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Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T11:09:11Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y un movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
mesh(xx,yy,T);colorbar; % Draw the mesh
hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Viene dado por <math>\nabla T(x,y)=-e^{-y}</math>. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,T,30)
hold off
}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 
== Deformaciones ==
=== Campo de desplazamiento ===
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math> . El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
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xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
fx=(-sin(pi*vv).*sin(vv))./(20.*uu);
fy=((sin(pi.*vv)).*cos(vv))./(20.*uu);
quiver(xx,yy,fx,fy);colorbar;
axis([-2,2,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

=== Divergencia ===
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. Con el campo vectorial dado, la divergencia viene dada por <math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
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yy=uu.*sin(vv);
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figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
axis([-2,2,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

=== Rotacional ===
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

=== Desplazamiento del sólido ===
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
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xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final. Como ya anticipábamos, en las zonas donde se produce una mayor divergencia, se experimentarán cambios de volumen. También se aprecia la irrotacionalidad del campo, pues en el mallado no se producen giros.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones ==
El tensor de deformaciones de nuestro problema viene dado por <math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
=== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> ===
 
{{matlab|codigo=
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figure(1)
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axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
=== Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> ===
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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figure(1)
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axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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figure(1)
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yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tensplortsigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T10:51:10Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y un movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
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hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1;
u=1:h:2;
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
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}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 
== Deformaciones ==
=== Campo de desplazamiento ===
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math> . El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
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figure(1)
fx=(-sin(pi*vv).*sin(vv))./(20.*uu);
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}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

=== Divergencia ===
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. Con el campo vectorial dado, la divergencia viene dada por <math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

=== Rotacional ===
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

=== Desplazamiento del sólido ===
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
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yy=uu.*sin(vv)+uy;
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view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final. Como ya anticipábamos, en las zonas donde se produce una mayor divergencia, se experimentarán cambios de volumen. También se aprecia la irrotacionalidad del campo, pues en el mallado no se producen giros.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones ==
El tensor de deformaciones de nuestro problema viene dado por <math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
=== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> ===
 
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}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
=== Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> ===
 
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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
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}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
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[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T10:40:43Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y un movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
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}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
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}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
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h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
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[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 
== Deformaciones ==
=== Campo de desplazamiento ===
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math> . El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
fx=(-sin(pi*vv).*sin(vv))./(20.*uu);
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}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

=== Divergencia ===
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. Con el campo vectorial dado, la divergencia viene dada por <math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f=pi.*(cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));
figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

=== Rotacional ===
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

=== Desplazamiento del sólido ===
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
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v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones ==
El tensor de deformaciones de nuestro problema viene dado por <math>\sigma_{ij}=\begin{bmatrix} \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} &\frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & 0 \\ \frac{-sin(\pi \theta)}{20\rho} & \frac{3\pi\cos(\pi \theta)}{20} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2} \end{bmatrix}</math>
=== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> ===
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmaro=(pi*cos(pi*vv))./(20*(uu.^2));
mesh(xx,yy,tenssigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
=== Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> ===
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tenssigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tensplortsigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T10:33:58Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y un movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
mesh(xx,yy,T);colorbar; % Draw the mesh
hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
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Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,T,30)
hold off
}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 
== Deformaciones ==
=== Campo de desplazamiento ===
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math> . El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
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figure(1)
fx=(-sin(pi*vv).*sin(vv))./(20.*uu);
fy=((sin(pi.*vv)).*cos(vv))./(20.*uu);
quiver(xx,yy,fx,fy);colorbar;
axis([-2,2,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

=== Divergencia ===
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. Con el campo vectorial dado, la divergencia viene dada por <math>\nabla \cdot \vec u =\frac{\pi\cos(\pi \theta)}{20\rho^2}\ </math>. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f=pi.*(cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));
figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
axis([-2,2,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

=== Rotacional ===
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

=== Desplazamiento del sólido ===
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
clear all

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figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
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yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones ==
=== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> ===
 
{{matlab|codigo=
clear all

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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
=== Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> ===
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tenssigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
clear all

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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
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tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tensplortsigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T10:27:06Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y un movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
mesh(xx,yy,T);colorbar; % Draw the mesh
hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
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hold off
}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 
== Deformaciones ==
=== Campo de desplazamiento ===
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math> . El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
clear all

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yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
fx=(-sin(pi*vv).*sin(vv))./(20.*uu);
fy=((sin(pi.*vv)).*cos(vv))./(20.*uu);
quiver(xx,yy,fx,fy);colorbar;
axis([-2,2,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

=== Divergencia ===
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
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figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

=== Rotacional ===
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

=== Desplazamiento del sólido ===
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
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view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones ==
=== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> ===
 
{{matlab|codigo=
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[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
=== Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math> ===
 
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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
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}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
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[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
{{matlab|codigo=
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[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T10:21:10Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y un movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
mesh(xx,yy,T);colorbar; % Draw the mesh
hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
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Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,T,30)
hold off
}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 

== Campo de desplazamiento ==
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math> . El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
clear all

