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Campos en Elasticidad

2014-12-04T15:23:06Z

Clara Callejo: /* Líneas coordenadas */

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 16-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Araceli Martín, Juan Carlos Durán, Francisco Javier Alcaraz, Álvaro Llera, Clara Callejo, Manuel }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad nos situaremos en el contexto de una '''placa plana''' que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* <math>P1: 18y -81x^{2}-1=0 </math>
* <math>P2: 2y +x^{2}-1=0 </math>

Para representar la placa se utilizará un sistema de coordenadas curvilíneas tal que:
* <math>x=uv</math>
* <math> y = \dfrac{1}{2}(u^2-v^2)</math>

En nuestro análisis, el dominio de '''<math>u</math>''' y '''<math>v</math>''' comprenderá:
<math>(u,v) \in [1/3,1]*[-1,1]</math>

== Representación de la placa==
=== Representación del mallado del sólido ===

Comenzaremos con la representación de la placa mediante un mallado, utilizando, en el código, la conversión a coordenadas curvilíneas de '''<math>u</math>''' y '''<math>v</math>'''.El intervalo que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

Para discretizar los vectores <math>u</math> y <math>v</math> utilizaremos un paso <math> h = \dfrac{1}{20}</math>.

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de datos.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Los resultados de la representación se ven en la imagen:

[[Archivo:Imagen_mallado.jpg|800px|thumb|centre|Mallado que representa la superficie de la placa comprendida entre las parábolas P1 Y P2.]]
 

===Líneas coordenadas===

Cuando se hace uso de cambio de coordenadas a ciertas coordenadas curvilíneas es útil para el entendimiento de la transformación la representación de las '''Líneas Coordenadas''': Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación (<math>u</math> ó <math>v</math>) y manteniendo fija la restante.
En este estudio hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a <math>u</math> o a <math>v</math> y representar la gráfica que queda en función de la otra variable.

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx12=uu.*-0.5 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx13=uu.*1 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx14=uu.*-1 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx15=uu.*0.75 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx16=uu.*-0.75 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx17=uu.*0 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.}}

[[Archivo:lineascoordenadas.jpg|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas.]]
 

=== Base Natural===

Cuando se realiza una transformación a coordenadas curvilíneas ( de <math>x</math> e <math>y</math> a <math>u</math> y <math>v</math>), el vector de posición <math> \vec{r_0}</math> se expresa como:

<math> \vec{r_0}=x\hat{e_1} +y \hat{e_2} =uv\hat{e_1} +\dfrac{1}{2}(u^2-v^2) \hat{e_2} </math>

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>es la que tiene por vectores el resultado de derivar el vector posición <math> \vec{r_0}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Dado que es un problema sobre una placa plana, estamos en una situación de dos dimensiones en la que para cualquier base, sólo se requieren dos vectores, ( <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> ). No obstante, para cuestiones que trataremos posteriormente será necesario considerar una tercera coordenada (por ejemplo, para el cálculo del rotacional), por ello, incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

El código de Matlab utilizado para hallar los vectores <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> es :
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,4); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado completo.
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos.

}}

La imagen que se obtiene con este código es:
[[Archivo:basenatural.jpg|800px|thumb|centre|Representación de los vectores de la base natural]]
 

Resulta coherente porque los vectores dibujados son tangentes a las líneas coordenadas ( Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> se obtienen al derivar el vector de posición <math> \vec{r_0}</math> con respecto a <math>u</math> y <math>v</math>).
==Acción de la temperatura en la placa==
=== Influencia de un foco de calor ===
La temperatura proviene de un foco de calor dada por el campo escalar
<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2} </math>
{{matlab|codigo=
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2)); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
contour(xx,yy,f,20); % Define 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
max(max(f)) % Valor máximo de la temperatura en toda la región
}}

