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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-04T22:38:56Z

Claudia Cózar: /* Efectos del campo de desplazamientos \overrightarrow{u} sobre la placa. */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición: <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> en función de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de <math>\overrightarrow{r_0(u,v)}</math>, vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
<math>\overrightarrow{r(u,v)}=\overrightarrow{r_0(u,v)}+\overrightarrow{u(u,v)}</math>

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
<math>\overrightarrow{u(x,y)}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{r_0})</math>.
Donde <math>\overrightarrow{a} </math> y <math>\overrightarrow{b} </math> son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes: 
<math>\overrightarrow{a}= \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} </math>

<math>\overrightarrow{b}= -4\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}</math>

[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda: 

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Diver1.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

La divergencia es una medida de variación de volumen local debido al desplazamiento. El resultado de divergencia obtenido es negativo, por lo tanto, sabemos que se trata de un sumidero, es decir, el flujo entrante es mayor al flujo saliente.
En la gráfica se representan las variaciones de volumen y observamos que los puntos de la placa que sufren una mayor cambio de volumen son aquellos situados en los extremos inferiores, correspondiendo a los puntos de mayor divergencia.

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda: 

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

El rotacional estudia la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Hemos obtenido que el rotacional es nulo, es decir, es irrotacional. La irrotacionalidad del sólido implica que la divergencia es distinta de cero, como hemos comprobado en el apartado anterior.

==Tensor de tensiones==
Una vez calculados el rotacional y el divergente de <math>\overrightarrow{u}</math>, suponemos realizar el estudio en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo en el cual podemos definir un '''tensor de tensiones''' que viene dado por la fórmula: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> 
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math>, también llamados los '''Coeficientes de Lamé''', tienen valor la unidad en nuestro caso pero dependen de las propiedades elásticas de cada material. Y <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
Procederemos a realizar un gráfico que nos muestre el '''tensor de tensiones normales en la base natural''', <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>, suponiendo como se ha ido viendo a lo largo del estudio que la tercera componente de la base natural es inexistente. Para visualizar el '''tensor de tensiones normales''' hacemos uso de las ecuaciones:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>, respectivamente de la base natural.

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos(no tiene ninguna relevancia para este caso de nuestro estudio).

{{matlab|codigo=
clc
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);

r0=[uu.*vv,1/2*(uu.^2-vv.^2)];
gu=[vv,uu];
gv=[uu,-vv];
a=gu./(abs(gu));
b=-4*(gu./(abs(gu)));
uvect=a.*(b.*r0);
divu=[(-2*(3*uu.^2+vv.^2))./(uu.^2+vv.^2)];
%El tensor de tensiones que viene dado por la fórmula arriba dada se ha realizado a parte (analíticamente) debido a problemas con las matrices y sus operaciones

t=[-6.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2),-6.*uu.*vv;-2*uu.*vv,-2.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)];

%una vez hallado el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo
%realizamos una comparación de las gráficas del módulo de la divergencia y el módulo del rotacional
%con las tensiones normales en la dirección que marca g_u y g_v
%mod=[gu./(abs(gu))];
%ten_nor_gu=mod.*t.*mod;
tnoru=[(-6*vv.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2)-((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-(((2*uu.^2).*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

%lo mismo pero ahora en direccion de la g_v
%mod1=[gv/(abs(gv))];
%ten_nor_gv=mod1.*ten_tensiones.*mod1;
tnorv=[((-6*uu.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))+((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-((2*vv.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

figure(1)
mesh(xx,yy,tnoru)

figure(2)
mesh(xx,yy,tnorv)

figure (3)
mesh(xx,yy,divu)

%la figura del rotacional no hace falta ya que el rotacional es cero y su comparativa no es necesaria.
}}
[[Archivo:Tensornormalgu|819x460|Gráfica de la tensión normal en la dirección <math>overrightarrow{g_u}</math>]]

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-04T22:36:02Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición: <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> en función de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
<math>\overrightarrow{u(x,y)}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{r_0})</math>.
Donde <math>\overrightarrow{a} </math> y <math>\overrightarrow{b} </math> son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes: 
<math>\overrightarrow{a}= \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} </math>

<math>\overrightarrow{b}= -4\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}</math>

[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda: 

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Diver1.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

La divergencia es una medida de variación de volumen local debido al desplazamiento. El resultado de divergencia obtenido es negativo, por lo tanto, sabemos que se trata de un sumidero, es decir, el flujo entrante es mayor al flujo saliente.
En la gráfica se representan las variaciones de volumen y observamos que los puntos de la placa que sufren una mayor cambio de volumen son aquellos situados en los extremos inferiores, correspondiendo a los puntos de mayor divergencia.

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda: 

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

El rotacional estudia la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Hemos obtenido que el rotacional es nulo, es decir, es irrotacional. La irrotacionalidad del sólido implica que la divergencia es distinta de cero, como hemos comprobado en el apartado anterior.

==Tensor de tensiones==
Una vez calculados el rotacional y el divergente de <math>\overrightarrow{u}</math>, suponemos realizar el estudio en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo en el cual podemos definir un '''tensor de tensiones''' que viene dado por la fórmula: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> 
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math>, también llamados los '''Coeficientes de Lamé''', tienen valor la unidad en nuestro caso pero dependen de las propiedades elásticas de cada material. Y <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
Procederemos a realizar un gráfico que nos muestre el '''tensor de tensiones normales en la base natural''', <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>, suponiendo como se ha ido viendo a lo largo del estudio que la tercera componente de la base natural es inexistente. Para visualizar el '''tensor de tensiones normales''' hacemos uso de las ecuaciones:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>, respectivamente de la base natural.

