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Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T14:34:49Z

Claudia: /* Planteamiento */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

Por lo tanto, tenemos el siguiente problema
<center><math>
\begin{cases}
u_t-\alpha u_{xx}=0, & x \in (0,L), t > 0 \\
u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) , & t > 0\\
u_x(L,t)= 0 , & t>0 \\
u(x,0)=u_0 , & x \in (0,L)
\end{cases}

</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>.

Los coeficientes de Fourier vienen dados por:
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

Por lo tanto, la solución final se expresa como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T14:34:17Z

Claudia: /* Planteamiento */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

Por lo tanto, tenemos el siguiente problema
<center><math>
\begin{cases}
u_t-\alpha u_{xx}=0, & x \in (0,L), t > 0 \\
u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) , t > 0\\
u_x(L,t)= 0 , t>0 \\
u(x,0)=u_0 , x \in (0,L)
\end{cases}

</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>.

Los coeficientes de Fourier vienen dados por:
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

Por lo tanto, la solución final se expresa como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T14:33:31Z

Claudia: /* Planteamiento */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

Por lo tanto, tenemos el problema
<center><math>
\begin{cases}
u_t-\alpha u_{xx}=0, & x \in (0,L), t \geq 0 \\
u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) , t \geq 0\\
u_x(L,t)= 0 \\
u(x,0)=u_0
\end{cases}

</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>.

Los coeficientes de Fourier vienen dados por:
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

Por lo tanto, la solución final se expresa como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T14:33:03Z

Claudia: /* Planteamiento */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

Por lo tanto, tenemos el problema
<center><math>
\begin{cases}
u_t-\alpha u_{xx}, & x \in (0,L), t \geq 0 \\
u_x(0,t)= \frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t)) \\
u_x(L,t)= 0 \\
u(x,0)=u_0
\end{cases}

</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>.

Los coeficientes de Fourier vienen dados por:
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

Por lo tanto, la solución final se expresa como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T14:24:09Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>.

Los coeficientes de Fourier vienen dados por:
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

Por lo tanto, la solución final se expresa como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T14:20:57Z

Claudia: /* Solución */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>.

Al imponer la condición inicial, los coeficientes de Fourier vienen dados por:
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

Por lo tanto, la solución final se expresa como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-19T14:20:24Z

Claudia: /* Solución mediante separación de variables */

{{ TrabajoED |
Ecuación del calor en el océano (Grupo CJMAS). | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez

Javier Martínez Saiz

Marta De Miguel Prieto

Analía Olivero Betancor

Sofía de Benito Valdueza }}

= Introducción =
La difusión del calor en el océano es un proceso clave ya que define la distribución térmica en las masas de agua y su interacción con la atmósfera. En este trabajo, utilizamos la ecuación del calor con el objetivo de comprender cómo la temperatura ambiente afecta a la temperatura del océano profundo con el paso de tiempo.

= Modelización de la transferencia de calor en el océano profundo =

== Planteamiento ==
Consideremos una porción de la Tierra de longitud <math>L</math>, en la cual distinguimos regiones diferenciadas. En el extremo izquierdo, la superficie está en contacto con la atmósfera, donde la temperatura varía debido a la radiación solar y la influencia de la temperatura ambiental. A continuación, nos adentramos en el océano profundo, donde la temperatura varía principalmente por la difusión térmica.

Aplicando la ley de Fourier de conducción térmica, la ecuación de transmisión del calor en el océano es:
<center> <math> \frac{du}{dt}=\alpha \frac{d^2 u}{dx^2}</math>, </center>
donde <math>\alpha</math> es la constante que representa la difusividad del agua.

En la superficie (<math> x=0 </math>), la temperatura del océano está influenciada por la temperatura del ambiente, luego la condición en esta frontera quedaría determinada por:
<center><math>
\frac{du}{dx}(0,t)=\frac{h}{k}(u_{amb}-u(0,t))
</math>,
</center>
donde <math>h</math> representa el coeficiente de transferencia del calor y <math>k</math> la conductividad térmica.

