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Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T12:27:58Z

Charoruizserrano: /* Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==

{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==

{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraída
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|600px|thumb|centre|Heun]]

Repitiendo los apartados anteriores por aproximación de Heun, obtenemos los siguientes resultados:
· La producción máxima resulta ser 239.9993 ton. y se alcanza en 1578 años.
· Quedarán sin extraer 288.8542 ton.

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

Para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores nobtenidos en los apartados anteriores.

{{matlab|codigo=
clear all
%Aproximacion de Heun en el modelo nuevo
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=2695;
h=1/12;
k=9075;
r=0.0708;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+K1*h)*(log(k)-log(q(i)+K1*h));
q(i+1)=q(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
q
P=zeros(size(q));
for m=1:length(q)
P(m)=r*q(m)*log(k/q(m));
end
P
%Aproximacion de Heun en el modelo antiguo
T0=0;
z0=2695;
K=10875;
b=240;
R=b*exp(1)/K;
T=T0;
z(1)=z0;
w=1;

while 1
K1=R*z(w)*(log(K)-log(z(w)));
K2=R*(z(w)+K1*h)*(log(K)-log(z(w)+K1*h));
z(w+1)=z(w)+h/2*(K1+K2);
T(w+1)=T(w)+h;
if w>1&&abs(R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))-25)<0.1&&R*z(w-1)*(log(K)-log(z(w-1)))>R*z(w)*(log(K)-log(z(w)))

break
end
w=w+1;
end
z
P2=zeros(size(z));
for s=1:length(z)
P2(s)=R*z(s)*log(K/z(s));
end
P2
subplot(3,1,1)
plot(t,q,'g')
legend('Modelo Gompertz Modificado','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Material extraido (tm)')
subplot(3,1,2)
plot(t,P)
legend('Modelo Gompertz Modificado: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('tiempo (años)')
ylabel('Producción (tm/años)')
subplot(3,1,3)
plot(z,P2,'r')
legend('Modelo Gompertz Inicial: Producción','Location','best') %Leyenda
xlabel('Material extraido (tm)')
ylabel('Producción (tm/años)')
%Maximo
max(P)}}

[[Archivo:3graficas.jpg|800px|thumb|centre|Graficos comparados]]

[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T12:10:04Z

Charoruizserrano: /* Modelo Logístico. Aproximación de Heun */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
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break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==

{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraída
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|600px|thumb|centre|Heun]]

Repitiendo los apartados anteriores por aproximación de Heun, obtenemos los siguientes resultados:
· La producción máxima resulta ser 239.9993 ton. y se alcanza en 1578 años.
· Quedarán sin extraer 288.8542 ton.

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores de
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T12:00:46Z

Charoruizserrano: /* Modelo Logístico. Aproximación de Heun */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==
{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|600px|thumb|Heun]]

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores de
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T11:59:41Z

Charoruizserrano: /* Modelo Logístico. Aproximación de Heun */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
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break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
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break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
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for i=1:N
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Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==
{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|800px|thumb|Heun]]

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores de
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Archivo:Heun10.jpg

2015-03-06T11:58:46Z

Charoruizserrano:

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T11:58:17Z

Charoruizserrano: /* Modelo Logístico */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*(log(k)-log(q(i-1)))>r*q(i)*(log(k)-log(q(i)))
break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico. Aproximación de Heun '''==
{{matlab|codigo=
t0=0;
t=t0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
r=(240*4)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Verhulst
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
P(i+1)=r*q(i)*(1-q(i)/k);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*q(i)*(1-q(i)/k)-25)<0.1&&r*q(i-1)*(1-q(i-1)/k)>r*q(i)*(1-q(i)/k)
break
end
%Heun
k1=r*q(i)*(1-q(i)/k);
k2=r*(q(i)+k1*h)*(1-(q(i)+k1*h)/k);
q(i+1)=q(i)+(h/2)*(k1+k2);
t(i+1)=t(i)+h;
i=i+1;
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[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer
plot(t,P) }}