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos(no tiene ninguna relevancia para este caso de nuestro estudio).

{{matlab|codigo=
clc
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);

r0=[uu.*vv,1/2*(uu.^2-vv.^2)];
gu=[vv,uu];
gv=[uu,-vv];
a=gu./(abs(gu));
b=-4*(gu./(abs(gu)));
uvect=a.*(b.*r0);
divu=[(-2*(3*uu.^2+vv.^2))./(uu.^2+vv.^2)];
%El tensor de tensiones que viene dado por la fórmula arriba dada se ha realizado a parte (analíticamente) debido a problemas con las matrices y sus operaciones

t=[-6.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2),-6.*uu.*vv;-2*uu.*vv,-2.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)];

%una vez hallado el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo
%realizamos una comparación de las gráficas del módulo de la divergencia y el módulo del rotacional
%con las tensiones normales en la dirección que marca g_u y g_v
%mod=[gu./(abs(gu))];
%ten_nor_gu=mod.*t.*mod;
tnoru=[(-6*vv.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2)-((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-(((2*uu.^2).*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

%lo mismo pero ahora en direccion de la g_v
%mod1=[gv/(abs(gv))];
%ten_nor_gv=mod1.*ten_tensiones.*mod1;
tnorv=[((-6*uu.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))+((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-((2*vv.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

figure(1)
mesh(xx,yy,tnoru)

figure(2)
mesh(xx,yy,tnorv)

figure (3)
mesh(xx,yy,divu)

%la figura del rotacional no hace falta ya que el rotacional es cero y su comparativa no es necesaria.
}}
[[Archivo:Tensornormalgu|819x460

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-04T22:34:06Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición: <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> en función de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
<math>\overrightarrow{u(x,y)}=\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{r_0})</math>.
Donde <math>\overrightarrow{a} </math> y <math>\overrightarrow{b} </math> son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes: 
<math>\overrightarrow{a}= \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} </math>

<math>\overrightarrow{b}= -4\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}</math>

[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Diver1.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

La divergencia es una medida de variación de volumen local debido al desplazamiento. El resultado de divergencia obtenido es negativo, por lo tanto, sabemos que se trata de un sumidero, es decir, el flujo entrante es mayor al flujo saliente.
En la gráfica se representan las variaciones de volumen y observamos que los puntos de la placa que sufren una mayor cambio de volumen son aquellos situados en los extremos inferiores, correspondiendo a los puntos de mayor divergencia.

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

El rotacional estudia la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Hemos obtenido que el rotacional es nulo, es decir, es irrotacional. La irrotacionalidad del sólido implica que la divergencia es distinta de cero, como hemos comprobado en el apartado anterior.

==Tensor de tensiones==
Una vez calculados el rotacional y el divergente de <math>\overrightarrow{u}</math>, suponemos realizar el estudio en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo en el cual podemos definir un '''tensor de tensiones''' que viene dado por la fórmula: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> 
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math>, también llamados los '''Coeficientes de Lamé''', tienen valor la unidad en nuestro caso pero dependen de las propiedades elásticas de cada material. Y <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
Procederemos a realizar un gráfico que nos muestre el '''tensor de tensiones normales en la base natural''', <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>, suponiendo como se ha ido viendo a lo largo del estudio que la tercera componente de la base natural es inexistente. Para visualizar el '''tensor de tensiones normales''' hacemos uso de las ecuaciones:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>, respectivamente de la base natural.

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos(no tiene ninguna relevancia para este caso de nuestro estudio).

{{matlab|codigo=
clc
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);

r0=[uu.*vv,1/2*(uu.^2-vv.^2)];
gu=[vv,uu];
gv=[uu,-vv];
a=gu./(abs(gu));
b=-4*(gu./(abs(gu)));
uvect=a.*(b.*r0);
divu=[(-2*(3*uu.^2+vv.^2))./(uu.^2+vv.^2)];
%El tensor de tensiones que viene dado por la fórmula arriba dada se ha realizado a parte (analíticamente) debido a problemas con las matrices y sus operaciones

t=[-6.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2),-6.*uu.*vv;-2*uu.*vv,-2.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)];

%una vez hallado el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo
%realizamos una comparación de las gráficas del módulo de la divergencia y el módulo del rotacional
%con las tensiones normales en la dirección que marca g_u y g_v
%mod=[gu./(abs(gu))];
%ten_nor_gu=mod.*t.*mod;
tnoru=[(-6*vv.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2)-((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-(((2*uu.^2).*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

%lo mismo pero ahora en direccion de la g_v
%mod1=[gv/(abs(gv))];
%ten_nor_gv=mod1.*ten_tensiones.*mod1;
tnorv=[((-6*uu.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))+((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-((2*vv.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

figure(1)
mesh(xx,yy,tnoru)

figure(2)
mesh(xx,yy,tnorv)

figure (3)
mesh(xx,yy,divu)

%la figura del rotacional no hace falta ya que el rotacional es cero y su comparativa no es necesaria.
}}

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-04T22:14:04Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición: <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> en función de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Diver1.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

La divergencia es una medida de variación de volumen local debido al desplazamiento. El resultado de divergencia obtenido es negativo, por lo tanto, sabemos que se trata de un sumidero, es decir, el flujo entrante es mayor al flujo saliente.
En la gráfica se representan las variaciones de volumen y observamos que los puntos de la placa que sufren una mayor cambio de volumen son aquellos situados en los extremos inferiores, correspondiendo a los puntos de mayor divergencia.

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

El rotacional estudia la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Hemos obtenido que el rotacional es nulo, es decir, es irrotacional. La irrotacionalidad del sólido implica que la divergencia es distinta de cero, como hemos comprobado en el apartado anterior.