En cambio, en el extremo opuesto, consideramos que su flujo es nulo.
<center><math>
\frac{du}{dx}(L,t)=0
</math>
</center>

Para establecer la condición inicial suponemos una situación ideal de equilibrio en el océano, por lo que podemos expresar la temperatura en el instante inicial como constante,
<center><math>
u(x,0)=u_0.
</math>
</center>

== Solución ==
=== Solución estacionaria ===
Para tiempos muy grandes, \(t \to \infty \), la temperatura en el océano alcanza un estado estacionario donde \( u_t(x,t) \to 0 \). En este caso, la solución estacionaria viene dada por:
<center><math>
v(x) = u_{\text{amb}}
</math>
</center>
Es decir, a largo plazo, la temperatura del océano se iguala a la temperatura ambiente.

=== Solución mediante separación de variables ===

Aplicando el método de separación de variables, la solución general es:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right)\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

donde los autovalores <math>\lambda_n </math> se definen como <math>\lambda_n=\alpha \beta_n^2 </math>, y <math>\beta_n</math> satisface la ecuación <math>\tan(L \beta )=\frac{h}{k \beta}</math>. Al imponer la condición inicial, los coeficientes de Fourier vienen dados por:
<center>
<math>A_n= \frac{2(u_{amb}-u_0)}{L\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}} \sin\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}L\right)
</math>
</center>
<center>
<math>B_n= 0
</math>
</center>

Por lo tanto, la solución final se expresa como:
<center><math>
u(x,t)= u_{amb} - \sum_{n=1}^\infty A_n\cos\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\alpha}}x\right) e^{-\lambda_n t}
</math>
</center>

= Códigos =
Mediante la implementación del siguiente código, conseguimos representar la evolución de la temperatura del océano a lo largo del espacio y tiempo bajo la influencia de la temperatura ambiente. Tomamos x=0 como el fondo y x=1000 como la superficie, donde se alcanzan los máximos valores de temperatura y que decrece con el tiempo.

{{matlab|codigo=
% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 100; % Número de pasos en t
x = linspace(0, L, Nx);
t = linspace(0, 2000, Nt); % Tiempo hasta 1 día (en segundos)

% Número de términos en la serie
N_terms = 5;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb-u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L); %
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Graficar evolución de la temperatura
figure;
[X, T] = meshgrid(x, t/3600); % Convertir tiempo a horas
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Tiempo (horas)');
zlabel('Temperatura (°C)');
title('Evolución de la temperatura en el océano');
colorbar;
view(3);

}}

En el siguiente código se ha buscado representar la evolución de la temperatura del océano cuando el tiempo tiende a infinito en un mapa de calor.

{{matlab|codigo=

% Parámetros del problema
L = 1000; % Longitud del océano (en metros)
alpha = 1.4e-6; % Difusividad térmica del agua (m^2/s)
h = 10; % Coeficiente de transferencia de calor
k = 0.6; % Conductividad térmica del agua
u_amb = 20; % Temperatura ambiente (grados Celsius)
u0 = 5; % Temperatura inicial (grados Celsius)

% Dominio espacial y temporal
Nx = 50; % Número de puntos en x
Nt = 50; % Número de pasos en t (mucho menor para avanzar rápido)
t_max = 10000000 * 86400; % Simulación hasta 10 días en segundos
t = linspace(0, t_max, Nt); % Tiempo con pasos mucho más grandes
x = linspace(0, L, Nx);

% Número de términos en la serie
N_terms = 10;

% Solución de la serie de Fourier
u = zeros(Nx, Nt);
for n = 1:N_terms
beta_n = (2*n - 1) * pi / (2 * L); % Modificación para condición de Neumann en x=L
lambda_n = alpha * beta_n^2; % Parámetro de la ecuación
A_n = 2 * (u_amb - u0) * sin(beta_n * L) / (beta_n * L);
for i = 1:Nx
for j = 1:Nt
u(i, j) = u(i, j) + A_n * cos(beta_n * x(i)) * exp(-lambda_n * t(j));
end
end
end

% Solución
u = u_amb - u;

% Crear el objeto VideoWriter para guardar el video
v = VideoWriter('evolucion_calor_océano.mp4', 'MPEG-4'); % Nombre del archivo y formato
v.FrameRate = 5; % Velocidad de los cuadros (puedes ajustarlo según lo necesites)
open(v); % Abrir el objeto para grabar el video

