Coloma de Lara:

{{ TrabajoED | Ecuación del Calor. Grupo CCE| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Coloma de Lara
Carlos de Miguel

Elena Rodríguez }}

[[Medio:TrabajoEcuaciondelCalorCCEbueno.pdf]]

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1.==
Primero vamos a ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión <math> 1 </math> , tomando <math>x\in [-1,1] </math> y <math>t\in [10^{-2},1] </math>. Recordamos que la solución fundamental de la ecuación del calor es :

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>

donde <math> k </math> es la constante de difusión térmica del material. Para ilustrarla vamos a suponer <math> k=1 </math>.
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros iniciales
k = 1; % Asumimos difusividad 1
x = linspace(-1, 1, 1000);
% Instantes de tiempo dentro del intervalo [10^-2, 1]
tiempos = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

figure;
hold on;
grid on;
colores = lines(length(tiempos));

% Calcular y dibujar la solución en cada instante de tiempo
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);

% fórmula de la solución fundamental
Phi = (1 / sqrt(4 * pi * k * t)) * exp(-(x.^2) / (4 * k * t));

% dibujamos
plot(x, Phi, 'LineWidth', 2, 'Color', colores(i,:), ...
'DisplayName', ['t = ', num2str(t)]);
end

title('Solución fundamental de la ecuación del calor', 'FontSize', 14);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 12);
ylabel('\Phi(x,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11);
xlim([-1 1]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Solucionfundamentaldelaecuaciondelcalor.png|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2.==
Vamos a representar ahora la solución fundamental en dimensión <math> 2</math> para los tiempos <math>t=0.001 </math>, <math> t=0.01</math> y <math> t= 0.1</math> y veremos como se acerca a una Delta de Dirac, ya que toda la energía se concentra en un solo punto a medida que el tiempo se acerca a 0. Ahora la solución fundamental es de la forma:

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{4\pi k t} e^{-\frac{x^2 + y^2}{4kt}}</math>

El código es:
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! colspan="3" style="text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB: Representación dim=2
|-
| colspan="3" style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
k = 1;
tiempos = [0.1, 0.01, 0.001];
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 100), linspace(-1, 1, 100));

figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi_2D = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 3, i);

surf(X, Y, Phi_2D, 'EdgeColor', 'none');
colormap(jet);

view(-30, 30);
title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 14);
xlabel('x_1', 'FontSize', 12);
ylabel('x_2', 'FontSize', 12);
zlabel('\Phi', 'FontSize', 12);

xlim([-1 1]);
ylim([-1 1]);
end

sgtitle('Solución fundamental en dimensión 2', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
</syntaxhighlight>
|-
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 1. t=0.1
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 2. t=0.01
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 3. t=0.001
|-
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.1GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.01GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.001GrupoCCE.png|300px|thumb|center|]]
|}

==Autosemejanza==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;

% Parámetro de difusión
k = 1;

% Valores de tiempo
t_values = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

% Dominio espacial
x = linspace(-1, 1, 1000);

%% 🔹 Gráfica 1: u(x,t) para distintos tiempos
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));
plot(x, u, 'LineWidth', 2);
end

title('Solución de la ecuación del calor');
xlabel('x');
ylabel('u(x,t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;

%% 🔹 Gráfica 2: Autosemejanza
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));

xi = x ./ sqrt(t); % variable reescalada
u_rescaled = u .* sqrt(t); % reescalado vertical

plot(xi, u_rescaled, 'LineWidth', 2);
end

title('Autosemejanza: colapso de curvas');
xlabel('\xi = x / sqrt(t)');
ylabel('u(x,t) * sqrt(t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Autosemejanza.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
[[Archivo:Autosemejanza1bueno.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Mapa de calor=
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t_final = 1;
Nx = 300;
Nt = 300;

x_full = linspace(-1, 1, Nx);
t_full = linspace(1e-4, t_final, Nt); después de cero para evitar la división por cero
[X, T] = meshgrid(x_full, t_full);
Phi_XT = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * T)) .* exp(-(X.^2) ./ (4 * k * T));

figure('Position', [100, 100, 800, 700], 'Color', 'k'); % Fondo negro
axes('Color', 'k', 'XColor', 'w', 'YColor', 'w'); % Ejes blancos sobre fondo negro
hold on; grid off; % Eliminamos la rejilla para un look más limpio

% Usamos pcolor y shadin interp para el degradado
p = pcolor(X, T, Phi_XT);
shading interp;

% elegir y ajustar el mapa de colores para el efecto "luz"
colormap(hot); % mapa de colores cálido
caxis([0 3.5]);

title({'MAPA ESPACIO-TEMPORAL: DELTA DE DIRAC PUNTUAL}, ...
'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'w', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');
ylabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');

xlim([-1 1]);
ylim([-0.02 t_final]);
view(0, 90);
hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:MapadecalorgrupoCCE.png|450px|thumb|center|Mapa calor solucion fundamental.]]
|}