==Tensor de tensiones==
Una vez calculados el rotacional y el divergente de <math>\overrightarrow{u}</math>, suponemos realizar el estudio en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo en el cual podemos definir un '''tensor de tensiones''' que viene dado por la fórmula: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> 
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math>, también llamados los '''Coeficientes de Lamé''', tienen valor la unidad en nuestro caso pero dependen de las propiedades elásticas de cada material. Y <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
Procederemos a realizar un gráfico que nos muestre el '''tensor de tensiones normales en la base natural''', <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>, suponiendo como se ha ido viendo a lo largo del estudio que la tercera componente de la base natural es inexistente. Para visualizar el '''tensor de tensiones normales''' hacemos uso de las ecuaciones:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>, respectivamente de la base natural.

Hemos vuelto a calcular <math> \overrightarrow{u}} </math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos(no tiene ninguna relevancia para este caso de nuestro estudio.
Volvemos a insistir en que cualquier problema en los dibujos o en futuros cálculos viene derivado del paso utilizado en la vectorización de u y v (coordenadas curvilíneas), o bien del dominio en que está la coordenada curvilínea u, ya que al realizar el mallado no se trata de un mallado perfecto cuadrado.
{{matlab|codigo=
clc
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);

r0=[uu.*vv,1/2*(uu.^2-vv.^2)];
gu=[vv,uu];
gv=[uu,-vv];
a=gu./(abs(gu));
b=-4*(gu./(abs(gu)));
uvect=a.*(b.*r0);
divu=[(-2*(3*uu.^2+vv.^2))./(uu.^2+vv.^2)];
%El tensor de tensiones que viene dado por la fórmula arriba dada se ha realizado a parte (analíticamente) debido a problemas con las matrices y sus operaciones

t=[-6.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2),-6.*uu.*vv;-2*uu.*vv,-2.*(3.*uu.^2+vv.^2)./(uu.^2+vv.^2)];

%una vez hallado el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo
%realizamos una comparación de las gráficas del módulo de la divergencia y el módulo del rotacional
%con las tensiones normales en la dirección que marca g_u y g_v
%mod=[gu./(abs(gu))];
%ten_nor_gu=mod.*t.*mod;
tnoru=[(-6*vv.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2)-((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-(((2*uu.^2).*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

%lo mismo pero ahora en direccion de la g_v
%mod1=[gv/(abs(gv))];
%ten_nor_gv=mod1.*ten_tensiones.*mod1;
tnorv=[((-6*uu.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))+((8*uu.^2.*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2))-((2*vv.^2.*(3*uu.^2+vv.^2))./((uu.^2+vv.^2).^2))];

figure(1)
mesh(xx,yy,tnoru)

figure(2)
mesh(xx,yy,tnorv)

figure (3)
mesh(xx,yy,divu)

%la figura del rotacional no hace falta ya que el rotacional es cero y su comparativa no es necesaria.
}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Archivo:Diver1.jpg

2014-12-04T22:13:03Z

Claudia Cózar:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-04T22:07:47Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>} son las derivadas parciales del vector posición: <math>\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}</math> en función de las coordenadas curvilíneas <math>(u,v)</math>.

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

<math>\overrightarrow{g_u} = v\overrightarrow{i} + u\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_v} = u\overrightarrow{i} - v\overrightarrow{j}</math>

<math>\overrightarrow{g_w}= 0</math>

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Div.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

La divergencia es una medida de variación de volumen local debido al desplazamiento. El resultado de divergencia obtenido es negativo, por lo tanto, sabemos que se trata de un sumidero, es decir, el flujo entrante es mayor al flujo saliente.
En la gráfica se representan las variaciones de volumen y observamos que los puntos de la placa que sufren una mayor cambio de volumen son aquellos situados en los extremos inferiores, correspondiendo a los puntos de mayor divergencia.

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

El rotacional estudia la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Hemos obtenido que el rotacional es nulo, es decir, es irrotacional. La irrotacionalidad del sólido implica que la divergencia es distinta de cero, como hemos comprobado en el apartado anterior.

==Tensor de tensiones==
Una vez calculados el rotacional y el divergente de <math>\overrightarrow{u}</math>, suponemos realizar el estudio en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo en el cual podemos definir un '''tensor de tensiones''' que viene dado por la fórmula: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> 
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math>, también llamados los '''Coeficientes de Lamé''', tienen valor la unidad en nuestro caso pero dependen de las propiedades elásticas de cada material. Y <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
Procederemos a realizar un gráfico que nos muestre el '''tensor de tensiones normales en la base natural''', <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>, suponiendo como se ha ido viendo a lo largo del estudio que la tercera componente de la base natural es inexistente. Para visualizar el '''tensor de tensiones normales''' hacemos uso de las ecuaciones:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>, respectivamente de la base natural.