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figure(1)
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quiver(xx,yy,fx,fy);colorbar;
axis([-2,2,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

== Divergencia ==
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
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figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
axis([-2,2,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

== Rotacional ==
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

== Desplazamiento del sólido ==
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
clear all

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figure(1)
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uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ==
- Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>
 
{{matlab|codigo=
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figure(1)
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yy=uu.*sin(vv);
tenssigmaro=(pi*cos(pi*vv))./(20*(uu.^2));
mesh(xx,yy,tenssigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
- Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>
 
{{matlab|codigo=
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figure(1)
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axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
clear all

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figure(1)
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tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
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yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
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axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T10:19:40Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un
campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y uno movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
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figure(1)
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yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

clear all

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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
mesh(xx,yy,T);colorbar; % Draw the mesh
hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
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contour(xx,yy,T,30)
hold off
}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 

== Campo de desplazamiento ==
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento <math>
\vec u(\rho,\theta)=\frac{\sin(\pi \theta)}{20\rho^2}\vec g_{\theta}.
</math> . El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
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view(2)
}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

== Divergencia ==
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f=pi.*(cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));
figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

== Rotacional ==
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

== Desplazamiento del sólido ==
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
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mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ==
- Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>
 
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
- Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tenssigmath);colorbar; % Draw the mesh
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
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v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
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}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
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}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T10:05:09Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un
campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y uno movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2;
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}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 

== Campo de desplazamiento ==
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento u. El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
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}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

== Divergencia ==
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

== Rotacional ==
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

== Desplazamiento del sólido ==
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
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view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math> y <math>\vec g_\theta/\rho</math> ==
- Tensiones normales en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>
 
{{matlab|codigo=
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[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección <math>\vec g_{\rho}</math>]]
 
- Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>
 
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figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección <math>\vec g_\theta/\rho</math>]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>===
 
{{matlab|codigo=
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axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math> ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a <math>\vec g_{\rho}</math>, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math>===
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tensplortsigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a <math>\vec g_\theta/\rho</math> ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal <math>\vec g_\theta/\rho</math>, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T09:51:39Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un
campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y uno movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

== Situación inicial ==
Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

== Comportamientos ante un foco de calor ==
En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
mesh(xx,yy,T);colorbar; % Draw the mesh
hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 

=== Variación de la temperatura ===
El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,T,30)
hold off
}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 

== Campo de desplazamiento ==
Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento u. El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);
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figure(1)
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quiver(xx,yy,fx,fy);colorbar;
axis([-2,2,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 

== Divergencia ==
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
clear all

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[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
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figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
axis([-2,2,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 

== Rotacional ==
El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

== Desplazamiento del sólido ==
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
clear all

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figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

== Tensiones normales en la dirección A y B ==
- Tensiones normales en la dirección A
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmaro=(pi*cos(pi*vv))./(20*(uu.^2));
mesh(xx,yy,tenssigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección A]]
 
- Tensiones en la dirección B
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tenssigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección B]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a A===
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a A ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a A, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.

===Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a B===
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tensplortsigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a B ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal gteta, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T09:34:28Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un
campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y uno movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

'''1.''' Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

'''2.''' En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
mesh(xx,yy,T);colorbar; % Draw the mesh
hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 
'''3.''' El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,Gradiente); colorbar;
contour(xx,yy,T,30)
hold off
}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 
'''4.''' Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento u. El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
fx=(-sin(pi*vv).*sin(vv))./(20.*uu);
fy=((sin(pi.*vv)).*cos(vv))./(20.*uu);
quiver(xx,yy,fx,fy);colorbar;
axis([-2,2,-3,3])
view(2)
}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 
'''5.''' Divergencia
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f=pi.*(cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));
figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
axis([-2,2,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 
'''6.''' Rotacional

El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

'''7.''' Desplazamiento del sólido
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

'''8.''' Tensiones normales en la dirección A y B
- Tensiones normales en la dirección A
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
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[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmaro=(pi*cos(pi*vv))./(20*(uu.^2));
mesh(xx,yy,tenssigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección A]]
 
- Tensiones en la dirección B
 
{{matlab|codigo=
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u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tenssigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección B]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.
'''8.1''' Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a A
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a A ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a A, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.
'''8.2''' Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a B
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tensplortsigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a B ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal gteta, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Categoría:Teoría de Campos]]

Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2-D (Grupo 15A)

2013-12-10T09:33:19Z

Charlinh0:

{{Trabajo|Deformaciones de una placa plana con forma de anillo en 2D. Grupo 15A|[[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:Trabajos 2013-14|2013-14]]}}

Estudio de los efectos producidos en una placa con forma de corona circular bajo los efectos de un
campo de temperatura <math>T(\rho,\theta,t)</math> y uno movimiento <math>\vec u(\rho,\theta,t)</math>.

'''1.''' Mallado de la placa cuyo radio interior es 1 y exterior 2.
 
{{matlab|codigo=
clear all
h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap1.jpg|900px|marco|centro|Figura 1. Mallado del sólido]]
 

'''2.''' En la figura 2 se observa la distribución de temperaturas <math>T(x,y)=e^{-y}</math> provenientes de un foco concentrado en el origen.
 
{{matlab|codigo=

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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
T=exp(-yy);
hold on
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hold off
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap2.jpg|900px|marco|centro|Figura 2. Campo de temperaturas]]
 
'''3.''' El gradiente de temperaturas indica las direcciones de máxima variación de temperatura en cada punto. Se puede observar que el gradiente, indicado mediante flechas, es ortogonal a las líneas de nivel.
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
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yy=uu.*sin(vv);
Gradiente= -exp(-yy);
T=exp(-yy);
figure(1)
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}}

[[Archivo:ap3.jpg|900px|marco|centro|Figura 3. Gradiente de temperatura y curvas de nivel]]
 
'''4.''' Al aplicar una fuerza, se produce una vibración en la placa, dando lugar a un desplazamiento u. El campo de desplazamientos se observa en la siguiente gráfica. Éste varía en función del ángulo y del radio siendo mayor en la parte interior.
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1;
u=1:h:2;
v=0:h:2*pi+h;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*cos(vv);
yy=uu.*sin(vv);
figure(1)
fx=(-sin(pi*vv).*sin(vv))./(20.*uu);
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}}

[[Archivo:ap4.jpg|900px|marco|centro|Figura 4. Campo de vectores]]
 
'''5.''' Divergencia
La divergencia indica la variación de volumen local en el sólido. En la gráfica adjunta, se observa la compresión, representada con colores fríos, mientras que la tracción en colores cálidos.
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
f=pi.*(cos(pi.*vv))./(20.*(uu.^2));
figure(1)
hold on
mesh(xx,yy,f);colorbar;% Draw the mesh
contour(xx,yy,f,15);
hold off
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view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap6.jpg|900px|marco|centro|Figura 5. Divergencia]]
 
'''6.''' Rotacional

El rotacional indica el giro local en el sólido. Operando, encontramos que el campo es irrotacional, por lo que en el mallado no se producen giros.

'''7.''' Desplazamiento del sólido
La posición final del elemento vendrá determinada por <math>\vec r (\rho,\theta,t)= \vec r_{0}(\rho,\theta)+\vec u(\rho,\theta,t).</math>
 
{{matlab|codigo=
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h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % matrixes of u and v coordinates
figure(1)
ux=(-sin(pi.*vv).*sin(vv))./(5.*uu);
uy=(sin(pi.*vv).*cos(vv))./(5.*uu);
xx=uu.*cos(vv)+ux; % parametrization
yy=uu.*sin(vv)+uy;
mesh(xx,yy,0*xx) % Draw the mesh
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view(2) % See the pisture from the top
}}
En las siguientes representaciones observamos cómo el campo de desplazamientos y la divergencia afectan a la posición final.

[[Archivo:ap10.jpg|500px|marco|centro|Figura 6. Desplazamiento del sólido]]
 

'''8.''' Tensiones normales en la dirección A y B
- Tensiones normales en la dirección A
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmaro=(pi*cos(pi*vv))./(20*(uu.^2));
mesh(xx,yy,tenssigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap81.jpg|900px|marco|centro|Figura 7. Tensiones en la dirección A]]
 
- Tensiones en la dirección B
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tenssigmath=(3*pi*cos(pi*vv))./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tenssigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
view(2) % See the pisture from the top
}}

[[Archivo:ap82.jpg|900px|marco|centro|Figura 8. Tensiones en la dirección B]]
 
Se observa que en ambos casos dependen del ángulo y el radio.
'''8.1''' Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a A
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmaro=-sin(pi*vv)./(20*uu);
mesh(xx,yy,tensplortsigmaro);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap83.jpg|900px|marco|centro|Figura 9. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a A ]]
 
Se aprecia que las tensiones tangenciales al plano ortogonal a A, dependen del ángulo y el radio. Variando el ángulo, varía el signo de las tensiones. Cuanto menor sea el radio, mayor será la tensión. A mayor tensión, mayor deformación.
'''8.2''' Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a B
 
{{matlab|codigo=
clear all

h=0.1; % sampling step
u=1:h:2; % sampling of the interval [1,2]
v=0:h:2*pi+h; % sampling of the interval [0,2*pi]
[uu,vv]=meshgrid(u,v);% matrixes of u and v coordinates
figure(1)
xx=uu.*cos(vv); % parametrization
yy=uu.*sin(vv);
tensplortsigmath=-sin(pi*vv)./(20*uu.^2);
mesh(xx,yy,tensplortsigmath);colorbar; % Draw the mesh
axis([-3,3,-3,3]) % select region for drawing
}}

[[Archivo:ap84.jpg|900px|marco|centro|Figura 10. Tensiones tangenciales respecto al plano ortogonal a B ]]
 
Análogo al caso anterior, salvo que las tensiones tangenciales al plano ortogonal gteta, es más pronunciada la variación a medida que avanza el radio.

[[Teoria de campos]]