[[Archivo:Heun10.jpg|300px|thumb|left|Heun]]

=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores de
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T11:23:38Z

Charoruizserrano: /* Representación de la función P(t) */

{{ TrabajoED | Explotación minera. Grupo 15-C | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED14/15|Curso 2014-15]] | Belén Salamanca, M.Rosario Ruiz Serrano , Almudena Román, Carmén Rocio LLanes, Elena Suta, Sergio Fernández}}

=''' Introducción'''=

=='''Relación entre Producción-Material extraido'''==
Dada la ecuación diferencial proporcionada en el problema, donde se tiene la derivada de Q con respecto al tiempo, la función de producción es la propia derivada, ya que Q es la función de distribución y P es la densidad, con lo cual la relación entre ambas es la derivada, esto es:
dx/dt=rQ log(K/Q)=P

=='''Valor de la tasa intrínseca de crecimiento (r)'''==

Como ya se ha comentado anteriormente la función P(producción) es la derivada de la cantidad extraída de material,
dx/dt=rQ log(K/Q)=P
sabemos que la producción máxima es de 240, por tanto, derivando la función P e igualando a 0 obtenemos donde se produce el máximo
dP/dt=0 t= c/r
que introducido en la ecuación P e igualando a 240 se obtiene el valor de la tase de crecimiento r pedido
r= 240e/k =0.06

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraidas según el modelo de Gompertz'''==

Mediante el modelo de Gompertz, podemos expresar la producción de minerales (P en función de Q), como hemos visto en el apartado anterior. En la gráfica se observa cómo dicha producción aumenta hasta llegar a su máximo y a continuación disminuye. Para representar la curva necesitamos el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
b=240
k=10875;
r=b*exp(1)/k;
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r*q(i)*log(k/q(i));
end
plot(q,P)}}
[[Archivo:Gompertz3.jpg|500px|centre|Producción en función del volumen de toneladas extraidas]]

=='''Relación entre la producción y el volumen de toneladas extraídas según el modelo de Verhulst'''==
Volvemos a dibujar la curva del modelo de Gompertz descrita en el apartado anterior, y en una segunda ventana la curva de Verhulst. Para ello, necesitamos definir una nueva función, así como una nueva tasa intrínseca de crecimiento.
<math>
Q'=rQ(1-\frac{Q}{k})
</math>

Añadimos una tercera ventana en la que se dibujan las gráficas de ambos modelos, para poder compararlas. Necesitamos el siguiente código matlab para obtener los resultados:

{{matlab|codigo=
b=240;
k=10875;
r1=b*exp(1)/k;%Tasa intrínseca de crecimiento según el modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento según el modelo de Verhulst
q=0:1:10875;
N=length(q);
P=zeros(1,N);
for i=1:N
P(i)=r1*q(i)*log(k/q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*q(i)*(1-q(i)/k); %Verhulst
end
subplot(1,3,1)
plot(q,P,'k') %Curva para la función de Gompertz
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
subplot(1,3,2)
plot(q,PV,'r') %Curva para la función de Verhulst
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
subplot(1,3,3) %Comparación entre las curvas de ambos modelos
plot(q,P,'k')
xlabel('cantidad')
ylabel('produccion')
hold on %Para superponer gráficas
plot(q,PV,'r')
xlabel('cantidad (tn)')
ylabel('produccion (tn/año)')
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best') %Leyenda
hold off }}