===Gradiente de T y curvas de nivel===
El gradiente de una función escalar expresa la dirección en la cual el campo crece más rápido. Por otra parte,las curvas de nivel expresan los puntos que se encuentran a la misma altura, en nuestro caso, aquellos que tienen la misma temperatura. Por tanto, si tenemos dos curvas de nivel y estamos en un punto de la menor, el gradiente será el vector de mínima distancia a la otra curva de nivel, siendo por tanto perpendicular a ambas.
<math>\nabla T(x,y)= \frac{\partial T}{\partial x} \hat{e_1}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{e_2}=[-2xe^{-x^2}(8-y^2+2y)]\hat{e_1}+[(-2y+2)e^{-x^2}]\hat{e_2}</math>
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1,2].
v=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2)); % Función Temperatura.
fx =(-2.*xx).*(exp(-(xx.^2))).*(8-yy.^2+2.*yy); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(exp(-(xx.^2))).*(-2.*yy+2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on % Fin superposición de gráficos
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos
}}
==Acción de una fuerza sobre sólido==
=== Campo de desplazamientos ===
Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> será la siguiente:

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>: <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math>
===Divergencia de un campo===
===Cálculo del rotacional de un campo vectorial===

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante. <math>\vec{g_w}=\vec{e_3}</math>

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )-2u=0</math>

==Tensiones sobre la placa==
===Tensor de tensiones===
===Tensión de Von Mises===
==Masa de la placa==
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; %Number of points
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; %Extremes of the interval
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordinates of the partition
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordinates of the rectangle
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(xx.*yy).*(exp(-1./(xx.^2))); %function
F=abs(f);
w1=ones(N1+1,1); %weights vector
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %weights vector
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*F*w1 % result
result=h1*h2*w2'*f*w1 % result}}

Campos en Elasticidad

2014-12-04T15:04:11Z

Clara Callejo:

{{ TrabajoED |Campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 16-A | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC14/15|2014-15]] | Araceli Martín, Juan Carlos Durán, Francisco Javier Alcaraz, Álvaro Llera, Clara Callejo, Manuel }}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

Para este análisis y representación de campos escalares en elasticidad nos situaremos en el contexto de una '''placa plana''' que ocupa la región comprendida entre las parábolas :

* <math>P1: 18y -81x^{2}-1=0 </math>
* <math>P2: 2y +x^{2}-1=0 </math>

Para representar la placa se utilizará un sistema de coordenadas curvilíneas tal que:
* <math>x=uv</math>
* <math> y = \dfrac{1}{2}(u^2-v^2)</math>

En nuestro análisis, el dominio de '''<math>u</math>''' y '''<math>v</math>''' comprenderá:
<math>(u,v) \in [1/3,1]*[-1,1]</math>

== Representación de la placa==
=== Representación del mallado del sólido ===

Comenzaremos con la representación de la placa mediante un mallado, utilizando, en el código, la conversión a coordenadas curvilíneas de '''<math>u</math>''' y '''<math>v</math>'''.El intervalo que representaremos comprende:

<math>(x,y) \in [-1,1]*[-1,1]</math>

Para discretizar los vectores <math>u</math> y <math>v</math> utilizaremos un paso <math> h = \dfrac{1}{20}</math>.

Código en Matlab:
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1/3,1].
v=-1:h:1; % Intervalo [-1,1].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices de datos.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
plot(xx,yy); % Imagen.
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
}}

Los resultados de la representación se ven en la imagen:

[[Archivo:Imagen_mallado.jpg|800px|thumb|centre|Mallado que representa la superficie de la placa comprendida entre las parábolas P1 Y P2.]]
 

===Líneas coordenadas===

Cuando se hace uso de cambio de coordenadas a ciertas coordenadas curvilíneas es útil para el entendimiento de la transformación la representación de las '''Líneas Cpprdenadas''': Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas de la transformación (<math>u</math> ó <math>v</math>) y manteniendo fija la restante.
En este estudio hemos representado varias líneas coordenadas a base de dar un valor concreto a <math>u</math> o a <math>v</math> y representar la gráfica que queda en función de la otra variable.

{{matlab|codigo=
xx11=uu.*0.5 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy11=(1/2).*((uu.^2)-(0.5.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx12=uu.*-0.5 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy12=(1/2).*((uu.^2)-((-0.5).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx13=uu.*1 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy13=(1/2).*((uu.^2)-(1.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx14=uu.*-1 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy14=(1/2).*((uu.^2)-((-1).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx15=uu.*0.75 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy15=(1/2).*((uu.^2)-(0.75.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx16=uu.*-0.75 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy16=(1/2).*((uu.^2)-((-0.75).^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.
xx17=uu.*0 ; % -----------------------------------------------Parametrización X.
yy17=(1/2).*((uu.^2)-(0.^2)); % ----------------------------------------------Parametrización Y.}}

[[Archivo:lineascoordenadas.jpg|800px|thumb|centre|Líneas coordenadas.]]
 

=== Base Natural===

Cuando se realiza una transformación a coordenadas curvilíneas ( de <math>x</math> e <math>y</math> a <math>u</math> y <math>v</math>), el vector de posición <math> \vec{r_0}</math> se expresa como:

<math> \vec{r_0}=x\hat{e_1} +y \hat{e_2} =uv\hat{e_1} +\dfrac{1}{2}(u^2-v^2) \hat{e_2} </math>

La base natural <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math>es la que tiene por vectores el resultado de derivar el vector posición <math> \vec{r_0}</math> según las nuevas coordenadas <math>u</math> y <math>v</math>. Dado que es un problema sobre una placa plana, estamos en una situación de dos dimensiones en la que para cualquier base, sólo se requieren dos vectores, ( <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> ). No obstante, para cuestiones que trataremos posteriormente será necesario considerar una tercera coordenada (por ejemplo, para el cálculo del rotacional), por ello, incluiremos en nuestra base natural el vector <math>\vec{g_w}</math>.

*<math> \vec{g_u}=v\hat{e_1} +u \hat{e_2}</math>
*<math> \vec{g_v}=u\hat{e_1} -v \hat{e_2}</math>

El código de Matlab utilizado para hallar los vectores <math>\vec{g_u}, \vec{g_v}</math> es :
{{matlab|codigo=
subplot(3,3,4); % Muestra varias imágenes. 1º Imagen.
hold on % Inicio superposición de gráficos
mesh(xx,yy,0*xx) % Mallado completo.
quiver(xx,yy,vv,uu); % Representación del primer vector de la base natural en cada punto.
quiver(xx,yy,uu,-vv); % Representación del segundo vector de la base natural en cada punto.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la regíon a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos.

}}

La imagen que se obtiene con este código es:
[[Archivo:basenatural.jpg|800px|thumb|centre|Representación de los vectores de la base natural]]
 

Resulta coherente porque los vectores dibujados son tangentes a las líneas coordenadas ( Recordamos que <math>\vec{g_u}</math> y <math>\vec{g_v}</math> se obtienen al derivar el vector de posición <math> \vec{r_0}</math> con respecto a <math>u</math> y <math>v</math>).
==Acción de la temperatura en la placa==
=== Influencia de un foco de calor ===
La temperatura proviene de un foco de calor dada por el campo escalar
<math>T(x,y)=(8-y^2+2y)e^{-x^2} </math>
{{matlab|codigo=
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2)); % Función Temperatura.
subplot(1,2,1); % Muestra varias imágenes. 1ª Imagen.
contour(xx,yy,f,20); % Define 20 líneas de nivel.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
subplot(1,2,2); % Muestra varias imágenes. 2ª Imagen.
surf(xx,yy,f); colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
axis([-1,1,-1,1]) % Selecciona la región a dibujar.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
max(max(f)) % Valor máximo de la temperatura en toda la región
}}

===Gradiente de T y curvas de nivel===
El gradiente de una función escalar expresa la dirección en la cual el campo crece más rápido. Por otra parte,las curvas de nivel expresan los puntos que se encuentran a la misma altura, en nuestro caso, aquellos que tienen la misma temperatura. Por tanto, si tenemos dos curvas de nivel y estamos en un punto de la menor, el gradiente será el vector de mínima distancia a la otra curva de nivel, siendo por tanto perpendicular a ambas.
<math>\nabla T(x,y)= \frac{\partial T}{\partial x} \hat{e_1}+\frac{\partial T}{\partial y}\hat{e_2}=[-2xe^{-x^2}(8-y^2+2y)]\hat{e_1}+[(-2y+2)e^{-x^2}]\hat{e_2}</math>
{{matlab|codigo=
h=1/20; % Paso de muestreo.
u=1/3:h:1; % Intervalo [1,2].
v=-1:h:1; % Intervalo [0,2*pi].
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Matrices.
xx=uu.*vv ; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2)); % Parametrización Y.
f=(8-yy.^2+yy.*2).*exp(-(xx.^2)); % Función Temperatura.
fx =(-2.*xx).*(exp(-(xx.^2))).*(8-yy.^2+2.*yy); % Derivada con respecto a x de la función Temperatura.
fy=(exp(-(xx.^2))).*(-2.*yy+2); % Derivada con respecto a y de la función Temperatura.
hold on % Fin superposición de gráficos
quiver(xx,yy,fx,fy) % Representación de los vectores gradiente.
contour(xx,yy,f,20);colorbar; % Visualización de superficie en 3D más leyenda en color.
view(2) % Ver imagen desde arriba.
hold off % Fin superposición de gráficos
}}
==Acción de una fuerza sobre sólido==
=== Campo de desplazamientos ===
Una fuerza determinada aplicada sobre nuestro sólido ha provocado un desplazamiento del mismo que viene dado por <math> \vec{u}(x,y) </math> .
Este vector será <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math> siendo ::
<math> \vec{a}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}\qquad \vec{b}=-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}=-4\frac{v\vec {e_1}+ u\vec {e_2}}{\sqrt{v^2+u^2}}</math>.

Como hemos hallado anteriormente <math>\vec{g_u}=v \vec{e_1} +u \vec{e_2} </math>. Tomaremos:: <math>\vec{r_o}= x\vec {e_1}+y\vec {e_2}= uv\vec {e_1}+ \frac{1}{2}(u^2-v^2)\vec {e_2}</math>.

Con todo esto: <math>\vec{u}= \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|}(-4 \frac{\vec{g}_u}{|\vec{g_u}|} \vec{r_o})= \frac{\vec{g_u}}{|\vec{g_u}|^2}(-4 \vec{g_u}\cdot\vec{r_o})=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2} \vec{g_u}=\frac{-4uv^2-2u(u^2-v^2)}{u^2+v^2}(v \vec{e_1} +u \vec{e_2})</math>
La representación del campo de desplazamiento <math>\vec{u}</math> será la siguiente:

Nuestra superficie sufre un desplazamiento en un instante <math>t_{0}</math> debido a una percusión. Dicho campo viene dado por el siguiente vector <math>\vec u</math>: <math>\vec u(u,v)=\vec a(\vec b\cdot\vec r_{o})</math>
===Divergencia de un campo===
===Cálculo del rotacional de un campo vectorial===

La expresión del rotacional de un campo vectorial <math>\vec{u}</math> se halla por la siguiente expresión:
<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix}</math>

De nuevo necesitaremos definir una tercera componente <math>\vec{g_w}</math> para el cálculo de ese determinante. <math>\vec{g_w}=\vec{e_3}</math>

<math>\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{ \sqrt{g} } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ u_{u} &u_{v}&u_{w}\end{bmatrix} = \frac{1}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\ -2u(u^2+v^2) &0&0\end{bmatrix}=\frac{u^2+v^2}{ u^2+v^2 } \begin{bmatrix} g_{u} & g_{v} & g_{w} \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial w} \\-2u&0&0\end{bmatrix}= -2u ( \frac{\partial g_{v} }{\partial w} - \frac{\partial g_{w} }{\partial v} )-2u=0</math>

==Tensiones sobre la placa==
===Tensor de tensiones===
===Tensión de Von Mises===
==Masa de la placa==
{{matlab|codigo=
N1=200; N2=200; %Number of points
a=1/3; b=1; c=-1; d=1; %Extremes of the interval
h1=(b-a)/N1; h2=(d-c)/N2;
u=a:h1:b; v=c:h2:d; %coordinates of the partition
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordinates of the rectangle
xx=uu.*vv; % Parametrización X.
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(xx.*yy).*(exp(-1./(xx.^2))); %function
F=abs(f);
w1=ones(N1+1,1); %weights vector
w(1)=1/2; w(N1+1)=1/2;
w2=ones(N2+1,1); %weights vector
w(1)=1/2; w(N2+1)=1/2;
result=h1*h2*w2'*F*w1 % result
result=h1*h2*w2'*f*w1 % result}}