Hemos vuelto a calcular <math>\overrightarrow{u}}</math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos(no tiene ninguna relevancia para este caso de nuestro estudio.
Volvemos a insistir en que cualquier problema en los dibujos o en futuros cálculos viene derivado del paso utilizado en la vectorización de u y v (coordenadas curvilíneas), o bien del dominio en que está la coordenada curvilínea u, ya que al realizar el mallado no se trata de un mallado perfecto cuadrado.
{{matlab|codigo=
clc
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);
%a partir de aquí utilizaremos el comando zeros para poder cuadrar las matrices y asi no tener problemas de dimensiones y para que Matlab puede ejecutar las órdenes
r0=[uu.*vv,1/2*(uu.^2-vv.^2)];
gu=[vv,uu,zeros(41,54);zeros(41,82)];
gv=[uu,-vv,zeros(41,54);zeros(41,82)];
a=gu/(abs(gu));
b=-4*(gu/(abs(gu)));
zeros1=zeros(41,54);
r1=[r0,zeros1;zeros(41,82)];
uvect=a.*(b.*r1);
%no sabría realizar el gradiente de uvect en código Matlab, por lo tanto utilizare el método analítico
%mediante el método analítico quedaría así:
dv=(-4*uu.*vv);
du=(-6*uu.^2)-(2*vv.^2);
d2=(-2*uu.*vv);
%sólo esta puesto para ver sus dimensiones en el workspace
graduvect=[(-6*uu.^2)-(2*vv.^2),(-4*uu.*vv),zeros(41,54);zeros(41,82)];
graduvect1=[(-6*uu.^2)-(2*vv.^2),(-2*uu.*vv),zeros(41,54);(-2*uu.*vv),zeros(41,68)];
%parte simétrica del tensor gradiente de uvect
e=(graduvect+graduvect1)/2;
%realizaremos el divergente de manera analítica ya que las matrices son números
% y son imposible de derivar parcialmente según una incógnita
%mediante el método analítico quedaría así:
divu=[(-2*(3*uu.^2+vv.^2))/(uu.^2+vv.^2),zeros(41);zeros(41,82)];
%el tensor de tensiones
ten_tensiones=divu.*ones(82,82)+2*e;
%una vez hallado el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo
%realizamos una comparación de las gráficas del modulo de la divergencia y el modulo del rotacional
%con las tensiones normales en la dirección que marca g_u y g_v
mod=[gu/(abs(gu))];
ten_nor_gu=mod.*ten_tensiones.*mod;
%lo mismo pero ahora en direccion de la g_v
mod1=[gv/(abs(gv))];
ten_nor_gv=mod1.*ten_tensiones.*mod1;
uu1=[xx,zeros(41,68);zeros(41,82)];vv1=[yy,zeros(41,68);zeros(41,82)];
subplot(2,2,1)
mesh(uu1,vv1,ten_nor_gu)
subplot(2,2,4)
mesh(uu1,vv1,ten_nor_gv)
subplot(2,2,2)
mesh(uu1,vv1,abs(divu))
axis equal
subplot(2,2,3)
mesh(xx,yy,0.*xx)%en este habría que aclarar que se trata de la malla inicial debido ya que el rotacional es cero
axis equal

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-04T21:57:17Z

Claudia Cózar: /* Visualización de la placa. */

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk en función de las coordenadas curvilíneas (u,v)

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Div.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

La divergencia es una medida de variación de volumen local debido al desplazamiento. El resultado de divergencia obtenido es negativo, por lo tanto, sabemos que se trata de un sumidero, es decir, el flujo entrante es mayor al flujo saliente.
En la gráfica se representan las variaciones de volumen y observamos que los puntos de la placa que sufren una mayor cambio de volumen son aquellos situados en los extremos inferiores, correspondiendo a los puntos de mayor divergencia.

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

El rotacional estudia la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Hemos obtenido que el rotacional es nulo, es decir, es irrotacional. La irrotacionalidad del sólido implica que la divergencia es distinta de cero, como hemos comprobado en el apartado anterior.

==Tensor de tensiones==
Una vez calculados el rotacional y el divergente de <math>\overrightarrow{u}</math>, suponemos realizar el estudio en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo en el cual podemos definir un '''tensor de tensiones''' que viene dado por la fórmula: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> 
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math>, también llamados los '''Coeficientes de Lamé''', tienen valor la unidad en nuestro caso pero dependen de las propiedades elásticas de cada material. Y <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
Procederemos a realizar un gráfico que nos muestre el '''tensor de tensiones normales en la base natural''', <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>, suponiendo como se ha ido viendo a lo largo del estudio que la tercera componente de la base natural es inexistente. Para visualizar el '''tensor de tensiones normales''' hacemos uso de las ecuaciones:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>, respectivamente de la base natural.

Hemos vuelto a calcular <math>\overrightarrow{u}}</math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos(no tiene ninguna relevancia para este caso de nuestro estudio.
Volvemos a insistir en que cualquier problema en los dibujos o en futuros cálculos viene derivado del paso utilizado en la vectorización de u y v (coordenadas curvilíneas), o bien del dominio en que está la coordenada curvilínea u, ya que al realizar el mallado no se trata de un mallado perfecto cuadrado.
{{matlab|codigo=
clc
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);
%a partir de aquí utilizaremos el comando zeros para poder cuadrar las matrices y asi no tener problemas de dimensiones y para que Matlab puede ejecutar las órdenes
r0=[uu.*vv,1/2*(uu.^2-vv.^2)];
gu=[vv,uu,zeros(41,54);zeros(41,82)];
gv=[uu,-vv,zeros(41,54);zeros(41,82)];
a=gu/(abs(gu));
b=-4*(gu/(abs(gu)));
zeros1=zeros(41,54);
r1=[r0,zeros1;zeros(41,82)];
uvect=a.*(b.*r1);
%no sabría realizar el gradiente de uvect en código Matlab, por lo tanto utilizare el método analítico
%mediante el método analítico quedaría así:
dv=(-4*uu.*vv);
du=(-6*uu.^2)-(2*vv.^2);
d2=(-2*uu.*vv);
%sólo esta puesto para ver sus dimensiones en el workspace
graduvect=[(-6*uu.^2)-(2*vv.^2),(-4*uu.*vv),zeros(41,54);zeros(41,82)];
graduvect1=[(-6*uu.^2)-(2*vv.^2),(-2*uu.*vv),zeros(41,54);(-2*uu.*vv),zeros(41,68)];
%parte simétrica del tensor gradiente de uvect
e=(graduvect+graduvect1)/2;
%realizaremos el divergente de manera analítica ya que las matrices son números
% y son imposible de derivar parcialmente según una incógnita
%mediante el método analítico quedaría así:
divu=[(-2*(3*uu.^2+vv.^2))/(uu.^2+vv.^2),zeros(41);zeros(41,82)];
%el tensor de tensiones
ten_tensiones=divu.*ones(82,82)+2*e;
%una vez hallado el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo
%realizamos una comparación de las gráficas del modulo de la divergencia y el modulo del rotacional
%con las tensiones normales en la dirección que marca g_u y g_v
mod=[gu/(abs(gu))];
ten_nor_gu=mod.*ten_tensiones.*mod;
%lo mismo pero ahora en direccion de la g_v
mod1=[gv/(abs(gv))];
ten_nor_gv=mod1.*ten_tensiones.*mod1;
uu1=[xx,zeros(41,68);zeros(41,82)];vv1=[yy,zeros(41,68);zeros(41,82)];
subplot(2,2,1)
mesh(uu1,vv1,ten_nor_gu)
subplot(2,2,4)
mesh(uu1,vv1,ten_nor_gv)
subplot(2,2,2)
mesh(uu1,vv1,abs(divu))
axis equal
subplot(2,2,3)
mesh(xx,yy,0.*xx)%en este habría que aclarar que se trata de la malla inicial debido ya que el rotacional es cero
axis equal