[[Archivo:Verhulst.jpg|700px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Problema de valor inicial y aproximación de la cantidad de material extraído por el método de Euler '''==
Sea el problema de valor inicial dQ/dt=r*Q*log(k/Q) tal que Q(0)=0.1, la gráfica representa la variación de cantidad de mineral extraible a lo largo del tiempo. Como se puede observar, en un primer momento podemos extraer mucha cantidad de mineral hasta que, al llegar a un tiempo t y debido a que los recursos minerales limitados, la tasa de rendimiento de extracción del mineral es inferior a 25 toneladas/año (estamos alcanzando la máxima cantidad extraible). Por lo tanto, ya no es rentable seguir con la extracción.
{{matlab|codigo=
t0=0;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
t(1)=t0;
q(1)=0.1;
c=log(log(k/q(1)));
Q=k/(exp(exp(-r*t+c)));
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i));
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&abs((r*q(i-1)*log(k/q(i-1))))>abs((r*q(i)*log(k/q(i))));

break
end
i=i+1;
end
[t',q']
plot(t,q)}}

[[Archivo:abc.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

=='''Aproximación de la cantidad de material extraído con los métodos de Runge kutta y Heun'''==
{{matlab|codigo=
clear all
%Condiciones iniciales
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
k=10875;
b=240;
r=b*exp(1)/k;
%Variable dependiente
t=t0;
q(1)=q0;
z(1)=q0;
i=1;
while 1
K1=r*q(i)*(log(k)-log(q(i)));
K2=r*(q(i)+1/2*K1*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K1*h));
K3=r*(q(i)+1/2*K2*h)*(log(k)-log(q(i)+1/2*K2*h));
K4=r*(q(i)+K3*h)*(log(k)-log(q(i)+K3*h));
q(i+1)=q(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
t(i+1)=t(i)+h;
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break
end
i=i+1;
end
i=1;
while 1
K1=r*z(i)*(log(k)-log(z(i)));
K2=r*(z(i)+K1*h)*(log(k)-log(z(i)+K1*h));
z(i+1)=z(i)+h/2*(K1+K2);
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs(r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))-25)<0.1&&r*z(i-1)*(log(k)-log(z(i-1)))>r*z(i)*(log(k)-log(z(i)))
break
end
i=i+1;
end
hold on
plot(t,q,'b*')
plot(t,z,'r+')
legend('RK4','HEUN','location','best')
hold off}}

[[Archivo:trabec.jpg|500px|centre|Comparación de gráficos]]

==''' Cantidad de mineral cuando el tiempo tiende a infinito'''==
{{matlab|codigo=
tN=input('Introduce un valor del tiempo muy grande:');
t=0:1:tN;
N=length(t);
Q=zeros(1,N);
r=240*exp(1)/10875;
Q0=0.1;
K=10875;
Q(1)=Q0;
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)));
for i=1:N
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));
end
Q(tN)
plot(t,Q)}}
[[Archivo:Limite.jpg|800px|centre|Límite]]

=='''Representación de la función P(t)'''==
Se adjunta el código matlab que da la función de producción en función del tiempo.
{{matlab|codigo=
clear all
t=0:1:200;
n=length(t);
Q0=0.1;
K=10875;
r=240*exp(1)/K;
C=log(log(K/Q0));
for i=1:n
P(i)=(K*r*exp(-r*t(i)+C))/(exp(exp(-r*t(i)+C)));
end
[maximo,tiempo]=max(P) %maximo de la funcion P y y tiempo en el que se alcanza en años
plot(t,P)
}}

El máximo alcanzado por la función P(t) es 239.9906 ton., y se alcanza a los 42 años
La función resultante es:
[[Archivo:Graficamat.jpg|500px|centre|Límite]]

=='''Cantidad de mineral sin extraer una vez transcurrida la vida útil '''==

En apartados anteriores hemos obtenido la función de euler para la cantidad de mineral extraído (Q). Creamos un vector q a lo largo del tiempo, y sabemos que en el último punto del vector la función tiene el valor del total extraído. Sabiendo que k es la cantidad total que se puede extraer, basta con restarle a este valor la q calculada para obtener lo que queda sin extraer. Para ello hemos utilizado el siguiente código matlab:
{{matlab|codigo=
t0=0;
q0=0.1;
h=1/12;
t=t0;
k=10875;
r=240*exp(1)/k; %Tasa intrínseca de crecimiento modelo de Gompertz
q(1)=q0;
i=1;
while 1
q(i+1)=q(i)+h*r*q(i)*log(k/q(i)); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*q(i)*log(k/q(i)))-25)<0.1&&r*q(i-1)*log(k/q(i-1))>r*q(i)*log(k/q(i))
break
end
i=i+1;
end
N=length(q);
extraido=q(N); %cantidad de mineral extraida
sinextraer=k-extraido %cantidad de mineral que queda por extraer }}