% Crear la figura
figure;
colormap hot; % Mapa de calor para mejor visualización

% Crear la animación y capturar cada cuadro
for j = 1:Nt
imagesc(x, [0, L], repmat(u(:, j)', [Nx, 1])); % Representación del perfil de temperatura
set(gca, 'YDir', 'normal'); % Mantener el eje y en la dirección correcta
xlabel('Distancia (m)');
ylabel('Profundidad (m)');
title(['Evolución del calor en el océano - t = ', num2str(t(j)/86400, '%.1f'), ' días']);
colorbar;

% Ajustar la escala de colores dinámicamente
caxis([min(u(:)), max(u(:))]);

pause(0.2); % Control de la velocidad de la animación

% Capturar el cuadro actual y agregarlo al video
frame = getframe(gcf); % Capturar el cuadro de la figura
writeVideo(v, frame); % Escribir el cuadro en el archivo de video
end

% Cerrar el archivo de video
close(v); % Finalizar y guardar el archivo de video

}}

= Conclusión =
La temperatura del océano converge en tiempo hacia la solución estacionaria de la EDP, es decir, la temperatura ambiente, que actúa como una fuente de calor constante. Sin embargo, se necesita un rango de tiempo desmesurado para poder observar cómo se alcanza dicha solución, tal y como observamos en las gráficas representadas a continuación.

[[Archivo:Evol1.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^7 h</math> </center>]] [[Archivo:Evol2.png|400px|center|thumb| <center> <math> t_{max}= 6 \cdot 10^{10} h</math></center> ]]
[[Archivo:Evol4.png|400px|left|thumb| <center> <math> t_{max}=6 \cdot 10^{12} h</math> </center>]] [[Archivo:Evol6.png|400px|center|thumb| <center><math> t_{max}= 6 \cdot 10^{15} h</math></center> ]]

Por consiguiente, en el mapa de calor vemos cómo a medida que aumenta el tiempo, el calor se difunde por el océano, provocando que se alcance la solución estacionaria.

[[Archivo:evolucion_calor_océano.gif|500px|center|thumb|Mapa de calor]]

La condición frontera modeliza el gradiente de temperatura en <math>x=0</math>, entre el ambiente y el medio. Al modificar los parámetros, la solución cambia. Un mayor valor de <math>h</math> aumenta el gradiente, ya que refleja la capacidad de transferencia de calor entre ambos medios, por lo que se alcanza antes la solución estacionaria. No obstante, un aumento de <math>k</math> reduce el gradiente, al disminuir la diferencia necesaria para la misma tasa de transferencia de calor, por lo que se tarda más en alcanzar la temperatura constante.

[[Archivo:Evolucion_temperatura.gif|500px|left|thumb|Variación de <math> h </math>]]
[[Archivo:Evolucion_temperatura_k.gif|500px|center|thumb|Variación de <math> k </math>]]

Este modelo es idílico, ya que en la realidad existen diversos factores, como corrientes oceánicas y variabilidad climática, que impiden que se logre una temperatura constante en todo el océano a lo largo del tiempo.

[[Categoría: EDP]]
[[Categoría: EDP24/25]]

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-17T21:53:57Z

Claudia: /* Solución mediante separación de variables */

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-17T21:52:54Z

Claudia:

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-17T21:52:06Z

Claudia: /* Solución */

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-17T21:51:03Z

Claudia:

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-17T21:44:34Z

Claudia:

Ecuación del calor (Grupo CJMAS)

2025-03-16T10:05:57Z

Claudia:

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T18:11:24Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \).

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<center><math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math></center>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}
La gráfica muestra la aproximación de la función \(f(x)= x e^{-x}\) mediante series de Fourier con cambio de variable. Se observa que las aproximaciones mejoran a medida que aumentamos el número de términos en la serie. En particular, en los puntos interiores del intervalo, las funciones \(f_n(x) \) se ajustan mejor a \(f(x)\) en comparación con los extremos, donde se nota una mayor discrepancia debido al comportamiento de la serie en los bordes del intervalo.

