((2.*V)-(pi/2)); %módulo gradiente
surf(X,Y,d);
colorbar
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Módulo del rotacional')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.1 RHO
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e ro
sigma=(3./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e ro')
}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{\theta }</math>.===
{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.2 THETA
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e theta
sigma=(log(U).*sin((2.*V)-(pi/2)))+((1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2)));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e theta')

}}

===. Tensión normal en la dirección <math>\vec{e}_{z }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 8.3 Z
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones normales en la dirección del eje e z
sigma=(1./(2.*U)).*sin((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
colorbar
view(2)
title('Tensiones normales en la dirección del eje e z')

}}

===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 9
u=1:0.2:2; %ro
v=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %theta
[U,V]=meshgrid(u,v); % creamos el mallado
X=U.*cos(V);
Y=U.*sin(V);
%Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a e ro
sigma=log(U).*cos((2.*V)-(pi/2));

surf(X,Y,sigma);
axis([-3,3,-1,3]);
colorbar
view(2)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
title('Tensiones tangenciales')

}}

===. Título fotografía/gráfica apartado 10 - CAMBIAR NOMBRE.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 10
===. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec{e}_{\rho }</math>.===

%Mallado
r=1:0.2:2; %radio del anillo
t=linspace(pi/4,3*pi/4,20); %ángulo theta
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
figure(1);
xx=rr.*cos(tt);%cilíndricas
yy=rr.*sin(tt);%cilíndricas
d=(log(rr)./rr).*cos((2.*tt)-(pi/2)); %módulo gradiente

%Matriz de tensiones "sigma"
A11 = @(R,T) (log(R)./(R)).*cos(2.*(T)- (pi/2));
A12 = @(R,T) ((sin(2.*T-(pi/2))./2.*(R)).*(1-log(R)));
A22 = @(R,T) (3.*log(R)./(R)).*cos(2.*T-(pi/2));
A21 = @(R,T) (sin(2.*T-(pi/2))./(2.*(R))).*(1-log(R));

sigma = [];
VonMises = zeros(length(t), length(r));

for i = 1:length(t)
for j = 1:length(r)
sigma(1,1) = A11(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,2) = A12(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(1,3) = 0;
sigma(2,1) = A21(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,2) = A22(rr(i,j),tt(i,j));
sigma(2,3) = 0;
sigma(3,1) = 0;
sigma(3,2) = 0;
sigma(3,3) = A11(rr(i,j),tt(i,j));

[f,c] = eig(sigma);
VonMises(i,j) = sqrt(((c(1,1)-c(2,2))^2+(c(2,2)-c(3,3))^2+(c(3,3)-c(1,1))^2)/2);

end
end
subplot(1,3,2);
surf(xx,yy,VonMises)
axis([-3,3,-1,3])
axis vis3d
colorbar;
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')
title('Tensión Von Mises');

subplot(1,3,3)
hold on
surf(xx,yy,VonMises);
view(0,0)
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOZ');
MAX = max(VonMises,[],'all');
xlabel('Eje x')
zlabel('Eje z')

text(-2,0,0.87,txt)
hold off

subplot(1,3,1)

surf(xx,yy,VonMises);
view(2)
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
axis([-3,3,-1,3])
colorbar;
title('XOY');

}}

===. Título fotografía/gráfica apartado 11 - CAMBIAR NOMBRE.===

{{matlab|codigo=
%Pregunta 11

}}

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:39:31Z

Constanza Gómez de Salazar:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T09:22:54Z

Constanza Gómez de Salazar:

Visualización de campos escalares y vectoriales en un cuarto de anillo circular - Grupo 12B

2022-12-09T07:42:59Z

Constanza Gómez de Salazar:

Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

2022-11-23T13:40:25Z

Constanza Gómez de Salazar:

{{ TrabajoSIG | Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal. | Cristina Pérez Pozuelo; Luca Andrés Mettifogo Retamal; Gabriel Enrique Padron Plaz; Constanza Gómez de Salazar Gutiérrez | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}
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Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_22/23]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_22/23|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 22/23]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==

== Metodología ==

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_22/23]]

Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

2022-11-23T13:36:31Z

Constanza Gómez de Salazar:

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}
Usa el enlace ''Ver fuente'' (o ''Editar'' si has entrado con tu usuario) para ver el código wiki de esta plantilla y usarlo para tu trabajo. '''No guardes los cambios en esta plantilla'''. [[Ayuda:Crear un artículo|Crea tu propio artículo]], y copia y pega allí el código wiki. Consulta la [[Ayuda:Contenidos|ayuda]] para saber cómo añadir diferentes elementos a tu artículo. También te puedes fijar en el resto de artículos que hay en el wiki. Pero '''por favor no guardes tus cambios en los artículos de otras personas'''. En un wiki, cualquiera puede tocar cualquier artículo. Esto facilita mantener al día los contenidos, pero también quiere decir que podemos pisar sin querer otros artículos. Si queremos añadir contenido nuevo, es mejor crear un artículo nuevo. '''Puedes crear tantos artículos como quieras''', el wiki es de todos, si tienes contenidos docentes originales, puedes compartirlos en MateWiki.

Al principio de tu artículo añade el siguiente código, para que aparezca una tabla como la que se muestra a la derecha:

<pre><nowiki>{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}</nowiki></pre>

Al final de tu artículo, incluye el siguiente código también, para clasificar adecuadamente tu trabajo:

<pre><nowiki>[[Categoría:SIGAIC_22/23]]</nowiki></pre>

Combinado con el código de esta plantilla, tu artículo quedará clasificado en la asignatura [[:Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil|Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]] y en el [[:Categoría:SIGAIC_22/23|listado de trabajos de estudiantes del curso académico 22/23]].

Usa todo el código de abajo para tener la estructura inicial del artículo.

Resumen máximo 300 palabras

== Introducción ==

== Metodología ==

== Resultados ==

== Conclusiones ==

== Anejos ==

Se pueden adjuntar archivos usando el enlace ''Subir archivo'' que aparece a la izquierda.

[[Categoría:Sistemas de Información Geográfica Aplicados a la Ingeniería Civil]]
[[Categoría:SIGAIC_22/23]]

Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

2022-11-10T14:07:05Z

Constanza Gómez de Salazar:

{{ TrabajoSIG | Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal. | Cristina Pérez-Pozuelo; Constanza Gómez de Salazar | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}

Estudio de viabilidad de la unión de las estaciones de esquí de Astún y Formigal.

2022-11-10T14:03:44Z

Constanza Gómez de Salazar: {{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | Curso 22/23 }}

{{ TrabajoSIG | Mi título | Nuestros nombres | [[:Categoría:SIGAIC_22/23|Curso 22/23]] }}