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-04T21:49:07Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk en función de las coordenadas curvilíneas (u,v)

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Div.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

La divergencia es una medida de variación de volumen local debido al desplazamiento. El resultado de divergencia obtenido es negativo, por lo tanto, sabemos que se trata de un sumidero, es decir, el flujo entrante es mayor al flujo saliente.
En la gráfica se representan las variaciones de volumen y observamos que los puntos de la placa que sufren una mayor cambio de volumen son aquellos situados en los extremos inferiores, correspondiendo a los puntos de mayor divergencia.

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

El rotacional estudia la tendencia del campo a inducir rotación alrededor de un punto. Hemos obtenido que el rotacional es nulo, es decir, es irrotacional. La irrotacionalidad del sólido implica que la divergencia es distinta de cero, como hemos comprobado en el apartado anterior.

==Tensor de tensiones==
Una vez calculados el rotacional y el divergente de <math>\overrightarrow{u}</math>, suponemos realizar el estudio en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo en el cual podemos definir un '''tensor de tensiones''' que viene dado por la fórmula: 
: <math> \sigma= \lambda \nabla\cdot\overrightarrow{u}1 +2\mu\epsilon </math> 
donde <math>\lambda</math> y <math>\mu</math>, también llamados los '''Coeficientes de Lamé''', tienen valor la unidad en nuestro caso pero dependen de las propiedades elásticas de cada material. Y <math>\epsilon</math> viene dado por la ecuación: 
<math>\epsilon=(\nabla\overrightarrow{u}+\nabla\overrightarrow{u}^t)/2 </math> 
Procederemos a realizar un gráfico que nos muestre el '''tensor de tensiones normales en la base natural''', <math> \overrightarrow{g_u} </math> y <math> \overrightarrow{g_v} </math>, suponiendo como se ha ido viendo a lo largo del estudio que la tercera componente de la base natural es inexistente. Para visualizar el '''tensor de tensiones normales''' hacemos uso de las ecuaciones:
<math> \frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_u}}{|\overrightarrow{g_u}|} , \frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|}\sigma\frac{\overrightarrow{g_v}}{|\overrightarrow{g_v}|} </math>, respectivamente de la base natural.

Hemos vuelto a calcular <math>\overrightarrow{u}}</math>, pero esta vez dejando que Matlab realizara los cálculos(no tiene ninguna relevancia para este caso de nuestro estudio.
Volvemos a insistir en que cualquier problema en los dibujos o en futuros cálculos viene derivado del paso utilizado en la vectorización de u y v (coordenadas curvilíneas), o bien del dominio en que está la coordenada curvilínea u, ya que al realizar el mallado no se trata de un mallado perfecto cuadrado.
{{matlab|codigo=
clc
clear all
h=1/20;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);
%a partir de aquí utilizaremos el comando zeros para poder cuadrar las matrices y asi no tener problemas de dimensiones y para que Matlab puede ejecutar las órdenes
r0=[uu.*vv,1/2*(uu.^2-vv.^2)];
gu=[vv,uu,zeros(41,54);zeros(41,82)];
gv=[uu,-vv,zeros(41,54);zeros(41,82)];
a=gu/(abs(gu));
b=-4*(gu/(abs(gu)));
zeros1=zeros(41,54);
r1=[r0,zeros1;zeros(41,82)];
uvect=a.*(b.*r1);
%no sabría realizar el gradiente de uvect en código Matlab, por lo tanto utilizare el método analítico
%mediante el método analítico quedaría así:
dv=(-4*uu.*vv);
du=(-6*uu.^2)-(2*vv.^2);
d2=(-2*uu.*vv);
%sólo esta puesto para ver sus dimensiones en el workspace
graduvect=[(-6*uu.^2)-(2*vv.^2),(-4*uu.*vv),zeros(41,54);zeros(41,82)];
graduvect1=[(-6*uu.^2)-(2*vv.^2),(-2*uu.*vv),zeros(41,54);(-2*uu.*vv),zeros(41,68)];
%parte simétrica del tensor gradiente de uvect
e=(graduvect+graduvect1)/2;
%realizaremos el divergente de manera analítica ya que las matrices son números
% y son imposible de derivar parcialmente según una incógnita
%mediante el método analítico quedaría así:
divu=[(-2*(3*uu.^2+vv.^2))/(uu.^2+vv.^2),zeros(41);zeros(41,82)];
%el tensor de tensiones
ten_tensiones=divu.*ones(82,82)+2*e;
%una vez hallado el tensor de tensiones en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo
%realizamos una comparación de las gráficas del modulo de la divergencia y el modulo del rotacional
%con las tensiones normales en la dirección que marca g_u y g_v
mod=[gu/(abs(gu))];
ten_nor_gu=mod.*ten_tensiones.*mod;
%lo mismo pero ahora en direccion de la g_v
mod1=[gv/(abs(gv))];
ten_nor_gv=mod1.*ten_tensiones.*mod1;
uu1=[xx,zeros(41,68);zeros(41,82)];vv1=[yy,zeros(41,68);zeros(41,82)];
subplot(2,2,1)
mesh(uu1,vv1,ten_nor_gu)
subplot(2,2,4)
mesh(uu1,vv1,ten_nor_gv)
subplot(2,2,2)
mesh(uu1,vv1,abs(divu))
axis equal
subplot(2,2,3)
mesh(xx,yy,0.*xx)%en este habría que aclarar que se trata de la malla inicial debido ya que el rotacional es cero
axis equal