== Extensión par e impar ==
Imaginemos ahora que deseamos aproximar la función en intervalos de la forma \( [0,L] \). En este caso, resulta relevante explorar una posible simetría de la función que nos permita extenderla al intervalo \( [-L,L] \). Existen dos formas de realizar esta extensión: de forma simétrica respecto a un eje (par) o antisimétrica (impar).

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T18:04:24Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \).

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}
La gráfica muestra la aproximación de la función \(f(x)= x e^{-x}\) mediante series de Fourier con cambio de variable. Se observa que las aproximaciones mejoran a medida que aumentamos el número de términos en la serie. En particular, en los puntos interiores del intervalo, las funciones \(f_n(x) \) se ajustan mejor a \(f(x)\) en comparación con los extremos, donde se nota una mayor discrepancia debido al comportamiento de la serie en los bordes del intervalo.

== Extensión par e impar ==
Imaginemos ahora que deseamos aproximar la función en intervalos de la forma \( [0,L] \). En este caso, resulta relevante explorar una posible simetría de la función que nos permita extenderla al intervalo \( [-L,L] \). Existen dos formas de realizar esta extensión: de forma simétrica respecto a un eje (par) o antisimétrica (impar).

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T18:00:51Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \).

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

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%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

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hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

== Extensión par e impar ==
Imaginemos ahora que deseamos aproximar la función en intervalos de la forma \( [0,L] \). En este caso, resulta relevante explorar una posible simetría de la función que nos permita extenderla al intervalo \( [-L,L] \). Existen dos formas de realizar esta extensión: de forma simétrica respecto a un eje (par) o antisimétrica (impar).

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:39:01Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \).

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:31:10Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \).

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<center> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </center>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:30:36Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \).

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:29:59Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \).

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx , </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx ,</math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx . </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:28:54Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \)

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:28:27Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y gracias a este podemos definir el módulo en \(L^2\) como \( \| \cdot \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2(\Omega)}} \)

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:26:10Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y el módulo como \(
\| f \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle f, f \rangle_{L^2(\Omega)}} \)

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T], \langle , \rangle_{L^2}) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

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hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
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hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:25:19Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y el módulo como \(
\| f \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle f, f \rangle_{L^2(\Omega)}} \)

De esta forma, en el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) , \langle , \rangle_{L^2} \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:23:26Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math> para \( f,g \in L^2(\Omega) \), y el módulo como \(
\| f \|_{L^2(\Omega)} = \sqrt{\langle f, f \rangle_{L^2(\Omega)}} \)

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:20:20Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como

<math> \langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx </math>

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:19:27Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como \(
\langle f,g \rangle _{L^2(\Omega)} = \int_{\Omega} f(x) g(x) \,dx
\)

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:18:02Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como \(
\langle f,g \rangle _{L^2}(\Omega)= \int_{\Omega} f(x)g(x) dx \), para \( f, g \in L^2(\Omega) \)

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:17:28Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como \(
\langle f,g \rangle_{L^2}(\Omega)= \int_{\Omega} f(x)g(x) dx \), para \( f, g \in L^2(\Omega) \)

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:16:23Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \). Este es un espacio de Hilbert, lo que nos permite definir el producto escalar como \( <f,g>_{L^2}(\Omega)= \int_{\Omega} f(x)g(x) dx \), para \( f, g \in L^2(\Omega) \)

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:11:20Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = \{f: \Omega \righttarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \} \)

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
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hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:09:58Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\), el cual se define como \( L^2 = f: \Omega \leftarrow \mathbb{R} | \int_{\Omega} |f(x)|^2 dx < \infty \)

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T17:05:43Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

Antes de profundizar en las series de Fourier, es importante conocer el espacio de las funciones \( L^2 \) sobre un conjunto \( \Omega\)
En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-14T16:38:59Z

Claudia:

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

En el espacio de Hilbert \( L^2([-T,T]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortnormal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>,

donde <math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math> con \(T=\frac{b-a}{2}\).