La cantidad de mineral que queda sin extraer es: 424.4179 ton.

=='''Modelo Logístico '''==
=='''Reajuste de Datos '''==
En este apartado, se propone la revisión del modelo pasados 12 años. Los datos reales proporcionados son: la cantidad de mineral extraído hasta ese momento es de 2695 toneladas; y la cantidad de mineral que falta por extraer es de 9075 toneladas;(K-Q(12)=9075). Por lo tanto la cantidad total de mineral que se podía extraer es de K= 9075+2695=11770 toneladas.

Basándonos en la indicación del problema la tasa intrínseca de crecimiento (r) se calcula mediante un bucle que dando valores a r para que se obtenga el valor de la cantidad de mineral extraído a los 12 años.

En primer lugar hemos calculado con el modelo de Gompertz inicial los valores de la producción (P) y la cantidad de mineral extraído, para ello hemos utilizado el bucle del apartado uno y la solución del problema de valor inicial planteado. Una vez conocido la cantidad de mineral extraído a lo largo del tiempo hemos tomado el tomado el valor para t=12 años que ocupa la posición número 13 del vector (q). A continuación hemos reajustado el modelo de forma que la nueva población límite pasa a ser de 9075 toneladas. Realizando un bucle "while" hemos introducido los valores de la producción inicial obteniendo distintos valores para la (r), siendo el que más se aproxima a nuestro valor r=0.0708.

Se observa que la tasa intrínseca de rendimiento (r) es mayor una vez revisado el modelo, lo cual es evidente ya que se han producido mejoras en las técnicas de extracción del mineral.
{{matlab|codigo=
clear all, clc
b=240
k=10875;
r0=b*exp(1)/k;
t0=0;
tN=25;
h=1/12;
N=(tN-t0)/h;
C=log(log(k/0.1));
q=zeros(1,N);
q(1)=0.1
P=zeros(1,N);
t=t0:h:tN;
for i=1:N
P(i)=r0*q(i)*log(k/q(i));
q(i+1)=k/(exp(exp(-r0*t(i)+C)));
end
q0=q(13);
K=9075;
n=1;
while 1
r(n)=(C-log(log(K/q(n))))/t(n);
if n>1&&q(n)>q0
r(n-1);
break
end
n=n+1;
end
r(length(r)) }}

para la nueva r y la nueva K procedemos a realizar la aproximación mediante el método de Heun y compararla
para los valores de
[[Categoría:Ecuaciones Diferentiales]]
[[Categoría:ED14/15]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]

Explotación Minera (G15-C)

2015-03-06T11:22:43Z

Archivo:Captura11def.png

2014-12-04T20:01:38Z

Charoruizserrano: Tensión de Von Mises

Tensión de Von Mises

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T20:00:01Z

Charoruizserrano: /* TENSIÓN DE VON MISES */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);
[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);
contour(x,y,T) %Dibujo de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,px,py) %Dibujo del gradiente
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4. También se ve que el aumento de volumen se produce de forma lineal, con valores entre 0 y 0.8.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales a la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

<gallery>
Archivo:Captura11def.png|Tensión de Von Mises
</gallery>

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Archivo:Captura11.png

2014-12-04T19:59:22Z

Charoruizserrano: Tensión de Von Mises

Tensión de Von Mises

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T19:58:50Z

Charoruizserrano: /* TENSIÓN DE VON MISES */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);
[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);
contour(x,y,T) %Dibujo de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,px,py) %Dibujo del gradiente
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4. También se ve que el aumento de volumen se produce de forma lineal, con valores entre 0 y 0.8.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales a la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

<gallery>
Archivo:Captura11.png|Tensión de Von Mises
</gallery>

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T16:48:51Z

Charoruizserrano: /* DIVERGENCIA DE \vec{U} */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);
[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);
contour(x,y,T) %Dibujo de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,px,py) %Dibujo del gradiente
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4. También se ve que el aumento de volumen se produce de forma lineal, con valores entre 0 y 0.8.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales a la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T16:42:19Z

Charoruizserrano: /* DIVERGENCIA DE \vec{U} */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);
[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);
contour(x,y,T) %Dibujo de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,px,py) %Dibujo del gradiente
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4. También se ve que el aumento de volumen se produce de forma lineal.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales a la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T16:41:52Z

Charoruizserrano: /* DIVERGENCIA DE \vec{U} */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);
[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);
contour(x,y,T) %Dibujo de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,px,py) %Dibujo del gradiente
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4. También se ve que el aumento de volumen se produce de forma lineal

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales a la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T16:40:09Z

Charoruizserrano: /* VARIACIÓN DE TEMPERATURA */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);
[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);
contour(x,y,T) %Dibujo de las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,px,py) %Dibujo del gradiente
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales a la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T16:38:21Z

Charoruizserrano: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{j} */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales a la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Archivo:Captura8.png

2014-12-04T16:37:23Z

Charoruizserrano: Tensiones normales a la dirección del vector i

Tensiones normales a la dirección del vector i

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-04T16:36:48Z

Charoruizserrano: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]|Pablo Ribao Gil 
Paco Durán Muñoz 
Almudena Román Sánchez-Rey 
Mª del Rosario Ruiz-Serrano Mulas}} 
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]

== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)+2.*(yy)).*exp(-(xx).*(xx)); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:figura.jpg|Distribución de las temperaturas
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
clear all
x=(-0.5:0.05:0.5)
y=(0:0.2:4);

[x,y] = meshgrid(x,y);
T =(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2);
[px,py] = gradient(T,.05,.2);

contour(x,y,T)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold off
}}

<gallery>
Archivo:gradiente1.jpg|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>

==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES A LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE X
ty=0.2*Y
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje x')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8.png|Tensiones normales a la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:capturatensiones.jpg|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.

===TENSIÓN DE VON MISES===
La tensión de Von Mises se define por la fórmula:

{{matlab|codigo=
vonmises=[]; %Vector vacío para la primera interacción.
for y=linspace(0,4,50); %Bucle para crear el vector vonmises
A=[y/5 0 0;0 3*y/5 0;0 0 y/5]; %Matriz A
L=eig(A); %Función para sacar los autovalores de la matriz A
ecuacion= sqrt(((L(1)-L(2))^2+(L(2)-L(3))^2+(L(3)-L(1))^2)/2); %Ecuación de la tensión de Von Mises
vonmises=[vonmises,ecuacion] %Creación del vector vonmises a partir de las tensiones de las interacciones anteriores
end
plot(vonmises) %Gráfica de tensiones
max(vonmises) %Valor máximo del vector

}}

El punto en el que se alcanza el máximo valor será y=4, este valor es 1,6.