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T23:21:26Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk en función de las coordenadas curvilíneas (u,v)

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===
Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Div.jpg|500px|thumb|left|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Div3d.jpg|430px|thumb|right|Divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

¿¿¿¿¿¿¿Observando en la gráfica los puntos que tienen mayor divergencia son.........
La mayor divergencia es -2.4 y se encuentra en los puntos

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, se puede observar en la gráfica
En la gráfica se observa que los puntos donde mayor es el desplazamiento la divergencia es mayor.????????

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

Para dibujar el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
rotU=0*xx;
mesh(xx,yy,rotU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

[[Archivo:Rot.jpg|500px|thumb|left|Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>]]
[[Archivo:Rot3d.jpg|430px|thumb|right|Rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>]]

Observamos en la gráfica que todos los puntos del sólido tienen el mismo rotacional que en este caso es igual a cero.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Archivo:Rot3d.jpg

2014-12-03T23:11:02Z

Claudia Cózar:

Archivo:Rot.jpg

2014-12-03T23:10:41Z

Claudia Cózar:

Archivo:Div3d.jpg

2014-12-03T23:10:13Z

Claudia Cózar:

Archivo:Div.jpg

2014-12-03T23:09:43Z

Claudia Cózar:

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T23:01:09Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===
Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

¿¿¿¿¿¿¿Observando en la gráfica los puntos que tienen mayor divergencia son.........
La mayor divergencia es -2.4 y se encuentra en los puntos

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, se puede observar en la gráfica
En la gráfica se observa que los puntos donde mayor es el desplazamiento la divergencia es mayor.????????

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

Para dibujar el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
rotU=0*xx;
mesh(xx,yy,rotU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

Observamos en la gráfica que todos los puntos del sólido tienen el mismo rotacional que en este caso es igual a cero.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T22:55:23Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===
Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot √(u^2+v^2)^2)+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

¿¿¿¿¿¿¿Observando en la gráfica los puntos que tienen mayor divergencia son.........
La mayor divergencia es -2.4 y se encuentra en los puntos

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, se puede observar en la gráfica
En la gráfica se observa que los puntos donde mayor es el desplazamiento la divergencia es mayor.????????

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

Para dibujar el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
rotU=0*uu;
mesh(xx,yy,rotU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

Observamos en la gráfica que todos los puntos del sólido tienen el mismo rotacional que en este caso es igual a cero.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T22:54:04Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===
Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{√(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial}{\partial u}\cdot (\frac{-4uv^2-2u(u^-v^2)}{(u^2+v^2)}\cdot (√(u^2+v^2)^2))+0]=\frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{ √(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial }{\partial u\cdot(√(u^2+v^2)^2\cdot\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})+0) = \frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

¿¿¿¿¿¿¿Observando en la gráfica los puntos que tienen mayor divergencia son.........
La mayor divergencia es -2.4 y se encuentra en los puntos

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, se puede observar en la gráfica
En la gráfica se observa que los puntos donde mayor es el desplazamiento la divergencia es mayor.????????

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u}. </math>
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}.</math>}

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}.</math>
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

Para dibujar el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
rotU=0*uu;
mesh(xx,yy,rotU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

Observamos en la gráfica que todos los puntos del sólido tienen el mismo rotacional que en este caso es igual a cero.

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Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T22:43:18Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Estudio de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===
Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdot u^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math>.
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{ √(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial }{\partial u\cdot(√(u^2+v^2)^2\cdot\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})+0) = \frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2} </math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

¿¿¿¿¿¿¿Observando en la gráfica los puntos que tienen mayor divergencia son.........
La mayor divergencia es -2.4 y se encuentra en los puntos

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, se puede observar en la gráfica
En la gráfica se observa que los puntos donde mayor es el desplazamiento la divergencia es mayor.????????