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \langle f, \frac{1}{b-a}\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \frac{1}{b-a} dx </math>

<math> d_n = \langle f, \cos (n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \cos(nh(x)) dx </math>

<math> c_n = \langle f, \sin(n h(x))\rangle=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T} f(x) \sin(n h(x)) dx </math>

== Base trigonométrica ==

En particular, en el espacio \(L^2([-\pi,\pi])\) la base trigonométrica ortonormal es la que sigue:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{1}{\pi}}\cos(nx), \sqrt{\frac{1}{\pi}}\sin(nx) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado, junto con el código empleado para obtener su representación.
{| class="wikitable"
|-
! Código MATLAB !! Representación gráfica
|-
| rowspan="3" | {{matlab|codigo=

% --- Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica ---

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores para las gráficas
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% Término 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: representación única de cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: representación única de senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;
}}
| [[Archivo:grafica1_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos de la base trigonométrica]]
|-
| [[Archivo:grafica2_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del seno]]
|-
| [[Archivo:grafica3_EDP.png|550px|center|Primeros 10 términos del coseno]]
|}

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- \frac{5}{2}\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-\frac{5}{2}\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-\frac{5}{2},\frac{5}{2}])\) como se muestra a continuación:

[[Archivo:EJ5EDP.png|500px|thumb|right|Aproximación de \( f(x) = x e^{-x} \) usando cambio de variable]]

{{matlab|codigo=

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-13T17:39:23Z

Claudia: /* Base trigonométrica */

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

En el espacio de Hilbert \( L^2([-\pi,\pi]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortogonal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\}\cup\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(n x), \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(n x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n x) + c_n \sin(n x) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx </math>

<math> d_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx </math>

<math> c_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx </math>

Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.

== Base trigonométrica ==

En general, en el espacio \(L^2([a,b])\), mediante el cambio de variable

<math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math>

se tiene que la base trigonométrica ortogonal está dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado.
[[Archivo:grafica1_EDP.png|600px| Representación de los 10 primeros términos de la base trigonométrica.]]
[[Archivo:Grafica2_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del seno.]]
[[Archivo:grafica3_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del coseno.]]

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

=== Código matlab ===
{{matlab|codigo=

%Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: Cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: Senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

}}

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- T\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-T\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-5/2,5/2])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-5/2,5/2])\) como se muestra a continuación:
[[Archivo:EJ5EDP.png|450px|thumb|right|Aproximación de \(f(x)\)]]

=== Código matlab ===

{{matlab|codigo=
% Aproximación de f(x) en el intervalo [-2,3]

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-13T17:39:00Z

Claudia: /* Base trigonométrica */

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

En el espacio de Hilbert \( L^2([-\pi,\pi]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortogonal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\}\cup\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(n x), \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(n x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n x) + c_n \sin(n x) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx </math>

<math> d_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx </math>

<math> c_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx </math>

Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.

== Base trigonométrica ==

En general, en el espacio \(L^2([a,b])\), mediante el cambio de variable

<math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math>

se tiene que la base trigonométrica ortogonal está dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado.
[[Archivo:grafica1_EDP.png|600px| Representación de los 10 primeros términos de la base trigonométrica.]]
[[Archivo:Grafica2_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del seno.]]
[[Archivo:grafica3_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del coseno.]]

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

=== Código matlab ===
{{matlab|codigo=

%Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: Cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: Senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

}}

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- T\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-T\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-5/2,5/2])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-5/2,5/2])\) como se muestra a continuación:
[[Archivo:EJ5EDP.png|450px|thumb|right|Aproximación de \(f(x)\)]]

=== Código matlab ===

{{matlab|codigo=
% Aproximación de f(x) en el intervalo [-2,3]

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-13T17:38:13Z

Claudia: /* Base trigonométrica */

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

En el espacio de Hilbert \( L^2([-\pi,\pi]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortogonal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\}\cup\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(n x), \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(n x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n x) + c_n \sin(n x) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx </math>

<math> d_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx </math>

<math> c_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx </math>

Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.

== Base trigonométrica ==

En general, en el espacio \(L^2([a,b])\), mediante el cambio de variable

<math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math>

se tiene que la base trigonométrica ortogonal está dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin(n h(x)) \right)}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado.
[[Archivo:grafica1_EDP.png|600px| Representación de los 10 primeros términos de la base trigonométrica.]]
[[Archivo:Grafica2_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del seno.]]
[[Archivo:grafica3_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del coseno.]]