==Decaimiento==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Phi_max_1D = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * t));
Phi_max_2D = (1 ./ (4 * pi * k * t));

figure;
hold on;
grid on;

% Dibujamos el decaimiento usando escala logarítmica en ambos ejes
loglog(t, Phi_max_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 1D (\propto t^{-1/2})');

loglog(t, Phi_max_2D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.8500 0.3250 0.0980], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 2D (\propto t^{-1})');
loglog(t, 0.2 * t.^(-0.5), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1/2');
loglog(t, 0.05 * t.^(-1), ':k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1');
% ----------------------------------

title('Decaimiento térmico en el origen cuando t \rightarrow \infty', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Temperatura máxima \Phi(0,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');
xlim([1 10^4]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena2.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Norma_L1 = ones(size(t));
Norma_L2_1D = (8 * pi * k * t).^(-1/4);

figure;
hold on;
grid on;
loglog(t, Norma_L1, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.4660 0.6740 0.1880], ...
'DisplayName', 'Norma L^1 (Conservación de energía)');

loglog(t, Norma_L2_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Norma L^2 (Decaimiento \propto t^{-1/4})');
loglog(t, 0.5 * t.^(-0.25), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de ref: -1/4');

title('Evolución de las normas L^1 y L^2 en 1D (t \rightarrow \infty)', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Valor de la norma', 'FontSize', 12);
ylim([0.01 2]); % Para dar algo de aire por arriba de la línea L1
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena1.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
x = linspace(-2, 2, 100);
y = linspace(-2, 2, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
tiempos = [0.05, 0.2, 0.5, 1];

figure('Position', [100, 100, 1200, 350], 'Name', 'Solución Fundamental 2D');
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 4, i);

surf(X, Y, Phi, 'EdgeColor', 'none');

colormap turbo;
grid on;
zlim([0 1.6]);

title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 12);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 10);
ylabel('Posición (y)', 'FontSize', 10);
zlabel('\Phi(x,y,t)', 'FontSize', 10);

view(-30, 30);
end
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena3.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Archivo:TrabajoEcuaciondelCalorCCEbueno.pdf

2026-04-12T21:06:55Z

Coloma de Lara:

Ecuación del Calor Grupo CCE

2026-04-12T20:49:17Z

Coloma de Lara:

{{ TrabajoED | Ecuación del Calor. Grupo CCE| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Coloma de Lara
Carlos de Miguel

Elena Rodríguez }}

[[Medio:TrabajoEcuaciondelCalorCCE.pdf]]

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1.==
Primero vamos a ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión <math> 1 </math> , tomando <math>x\in [-1,1] </math> y <math>t\in [10^{-2},1] </math>. Recordamos que la solución fundamental de la ecuación del calor es :

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>

donde <math> k </math> es la constante de difusión térmica del material. Para ilustrarla vamos a suponer <math> k=1 </math>.
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros iniciales
k = 1; % Asumimos difusividad 1
x = linspace(-1, 1, 1000);
% Instantes de tiempo dentro del intervalo [10^-2, 1]
tiempos = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

figure;
hold on;
grid on;
colores = lines(length(tiempos));

% Calcular y dibujar la solución en cada instante de tiempo
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);

% fórmula de la solución fundamental
Phi = (1 / sqrt(4 * pi * k * t)) * exp(-(x.^2) / (4 * k * t));

% dibujamos
plot(x, Phi, 'LineWidth', 2, 'Color', colores(i,:), ...
'DisplayName', ['t = ', num2str(t)]);
end

title('Solución fundamental de la ecuación del calor', 'FontSize', 14);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 12);
ylabel('\Phi(x,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11);
xlim([-1 1]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Solucionfundamentaldelaecuaciondelcalor.png|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2.==
Vamos a representar ahora la solución fundamental en dimensión <math> 2</math> para los tiempos <math>t=0.001 </math>, <math> t=0.01</math> y <math> t= 0.1</math> y veremos como se acerca a una Delta de Dirac, ya que toda la energía se concentra en un solo punto a medida que el tiempo se acerca a 0. Ahora la solución fundamental es de la forma:

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{4\pi k t} e^{-\frac{x^2 + y^2}{4kt}}</math>