===Estudio del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u} </math> .
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}</math> .
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\frac{1}{u^2+v^2}(4uv\overrightarrow{g_w})=0 </math>

Para el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
rotU=0*uu;
mesh(xx,yy,rotU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

Observamos en la gráfica que todos los puntos del sólido tienen el mismo rotacional que en este caso es igual a cero.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad (G4-A)

2014-12-03T22:33:38Z

Claudia Cózar:

{{Trabajo|Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. 
Grupo G4-A|
[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|
[[:Categoría:TC14/15|2014-15]]|
Alba Bringas 
Manuel Corvo 
Claudia Cózar 
Gonzalo Fernández}} 

== Visualización de la placa. ==
El objetivo de este estudio es la visualización de campos escalares y vectoriales. 
Inicialmente consideramos una placa plana que ocupa la región comprendida entre dos parábolas
:''P1: 18y − 81x2 −1 = 0
:''P2: 2y + x2 −1 = 0. 
[[Archivo:Apartado_1_y_2.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan: 
: <math> x=uv </math> 
: <math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
sabiendo que las nuevas coordenadas quedan definidas en el intervalo (u,v) ∈ [⅓,1] x [-1,1]. 

Para representar la placa dibujaremos un mallado que represente los puntos interiores del sólido tomando como
paso de muestreo h = 1/20 para las coordenadas u y v. Ejes en el intervalo (x,y) ∈ [􀀀-1; 1] x [􀀀-1; 1]. 
Las líneas de coordenadas están representadas en la figura.

{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-1,1])
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

=== Cálculo de la base natural ===

Las componentes de la base natural {gu,gv,gw} son las derivadas parciales del vector posición: 
:r = xi + yj + zk 

Teniendo en cuenta el cambio de variable: 
:<math> x=uv </math> 
:<math>y=\frac{(u^2−v^2)}{2}</math> 
:<math> z=0 </math> 
calculamos los vectores de la base natural. 

gu = vi + uj 
gv = ui - vj 
gw = 0 

Así mismo vamos a definir sobre dicha placa dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v) que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los deplazamientos ū(u,v)producidos por la acción de una fuerza determinada. 

== Temperatura de la placa. ==

La temperatura en la placa viene dada por el campo escalar 
:<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-(x)^2} </math> 

[[Archivo:Apartado_3_4g.jpg|430px|thumb|right|Curvas de nivel de la temperatura]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx= uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
contour(xx,yy,T,30)
colorbar
max(max(T))
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
axis([-1.1,1.1,-0.6,0.6])
}}

La temperatura es una función de x e y, pero al hacer el camnio de variable pasará depender de las variables u y v . 
Para saber en que punto de la superficie la temperatura es mas alta tenemos que calcular el máximo de dicha función. Para esto tenemos que hallar sus derivadas parciales, igualarlas a 0 y resolver el sistema. 
Nos encontramos un máximo absoluto en (x,y) = (0,1) que esta fuera de el dominio, pero como nuestra función está acotada podemos afirmar que el valor máximo se encuentra en el punto de la frontera más cercano al máximo absoluto de la función T, el punto (x,y) = (0,½).

=== Estudio del gradiente de temperaturas. ===
El gradiente de la temperatura es la variación de temperatura por unidad de distancia y lo obtenemos derivando la función de la temperatura T respecto de sus variables (x e y). 

Como podemos observar en la figura, el campo vectorial ∇T es ortogonal a las curvas de nivel de la temperatura. 
[[Archivo:Apartado_4_4g.jpg|400px|thumb|right|Mallado de los puntos interiores del sólido]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
T=(8-yy.^2+2.*yy).*exp(-(xx.^2));
dx=-2.*xx.*exp(-(xx).^2).*(8-yy.^2+2.*yy); %Derivada de la temperatura respecto a x
dy=(-2.*yy+2).* exp(-(xx).^2); %Derivada de la temperatura respecto a y
quiver(xx,yy,dx,dy)
hold on
contour(xx,yy,T,30)
hold off
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

== Efectos del campo de desplazamientos <math>\overrightarrow{u}</math> sobre la placa. ==
Partiendo de r0(u,v), vector de posición de los puntos de la placa en reposo, la posición de cada punto de la placa vendrá dado por: 
:r(u,v) = r0(u,v) + ū(u,v) 

===Campo de vectores en el mallado del sólido.===

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazmientos:
:u(x,y)= ā (Б . r0} 

Donde ā y Б son vectores dados y los cuales se definen para el estudio del comportamiento de esta placa, serán los siguientes:
:ā= gu / |gu|
:Б= -4 (gu / |gu|) 
[[Archivo:Apartado_5_4g.jpg|350px|thumb|right|Campo vectorial del desplazamiento ū]]
Las componentes del vector ū son halladas mediante la fórmula antes dada.
El campo vectorial del desplazamiento ū está representado en la siguiente figura: 
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2))+uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2))+0.5*(uu.^2-vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
quiver(xx,yy,aa,bb)
xlabel('Eje X')
ylabel('Eje Y')
}}

===Desplazamientos provocados en la placa.===

Aplicando al vector r0 el desplazamiento ū obtenemos el vector r. Mediante la siguiente figura podemos ver el sólido antes del desplazamiento (a la izquierda), y después (a la derecha). 

[[Archivo:Apartado_6_4g.jpg|400px|thumb|right|Sólido antes y después de aplicar el vector ū]]
{{matlab|codigo=
h=0.05;
u=1/3:h:1;n=length(u);
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r0
aa=((-2*((uu.^3).*vv+(vv.^3).*uu))./(uu.^2+vv.^2)) +uu.*vv;
bb=(((-2*(uu.^2).*vv.^2+uu.^4))./(uu.^2+vv.^2)) +0.5*(uu.^2-vv.^2);
%Coordenadas i y j del vector r.
subplot(1,2,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
subplot(1,2,2)
mesh(aa,bb,0*xx)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')
}}