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

=== Código matlab ===
{{matlab|codigo=

%Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: Cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: Senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

}}

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- T\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-T\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-5/2,5/2])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-5/2,5/2])\) como se muestra a continuación:
[[Archivo:EJ5EDP.png|450px|thumb|right|Aproximación de \(f(x)\)]]

=== Código matlab ===

{{matlab|codigo=
% Aproximación de f(x) en el intervalo [-2,3]

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-13T17:37:16Z

Claudia: /* Base trigonométrica */

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

En el espacio de Hilbert \( L^2([-\pi,\pi]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortogonal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\}\cup\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(n x), \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(n x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n x) + c_n \sin(n x) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx </math>

<math> d_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx </math>

<math> c_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx </math>

Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.

== Base trigonométrica ==

En general, en el espacio \(L^2([a,b])\), mediante el cambio de variable

<math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math>

se tiene que la base trigonométrica ortogonal está dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin\sin(n h(x)) \right)}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado.
[[Archivo:grafica1_EDP.png|600px| Representación de los 10 primeros términos de la base trigonométrica.]]
[[Archivo:Grafica2_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del seno.]]
[[Archivo:grafica3_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del coseno.]]

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

=== Código matlab ===
{{matlab|codigo=

%Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: Cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: Senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

}}

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- T\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-T\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-5/2,5/2])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-5/2,5/2])\) como se muestra a continuación:
[[Archivo:EJ5EDP.png|450px|thumb|right|Aproximación de \(f(x)\)]]

=== Código matlab ===

{{matlab|codigo=
% Aproximación de f(x) en el intervalo [-2,3]

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
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% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
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% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
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hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-13T17:36:24Z

Claudia: /* Base trigonométrica */

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

En el espacio de Hilbert \( L^2([-\pi,\pi]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortogonal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\}\cup\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(n x), \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(n x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n x) + c_n \sin(n x) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx </math>

<math> d_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx </math>

<math> c_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx </math>

Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.

== Base trigonométrica ==

En general, en el espacio \(L^2([a,b])\), mediante el cambio de variable

<math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math>

se tiene que la base trigonométrica ortogonal está dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin\sin(n h(x))}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado.
[[Archivo:grafica1_EDP.png|600px| Representación de los 10 primeros términos de la base trigonométrica.]]
[[Archivo:Grafica2_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del seno.]]
[[Archivo:grafica3_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del coseno.]]

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

=== Código matlab ===
{{matlab|codigo=

%Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: Cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
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for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
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hold off;

%% Gráfica 3: Senos
figure;
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title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

}}

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- T\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-T\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-5/2,5/2])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-5/2,5/2])\) como se muestra a continuación:
[[Archivo:EJ5EDP.png|450px|thumb|right|Aproximación de \(f(x)\)]]

=== Código matlab ===

{{matlab|codigo=
% Aproximación de f(x) en el intervalo [-2,3]

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-13T17:35:41Z

Claudia: /* Base trigonométrica */

{{ TrabajoED |
Series de Fourier. Grupo CJMAS | [[:Categoría: EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Claudia Domínguez Sánchez Javier Martínez Saiz Marta De Miguel Prieto Analía Olivero Betancor Sofía De Benito Valdueza }}

== Introducción ==

Las series de Fourier, introducidas por Jean-Baptiste Joseph Fourier, permiten descomponer funciones periódicas en una combinación de ondas senoidales y cosenoidales. En esencia, permiten descomponer una función en una serie infinita de términos trigonométricos, lo que facilita su análisis y manipulación en diversas aplicaciones de la física, ingeniería y matemáticas.