==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xylog{x+2} </math>. La masa total de nuestra placa es 0.4579

{{matlab|codigo=

h=1/10; %Numero de puntos
a=-0.5; b=0.5; c=0; d=4; %Extremos del intervalo
u=a:h:b; v=c:h:d; %coordenadas iniciales
[uu,vv]=meshgrid(u,v); %coordenadas del rectángulo
f=vv.*uu.*log(uu+2); %función
a=h^2*f;
masa=sum(sum(a))%masa total
}}

Archivo:Captura8b.png

2014-12-03T23:52:45Z

Charoruizserrano: Tensiones normales en la dirección del vector j

Tensiones normales en la dirección del vector j

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:51:58Z

Charoruizserrano: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{j} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=6*Y;
tx=0*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
xlabel('tensiones normales eje X')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8b.png|Tensiones normales en la dirección del vector j
</gallery>

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Archivo:Captura8a.png

2014-12-03T23:46:00Z

Charoruizserrano: Tensiones normales en la dirección del vector i

Tensiones normales en la dirección del vector i

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:45:13Z

Charoruizserrano: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensiones normales en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:44:30Z

Charoruizserrano: /* TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN \vec{i} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
%TENSIONES NORMALES DEL EJE Y
ty=0*Y;
tx=0.6*Y;
% dibujamos %
quiver(X,Y,tx,ty)
ylabel('tensiones normales eje Y')
axis([-1,1,-0.5,5])
axis equal
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura8a.png|Tensión en la dirección del vector i
</gallery>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:32:18Z

Charoruizserrano: /* DIVERGENCIA DE \vec{U} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
}}
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>
Podemos observar en el gráfico y comprobar analíticamente que los puntos de mayor divergencia están en torno a y=4.

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Archivo:Captura6.png

2014-12-03T23:29:37Z

Charoruizserrano: Divergencia

Divergencia

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:29:07Z

Charoruizserrano: /* DIVERGENCIA DE \vec{U} */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
Para representarla gráficamente utilizamos el siguiente código:
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0.5:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[X,Y]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices X e Y
Div=2*Y/10; % divergencia del campo
surf(X,Y,Div); % dibujamos la superficie
view(2) % dibujamos el campo en 2D
<gallery>
Archivo:Captura6.png|Divergencia
</gallery>

===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:24:30Z

Charoruizserrano: /* CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una tracción en vertical de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:22:53Z

Charoruizserrano: /* CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
El desplazamiento se produce en los extremos en dirección vertical con sentido positivo. La parte mas baja de la placa no tiene movimiento y la parte superior de la placa tiende a ascender. La consecuencia de todo esto es una compresión en las proximidades de la zona central de la placa.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Archivo:Captura5.png

2014-12-03T23:19:08Z

Charoruizserrano: Desplazamiento respecto a la posición original

Desplazamiento respecto a la posición original

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T23:17:20Z

Charoruizserrano: /* CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
Para visualizar el sólido antes y después de que se aplique el campo de vectores utilizamos el siguiente código Matlab:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;% defino el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4;% defino el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y);% creo la matriz de xx yy
subplot(1,2,1) % lo dibujo en la primera ventana
mesh(xx,yy,0*xx) % gráfico
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
subplot(1,2,2) % dibujo en la segunda ventana
Ux=0*xx;
Uy=0.1*(yy.*yy);
mesh(xx+Ux,yy+Uy,0*xx)
axis([-1,1,-1,6])
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura5.png|Desplazamiento respecto a la posición original
</gallery>
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Archivo:Captura2def.png

2014-12-03T22:42:49Z

Charoruizserrano: Distribución de la temperatura

Distribución de la temperatura

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T22:42:12Z

Charoruizserrano: /* DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2def.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T22:39:33Z

Charoruizserrano: /* CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS */

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
En la representación del campo de vectores se observa que:el campo toma la dirección del eje de ordenadas, pues sólo tiene componente \(\vec j \).El sentido es ascendente, ya el vector desplazamiento corresponde a una función parabólica.
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>

==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)

2014-12-03T22:31:26Z

Charoruizserrano:

[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:Trabajos 2014-15]]
{{Trabajo|Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2014-15|2014-15]]}}
[[Categoría:Teoría de Campos]]
[[Categoría:TC14/15]]
 
== INTRODUCCIÓN ==
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones.
Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.

== CONDICIONES GENERALES ==
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.

{{matlab|codigo=

clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
}}

<gallery>
Archivo:Captura1.png|Mallado de la placa rectangular
</gallery>
==CAMPO DE TEMPERATURA==
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2
En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
===DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS===
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
{{matlab|codigo=
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
}}
<gallery>
Archivo:Captura2.png|Distribución de la temperatura
</gallery>

===VARIACIÓN DE TEMPERATURA===
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente.
El gradiente en nuestro caso es <math>\nabla T</math> =-2x.<math>e^(-x^2)\,</math>(8-<math>y^2 </math>+2y)<math>\vec{i} </math>+(-2y+2)<math>e^(-x^2)\,</math><math>\vec{j} </math>

Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
{{matlab|codigo=
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
}}

<gallery>
Archivo:Captura3def.png|Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
</gallery>
==CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS==
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada.
Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos <math>\vec{U} </math>definido como:
<math>\vec{U}=y^2/2\vec{j} </math>
Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5; %definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:h:4; %definimos el intervalo [0,4]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); %definimos las matrices xx y yy
Ux=0*xx; %matriz de ceros para que cuadren las dimensiones
Uy=0.1*(yy.*yy); %vector desplazamiento
quiver(xx,yy,Ux,Uy); %dibujamos el campo
view(2)
}}
<gallery>
Archivo:Captura4.png|Campo de desplazamientos
</gallery>
===DIVERGENCIA DE <math>\vec{U} </math>===
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería:
<math>
\nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+
\frac{\partial U_z}{\partial z}
</math>
Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así:
<math>
\nabla\cdot\vec U = (y^2)/5
</math>
===ROTACIONAL DE <math>\vec{U} </math>===
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.
Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|
</math>
Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa.
Por lo que:
<math>
\nabla\times \vec U=\left|
\begin{matrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
& & \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}
\\ & & \\
U_x & U_y & U_z
\end{matrix}\right|=0
</math>
==TENSIONES DE LA PLACA==
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
\sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}
</math>[[Archivo:Tenseur des contraintes generalise.png|300px|thumb|Representación gráfica de las componentes del tensor tensión en una base ortogonal.]]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión:
<math>
[σ]_{xyz} =\begin{bmatrix}
y/5& 0 & 0 \\
0 & (3×y)/5 & 0 \\
0 & 0 & y/5
\end{bmatrix}
</math>

===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_x=y/5</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
===TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es:
<math>\sigma_y=y×(3/5)</math>
Esto quiere decir que en la dirección del eje y, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, y también aumentán tres veces más que en el caso de las tensiones normales respecto al eje x antes estudiadas. Las tensiones normales máximas respecto al eje y también se encontrarían en el extremo superior de la placa.
===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{i} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 1 y en las filas 2 y 3, es decir, que serían las tensiones
<math>\tau_{yx} \tau_{zx} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{yx}=0 \tau_{zx} =0</math>
Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen este tipo de tensiones tangenciales.

===TENSIONES TANGENCIALES RESPECTO AL PLANO ORTOGONAL A <math>\vec{j} </math>===
Estas tensiones estarían situadas en la columna 2 y en las filas 1 y 3, es decir que serían las tensiones <math>\tau_{xy} \tau_{zy} </math> que en nuestro caso su valor es <math>\tau_{xy}=0 \tau_{zy} =0</math> Por lo que llegamos a la conclusión de que en nuestro caso no existen tensiones tangenciales de este tipo.
==MASA DE LA PLACA==
La masa de nuestra placa vamos a calcularla mediante el siguiente código MATLAB a partir de su función densidad que tiene un valor <math>d(x,y,z)=xyexp^{-1/x^2} </math>

Archivo:Captura3def.png

2014-12-03T22:30:45Z

Charoruizserrano: Representación de las curvas de nivel y gradiente

Representación de las curvas de nivel y gradiente

Archivo:Captura4.png

2014-12-03T22:25:48Z

Charoruizserrano: Campo de desplazamientos

Campo de desplazamientos