===Cálculo de la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math>.===
Denotaremos la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla\cdot\overrightarrow{u} </math>.
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u^i\overrightarrow{g_i}</math> se tiene que
<math> \nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}\cdot(√g\cdotu^i) </math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base natural es: <math>\overrightarrow{u}=u^u\overrightarrow{g_u}+u^v\overrightarrow{g_v}</math> .
Para calcular las componentes contravariantes lo hacemos a partir de <math>u^i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u^u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g^u}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= \frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})</math>

<math>u^v=\overrightarrow{v}\overrightarrow{g^v}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(\frac{1}{u^2+v^2}(u\overrightarrow{i}-vu\overrightarrow{j}))= 0</math>

Con esto ya podemos calcular la divergencia, que quedará

<math>\nabla\cdot\overrightarrow{u}=\frac{1}{ √(u^2+v^2)^2}\cdot[\frac{\partial }{\partial u\cdot(√(u^2+v^2)^2\cdot\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2})+0) = \frac{-2(3u^3+v^2)}{u^2+v^2}</math>

Para dibujar la divergencia de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
divU= (-2*(3.*uu.^2+(vv.^2)))./(uu.^2+vv.^2);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
max(max(divU))
mesh(xx,yy,divU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

¿¿¿¿¿¿¿Observando en la gráfica los puntos que tienen mayor divergencia son.........
La mayor divergencia es -2.4 y se encuentra en los puntos

La divergencia es una medida del cambio de volumen local debido al desplazamiento, se puede observar en la gráfica
En la gráfica se observa que los puntos donde mayor es el desplazamiento la divergencia es mayor.????????

===Cálculo del rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math>.===

Denotaremos el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> como <math>\nabla \times \overrightarrow{u} </math> .
Dado un campo <math>\overrightarrow{u}=u_i\overrightarrow{g^i}</math> se tiene que
<math> \nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √g} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_u & u_v & u_w \end{vmatrix}</math> donde <math>g=det(G)</math> y <math>G</math> es la matriz de Gram de la base natural {<math>\overrightarrow{g_u},\overrightarrow{g_v},\overrightarrow{g_w}</math>}.

Nuestro vector desplazamiento en la base recíproca queda: <math>\overrightarrow{u}=u_u\overrightarrow{g^u}+u_v\overrightarrow{g^v}</math> .
Para calcular las componentes convariantes lo hacemos a partir de <math>u_i=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_i}</math>. Entonces, operando nos queda:

<math>u_u=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_u}=(\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j})= -4u^2-2u^3+2uv^2</math>

<math>u_v=\overrightarrow{u}\overrightarrow{g_v}= (\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v\overrightarrow{i}+u\overrightarrow{j}))\cdot(u\overrightarrow{i}-v\overrightarrow{j})= 0</math>

Entonces el rotacional es
<math>\nabla\times\overrightarrow{u}=\frac{ 1}{ √(u^2+v^2)^2} \begin{vmatrix} \overrightarrow{g_u} & \overrightarrow{g_v} & \overrightarrow{g_w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -4u^2-2u^3+2uv^2 & 0 & 0 \end{vmatrix}=\ frac{ 1}{ u^2+v^2} (4uv\ overrightarrow{g_w})=0 </math>

Para el rotacional de <math>\overrightarrow{u}</math> en todos los puntos del sólido utilizamos el siguiente código MATLAB:

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.05;
u=1/3:h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=1/2.*(uu.^2-vv.^2);
rotU=0*uu;
mesh(xx,yy,rotU)
xlabel('Eje X'); ylabel('Eje Y')

}}

Observamos en la gráfica que todos los puntos del sólido tienen el mismo rotacional que en este caso es igual a cero.

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15|2014-15]]

Archivo:Gráfica3a.jpg

2014-05-04T09:16:53Z

Claudia Cózar:

Archivo:Gráfica3.jpg

2014-05-04T09:12:54Z

Claudia Cózar:

Archivo:Gráfica2.jpg

2014-05-04T08:55:19Z

Claudia Cózar:

Archivo:Nueva imagen.png

2014-05-04T08:00:30Z

Claudia Cózar:

Archivo:Apartado3 2.jpg

2014-02-28T09:32:00Z

Claudia Cózar: Graph of <math> f´(\eta) </math> for <math> k=0,33 </math>

Graph of <math> f´(\eta) </math> for <math> k=0,33 </math>

Archivo:Grafica3.jpg

2014-02-28T09:25:35Z

Claudia Cózar: Graphic of <math> f´(\eta) </math> for <math> k=0,33 </math>

Graphic of <math> f´(\eta) </math> for <math> k=0,33 </math>

Archivo:Graficaf'.jpeg

2014-02-28T09:15:03Z

Claudia Cózar: Gráfica obtenida para el apartado 3 con k=0,33

Gráfica obtenida para el apartado 3 con k=0,33

Archivo:Graficaf'(20)RK.jpg

2014-02-26T11:51:32Z

Claudia Cózar:

Archivo:Graficaf'(20)M.jpg

2014-02-26T11:51:20Z

Claudia Cózar:

Archivo:Graficaf'(20).jpg

2014-02-26T11:51:05Z

Claudia Cózar:

Archivo:Gráfica f'(20)E.jpg

2014-02-26T11:07:56Z

Claudia Cózar:

Archivo:Gráfica f'(20)RK.jpg

2014-02-26T10:49:31Z

Claudia Cózar:

Archivo:K=0,33.jpg

2014-02-26T10:17:15Z

Claudia Cózar: Visualización para k=0.33 de f'(20) con asintota horizontal en 1

Visualización para k=0.33 de f'(20) con asintota horizontal en 1

Archivo:Gráfica f'(20).jpg

2014-02-26T10:15:23Z

Claudia Cózar: Gráfica de f'(20) para cada valor del par�ámetro

Gráfica de f'(20) para cada valor del par�ámetro