En el espacio de Hilbert \( L^2([-\pi,\pi]) \), cualquier función puede representarse en términos de una base ortogonal de funciones trigonométricas, dada por:
<math> B=\{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\}\cup\{ \frac{1}{\sqrt{\pi}}\cos(n x), \frac{1}{\sqrt{\pi}}\sin(n x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

Usando esta base, la serie de Fourier de una función \( f(x) \) se expresa como:

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n x) + c_n \sin(n x) \right) </math>

donde los coeficientes \(d_0\), \(d_n\) y \(c_n\) son los llamados coeficientes de Fourier y están definidos por las siguientes integrales:

<math> d_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx </math>

<math> d_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(n x) dx </math>

<math> c_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(n x) dx </math>

Esta descomposición no se limita únicamente al intervalo \([−\pi,\pi]\), sino que puede extenderse a otros intervalos mediante un cambio de variable adecuado.

== Base trigonométrica ==

En general, en el espacio \(L^2([a,b])\), mediante el cambio de variable

<math> h(x)=\frac{2\pi}{b-a}(x-a)-T, </math>

se tiene que la base trigonométrica ortogonal está dada por:

<math> B=\left\{\frac{1}{\sqrt{b-a}}\right\}\cup\left\{\sqrt{\frac{2}{b-a}}\cos(n h(x)), \sqrt{\frac{2}{b-a}}\sin\left(n\left(\frac{2\pi (x-a)}{b-a}-\pi\right)\right)\right\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

con función aproximada

<math> f(x) \sim \frac{d_0}{\sqrt{b-a}} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( d_n \cos(n h(x)) + c_n \sin(n h(x)) \right) </math>

Para entender mejor esta base, representamos gráficamente en el intervalo <math>[-1,1]</math> los 10 primeros términos tomando <math>a=-1,b=1</math>. En este caso, la base se expresa como:

<math> \left\{\frac{1}{2}\right\}\cup\{\cos(n \pi x), \sin(n \pi x)\}_{n\in\mathbb{N} } </math>

A continuación, presentamos las gráficas correspondientes para ilustrar cómo estos términos permiten aproximar funciones en el intervalo dado.
[[Archivo:grafica1_EDP.png|600px| Representación de los 10 primeros términos de la base trigonométrica.]]
[[Archivo:Grafica2_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del seno.]]
[[Archivo:grafica3_EDP.png|600px|Representación de los 10 primeros términos del coseno.]]

Podemos ver como a medida que el valor de n aumenta las funciones seno y coseno toman un comportamiento más oscilante, lo que reduce su periodo. Esta característica es fundamental, ya que permite que la aproximación de funciones sea cada vez más precisa.

Esta visualización permite apreciar cómo las funciones trigonométricas construyen una base ortogonal en el intervalo dado, facilitando su aplicación en la expansión en series de Fourier.

=== Código matlab ===
{{matlab|codigo=

%Representar gráficamente los 10 primeros términos de la base trigonométrica

% Definir el intervalo y los puntos
x = linspace(-1, 1, 500);
N = 10;

% Definir colores
color_cosenos = [0, 0.447, 0.741]; % Azul
color_senos = [0.85, 0.325, 0.098]; % Rojo
colors_individuales = lines(N);

%% Gráfica 1: Todos los términos juntos
figure;
hold on; grid on;
title('Primeros 10 términos de la base trigonométrica');
xlabel('x'); ylabel('Función');

% 1/2
plot(x, 1/2 * ones(size(x)), 'k', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', '1/2'); % Negro para el término constante

% Cosenos y senos
for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', color_cosenos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', color_senos, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 2: Cosenos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones cos(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('cos(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, cos(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('cos(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

%% Gráfica 3: Senos
figure;
hold on; grid on;
title('Funciones sin(nπx)');
xlabel('x'); ylabel('sin(nπx)');

for n = 1:N
plot(x, sin(n * pi * x), 'Color', colors_individuales(n,:), 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', sprintf('sin(%dπx)', n));
end

legend show;
hold off;

}}

== Cambio de intervalo ==

Consideremos la función \(f(x)= x e^{-x}\) definida en el intervalo \([-2,3]\). Para poder expresarla mediante una serie de Fourier, necesitamos encontrar una base trigonométrica adecuada para este nuevo intervalo. Para ello, sustituyendo con \( a=-2, b =3 \), se tiene la base trigonométrica