El código es:
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! colspan="3" style="text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB: Representación dim=2
|-
| colspan="3" style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
k = 1;
tiempos = [0.1, 0.01, 0.001];
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 100), linspace(-1, 1, 100));

figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi_2D = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 3, i);

surf(X, Y, Phi_2D, 'EdgeColor', 'none');
colormap(jet);

view(-30, 30);
title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 14);
xlabel('x_1', 'FontSize', 12);
ylabel('x_2', 'FontSize', 12);
zlabel('\Phi', 'FontSize', 12);

xlim([-1 1]);
ylim([-1 1]);
end

sgtitle('Solución fundamental en dimensión 2', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
</syntaxhighlight>
|-
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 1. t=0.1
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 2. t=0.01
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 3. t=0.001
|-
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.1GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.01GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.001GrupoCCE.png|300px|thumb|center|]]
|}

==Autosemejanza==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;

% Parámetro de difusión
k = 1;

% Valores de tiempo
t_values = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

% Dominio espacial
x = linspace(-1, 1, 1000);

%% 🔹 Gráfica 1: u(x,t) para distintos tiempos
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));
plot(x, u, 'LineWidth', 2);
end

title('Solución de la ecuación del calor');
xlabel('x');
ylabel('u(x,t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;

%% 🔹 Gráfica 2: Autosemejanza
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));

xi = x ./ sqrt(t); % variable reescalada
u_rescaled = u .* sqrt(t); % reescalado vertical

plot(xi, u_rescaled, 'LineWidth', 2);
end

title('Autosemejanza: colapso de curvas');
xlabel('\xi = x / sqrt(t)');
ylabel('u(x,t) * sqrt(t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Autosemejanza.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
[[Archivo:Autosemejanza1bueno.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Mapa de calor=
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t_final = 1;
Nx = 300;
Nt = 300;

x_full = linspace(-1, 1, Nx);
t_full = linspace(1e-4, t_final, Nt); después de cero para evitar la división por cero
[X, T] = meshgrid(x_full, t_full);
Phi_XT = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * T)) .* exp(-(X.^2) ./ (4 * k * T));

figure('Position', [100, 100, 800, 700], 'Color', 'k'); % Fondo negro
axes('Color', 'k', 'XColor', 'w', 'YColor', 'w'); % Ejes blancos sobre fondo negro
hold on; grid off; % Eliminamos la rejilla para un look más limpio

% Usamos pcolor y shadin interp para el degradado
p = pcolor(X, T, Phi_XT);
shading interp;

% elegir y ajustar el mapa de colores para el efecto "luz"
colormap(hot); % mapa de colores cálido
caxis([0 3.5]);

title({'MAPA ESPACIO-TEMPORAL: DELTA DE DIRAC PUNTUAL}, ...
'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'w', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');
ylabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');

xlim([-1 1]);
ylim([-0.02 t_final]);
view(0, 90);
hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:MapadecalorgrupoCCE.png|450px|thumb|center|Mapa calor solucion fundamental.]]
|}

==Decaimiento==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Phi_max_1D = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * t));
Phi_max_2D = (1 ./ (4 * pi * k * t));

figure;
hold on;
grid on;

% Dibujamos el decaimiento usando escala logarítmica en ambos ejes
loglog(t, Phi_max_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 1D (\propto t^{-1/2})');

loglog(t, Phi_max_2D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.8500 0.3250 0.0980], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 2D (\propto t^{-1})');
loglog(t, 0.2 * t.^(-0.5), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1/2');
loglog(t, 0.05 * t.^(-1), ':k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1');
% ----------------------------------

title('Decaimiento térmico en el origen cuando t \rightarrow \infty', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Temperatura máxima \Phi(0,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');
xlim([1 10^4]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena2.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Norma_L1 = ones(size(t));
Norma_L2_1D = (8 * pi * k * t).^(-1/4);

figure;
hold on;
grid on;
loglog(t, Norma_L1, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.4660 0.6740 0.1880], ...
'DisplayName', 'Norma L^1 (Conservación de energía)');

loglog(t, Norma_L2_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Norma L^2 (Decaimiento \propto t^{-1/4})');
loglog(t, 0.5 * t.^(-0.25), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de ref: -1/4');

title('Evolución de las normas L^1 y L^2 en 1D (t \rightarrow \infty)', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Valor de la norma', 'FontSize', 12);
ylim([0.01 2]); % Para dar algo de aire por arriba de la línea L1
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena1.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
x = linspace(-2, 2, 100);
y = linspace(-2, 2, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
tiempos = [0.05, 0.2, 0.5, 1];

figure('Position', [100, 100, 1200, 350], 'Name', 'Solución Fundamental 2D');
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 4, i);

surf(X, Y, Phi, 'EdgeColor', 'none');

colormap turbo;
grid on;
zlim([0 1.6]);

title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 12);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 10);
ylabel('Posición (y)', 'FontSize', 10);
zlabel('\Phi(x,y,t)', 'FontSize', 10);

view(-30, 30);
end
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena3.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Archivo:TrabajoEcuaciondelCalorCCE.pdf

2026-04-12T20:47:53Z

Coloma de Lara:

Ecuación del Calor Grupo CCE

2026-04-12T20:42:23Z

Coloma de Lara: /* Decaimiento */

{{ TrabajoED | Ecuación del Calor. Grupo CCE| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Coloma de Lara
Carlos de Miguel

Elena Rodríguez }}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1.==
Primero vamos a ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión <math> 1 </math> , tomando <math>x\in [-1,1] </math> y <math>t\in [10^{-2},1] </math>. Recordamos que la solución fundamental de la ecuación del calor es :

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>

donde <math> k </math> es la constante de difusión térmica del material. Para ilustrarla vamos a suponer <math> k=1 </math>.
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros iniciales
k = 1; % Asumimos difusividad 1
x = linspace(-1, 1, 1000);
% Instantes de tiempo dentro del intervalo [10^-2, 1]
tiempos = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

figure;
hold on;
grid on;
colores = lines(length(tiempos));

% Calcular y dibujar la solución en cada instante de tiempo
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);

% fórmula de la solución fundamental
Phi = (1 / sqrt(4 * pi * k * t)) * exp(-(x.^2) / (4 * k * t));

% dibujamos
plot(x, Phi, 'LineWidth', 2, 'Color', colores(i,:), ...
'DisplayName', ['t = ', num2str(t)]);
end

title('Solución fundamental de la ecuación del calor', 'FontSize', 14);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 12);
ylabel('\Phi(x,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11);
xlim([-1 1]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Solucionfundamentaldelaecuaciondelcalor.png|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2.==
Vamos a representar ahora la solución fundamental en dimensión <math> 2</math> para los tiempos <math>t=0.001 </math>, <math> t=0.01</math> y <math> t= 0.1</math> y veremos como se acerca a una Delta de Dirac, ya que toda la energía se concentra en un solo punto a medida que el tiempo se acerca a 0. Ahora la solución fundamental es de la forma:

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{4\pi k t} e^{-\frac{x^2 + y^2}{4kt}}</math>

El código es:
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! colspan="3" style="text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB: Representación dim=2
|-
| colspan="3" style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
k = 1;
tiempos = [0.1, 0.01, 0.001];
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 100), linspace(-1, 1, 100));

figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi_2D = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 3, i);

surf(X, Y, Phi_2D, 'EdgeColor', 'none');
colormap(jet);

view(-30, 30);
title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 14);
xlabel('x_1', 'FontSize', 12);
ylabel('x_2', 'FontSize', 12);
zlabel('\Phi', 'FontSize', 12);

xlim([-1 1]);
ylim([-1 1]);
end

sgtitle('Solución fundamental en dimensión 2', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
</syntaxhighlight>
|-
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 1. t=0.1
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 2. t=0.01
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 3. t=0.001
|-
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.1GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.01GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.001GrupoCCE.png|300px|thumb|center|]]
|}

==Autosemejanza==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;

% Parámetro de difusión
k = 1;

% Valores de tiempo
t_values = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

% Dominio espacial
x = linspace(-1, 1, 1000);

%% 🔹 Gráfica 1: u(x,t) para distintos tiempos
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));
plot(x, u, 'LineWidth', 2);
end

title('Solución de la ecuación del calor');
xlabel('x');
ylabel('u(x,t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;

%% 🔹 Gráfica 2: Autosemejanza
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));

xi = x ./ sqrt(t); % variable reescalada
u_rescaled = u .* sqrt(t); % reescalado vertical

plot(xi, u_rescaled, 'LineWidth', 2);
end

title('Autosemejanza: colapso de curvas');
xlabel('\xi = x / sqrt(t)');
ylabel('u(x,t) * sqrt(t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Autosemejanza.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
[[Archivo:Autosemejanza1bueno.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Mapa de calor=
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t_final = 1;
Nx = 300;
Nt = 300;

x_full = linspace(-1, 1, Nx);
t_full = linspace(1e-4, t_final, Nt); después de cero para evitar la división por cero
[X, T] = meshgrid(x_full, t_full);
Phi_XT = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * T)) .* exp(-(X.^2) ./ (4 * k * T));

figure('Position', [100, 100, 800, 700], 'Color', 'k'); % Fondo negro
axes('Color', 'k', 'XColor', 'w', 'YColor', 'w'); % Ejes blancos sobre fondo negro
hold on; grid off; % Eliminamos la rejilla para un look más limpio

% Usamos pcolor y shadin interp para el degradado
p = pcolor(X, T, Phi_XT);
shading interp;

% elegir y ajustar el mapa de colores para el efecto "luz"
colormap(hot); % mapa de colores cálido
caxis([0 3.5]);

title({'MAPA ESPACIO-TEMPORAL: DELTA DE DIRAC PUNTUAL}, ...
'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'w', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');
ylabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');

xlim([-1 1]);
ylim([-0.02 t_final]);
view(0, 90);
hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:MapadecalorgrupoCCE.png|450px|thumb|center|Mapa calor solucion fundamental.]]
|}

==Decaimiento==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Phi_max_1D = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * t));
Phi_max_2D = (1 ./ (4 * pi * k * t));

figure;
hold on;
grid on;

% Dibujamos el decaimiento usando escala logarítmica en ambos ejes
loglog(t, Phi_max_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 1D (\propto t^{-1/2})');

loglog(t, Phi_max_2D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.8500 0.3250 0.0980], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 2D (\propto t^{-1})');
loglog(t, 0.2 * t.^(-0.5), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1/2');
loglog(t, 0.05 * t.^(-1), ':k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1');
% ----------------------------------

title('Decaimiento térmico en el origen cuando t \rightarrow \infty', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Temperatura máxima \Phi(0,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');
xlim([1 10^4]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena2.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Norma_L1 = ones(size(t));
Norma_L2_1D = (8 * pi * k * t).^(-1/4);

figure;
hold on;
grid on;
loglog(t, Norma_L1, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.4660 0.6740 0.1880], ...
'DisplayName', 'Norma L^1 (Conservación de energía)');

loglog(t, Norma_L2_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Norma L^2 (Decaimiento \propto t^{-1/4})');
loglog(t, 0.5 * t.^(-0.25), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de ref: -1/4');

title('Evolución de las normas L^1 y L^2 en 1D (t \rightarrow \infty)', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Valor de la norma', 'FontSize', 12);
ylim([0.01 2]); % Para dar algo de aire por arriba de la línea L1
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena1.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
x = linspace(-2, 2, 100);
y = linspace(-2, 2, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
tiempos = [0.05, 0.2, 0.5, 1];

figure('Position', [100, 100, 1200, 350], 'Name', 'Solución Fundamental 2D');
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 4, i);

surf(X, Y, Phi, 'EdgeColor', 'none');

colormap turbo;
grid on;
zlim([0 1.6]);

title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 12);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 10);
ylabel('Posición (y)', 'FontSize', 10);
zlabel('\Phi(x,y,t)', 'FontSize', 10);

view(-30, 30);
end
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena3.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Ecuación del Calor Grupo CCE

2026-04-12T19:48:11Z

Coloma de Lara:

{{ TrabajoED | Ecuación del Calor. Grupo CCE| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Coloma de Lara
Carlos de Miguel

Elena Rodríguez }}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1.==
Primero vamos a ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión <math> 1 </math> , tomando <math>x\in [-1,1] </math> y <math>t\in [10^{-2},1] </math>. Recordamos que la solución fundamental de la ecuación del calor es :

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>

donde <math> k </math> es la constante de difusión térmica del material. Para ilustrarla vamos a suponer <math> k=1 </math>.
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros iniciales
k = 1; % Asumimos difusividad 1
x = linspace(-1, 1, 1000);
% Instantes de tiempo dentro del intervalo [10^-2, 1]
tiempos = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

figure;
hold on;
grid on;
colores = lines(length(tiempos));

% Calcular y dibujar la solución en cada instante de tiempo
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);

% fórmula de la solución fundamental
Phi = (1 / sqrt(4 * pi * k * t)) * exp(-(x.^2) / (4 * k * t));

% dibujamos
plot(x, Phi, 'LineWidth', 2, 'Color', colores(i,:), ...
'DisplayName', ['t = ', num2str(t)]);
end

title('Solución fundamental de la ecuación del calor', 'FontSize', 14);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 12);
ylabel('\Phi(x,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11);
xlim([-1 1]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Solucionfundamentaldelaecuaciondelcalor.png|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2.==
Vamos a representar ahora la solución fundamental en dimensión <math> 2</math> para los tiempos <math>t=0.001 </math>, <math> t=0.01</math> y <math> t= 0.1</math> y veremos como se acerca a una Delta de Dirac, ya que toda la energía se concentra en un solo punto a medida que el tiempo se acerca a 0. Ahora la solución fundamental es de la forma:

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{4\pi k t} e^{-\frac{x^2 + y^2}{4kt}}</math>

El código es:
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! colspan="3" style="text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB: Representación dim=2
|-
| colspan="3" style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
k = 1;
tiempos = [0.1, 0.01, 0.001];
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 100), linspace(-1, 1, 100));

figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi_2D = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 3, i);

surf(X, Y, Phi_2D, 'EdgeColor', 'none');
colormap(jet);

view(-30, 30);
title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 14);
xlabel('x_1', 'FontSize', 12);
ylabel('x_2', 'FontSize', 12);
zlabel('\Phi', 'FontSize', 12);

xlim([-1 1]);
ylim([-1 1]);
end

sgtitle('Solución fundamental en dimensión 2', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
</syntaxhighlight>
|-
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 1. t=0.1
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 2. t=0.01
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 3. t=0.001
|-
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.1GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.01GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.001GrupoCCE.png|300px|thumb|center|]]
|}

==Autosemejanza==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;

% Parámetro de difusión
k = 1;

% Valores de tiempo
t_values = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

% Dominio espacial
x = linspace(-1, 1, 1000);

%% 🔹 Gráfica 1: u(x,t) para distintos tiempos
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));
plot(x, u, 'LineWidth', 2);
end

title('Solución de la ecuación del calor');
xlabel('x');
ylabel('u(x,t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;

%% 🔹 Gráfica 2: Autosemejanza
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));

xi = x ./ sqrt(t); % variable reescalada
u_rescaled = u .* sqrt(t); % reescalado vertical

plot(xi, u_rescaled, 'LineWidth', 2);
end

title('Autosemejanza: colapso de curvas');
xlabel('\xi = x / sqrt(t)');
ylabel('u(x,t) * sqrt(t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Autosemejanza.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
[[Archivo:Autosemejanza1bueno.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Mapa de calor=
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t_final = 1;
Nx = 300;
Nt = 300;

x_full = linspace(-1, 1, Nx);
t_full = linspace(1e-4, t_final, Nt); después de cero para evitar la división por cero
[X, T] = meshgrid(x_full, t_full);
Phi_XT = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * T)) .* exp(-(X.^2) ./ (4 * k * T));

figure('Position', [100, 100, 800, 700], 'Color', 'k'); % Fondo negro
axes('Color', 'k', 'XColor', 'w', 'YColor', 'w'); % Ejes blancos sobre fondo negro
hold on; grid off; % Eliminamos la rejilla para un look más limpio

% Usamos pcolor y shadin interp para el degradado
p = pcolor(X, T, Phi_XT);
shading interp;

% elegir y ajustar el mapa de colores para el efecto "luz"
colormap(hot); % mapa de colores cálido
caxis([0 3.5]);

title({'MAPA ESPACIO-TEMPORAL: DELTA DE DIRAC PUNTUAL}, ...
'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'w', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');
ylabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');

xlim([-1 1]);
ylim([-0.02 t_final]);
view(0, 90);
hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:MapadecalorgrupoCCE.png|450px|thumb|center|Mapa calor solucion fundamental.]]
|}

==Decaimiento==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Phi_max_1D = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * t));
Phi_max_2D = (1 ./ (4 * pi * k * t));

figure;
hold on;
grid on;

% Dibujamos el decaimiento usando escala logarítmica en ambos ejes
loglog(t, Phi_max_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 1D (\propto t^{-1/2})');

loglog(t, Phi_max_2D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.8500 0.3250 0.0980], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 2D (\propto t^{-1})');
loglog(t, 0.2 * t.^(-0.5), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1/2');
loglog(t, 0.05 * t.^(-1), ':k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1');
% ----------------------------------

title('Decaimiento térmico en el origen cuando t \rightarrow \infty', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Temperatura máxima \Phi(0,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');
xlim([1 10^4]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena1.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Norma_L1 = ones(size(t));
Norma_L2_1D = (8 * pi * k * t).^(-1/4);

figure;
hold on;
grid on;
loglog(t, Norma_L1, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.4660 0.6740 0.1880], ...
'DisplayName', 'Norma L^1 (Conservación de energía)');

loglog(t, Norma_L2_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Norma L^2 (Decaimiento \propto t^{-1/4})');
loglog(t, 0.5 * t.^(-0.25), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de ref: -1/4');

title('Evolución de las normas L^1 y L^2 en 1D (t \rightarrow \infty)', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Valor de la norma', 'FontSize', 12);
ylim([0.01 2]); % Para dar algo de aire por arriba de la línea L1
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena2.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
x = linspace(-2, 2, 100);
y = linspace(-2, 2, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
tiempos = [0.05, 0.2, 0.5, 1];

figure('Position', [100, 100, 1200, 350], 'Name', 'Solución Fundamental 2D');
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 4, i);

surf(X, Y, Phi, 'EdgeColor', 'none');

colormap turbo;
grid on;
zlim([0 1.6]);

title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 12);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 10);
ylabel('Posición (y)', 'FontSize', 10);
zlabel('\Phi(x,y,t)', 'FontSize', 10);

view(-30, 30);
end
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena3.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

[[Categoría:EDP]]
[[Categoría:EDP25/26]]

Ecuación del Calor Grupo CCE

2026-04-12T19:46:07Z

Coloma de Lara: /* Decaimiento */

{{ TrabajoED | Ecuación del Calor. Grupo CCE| [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP25/26|2025-26]] | Coloma de Lara
Carlos de Miguel

Elena Rodríguez }}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1.==
Primero vamos a ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión <math> 1 </math> , tomando <math>x\in [-1,1] </math> y <math>t\in [10^{-2},1] </math>. Recordamos que la solución fundamental de la ecuación del calor es :

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi k t}} e^{-\frac{x^2}{4kt}}</math>

donde <math> k </math> es la constante de difusión térmica del material. Para ilustrarla vamos a suponer <math> k=1 </math>.
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
% Parámetros iniciales
k = 1; % Asumimos difusividad 1
x = linspace(-1, 1, 1000);
% Instantes de tiempo dentro del intervalo [10^-2, 1]
tiempos = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

figure;
hold on;
grid on;
colores = lines(length(tiempos));

% Calcular y dibujar la solución en cada instante de tiempo
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);

% fórmula de la solución fundamental
Phi = (1 / sqrt(4 * pi * k * t)) * exp(-(x.^2) / (4 * k * t));

% dibujamos
plot(x, Phi, 'LineWidth', 2, 'Color', colores(i,:), ...
'DisplayName', ['t = ', num2str(t)]);
end

title('Solución fundamental de la ecuación del calor', 'FontSize', 14);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 12);
ylabel('\Phi(x,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11);
xlim([-1 1]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Solucionfundamentaldelaecuaciondelcalor.png|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 2.==
Vamos a representar ahora la solución fundamental en dimensión <math> 2</math> para los tiempos <math>t=0.001 </math>, <math> t=0.01</math> y <math> t= 0.1</math> y veremos como se acerca a una Delta de Dirac, ya que toda la energía se concentra en un solo punto a medida que el tiempo se acerca a 0. Ahora la solución fundamental es de la forma:

<math display="block">\Phi(x,t) = \frac{1}{4\pi k t} e^{-\frac{x^2 + y^2}{4kt}}</math>

El código es:
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! colspan="3" style="text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB: Representación dim=2
|-
| colspan="3" style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
k = 1;
tiempos = [0.1, 0.01, 0.001];
[X, Y] = meshgrid(linspace(-1, 1, 100), linspace(-1, 1, 100));

figure('Position', [100, 100, 1200, 400]);
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi_2D = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 3, i);

surf(X, Y, Phi_2D, 'EdgeColor', 'none');
colormap(jet);

view(-30, 30);
title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 14);
xlabel('x_1', 'FontSize', 12);
ylabel('x_2', 'FontSize', 12);
zlabel('\Phi', 'FontSize', 12);

xlim([-1 1]);
ylim([-1 1]);
end

sgtitle('Solución fundamental en dimensión 2', 'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold');
</syntaxhighlight>
|-
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 1. t=0.1
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 2. t=0.01
! style="width: 33%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | 3. t=0.001
|-
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.1GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.01GrupoCCE.png|300px|thumb|center|.]]
| style="text-align: center;" |
[[Archivo:Soluciont0.001GrupoCCE.png|300px|thumb|center|]]
|}

==Autosemejanza==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;

% Parámetro de difusión
k = 1;

% Valores de tiempo
t_values = [0.01, 0.05, 0.1, 0.5, 1];

% Dominio espacial
x = linspace(-1, 1, 1000);

%% 🔹 Gráfica 1: u(x,t) para distintos tiempos
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));
plot(x, u, 'LineWidth', 2);
end

title('Solución de la ecuación del calor');
xlabel('x');
ylabel('u(x,t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;

%% 🔹 Gráfica 2: Autosemejanza
figure;
hold on;

for t = t_values
u = (1./sqrt(4*pi*k*t)) .* exp(-x.^2./(4*k*t));

xi = x ./ sqrt(t); % variable reescalada
u_rescaled = u .* sqrt(t); % reescalado vertical

plot(xi, u_rescaled, 'LineWidth', 2);
end

title('Autosemejanza: colapso de curvas');
xlabel('\xi = x / sqrt(t)');
ylabel('u(x,t) * sqrt(t)');
legend('t=0.01','t=0.05','t=0.1','t=0.5','t=1');
grid on;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Autosemejanza.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
[[Archivo:Autosemejanza1bueno.jpeg|450px|thumb|center|Solución fundamental.]]
|}

==Mapa de calor=
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t_final = 1;
Nx = 300;
Nt = 300;

x_full = linspace(-1, 1, Nx);
t_full = linspace(1e-4, t_final, Nt); después de cero para evitar la división por cero
[X, T] = meshgrid(x_full, t_full);
Phi_XT = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * T)) .* exp(-(X.^2) ./ (4 * k * T));

figure('Position', [100, 100, 800, 700], 'Color', 'k'); % Fondo negro
axes('Color', 'k', 'XColor', 'w', 'YColor', 'w'); % Ejes blancos sobre fondo negro
hold on; grid off; % Eliminamos la rejilla para un look más limpio

% Usamos pcolor y shadin interp para el degradado
p = pcolor(X, T, Phi_XT);
shading interp;

% elegir y ajustar el mapa de colores para el efecto "luz"
colormap(hot); % mapa de colores cálido
caxis([0 3.5]);

title({'MAPA ESPACIO-TEMPORAL: DELTA DE DIRAC PUNTUAL}, ...
'FontSize', 16, 'FontWeight', 'bold', 'Color', 'w', 'Interpreter', 'latex');
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');
ylabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 14, 'Color', 'w');

xlim([-1 1]);
ylim([-0.02 t_final]);
view(0, 90);
hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:MapadecalorgrupoCCE.png|450px|thumb|center|Mapa calor solucion fundamental.]]
|}

==Decaimiento==
{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Phi_max_1D = (1 ./ sqrt(4 * pi * k * t));
Phi_max_2D = (1 ./ (4 * pi * k * t));

figure;
hold on;
grid on;

% Dibujamos el decaimiento usando escala logarítmica en ambos ejes
loglog(t, Phi_max_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 1D (\propto t^{-1/2})');

loglog(t, Phi_max_2D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.8500 0.3250 0.0980], ...
'DisplayName', 'Decaimiento 2D (\propto t^{-1})');
loglog(t, 0.2 * t.^(-0.5), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1/2');
loglog(t, 0.05 * t.^(-1), ':k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de referencia: -1');
% ----------------------------------

title('Decaimiento térmico en el origen cuando t \rightarrow \infty', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Temperatura máxima \Phi(0,t)', 'FontSize', 12);
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');
xlim([1 10^4]);

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena1.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
k = 1;
t = logspace(0, 4, 100);
Norma_L1 = ones(size(t));
Norma_L2_1D = (8 * pi * k * t).^(-1/4);

figure;
hold on;
grid on;
loglog(t, Norma_L1, 'LineWidth', 2, 'Color', [0.4660 0.6740 0.1880], ...
'DisplayName', 'Norma L^1 (Conservación de energía)');

loglog(t, Norma_L2_1D, 'LineWidth', 2, 'Color', [0 0.4470 0.7410], ...
'DisplayName', 'Norma L^2 (Decaimiento \propto t^{-1/4})');
loglog(t, 0.5 * t.^(-0.25), '--k', 'LineWidth', 1, ...
'DisplayName', 'Pendiente de ref: -1/4');

title('Evolución de las normas L^1 y L^2 en 1D (t \rightarrow \infty)', 'FontSize', 14);
xlabel('Tiempo (t)', 'FontSize', 12);
ylabel('Valor de la norma', 'FontSize', 12);
ylim([0.01 2]); % Para dar algo de aire por arriba de la línea L1
legend('show', 'FontSize', 11, 'Location', 'southwest');

hold off;
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena2.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

{| class="wikitable" style="width: 100%; border: none; background: transparent;"
|-
! style="width: 65%; text-align: left; background: #f2f2f2;" | Implementación en MATLAB
! style="width: 35%; text-align: center; background: #f2f2f2;" | Resultado Gráfico
|-
| style="vertical-align: top;" |
<syntaxhighlight lang="matlab">
clear; clc; close all;
% Parámetros iniciales
k = 1;
x = linspace(-2, 2, 100);
y = linspace(-2, 2, 100);
[X, Y] = meshgrid(x, y);
tiempos = [0.05, 0.2, 0.5, 1];

figure('Position', [100, 100, 1200, 350], 'Name', 'Solución Fundamental 2D');
for i = 1:length(tiempos)
t = tiempos(i);
Phi = (1 / (4 * pi * k * t)) * exp(-(X.^2 + Y.^2) / (4 * k * t));

subplot(1, 4, i);

surf(X, Y, Phi, 'EdgeColor', 'none');

colormap turbo;
grid on;
zlim([0 1.6]);

title(['t = ', num2str(t)], 'FontSize', 12);
xlabel('Posición (x)', 'FontSize', 10);
ylabel('Posición (y)', 'FontSize', 10);
zlabel('\Phi(x,y,t)', 'FontSize', 10);

view(-30, 30);
end
</syntaxhighlight>
| style="vertical-align: middle; text-align: center;" |
[[Archivo:Elena3.jpeg|450px|thumb|center|]]
|}

Archivo:Elena3.jpeg

2026-04-12T19:43:39Z

Coloma de Lara:

Archivo:Elena2.jpeg

2026-04-12T19:43:18Z

Coloma de Lara:

Archivo:Elena1.jpeg

2026-04-12T19:42:59Z

Coloma de Lara:

Ecuación del Calor Grupo CCE

2026-04-12T19:41:35Z

Ecuación del Calor Grupo CCE

2026-04-11T18:40:56Z

Coloma de Lara: /* Ilustrar la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1. */