<math> B = \left\{ \frac{1}{\sqrt{5}} \right\} \cup \left\{ \sqrt{\frac{2}{5}} \cos\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}- T\right)\right), \quad \sqrt{\frac{2}{5}} \sin\left(n\left(\frac{2\pi (x+2)}{5}-T\right)\right)\right\}_{n\in \mathbb{N}}. </math>

De esta forma, hemos conseguido trasladar el intervalo no simétrico \([-2,3]\) al intervalo simétrico \( [-T, T] \), donde \(T=\frac{b-a}{2}\). Luego por periodicidad y por tener la misma longitud de intervalo, la base trigonométrica del espacio \(L^2([-2,3])\) será la misma que la base de \(L^2([-5/2,5/2])\), para nuestros valores específicos de \(a\) y \(b\).

Luego podemos aproximar nuestra función \(f(x)\) por la combinación lineal de los elementos de la base de \(L^2([-5/2,5/2])\) como se muestra a continuación:
[[Archivo:EJ5EDP.png|450px|thumb|right|Aproximación de \(f(x)\)]]

=== Código matlab ===

{{matlab|codigo=
% Aproximación de f(x) en el intervalo [-2,3]

% Definición de la función f(x) = x * exp(-x)
f = @(x) x .* exp(-x);

% Parámetros del problema
a = -2; % Extremo inferior del intervalo original
b = 3; % Extremo superior del intervalo original
L = 5/2; % Nueva semilongitud del intervalo centrado en 0
N = 5000; % Número de puntos para la integral
m = 20; % Número de términos en la serie

% Cambio de variable h(x) para transformar [a, b] -> [-L, L]
h = @(x) (5*(x - a)) / (b - a) - (5/2);

% Vectores para almacenar los coeficientes
coeficientes1 = zeros(1, m);
coeficientes2 = zeros(1, m);

% Discretización del intervalo y pesos para regla del trapecio
h_val = (b - a) / N;
u = a:h_val:b;
h_u = h(u); % Aplicar cambio de variable a los puntos del intervalo

w = ones(N + 1, 1);
w(1) = 1/2; w(N + 1) = 1/2; % Pesos de extremos

% Cálculo del coeficiente a_0
coef0 = (h_val * w' * f(u)') / L;

% Cálculo de los coeficientes a_k y b_k usando la base trigonométrica ajustada
for k = 1:m
f1 = (f(u) .* sin(k * pi * h_u / L))';
f2 = (f(u) .* cos(k * pi * h_u / L))';
coeficientes1(k) = (h_val * w' * f1) / L;
coeficientes2(k) = (h_val * w' * f2) / L;
end

% Construcción de las aproximaciones parciales de la serie
y = zeros(m, N + 1);
y(1, :) = coef0 / 2 + coeficientes1(1) * sin(pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(1) * cos(pi * h_u / L);

for k = 2:m
y(k, :) = y(k - 1, :) + coeficientes1(k) * sin(k * pi * h_u / L) + ...
coeficientes2(k) * cos(k * pi * h_u / L);
end

% Gráficas de la función original y las aproximaciones
figure;
hold on;
plot(u, f(u), 'black', 'LineWidth', 1.5); % Función original
plot(u, y(5, :), 'blue', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=5
plot(u, y(10, :), 'red', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=10
plot(u, y(20, :), 'yellow', 'LineWidth', 1.2); % Aproximación con n=20
xlabel('x');
ylabel('f(x), f_{5}(x), f_{10}(x), f_{20}(x)');
title('Aproximación de f(x) = x e^{-x} con cambio de variable');
legend("f(x)", "f_{5}(x)", "f_{10}(x)", "f_{20}(x)");
grid on;
hold off;

}}

[[Categoría: EDP]]

[[Categoría: EDP24/25]]

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-13T17:25:56Z

Claudia: /* Base trigonométrica */

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

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Claudia: /* Base trigonométrica */

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Series de Fourier (Grupo CJMAS)

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Claudia: /* Aproximación de una función */

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2025-02-12T22:01:57Z

Claudia: /* Aproximación de una función */

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-12T21:58:52Z

Claudia: /* Código matlab ejemplo */

Series de Fourier (Grupo CJMAS)

2025-02-12T21:57:20Z

Claudia: